2024年3月安徽省合肥市高三一模考試數(shù)學(xué)試卷及答案

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級教學(xué)質(zhì)量檢測（省外10）

數(shù)學(xué)

（滿分：150分考試時間：120分鐘）

2024.3

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2i,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和，若a3=3,53=3,則Si2=（）

A.144B.120C.100D.80

3.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2,/）,且p（2<XW2.5）=0.36,則P（X>1.5）=（）

A.0.14B.0.62C.0.72D.0.86

4.若雙曲線C：x2-g=1的焦距為4,則C的漸近線方程為（）

A.y=±\[15xB.y=i\/3xC.y=±^^xD.y=±乎x

,jr

5.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcosC=a（2—c）,且B=g,

則a=（）

A.1B.jC.小D.2

6.已知四面體ABCD的各頂點都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD=2S,

平面ABD,平面BCD,則該球的表面積是（）

A.100^B.407rC.20%D16%

7.已知直線1：x—ay—1=0與圓C：x?+y2—2x+4y—4=0交于A,B兩點，設(shè)弦AB

的中點為M,O為坐標原點，則OM的取值范圍是（）

4[3—小，3+小]8」小—1,出+1]C.[2-^3,2+^3]D[也―1,

啦+1]

8.已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+8）,且儀+丫應(yīng)*+丫）=*丫￡仁也丫）4（1）=6,記2=￡€）,

b=f（2）,c=f（3）,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.現(xiàn)有甲、乙兩家檢測機構(gòu)對某品牌的一款智能手機進行拆解測評，具體打分如下表（滿

分100分）.設(shè)事件M表示“從甲機構(gòu)測評分數(shù)中任取3個，至多1個超過平均分”，事件N

表示“從甲機構(gòu)測評分數(shù)中任取3個，恰有2個超過平均分”.下列說法正確的是（）

機構(gòu)名稱甲乙

分值90989092959395929194

A.甲機構(gòu)測評分數(shù)的平均分小于乙機構(gòu)測評分數(shù)的平均分

B.甲機構(gòu)測評分數(shù)的方差大于乙機構(gòu)測評分數(shù)的方差

C.乙機構(gòu)測評分數(shù)的第一四分位數(shù)為91.5

D.事件M,N互為對立事件

1

10.函數(shù)f(x)=x3—3(m￡R)的圖象可能是()

x

11.已知橢圓C：示+'=1的左、右頂點分別為A,B,左焦點為尸，/為C上異于A,

B的一點，過點M且垂直于無軸的直線與C的另一個交點為N,交x軸于點T,貝U()

A.存在點使/4Affi=120。B.TATB=2沆?禾

——4

C.FM-FN的最小值為一§D.△FMN周長的最大值為8

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知集合A={x|fW4},8={x|a—lWxWa+l},若AC2=。，貝i|a的取值范圍是

TT

13.已知函數(shù)段)=2sin(3x+9)(—兀<9<0)的一條對稱軸為直線x=z，當(dāng)xG[0,打時,於)

的最小值為一也，則t的最大值為.______________________

14.已知點A(X1,力)，3(X2,y2),定義dAB=7(制一丫2)2+(4—>1)'為A,B的“鏡

像距離”.若點A,B在曲線y=ln(x-a)+21.,且dAB的最小值為2,則實數(shù)a的值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

己知函數(shù)於)=編，”,當(dāng)x=l時，段)有極大值F.

(1)求實數(shù)a,b的值；

Y

(2)當(dāng)x>0時，求證：/(%)<]+冗.

16.(本小題滿分15分)

2

如圖，三棱柱ABCAICi中，四邊形ACG4,BCCB均為正方形，D,E分別是棱AB,

AiBi的中點，N為CiE上一點.

(1)求證：BN〃平面AOC；

(2)若AB=AC,CiE=3CiN,求直線DN與平面AQC所成角的正弦值.

3

17.(本小題滿分15分)

2023年9月26日，第十四屆中國(合肥)國際園林博覽會在合肥駱崗公園開幕.本屆園博

會以“生態(tài)優(yōu)先，百姓園博”為主題，共設(shè)有5個省內(nèi)展園、26個省外展園和7個國際展園，

開園面積近3.23平方公里.游客可通過乘坐觀光車、騎自行車和步行三種方式游園.

(1)若游客甲計劃在5個省內(nèi)展園和7個國際展園中隨機選擇2個展園游玩，記甲參觀

省內(nèi)展園的數(shù)量為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)為更好地服務(wù)游客，主辦方隨機調(diào)查了500名首次游園且只選擇一種游園方式的游

客，其選擇的游園方式和游園結(jié)果的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

游園方式

游園結(jié)果

觀光車自行車步行

參觀完所有展園808040

未參觀完所有展園20120160

用頻率估計概率.若游客乙首次游園，選擇上述三種游園方式的一種，求游園結(jié)束時乙

能參觀完所有展園的概率.

4

18.(本小題滿分17分)

已知拋物線C：/=2明。＞0)的焦點為P(0,1),過點歹的直線/與C交于A,B兩點，

過A,B作C的切線3h,交于點M,且/i,/2與x軸分別交于點。，E.

(1)求證：DE=MF；

(2)設(shè)點尸是C上異于A,3的一點，尸到直線八，h，/的距離分別為4，d2,d,求

的最小值.

5

19.(本小題滿分17分)

“q數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)q是非零實數(shù)，對任意"CN*,定義“q

數(shù)”.

(*=]+gH------

利用為數(shù)"可定義階乘”.

(〃)！g=(l)g(2)g…(明,且(0)!尸1.

和“q組合數(shù)”，即對任意kGN,"GN*,kWn,

5

⑴計算：%必

⑵求證：對于任意左，”GN*,左+1W”，

nn~1n~1

(,)產(chǎn)(/?%+/(占后

(3)求證：對于任意左，m^N,〃￡N*,Z+1W〃，

?+m+1nmjn~\~i

(%+1)廠4+1)產(chǎn)占qi()q.

k

6

2023?2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級教學(xué)質(zhì)量檢測(安徽合肥)

數(shù)學(xué)參考答案及評分標準

1.A2.B3.D4.B5.A6.C7.D8.A9.BD10.ABD11.BCD

12.(—8,-3)u(3,+°°)13.?14.1+^2

a—b—ax

15.(1)解：函數(shù)的定義域為(—8,+8),且,(x)=——―,

因為X=1時，犬龍)有極大值/,

f1

/(1)=]

所以je解得。=1,b=0,

j(1)=0,

經(jīng)檢驗，當(dāng)4=1,Z?=0時，“X)在x=l處有極大值F，

所以4=1,》=0.(6分)

Y

⑵證明：由⑴知，於尸最，

當(dāng)尤>0時，要證，即證,，即證e*>x+L

1十xe1十x

設(shè)g(x)=ex—x—1,則g%x)=ex—1,

因為x>0,所以/(%)=--1>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(0)=0,即ex—X—1>0,即ex>x+1,

Y

故當(dāng)x>0時，大尤)<]不：.(13分)

16.⑴證明:如圖，連接BE,BCi,DE.

因為A2〃AiS，且

又。，E分別是棱AB,AiS的中點，

所以且

所以四邊形3rHiE為平行四邊形，所以AQ〃EA

又AQu平面AQC,E2C平面4DC,所以EB〃平面AQC,

因為。E■〃區(qū)Bi〃CG，且。E=B8i=CG，

所以四邊形DCGE為平行四邊形，所以Ci￡〃C￡>,

又CDu平面AiDC,GEC平面AiDC,

所以GE〃平面AQC.

7

因為CiEnEB=E,CiE,EBu平面BEG,

所以平面BEG〃平面AiDC.

因為BNu平面BECi,所以BN//平面AXDC.（7分）

（2）解：因為四邊形ACG4,BCCYBi均為正方形，所以CG^AC,CC」BC.

所以CG_L平面ABC.

因為。E〃CG，所以。E_L平面ABC.

從而。E_L￡>8,DEIDC.

又AB=AC,所以△ABC為等邊三角形.

因為。是棱48的中點，

所以CD_L￡>A

即02,DC,DE兩兩垂直.

以。為原點，DB,DC,OE所在直線分別為尤，》z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系Dxyz.

設(shè)AB=2小，則。（0,0,0）,E（0,0,2小）,C（0,3,0）,Q（0,3,2?。?4（一小，

0,2^3）,

所以虎=(0,3,0),DAi=(一小,0,2小).

設(shè)"=(x,y,z)為平面AQC的法向量，

則卜DC=0,即『;0，可取“=(2,0,1).

n-DAi=0,1-^3%+2^32=0,

因為CiE=3GN,所以N（0,2,2?。?DN=（0,2,2?。?

設(shè)直線DN與平面AiDC所成角為0,

I”.而

則sin6=|cos〈〃，DN〉|=

\n\-\DN\

即直線ON與平面AiZJC所成角的正弦值為需。5分）

注：其它解法酌情給分.

17.解：（1）由題意知：X所有可能取值為0,1,2,且

P（X—0）—02-22，

“V八&G35

P(x=D=b=66，

8

尸(X=2)=普5

33'

所以X的分布列為

X012

7355

P

226633

73555

所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=OX^+1XTT+2X—=y.(8分)

乙乙UUDDU

(2)記事件A為“游客乙乘坐觀光車游園”，事件8為“游客乙騎自行車游園”，事件

。為“游客乙步行游園”，事件M為“游園結(jié)束時，乙能參觀完所有展園”，

則尸(A)=0.2,P(B)=0.4,尸(0=0.4.

尸(MA)=0.8,P(M]B)=0.4,P(M]Q=0.2.

由全概率公式，得P(M)=P(A)P(M|A)++P(C)P(M]0=0A.

所以游園結(jié)束時，乙能參觀完所有展園的概率為04(15分)

18.(1)證明：因為拋物線。的焦點為網(wǎng)0,1),

所以p=2,即。的方程為爐=4'

設(shè)點A(%i，yi),Bg")，由題意可設(shè)/：y=kx+l,

儼=4乃

由彳得，一4日一4=0,

[y=kx+l,

所以即+元2=4女，XlX2=14.

由一=分，得y=9x2,y=2%，

所以/i：廠丁1=會(x—X1),即爭.

令y=0,得%=會,即。搬，0),

同理，h：產(chǎn)當(dāng)入—今，且后片，0),

所以由一X2|=Tyj(^i+x2)2—4xiX2=2y[^+l.

x'=2k.

即M（2左，-1）.

—1,

所以M尸=、4F+4=2,1+1.

故DE=MF.(S分)

⑵解：設(shè)點P(xo,再)，結(jié)合(1)知，/i：廠y尸會(x—xi),即/i：2為冗一4廠屑=0.

因為舄=4%,焉=4次，

訴I9|211.0—4州一后||2xix()一日一君|Cxi-XQ)2

174丁+16,\/4xi+162yjxi+4

9

(%2-Xo)2

同理，dz=

2^/^2+4'

(Xl-Xo)2(X2-Xo)2[X1X2—Xo(冗1+%2)+x§]2

力-----—.-----—----

2y君+42:一+44(后務(wù)+4(焉+君)+16

(—4~4AXQ+J^)2

32.Q+1^

Ifcxp—yo+l|歐°4+"|4―0-焉+4|

.N+1yfl^+l4.F+1，

.[、⑼)(一4-4/o+()216(F+1)______N-+1

“d2321V+1.(4"。一扁+4)2—2^2,

當(dāng)且僅當(dāng)％=0時，等號成立.即直線/的斜率為0時，竿取最小值3.（17分）

注：其它解法酌情給分.

19.（1）解：由定義可知，

5（5）!2___________⑴2⑵2⑶2⑷2（5）2

（3）2=⑶！2⑵！2=[⑴2（2）2⑶2][⑴2⑵2]

(4)2⑸2(1+2+22+23)(1+2+22+23+24)

=155.(4分)

(1)2(2)2IX(1+2)

⑵證明：因為（:）產(chǎn)出二工）！，（幾）q?（〃-1）!

（左）！q（九一左）！

（二U片（I二：上）L+（d3