易錯(cuò)07 整式中的規(guī)律探究問題（解析版）-【突破易錯(cuò)·沖刺滿分】2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末突破易錯(cuò)挑戰(zhàn)滿分（人教版）

【突破易錯(cuò)·沖刺滿分】2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末突破易錯(cuò)挑戰(zhàn)滿分（人教版）易錯(cuò)07整式中的規(guī)律探究問題【易錯(cuò)1例題】數(shù)字問題的規(guī)律探究問題1．（2020·浙江杭州·七年級(jí)期末）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；…青解答下列問題：（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：______________．（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：______=_______（n為正整數(shù)）；（3）求的值．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）根據(jù)題目中的式子的特點(diǎn)，可以寫出第五個(gè)等式；（2）根據(jù)題目中的式子的特點(diǎn)，可以寫出第n個(gè)等式；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果，可以寫出所求式子的值．【詳解】解：（1）由題意可得，第5個(gè)等式：，故答案為：；（2），故答案為：，；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出所求式子的值．【易錯(cuò)2例題】圖形問題的規(guī)律探究問題2．（2020·浙江七年級(jí)期末）某餐廳中1張餐桌可坐6人，有以下兩種擺放方式：（1）對(duì)于方式一、方式二，4張桌子拼在一起分別可坐多少人？（2）對(duì)于方式一、方式二，張桌子拼在一起分別可坐多少人？（3）該餐廳有40張這樣的長(zhǎng)方形桌子，按方式一每5張拼成一張大桌子，則40張桌子可拼成8張大桌子，共可坐多少人？【答案】（1）方式一：18人，方式二：12人；（2）方式一：（4n+2）人，方式二：（2n+4）人；（3）176人【分析】（1）仔細(xì)觀察圖形并找到規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)所得規(guī)律可列出代數(shù)式；（3）求出方式一中當(dāng)n=5時(shí)，每張大桌的人數(shù)，再乘以8即可．【詳解】解：（1）對(duì)于方式一，只有一張桌子是6人，后邊多一張桌子多4人，4張桌子可以坐6+3×4=18人；對(duì)于方式二，有一張桌子是6人，后邊多一張桌子多2人，4張桌子可以坐6+3×2=12人；（2）由題意可得：方式一：n張桌子時(shí)是6+4（n-1）=4n+2；方式二：n張桌子可以坐6+2（n-1）=2n+4；（3）由題意可得：當(dāng)n=5時(shí)，4×5+2=22人，22×8=176人，∴40張桌子拼成8張大桌子可以坐176人．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．【專題訓(xùn)練】選擇題1．（2021·日照市新營(yíng)中學(xué)七年級(jí)期中）觀察下列各式數(shù)：?2x，4x2，?8x3，16x4，?32x5，…則第n個(gè)式子是()A．?2n?1xn B．(?2)n?1xn C．?2nxn D．(?2)nxn【答案】D【分析】觀察各式：第一個(gè)：?2x；第二個(gè)：；第三個(gè)：；第四個(gè)：；由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求解．【詳解】解：第一個(gè)：?2x；第二個(gè)：；第三個(gè)：；第四個(gè)：；第n個(gè)式子：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律題，明確題意，準(zhǔn)確找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2021·云南西雙版納·七年級(jí)期末）有一列按一定規(guī)律排列的式子：﹣3m，9m，﹣27m，81m，﹣243m，…，則第n個(gè)式子是（）A．（﹣3）nm B．（﹣3）n+1m C．3nm D．﹣3nm【答案】A【分析】根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：系數(shù)是（?3）n，字母因式均為m，可得答案．【詳解】由﹣3m，9m，﹣27m，81m，﹣243m，…，得出規(guī)律：系數(shù)分別是（﹣3）1，（﹣3）2，（﹣3）3，（﹣3）4，（﹣3）5，…，字母因式均為m，∴第n個(gè)式子是（﹣3）nm；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式，觀察式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2021·河南周口市·七年級(jí)期中）如圖，用規(guī)格相同的小棒擺成一組圖案，圖案①需要10根小棒，圖案②需要16根小棒，圖案③需要22根小棒，技此規(guī)律擺下去，第圖案需要小棒多少根？（）①，②，③，…A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察圖案可知，每下一幅圖案比前一幅圖案多6根小棒，找出6與n的聯(lián)系即可．【詳解】解：如圖可知，后一幅圖總是比前一幅圖多兩個(gè)菱形，且多6根小棒，

圖案（1）需要小棒：6×2?2＝10（根），

圖案（2）需要小棒：6×3?2＝16（根），圖案（3）需要小棒：6×4?2＝22（根），

則第n個(gè)圖案需要小棒：根．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律：首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．4．（2021·四川達(dá)州市·八年級(jí)期末）如圖，自左至右，第1個(gè)圖由1個(gè)正六邊形、6個(gè)正方形和6個(gè)等邊三角形組成；第2個(gè)圖由2個(gè)正六邊形、11個(gè)正方形和10個(gè)等邊三角形組成；第3個(gè)圖由3個(gè)正六邊形、16個(gè)正方形和14個(gè)等邊三角形組成…按照此規(guī)律，第20個(gè)圖中正方形和等邊三角形的個(gè)數(shù)之和為（）A．180 B．183 C．186 D．190【答案】B【分析】根據(jù)圖形的變化規(guī)律可總結(jié)出第n個(gè)圖中正方形和等邊三角形的個(gè)數(shù)之和為9n+3，即可得出．【詳解】解：由題知，第1個(gè)圖由1個(gè)正六邊形、6個(gè)正方形和6個(gè)等邊三角形組成，正方形和等邊三角形的和為：6+6＝12＝9+3；第2個(gè)圖由2個(gè)正六邊形、11個(gè)正方形和10個(gè)等邊三角形組成，正方形和等邊三角形的和為：11+10＝21＝9×2+3；第3個(gè)圖由3個(gè)正六邊形、16個(gè)正方形和14個(gè)等邊三角形組成，正方形和等邊三角形的和為：16+14＝30＝9×3+3；…第n個(gè)圖中正方形和等邊三角形的個(gè)數(shù)之和為9n+3，故第20個(gè)圖中正方形和等邊三角形的個(gè)數(shù)之和為9×20+3＝183，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，歸納出第n個(gè)圖中正方形和等邊三角形的個(gè)數(shù)和為(9n+3)是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2021·河南周口市·七年級(jí)期中）觀察一組關(guān)于的單項(xiàng)式：，，，，…．按照排列規(guī)律，第個(gè)單項(xiàng)式是______．【答案】【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的變化規(guī)律，

即可求解．【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)單項(xiàng)式：第二個(gè)單項(xiàng)式：第三個(gè)單項(xiàng)式：第四個(gè)單項(xiàng)式：…第n個(gè)單項(xiàng)式：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的規(guī)律探索，解答的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察前幾項(xiàng)單項(xiàng)式系數(shù)及次數(shù)的變化規(guī)律，總結(jié)出一般的規(guī)律．6．（2021·云南臨滄市·八年級(jí)期末）觀察下列一組代數(shù)式：a，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第n個(gè)代數(shù)式為___．【答案】．【分析】觀察a，，，，…，的分母上的變化規(guī)律為1，3，5，7，9，..．第n個(gè)代數(shù)式的分母應(yīng)是2n﹣1，分子上的變化規(guī)律為a，a2，a3，a4，a5，..．第n個(gè)代數(shù)式的分子應(yīng)是an，由此即可得到答案.【詳解】解：a，，，，…，的分母上的變化規(guī)律為1，3，5，7，9，..．∴第n個(gè)代數(shù)式的分母應(yīng)是2n﹣1，分子上的變化規(guī)律為a，a2，a3，a4，a5，..．∴第n個(gè)代數(shù)式的分子應(yīng)是an，∴第n個(gè)代數(shù)式是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找到分子和分母所包含的規(guī)律.7．（2021·遼寧朝陽市·七年級(jí)期末）觀察下列圖形：第1個(gè)圖形中一共有4個(gè)小圓圈，第2個(gè)圖形中一共有10個(gè)小圓圈，第3個(gè)圖形中一共有18個(gè)小圓圈…，按此規(guī)律排列，則第n個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)是_________．【答案】n2+3n【分析】分兩部分：上面部分是由小圓圈圍成的三角形，下面部分是小圓圈圍成的正方形，由此分別計(jì)算出前4個(gè)圖形的小圓圈的個(gè)數(shù)，得到規(guī)律，即可得第n個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)．【詳解】觀察圖形得：第1個(gè)圖形有12+3×1＝4個(gè)圓圈，第2個(gè)圖形有22+3×2＝10個(gè)圓圈，第3個(gè)圖形有32+3×3＝18個(gè)圓圈，第4個(gè)圖形有42+3×4＝18個(gè)圓圈，…第n個(gè)圖形有n2+3n個(gè)圓圈，故答案為：n2+3n．【點(diǎn)睛】本題規(guī)律性問題，主要考查用代數(shù)式表示圖形類規(guī)律，學(xué)生分析問題、觀察總結(jié)規(guī)律的能力，解題的關(guān)鍵是通過觀察分析找出規(guī)律．8．（2021·山東七年級(jí)期末）如圖是用棋子擺成的“H”，擺成第一個(gè)“H”需要7個(gè)棋子，第二個(gè)“H”需要棋子12個(gè)；按這樣的規(guī)律擺下去，擺成第2021個(gè)“H”需要__個(gè)棋子．【答案】10107【分析】仔細(xì)觀察圖形的變化規(guī)律，找到題目變化的規(guī)律，然后代入求值即可．【詳解】解：圖形①用棋子的個(gè)數(shù)＝2×（2×1+1）+1；圖形②用棋子的個(gè)數(shù)＝2×（2×2+1）+2；圖形③用棋子的個(gè)數(shù)＝2×（2×3+1）+3；…由此得出規(guī)律：擺成第n個(gè)“H”字需要棋子的個(gè)數(shù)為擺成第2021個(gè)“H”字需要棋子的個(gè)數(shù)＝2×（2×2021+1）+2021＝10107（個(gè)）．故答案為：10107．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問題，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力；本題的關(guān)鍵規(guī)律為各個(gè)圖形中兩豎行棋子的個(gè)數(shù)均為2n+1，橫行棋子的個(gè)數(shù)為n．三、解答題9．（2021·浙江七年級(jí)期末）一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，an＝．（1）求a2，a3的值；（2）求a1+a2+a3+…+a2021的值．【答案】（1），；（2）1009【分析】（1）將代入計(jì)算可得，再將代入，可求出；（2）根據(jù)規(guī)律可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）把代入得，，把代入得，，∴，；（2）將代入得，同理，，，，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，探索數(shù)字的變化規(guī)律，正確的計(jì)算，，，進(jìn)而得出變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．10．（2021·安徽合肥市五十中學(xué)新校九年級(jí)二模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第4個(gè)等式：______；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：______（用含的等式表示），并證明．【答案】（1）3×42+4=4×（12+1）；（2）3×n2+n=n（3n+1），證明見解析【分析】（1）觀察等式的左邊第一數(shù)字均為3，第二個(gè)數(shù)字與等式的序號(hào)相同的數(shù)的平方，第三個(gè)數(shù)字也與等式序號(hào)相同，等號(hào)右邊的第一個(gè)數(shù)字與等式序號(hào)相同，第二個(gè)數(shù)字是等式序號(hào)的3倍，第三個(gè)數(shù)字均為1，依此規(guī)律答案可得；（2）利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得結(jié)論，證明時(shí)通過運(yùn)算說明左右相等即可．【詳解】解：（1）第4個(gè)等式為：3×42+4=4×（12+1）．故答案為：3×42+4=4×（12+1）．（2）第n個(gè)等式為：3×n2+n=n（3n+1）．證明：∵右邊=n（3n+1）=3n2+1，左邊=3n2+1，∴左邊=右邊．∴等式成立．故答案為：3×n2+n=n（3n+1）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，列代數(shù)式，準(zhǔn)確找出數(shù)字的變化與序號(hào)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2020·吉林七年級(jí)期末）某展覽館選用規(guī)格為60×60cm2（邊長(zhǎng)為60cm的正方形）的黑白兩種顏色的大理石地磚，按下圖的方式鋪設(shè)通向展廳的走廊地面．（1）依據(jù)上圖規(guī)律，第個(gè)圖形中需要黑色大理石地磚塊；（2）鋪設(shè)完畢后，施工人員發(fā)現(xiàn)整個(gè)走廊地面恰好是符合上圖規(guī)律的一個(gè)完整圖形，且用去的黑色大理石地磚是白色大理石地磚的，求走廊的長(zhǎng)度．【答案】（1）1＋3n；（2）10.2米【分析】（1）結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)圖中有4塊黑色的正方形瓷磚，后邊依次多3塊黑色瓷磚；

（2）第n個(gè)圖形中的大理石地板數(shù)量=5×（2n+1），由（1）可知其中的白色大理石的個(gè)數(shù)，根據(jù)白色大理石地磚是黑色人理石地磚的，求出n即可計(jì)算．【詳解】解：（1）結(jié)合圖形，得第一個(gè)圖中有4塊黑色的正方形瓷磚，后邊依次多3塊黑色瓷磚；

∴第n個(gè)圖案有黑色瓷磚4+3（n-1）=3n+1（塊），

故答案為：3n+1．（2）觀察圖形可知：第n個(gè)圖形中的大理石地板數(shù)量=5×（2n+1），

∴白色大理石的個(gè)數(shù)=5（2n+1）-（3n+1）=7n+4．

∴，

解得：n=8．

∴走廊長(zhǎng)度=（2n+1）×60cm=（2×8+1）×60cm=1020cm=10.2m．【點(diǎn)睛】【點(diǎn)睛】考查了規(guī)律型：圖形的變化，此類題中要注意能夠正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律：在4的基礎(chǔ)上，依次多3塊黑色瓷磚，即第n個(gè)圖案有黑色瓷磚4+3（n-1）=3n+1（塊）．12．（2020·浙江杭州·七年級(jí)期末）用黑白兩種顏色的正方形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成一系列圖案，請(qǐng)仔觀察，并回答下列問題：（1）第5個(gè)圖案中有白色紙片多少?gòu)?？?）第n個(gè)圖案中有白色紙片多少?gòu)垼浚?）第幾個(gè)圖案有白色紙片有2020張？（寫出必要的步驟）【答案】（1）16張；（2）（3n+1）張；（3）673個(gè)【分析】（1）觀察圖形的變化可得第5個(gè)圖案中有白色紙片有3×5+1=16張；（2）結(jié)合（1）即可得規(guī)律，第n個(gè)圖案中有白色紙片（3n+1）張；（3）結(jié)合（2）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可求得白色紙片有2020張是第幾個(gè)圖案．【詳解】解：（1）觀察圖形的變化可知：第1個(gè)圖案中有白色紙片張數(shù)為：3×1+1=4；第2個(gè)圖案中有白色紙片張數(shù)為：3×2+1=7；第3個(gè)圖案中有白色紙片張數(shù)為：3×3+1=10；第4個(gè)圖案中有白色紙片張數(shù)為：3×4+1=13；第5個(gè)圖案中有白色紙片張數(shù)為：3×5+1=16；（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n個(gè)圖案中有白色紙片張數(shù)為：（3n+1）張．（3）根據(jù)（2）可知：3n+1=2020，解得n=673．答：第673個(gè)圖案有白色紙片有2020張．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型-圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律．13．（2021·石家莊市第四十四中學(xué)）如圖，從左向右依次擺放序號(hào)分別為1，2，3，…，的小桶，其中任意相鄰的四個(gè)小桶所放置的小球數(shù)之和相等．（1）求的值．（2）若，則這些小桶內(nèi)所放置的小球數(shù)之和是多少？（3）用含（為正整數(shù)）的代數(shù)式表示裝有“3個(gè)球”的小桶序號(hào)．【答案】（1）；（2）這些小桶內(nèi)所放置的小球數(shù)之和是105；（3）裝有“3個(gè)球”的小桶序號(hào)為．【分析】（1）根據(jù)任意相鄰的四個(gè)小桶所放置的小球數(shù)之和相等即可求解；（2）根據(jù)任意相鄰的四個(gè)小桶所放置的小球數(shù)之和相等，先求出前28個(gè)小桶的和，再加上后兩個(gè)球的個(gè)數(shù)即可；（3）根據(jù)第3,7,11…個(gè)小桶內(nèi)“3個(gè)球”即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律求解．【詳解】（1）依題意可得5+2+3+4=3+4+x+y故（2）∵30÷4=7……2∴，則這些小桶內(nèi)所放置的小球數(shù)之和是7×（5+2+3+4）+5+2=105；（3）∵任意相鄰的四個(gè)小桶所放置的小球數(shù)之和相等∴第3,7,11…個(gè)小桶內(nèi)“3個(gè)球”故含（為正整數(shù)）的代數(shù)式表示裝有“3個(gè)球”的小桶序號(hào)為3+4（n-1）=∴裝有“3個(gè)球”的小桶序號(hào)為．【點(diǎn)睛】此題主要考查代數(shù)式的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中任意相鄰的四個(gè)小桶所放置的小球數(shù)之和相等找到規(guī)律進(jìn)行求解．14．（2021·河北七年級(jí)期末）下列是用火柴棒拼出的一列圖形．仔細(xì)觀察，找出規(guī)律，解答下列各題：（1）第4個(gè)圖形中共有_______根火柴，第6個(gè)圖形中共有_______根火柴；（2）第n個(gè)圖形中共有_______根火柴（用含n的式子表示）；（3）請(qǐng)判斷上組圖形中前2021個(gè)圖形火柴總數(shù)是2021的倍數(shù)嗎？請(qǐng)說明理由．（參考：，例如求解）【答案】（1）17，25；（2）；（3）第2021個(gè)圖形火柴總數(shù)是2021的倍數(shù)，理由見解析．【分析】（1）觀察發(fā)現(xiàn)，每增加一個(gè)圖案，火柴增加3根，從而得到規(guī)律，代入求解即可；（2）根據(jù)（1）中規(guī)律即可得到；（3）求出前2021個(gè)圖形中火柴的總數(shù)即可求