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福建廈門湖濱中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,且邊上的高為,則的最大值是()A.8 B.6 C. D.42.已知一組正數(shù)的平均數(shù)為,方差為,則的平均數(shù)與方差分別為()A. B. C. D.3.若是等差數(shù)列,則下列數(shù)列中也成等差數(shù)列的是()A. B. C. D.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式時(shí),應(yīng)注意必須為()A. B., C., D.,5.若正實(shí)數(shù)x,y滿足不等式,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知,則的值為()A. B.1 C. D.7.石臼是人類以各種石材制造的,用以砸、搗、研磨藥材、食品等的生產(chǎn)工具,是由長方體挖去半球所得幾何體,若某石臼的三視圖如圖所示(單位:dm),則其表面積(單位:dm2)為()A.132+8π B.168+4π C.132+12π D.168+16π8.在銳角中ΔABC,角A,B所對(duì)的邊長分別為a,b.若2asinA.π12B.π6C.π9.過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是()A. B.C. D.10.以點(diǎn)為圓心,且經(jīng)過點(diǎn)的圓的方程為()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.在中,角的對(duì)邊分別為,若面積,則角__________.12.在等比數(shù)列中,若,則__________.13.已知,,則________.14.從甲、乙、丙等5名候選學(xué)生中選2名作為青年志愿者,則甲、乙、丙中有2個(gè)被選中的概率為________.15.方程的解集為____________.16.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值為__________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù),其中常數(shù);(1)令,判定函數(shù)的奇偶性,并說明理由;(2)令,將函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)的圖像,對(duì)任意,求在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值;18.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=3,Sn=1Sn﹣1+n(n≥1)(1)求出a1,a3的值,并證明:數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列;(1)設(shè)bn=log1(a3n+1),數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:1≤18Tn<1.19.設(shè)函數(shù)f(x)=x(1)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,a+1),試求m的值,并寫出(不必證明)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)設(shè)a=-1,h(x)+x?f(x)=0,g(x)=2cos(x-π3),若對(duì)于任意的s∈[1,2],總存在t∈[0,π]20.若數(shù)列滿足:存在正整數(shù),對(duì)任意的,使得成立,則稱為階穩(wěn)增數(shù)列.(1)若由正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列,且對(duì)任意,數(shù)列中恰有個(gè),求的值;(2)設(shè)等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列且首項(xiàng)大于,試求該數(shù)列公比的取值范圍;(3)在(1)的條件下,令數(shù)列(其中,常數(shù)為正實(shí)數(shù)),設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若已知數(shù)列極限存在,試求實(shí)數(shù)的取值范圍,并求出該極限值.21.在銳角三角形中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為且.(1)求角的大??;(2)若,,求△的面積.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】,這個(gè)形式很容易聯(lián)想到余弦定理:cosA,①而條件中的“高”容易聯(lián)想到面積,bcsinA,即a2=2bcsinA,②將②代入①得:b2+c2=2bc(cosA+sinA),∴=2(cosA+sinA)=4sin(A+),當(dāng)A=時(shí)取得最大值4,故選D.點(diǎn)睛:三角形中最值問題,一般轉(zhuǎn)化為條件最值問題:先根據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系,利用基本不等式或函數(shù)方法求最值.在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.2、C【解析】
根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)和方差的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)平均數(shù)的線性性質(zhì),以及方差的性質(zhì):將一組數(shù)據(jù)每個(gè)數(shù)擴(kuò)大2倍,且加1,則平均數(shù)也是同樣的變化,方差變?yōu)樵瓉淼?倍,故變換后數(shù)據(jù)的平均數(shù)為:;方差為4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)和方差的性質(zhì),屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的定義,只需任意相鄰的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為定值即可.【詳解】A:=(an+an+1)(an+1﹣an)=d[2a1+(2n﹣1)d],與n有關(guān)系,因此不是等差數(shù)列.B:==與n有關(guān)系,因此不是等差數(shù)列.C:3an+1﹣3an=3(an+1﹣an)=3d為常數(shù),仍然為等差數(shù)列;D:當(dāng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為正數(shù)、公差為負(fù)數(shù)時(shí),{|an|}不是等差數(shù)列;故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
根據(jù)題意驗(yàn)證,,時(shí),不等式不成立,當(dāng)時(shí),不等式成立,即可得出答案.【詳解】解:當(dāng),,時(shí),顯然不等式不成立,當(dāng)時(shí),不等式成立,故用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式時(shí),應(yīng)注意必須為,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
試題分析:由正實(shí)數(shù)滿足不等式,得到如下圖陰影所示的區(qū)域:當(dāng)過點(diǎn)時(shí),,當(dāng)過點(diǎn)時(shí),,所以的取值范圍是.考點(diǎn):線性規(guī)劃問題.6、B【解析】
化為齊次分式,分子分母同除以,化弦為切,即可求解.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,通過齊次分式化弦為切,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
利用三視圖的直觀圖,畫出幾何體的直觀圖,然后求解表面積即可.【詳解】幾何體的直觀圖如圖:幾何體的表面積為:6×6×2+4×6×4﹣4π+2π×22=168+4π.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖及求解幾何體的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】試題分析:∵2a考點(diǎn):正弦定理解三角形9、D【解析】
先由題意設(shè)所求直線為:,再由直線過點(diǎn),即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗笾本€與直線平行,因此,可設(shè)所求直線為:,又所求直線過點(diǎn),所以,解得,所求直線方程為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查求直線的方程,熟記直線方程的常見形式即可,屬于基礎(chǔ)題型.10、B【解析】
通過圓心設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,代入點(diǎn)即可.【詳解】設(shè)圓的方程為:,又經(jīng)過點(diǎn),所以,即,所以圓的方程:.故選B【點(diǎn)睛】此題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,記住標(biāo)準(zhǔn)方程的一般設(shè)法,代入數(shù)據(jù)即可求解,屬于簡(jiǎn)單題目.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
根據(jù)面積公式計(jì)算出的值,然后利用反三角函數(shù)求解出的值.【詳解】因?yàn)?,所以,則,則有:.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應(yīng)用,難度較易.利用面積公式的時(shí)候要選擇合適的公式進(jìn)行化簡(jiǎn),可根據(jù)所求角進(jìn)行選擇.12、80【解析】
由即可求出【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,所以,所以即故答案為:80【點(diǎn)睛】本題考查的是等比數(shù)列的性質(zhì),較簡(jiǎn)單13、【解析】
由二倍角求得α,則tanα可求.【詳解】由sin2α=sinα,得2sinαcosα=sinα,∵,∴sinα≠0,則,即.∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,考查公式的靈活應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】因?yàn)閺?名候選學(xué)生中任選2名學(xué)生的方法共有10種,而甲、乙、丙中有2個(gè)被選中的方法有3種,所以甲、乙、丙中有2個(gè)被選中的概率為.15、或【解析】
首先將原方程利用輔助角公式化簡(jiǎn)為,再求出的值即可.【詳解】由題知:,,.所以或,.解得:或.所以解集為:或.故答案為:或【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖像及特殊角的三角函數(shù)值,同時(shí)考查了輔助角公式,屬于中檔題.16、【解析】
本題首先可以根據(jù)題意繪出不等式組表示的平面區(qū)域,然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何性質(zhì),找出目標(biāo)函數(shù)取最小值所過的點(diǎn),即可得出結(jié)果?!驹斀狻坷L制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知,目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值,即?!军c(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域來求目標(biāo)函數(shù)的最值,能否繪出不等式組表示的平面區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵,考查數(shù)形結(jié)合思想,是簡(jiǎn)單題。三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)非奇非偶,理由見解析;(2)21或20個(gè).【解析】
(1)先利用輔助角公式化簡(jiǎn),再利用和可判斷為非奇非偶函數(shù).(2)求出的解析式后結(jié)合函數(shù)的圖像、周期及給定區(qū)間的特點(diǎn)可判斷在給定的范圍上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】(1),則,故不是奇函數(shù),又,,故不是偶函數(shù).綜上,為非奇非偶函數(shù).(2),的圖象如圖所示:令,則,則或,,也就是或者,,所以在形如的區(qū)間上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn).把區(qū)間分成10個(gè)小區(qū)間,它們分別為:,及,根據(jù)函數(shù)的圖像可知:前9個(gè)區(qū)間的長度恰為一個(gè)周期且左閉右開,故每個(gè)區(qū)間恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),最后一個(gè)區(qū)間的長度恰為一個(gè)周期且為閉區(qū)間,故該區(qū)間上可能有兩個(gè)不同的零點(diǎn)或3個(gè)不同的零點(diǎn).故在區(qū)間上可有21個(gè)或者20個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、正弦型函數(shù)在給定范圍上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),注意說明一個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)或不是偶函數(shù),可通過反例來說明,而零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷則需綜合考慮給定區(qū)間的長度、開閉情況及函數(shù)的周期.18、(1)見解析;(1)見解析【解析】
(1)可令求得的值;再由數(shù)列的遞推式,作差可得,可得數(shù)列為首項(xiàng)為1,公比為1的等比數(shù)列;(1)由(1)求得,,再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和,可得,再由不等式的性質(zhì)即可得證.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,即,∴,當(dāng)時(shí),,即,∴,∵,∴,,∴,∴,又∵,,∴,∴,∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為1的等比數(shù)列.(1)由(1)可知,所以,所以,,,,所以,所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推式的運(yùn)用,考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用,考查數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和,化簡(jiǎn)運(yùn)算能力,屬于中檔題.19、(1)遞減區(qū)間為[-2,0)和(0,2【解析】
(1)將點(diǎn)(1,3)代入函數(shù)f(x)即可求出m,根據(jù)函數(shù)的解析式寫出單調(diào)遞減區(qū)間即可(2)當(dāng)a=-1時(shí),寫出函數(shù)h(x),由題意知h(s)的值域是g(t)值域的子集,即可求出.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,a+1),且a=2所以f(1)=1+m+2=3,解得m=0.∴????∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-2,0)(2)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x-1∴???∵g(x)=2cos∴??t∈[0,π]時(shí),g(t)∈[-1,2]由對(duì)于任意的s∈[1,2],總存在t∈[0,π],使得h(s)=g(t)知:h(s)的值域是g(t)值域的子集.因?yàn)閔(x)=-x2-mx+1①當(dāng)-m2≤1只需滿足h(1)=-m≤2h(2)=-3-2m≥-1解得-2≤m≤-1.②當(dāng)1<-m2<2因?yàn)閔(1)=-m>2,與h(s)?[-1,2]矛盾,故舍去.③當(dāng)-m2≥2h(1)=-m≥4與h(s)?[-1,2]矛盾,故舍去.綜上,m∈[-2,-1].【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性,以及含參數(shù)二次函數(shù)值域的求法,涉及存在性問題,轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想要求較高,屬于難題.20、(1);(2);(3).【解析】
(1)設(shè),由題意得出,求出正整數(shù)的值即可;(2)根據(jù)定義可知等比數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列,分和兩種情況討論,列出關(guān)于的不等式,解出即可;(3)求出,然后分、和三種情況討論,求出,結(jié)合數(shù)列的極限存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè),由于數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列,則,對(duì)任意,數(shù)列中恰有個(gè),則數(shù)列中的項(xiàng)依次為:、、、、、、、、、、、、、、、、,設(shè)數(shù)列中值為的最大項(xiàng)數(shù)為,則,由題意可得,即,,解得,因此,;(2)由于等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列,即對(duì)任意的,,且.所以,等比數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列.①當(dāng)時(shí),則等比數(shù)列中每項(xiàng)都為正數(shù),由可得,整理得,解得;②當(dāng)時(shí),(i)若為正奇數(shù),可設(shè),則,由,得,即,整理得,解得;(ii)若為正偶數(shù)時(shí),可設(shè),則,由,得,即,整理得,解得.所以,當(dāng)時(shí),等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是;(3),由(1)知,則.①當(dāng)時(shí),,,則,此時(shí),數(shù)列的極限不存在;②當(dāng)時(shí),,,上式下式得,所以,,則.(i)若時(shí),則,此時(shí)數(shù)列的極限不存在;(
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