《建筑力學》課件-4.1 平面圖形的幾何性質

1《建筑力學》

——4平面圖形的幾何性質本節(jié)內容4.1

形心坐標和靜矩的計算4.2慣性矩、極慣性矩、慣性積的計算在建筑力學和建筑結構的計算中，經(jīng)常要用到與截面有關的一些幾何量。例如軸向拉壓桿的橫截面面積A,圓軸扭轉時的抗扭截面系數(shù)Ip等都與構件的強度和剛度有關。在桿件彎曲等其他問題的計算中，還將遇到平面圖形的另外一些幾何量，如形心、靜矩、慣性矩和抗彎截面系數(shù)等。4.1.1平面圖形的形心⒈形心的概念工程中桿件的截面是平面圖形，平面圖形的幾何中心，稱為形心。⒉桿件橫截面的類型及形心的位置⑴具有兩個以上對稱軸的平面圖形對稱中心對稱中心對稱中心4.1

形心坐標和靜矩的計算⑵具有兩個對稱軸的平面圖形⑴具有兩個以上對稱軸的平面圖形對稱中心對稱中心對稱中心軸的交點,形心軸的交點,形心軸的交點,形心⑵具有兩個對稱軸的平面圖形軸的交點,形心軸的交點,形心軸的交點,形心⑶只有一個對稱軸的平面圖形形心在對稱軸上形心在對稱軸上4.1.2平面圖形形心坐標和靜矩的計算⒈靜矩的概念任意平面圖形上所有微面積dA,與其坐標y(或z)乘積的總和,稱為該平面圖形對z軸(或y軸)的靜矩(又稱為面積矩)。靜矩的幾何意義：衡量圖形的形心相對于指定坐標軸之間距離的遠近程度。⒉簡單圖形靜矩的計算⑴圓形根據(jù)靜矩的定義,通過積分計算可求得：上式表明,圓形的面積A與其形心坐標yC(或zC)的乘積,即是圓形對z軸(或y軸)的靜矩。⑵矩形根據(jù)靜矩的定義,通過積分計算可求得：同理:即矩形的面積A與其形心坐標yC(或zC)的乘積,就是矩形對z軸(或y軸)的靜矩。⒉簡單圖形靜矩的計算綜上所述，簡單圖形的面積A與其形心坐標yC(或zC)的乘積,稱為簡單圖形對z軸(或y軸)的靜矩,即當坐標軸通過截面圖形的形心時，其靜矩為零；反之，若截面圖形對某軸的靜矩為零，則說明該軸一定通過截面圖形的形心。⒉簡單圖形靜矩的計算⒊組合圖形形心坐標和靜矩的計算組合圖形是由若干個簡單圖形組合而成的圖形，根據(jù)靜矩的定義可知，組合圖形對某坐標軸的靜矩等于組成組合圖形的各簡單圖形對同一坐標軸靜矩的代數(shù)和。假設組合圖形的面積為A,形心坐標為yC、zC,則根據(jù)簡單圖形靜矩的結論,可得:組合圖形的形心坐標：【例4-1】求圖示T形截面的形心坐標以及截面對z軸和y軸的靜矩(圖中尺寸單位為mm)。解：將截面分為兩個矩形。計算組合圖形形心坐標：【例4-1】求圖示T形截面的形心坐標以及截面對z軸和y軸的靜矩(圖中尺寸單位為mm)。解：將截面分為兩個矩形。計算組合圖形形心坐標：求T形截面對z軸和y軸的靜矩：4.2.1慣性矩、極慣性矩、慣性積的定義⒈慣性矩的定義任意平面圖形上所有微面積dA與其坐標z(或y)平方乘積的總和,稱為該平面圖形對z軸(或y軸)的慣性矩:慣性矩恒為正值,常用單位為m4或mm4。慣性矩的幾何意義：衡量圖形面積相對于指定坐標軸間分布的集中或分散程度。4.2.1慣性矩、極慣性矩、慣性積的定義⒉極慣性矩的定義任意平面圖形上所有微面積dA與其到坐標原點的距離ρ平方乘積的總和,稱為該平面圖形對坐標原點的極慣性矩:極慣性矩恒為正值,常用單位為m4或mm4。極慣性矩的幾何意義：衡量圖形面積相對于指定坐標原點之間分布的集中或分散程度。4.2.1慣性矩、極慣性矩、慣性積的定義⒊慣性積的定義任意平面圖形上所有微面積dA與其坐標z、y乘積的總和,稱為該平面圖形對z、y兩軸的慣性積:慣性積為代數(shù)值,可為正、可為負、也可為零。在兩坐標軸中，只要其中一個是平面圖形的對稱軸，則該平面圖形對該兩軸的慣性積一定等于零。常用單位為m4或mm4。慣性積的幾何意義：衡量圖形面積相對于指定的一對正交坐標軸之間分布的集中或分散程度。4.2.1慣性矩、極慣性矩、慣性積的定義⒋慣性半徑的定義在工程中為了計算方便，將平面圖形的慣性矩表示為圖形面積與某一長度平方的乘積，即式中,iz、iy分別稱為平面圖形對z、y軸的慣性半徑。4.2.2簡單圖形對形心軸的慣性矩、極慣性矩、慣性積的計算圓形4.2.2簡單圖形對形心軸的慣性矩、極