2024屆河南省八市重點高中聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試試題含解析

2024屆河南省八市重點高中聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．定義運算:.若不等式的解集是空集，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．2．某學(xué)生四次模擬考試時，其英語作文的減分情況如下表：考試次數(shù)x

1

2

3

4

所減分?jǐn)?shù)y

4.5

4

3

2.5

顯然所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，則其線性回歸方程為（）A．y=0.7x+5.25 B．y=﹣0.6x+5.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.253．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．4．不等式的解集為（）A． B． C． D．5．設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項和為，則（）A．2 B．4 C． D．6．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．7．函數(shù)，，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，，則的值為（）A． B．2 C．或 D．或28．若數(shù)列{an}前8項的值各異，且an+8=an對任意n∈N*都成立，則下列數(shù)列中可取遍{an}前8項值的數(shù)列為（）A．{a2k+1} B．{a3k+1} C．{a4k+1} D．{a6k+1}9．長方體中的8個頂點都在同一球面上，，，，則該球的表面積為（）．A． B． C．50 D．10．已知正數(shù)組成的等比數(shù)列的前8項的積是81，那么的最小值是（）A． B． C．8 D．6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)O點在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比為.12．如圖中，，，，M為AB邊上的動點，，D為垂足，則的最小值為______；13．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－3，則數(shù)列{an}的通項公式為________.14．已知,,則______.15．某學(xué)校高一年級舉行選課培訓(xùn)活動，共有1024名學(xué)生、家長、老師參加，其中家長256人．學(xué)校按學(xué)生、家長、老師分層抽樣，從中抽取64人，進行某問卷調(diào)查，則抽到的家長有___人16．在正方體的體對角線與棱所在直線的位置關(guān)系是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，甲、乙兩個企業(yè)的用電負(fù)荷量關(guān)于投產(chǎn)持續(xù)時間（單位：小時）的關(guān)系均近似地滿足函數(shù).（1）根據(jù)圖象，求函數(shù)的解析式；（2）為使任意時刻兩企業(yè)用電負(fù)荷量之和不超過9，現(xiàn)采用錯峰用電的方式，讓企業(yè)乙比企業(yè)甲推遲小時投產(chǎn)，求的最小值.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知.（1）求的值；（2）若，求的值.19．己知數(shù)列的前項和，求數(shù)列的通項.20．已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，分別是，的中點，與平面所成的角的正切值是；（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值．21．已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義加以證明.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)定義可得的解集是空集，即恒成立，再對分類討論可得結(jié)果.【詳解】由題意得的解集是空集，即恒成立.當(dāng)時，不等式即為，不等式恒成立；當(dāng)時，若不等式恒成立，則即解得.綜上可知:.故選：B【點睛】本題考查了二次不等式的恒成立問題，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】試題分析：先求樣本中心點，利用線性回歸方程一定過樣本中心點，代入驗證，可得結(jié)論．解：先求樣本中心點，，由于線性回歸方程一定過樣本中心點，代入驗證可知y=﹣0.7x+5.25，滿足題意故選D．點評：本題考查線性回歸方程，解題的關(guān)鍵是利用線性回歸方程一定過樣本中心點，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

去掉絕對值將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式后可得其圖象的大體形狀．【詳解】由題意得，所以其圖象的大體形狀如選項C所示．故選C．【點睛】解答本題的關(guān)鍵是去掉函數(shù)中的絕對值，將函數(shù)化為基本函數(shù)后再求解，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】

因式分解求解即可.【詳解】,解得.故選：A【點睛】本題主要考查了二次不等式的求解,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

設(shè)首項為，利用等比數(shù)列的求和公式與通項公式求解即可.【詳解】設(shè)首項為，因為等比數(shù)列的公比，所以，故選：D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的求和公式與通項公式，熟練掌握基本公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

∵，∴.∴，即，∴,，故選B.【考點定位】向量的坐標(biāo)運算7、D【解析】

先根據(jù)單調(diào)性得到的范圍，然后根據(jù)得到的對稱軸和對稱中心，考慮對稱軸和對稱中心是否在同一周期內(nèi)，分析得到的值.【詳解】因為，則；又因為，則由可知得一條對稱軸為，又因為在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則由可知的一個對稱中心為；若與是同一周期內(nèi)相鄰的對稱軸和對稱中心，則，則，所以；若與不是同一周期內(nèi)相鄰的對稱軸和對稱中心，則，則，所以.【點睛】對稱軸和對稱中心的判斷：對稱軸：，則圖象關(guān)于對稱；對稱中心：，則圖象關(guān)于成中心對稱.8、B【解析】

數(shù)列是周期為8的數(shù)列；，；故選B9、C【解析】

根據(jù)長方體的外接球性質(zhì)及球的表面積公式，化簡即可得解.【詳解】根據(jù)長方體的外接球直徑為體對角線長，則，所以，則由球的表面積公式可得，故選：C.【點睛】本題考查了長方體外接球的性質(zhì)及球表面積公式應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

利用等比數(shù)列的通項公式和均值不等式可得結(jié)果.【詳解】由由為正項數(shù)列，可知再由均值不等式可知所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）故選：A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及均值不等式，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】

分別取AC、BC的中點D、E,

,

,即,

是DE的一個三等分點,

,

故答案為:3.12、【解析】

以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出的值，然后利用換元法求解出對應(yīng)的最小值即可.【詳解】如圖所示，設(shè)，所以，根據(jù)條件可知：，所以，設(shè)，，，所以，所以，所以，所以當(dāng)時，有最小值，最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查利用坐標(biāo)法以及換元法求解最值，著重考查邏輯推理和運算求解的能力，屬于較難題(1)利用換元法求解最值時注意，換元后新元的取值范圍；(2)三角函數(shù)中的一組“萬能公式”：，.13、【解析】

利用來求的通項.【詳解】，化簡得到，填.【點睛】一般地，如果知道的前項和，那么我們可利用求其通項，注意驗證時，（與有關(guān)的解析式）的值是否為，如果是，則，如果不是，則用分段函數(shù)表示.14、【解析】

直接利用二倍角公式，即可得到本題答案.【詳解】因為，所以，得，由，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查利用二倍角公式求值，屬基礎(chǔ)題.15、16【解析】

利用分層抽樣的性質(zhì)，直接計算，即可求得，得到答案．【詳解】由題意，可知共有1024名學(xué)生、家長、老師參加，其中家長256人，通過分層抽樣從中抽取64人，進行某問卷調(diào)查，則抽到的家長人數(shù)為人．故答案為16【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，其中解答中熟記分層抽樣的概念和性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、異面直線【解析】

根據(jù)異面直線的定義，作出圖形，即可求解，得到答案.【詳解】如圖所示，與不在同一平面內(nèi)，也不相交，所以體對角線與棱是異面直線.【點睛】本題主要考查了異面直線的概念及其判定，其中熟記異面直線的定義是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）4【解析】

（1）由，得，由，得A，b，代入，求得，從而即可得到本題答案；（2）由題，得恒成立，等價于恒成立，然后利用和差公式展開，結(jié)合輔助角公式，逐步轉(zhuǎn)化，即可得到本題答案.【詳解】（1）解：由圖知，又，可得，代入，得，又，所求為（2）設(shè)乙投產(chǎn)持續(xù)時間為小時，則甲的投產(chǎn)持續(xù)時間為小時，由誘導(dǎo)公式，企業(yè)乙用電負(fù)荷量隨持續(xù)時間變化的關(guān)系式為：同理，企業(yè)甲用電負(fù)荷量變化關(guān)系式為：兩企業(yè)用電負(fù)荷量之和，依題意，有恒成立即恒成立展開有恒成立其中，，，整理得：解得即取得：的最小值為4.【點睛】本題主要考查根據(jù)三角函數(shù)的圖象求出其解析式，以及三角函數(shù)的實際應(yīng)用，主要考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，以及計算能力，難度較大.18、（1）；（2）.【解析】

（1）由，得到，再結(jié)合向量的模的運算公式，即可求解.（2）因為，得到，求得，結(jié)合正切的倍角公式，即可求解.【詳解】（1）由題意知，所以，因此；（2）因為，所以，即，因此.【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算，向量的模的求解，以及向量的垂直的條件的應(yīng)用和正切的倍角公式的化簡求值等，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、【解析】

根據(jù)通項前項和的關(guān)系求解即可.【詳解】解：當(dāng)時,.當(dāng)時,.當(dāng)時,上式也成立.【點睛】本題主要考查了根據(jù)前項公式求解通項公式的方法.屬于基礎(chǔ)題.20、(1)見證明；(2)【解析】

（1）取的中點，連接，通過證明四邊形是平行四邊形，證得，從而證得平面.（2）連接，證得為與平面所成角.根據(jù)的值求得的長，作出二面角的平面角并證明，解直角三角形求得二面角的正切值．【詳解】（1）證明：取的中點，連接.∵是中點∴又是的中點,∴∴，從而四邊形是平行四邊形，故又平面，平面，∴（2）∵平面，∴是在平面內(nèi)的射影為與平面所成角，四邊形為矩形，∵,∴,∴過點作交的延長線于，連接，∵平面據(jù)三垂線定理知.∴是二面角的平面角易知道為等腰直角三角形，∴∴=∴二面角的正切值為【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查線面角的定義和應(yīng)用，考查面面角的正切值的求法，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ）（Ⅱ