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文檔簡介

2024年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學全解全析

一'選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要

求的.

1.設集合4={中=也(》_3)},3={小4-1},則A(%2)=()

A.{止l<x<3}B.1x|x>-11C.{尤或x>3}D.{小>3}

【答案】B

【分析】先化簡集合,再利用集合的交并補運算求解即可,

【詳解】由題意得4={小>3},3={小4—1},又18={小>一1}

則Au(\3)={x[x>-1},故選:B.

2.關于復數(shù)z與其共輾復數(shù)彳,下列結論正確的是()

A.在復平面內,表示復數(shù)z和彳的點關于虛軸對稱

B.z-z>0

C.z+彳必為實數(shù),z—彳必為純虛數(shù)

D.若復數(shù)z為實系數(shù)一元二次方程ax-+bx+c^0的一根,則z也必是該方程的根

【答案】.D

【解析】對于選項A,表示復數(shù)z和彳的點關于實軸對稱,故錯誤:對于選項B、選項C,當z=0時均不成

立,故錯誤.故選D

3.已知向量a=(—2,4),b=(l,t),若a與方共線,則向量a+b在向量_/=(0,1)上的投影向量為()

A.jB.-jC.2jD.-2j

【答案】C

【解析】由向量a=(—2,4),力=(1,。,若a與B共線,則—2z—4=0,所以f=—2,

a+b=(-1,2),所以向量d+b在向量/=(0,1)上的投影向量為:

(a+b)-jj

故選:C

4."。/?>1”是“人〉工>0”()

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】當。>0時,由。6>1,可得人〉工〉0,

a

當。<0時,由次?>1,得/?<,<();

a

所以“H>1”不是2>!〉0”的充分條件.

a

1a>0

因為b>—>0={ab—l,所以次?>1,

a-------->0

、a

所以“ab>1”是“b〉工>0"的必要不充分條件.

a

故選:B.

【點睛】本題考查不等式性質與充分、必要條件的判定,還考查了理解辨析問題的能力,屬于基礎題.

5.有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應聘,若每人至多被一家企業(yè)錄用,每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、乙兩

人不能被同一家企業(yè)錄用,則不同的錄用情況種數(shù)是()

A.60B.114C.278D.336

【答案】D

【解析】命題意圖本題考查排列與組合的應用.

錄用3人,有C;團=60種情況;錄用4人,有。;戲團-容H=162種情況;錄用5人,有

(VFA;-CX)+(CX—C;A;)=114種情況.所以共有336種.

Ao

6.已知D-.父+丁―2ax—2a—1=0,點P(—3,0),若上總存在M,N兩點使得工PMN為等邊三

角形,則。的取值范圍是()

A.+oo)B.u[l,+oo)

C.(^?,-2]O[1,4<O)D.[-2,-l)C(-l,-H?)

【答案】B

【解析】。的標準方程為(x—a)2+y2=(a+i)2,

圓心坐標為。(a,0),半徑為r=|a+l|.

因為戶閘=|刖],|阿>|=|皿,所以APMDVAPND.

所以NMPD=NNPD=30°.

要使一。上總存在M,N兩點使得為等邊三角形,

則D上存在一點M,使得ZMPD=30°,

當與,。相切時,NMPD最大,此時/MP£)230°,

故sinNMPD=^2sin30o=5,gp|a+l|>l(a+3),

整理得3a2+2a—520,解得ae1—oo,-|D[1,+8).

故選:B.

7.已知△ABC中,ZBAC=60°,AB=2,Q是邊BC上的動點.若R4J_平面ABC,PA=0,且尸。

與面ABC所成角的正弦值的最大值為」5,則三棱錐P-A3C的外接球的表面積為()

3

A.4兀B.6兀C.87rD.9兀

【答案】B

【解析】三棱錐P—ABC中,PAL平面ABC,設直線PQ與平面ABC所成角為。,

???sin。的最大值是好,...Sin6=^=正4",解得PQ2百,

3PQPQ3

即PQ的最小值為石,AQ的最小值是1,即A到BC的距離為1,

直角三角形AABQ中,AB=2,所以/3AQ=60。,又NBAC=60。,

所以AQ重合,貝叱ACB=90。,

則AABC的外接圓圓心M為AB的中點,

o

又PA,平面ABC,從而外接球的球心。為PB的中點,

外接球的半徑R=OB=yjMB2+MO2=ABPA屈

三棱錐P-ABC的外接球的表面積S=4#2=4兀x二6兀.

故選:B.

8?在△ABC中,角A,3,C所對的邊分別為4c,且c=〃(2cosA+l),則下列結論錯誤的是()

A.A=2B

B.若a=6b,則△ABC為直角三角形

(五2拒、

D?若△ABC為銳角三角形,則一r的取值范圍為三,、-

aI237

【答案】C

【解析】對于A,△ABC中,由正弦定理得sinC=2sinBcosA+sinB,由sinC=sinlA+B),得

sinAcosB—cosAsinB=sinB.BPsin(A—=sinB,由。則sinB>0,故0<A—2?<兀,所

以4一5=5或4-3+3=%,即A=25或4=兀(舍去),即A=23,A正確:

對于3,結合A=23和正弦定理知,一=百乙=-3。53=且,又。<45<兀,

sinAsin2BsinB2

jrjr

故A=23=—,C=—,B正確;

32

對于C,在銳角,ABC中,0<3</,0<4=23<四,0<。=?!?3<三,即巴<§(巴,且<tan5<L

222643

,[1111—1+tan^jB

故吉勺,___._._._._._.__-______—__—__________=__________.>「1,錯Ci里錯.誤>a;

tanBtanAtanB2tanB2tanB

對于D,在銳角八48。中,由四<5(工,變<cos5〈無

6422

csinCsin3Bsin2BcosB+cos2BsiiiB"門1

—=-----二-------=--------------------------2cos3----------

asinAsin2Bsin2B2cosB

由對勾函數(shù)性質知,

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部

選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.己知函數(shù)/(x)=sin(2x+9)|。|<京,彳為函數(shù)/Xx)的一個極值點,貝”()

A.八2。)=5")B./(X)>f{(p)

=/(x)=一/(r)

左力工l??冗i.TC/.TC//與、r\^\??27r71?1/1/\1

9.ACr【解析】由二+0=彳+左乃,|例<彳,有0=7,f(2(p)=f\—=sm—+—/(。)=1,

3226<36J2

A正確,B錯誤;x=匹是函數(shù)圖象的對稱軸,C正確;(包,0〕是函數(shù)的對稱中心,D錯誤,選AC.

6U2J

22

10.已知雙曲線E:j-L=1(?!?)的左、右焦點別為耳,工,過點B的直線/與雙曲線石的

a-2

右支相交于RQ兩點,則()

A.若E的兩條漸近線相互垂直,則

B.若E的離心率為6,則E的實軸長為1

C.若/月尸&=90。,貝|)歸耳|.歸耳|=4

D.當。變化時,HPQ周長的最小值為8&

【答案】ACD

【解析】依題意,b=6,

A選項,若雙曲線的兩條漸近線相互垂直,所以2=l,a=b=母,故A正確;

a

解得。=1,所以實軸長2〃=2,故B錯誤;

.-歸閭=2。

C選項,若N£P6=90°,貝|J<」P耳舊尸國2=公2,

整理得2歸耳卜歸閭=4?—閭=4,故C正確;

PF-PF=la

D選項,根據(jù)雙曲線的定義可知,《X2

。4-QF2=2a

兩式相加得|P£|+|Q£|—|PQ|=4z,|?制+|Q周=4z+|FQ|,

所以£PQ周長為4a+2歸。|,

當PQ_L耳月時,|PQ|取得最小值竺=3

aa

所以4a+2盧。|24。+?22/4心§=8四,

Q

當且僅當4。=—,即。=行時,等號成立,

a

所以EPQ周長的最小值為8后,故D正確.

故選:ACD

11.在棱長為2的正方體ABC。-4月6。中,E尸分別是棱8C,8的中點,則()

A.8a與所是異面直線

B.存在點P,使得4尸=2尸產(chǎn),且2C//平面AP耳

C.4尸與平面耳即所成角的余弦值為遺

3

D.點耳到平面4跖的距離為[

【答案】BC

【解析】A選項,以A作坐標原點,ABAD,"所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,

4(2,0,2),A(0,2,2),E(2,l,0),4(l,2,0),A(0,0,2),3(2,0,0),C(2,2,0),

則BQ=(-2,2,0),EF=(-1,1,0),由于BR=2EF,故8Q與E尸平行,A錯誤;

B選項,設尸(x,y,z),因為4尸=2尸尸,所以(蒼)/一2)=2。一蒼2-%-2),

x=2-2x

即y=4—2y,解得x=2=:4,z=;2,故尸

z-2=-2zIT!)

設平面AP5]的法向量為根=(〃,仇c),

'/、(242、242

則《,(333)333,

m-ABX=(〃,/?,(?)?(2,0,2)=2。+2c=0

令a=l,則b=0,。=一1,則機=(1,0,-1),

因為BC?根=(0,2,0)。,0,—1)=0,故BC_Lm,5C7/平面AP用,

故存在點尸,使得4尸=2。尸,且5C//平面AP與,B正確;

C選項,平面與£5的法向量為;=。,0,0),

A尸/1(1,2,-2)-(1,0,0)11

故A尸與平面B.EB所成角的正弦值為—乂=一/"二-

A斗幾V1+4+43

則A尸與平面與防所成角的余弦值為3一];:=岑,C正確;

D選項,設平面4石廠的法向量為4=(西,%,zj,

nJ?rAE=(%,%,力(2,1,-2)=2占+%-24=0

則1

-EF=(x1,y1,z1)-(-l,l,0)=-x1+);1=0

令%=1,則%=1,4=3,故6

則點用到平面AEP的距離為

故選:BC

三'填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.

12.若二項式的展開式中二項式系數(shù)之和為64,則二項展開式中系數(shù)最大的項為

【答案】240

【解析】

n

【詳解】因為二項式X+的展開式中二項式系數(shù)之和為64,

(2Y

所以2"=64,得〃=6,所以二項式為卜+不

6--r

則二項式展開式的通項I;.=C"6fC?X2

C,2「2C「2「T1114

令第廠+1項的系數(shù)最大,則66,,,解得一《廠<一,

C;2r>C;+12r+133

N3,

因為reN,所以廠=4,則二項展開式中系數(shù)最大的項為4=或2晨P=240,所以填240

13.若函數(shù)/(X)=◎+sinx的圖像上存在兩條互相垂直的切線,則實數(shù)。是一

【答案】0

【解析】注意到,f'(x)=a+cosx.

若函數(shù)/(九)上存在兩條切線垂直,則存在再、X2^R,使得

=-1<?(?+co&Xj)(a+cosx2)=-1

0片+。(8炳+cosx2)+cosX|-cosx2+1=0

o(a+COSX1+COSX2j+i_(COSX]—cos%]=Q

ocos叫=-cosx2=±1,4=0.

故答案為0

14.已知石,%2是實數(shù),滿足X:+8x;-4石々=8,當|再|取得最大值時,歸+閭

【答案】5

【解析】工;+8考一4%1%2=8.

&—2々『+4考=8之(再-2彳+2々『

「.16N片,<4.

取等條件:卜一2々=2々,」玉=4,或『7,+5

為=±4,[九2—1-[x2=—1,

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知數(shù)列{%}的前"項和為S“,且對于任意的〃eN*都有3s〃=2a〃+l.

(1)求數(shù)列{4}的通項公式;

⑵記數(shù)列{%}的前〃項中的最大值為Mn,最小值為外,令勿="丁〃,求數(shù)列也}的前20項和T20.

【答案】⑴%=(-2產(chǎn)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)3s0=2%+1可得{4}是以公比為—2的等比數(shù)列,進而可求解,

(2)根據(jù)數(shù)列{4}的通項性質可對九分奇偶,進而可得mn,分組求和即可求解.

【小問1詳解】

對于任意的〃eN*都有3sL2q+1,

當〃22時,3s1=2%+1,兩式相減得3(S“—Si)=(2a.+1)—(2%_i+l),即

3an=2an-2an_x(n>2),

進而得4("之2),........................4分

當〃=1時,3s1=2%+1,故4=1,

所以數(shù)列{4}是以首項為1,公比為-2的等比數(shù)列,

所以%=(—2戶.......................6分

【小問2詳解】

11x

當九為奇數(shù)時,an=2-,且4〉。,當"為偶數(shù)時,an=-T-,且?!?lt;0,

因此當九為大于1的奇數(shù)時,{4}的前n項中的最大值為4=(-2廣,最小值為%T=(-2廣2,此時

M+ma+a

b_?n_?n-\

“_22

因此當九為偶數(shù)時,{4}的前n項中的最大值為/_]=(-2)7,

最小值為4=(—2廣,此時但==4一;芻.,.......................10分

當〃=1時,4=q,

因此也}的前20項和

品=4+他+&+-+九)+(4+&+d++%)=《+―

/\19

ai+aai+a^+a20_aS19+S20_1S19+S19+?20_1(-2)

222萬+^^-5+―2--幾+§+M

=BlT+L?…..........................................13分

1+2226

16.(15分)燈帶是生活中常見的一種裝飾材料,已知某款燈帶的安全使用壽命為5年,燈帶上照明的燈

珠為易損配件,該燈珠的零售價為4元/只,但在購買燈帶時可以以零售價五折的價格購買備用燈珠,該燈

帶銷售老板為了給某顧客節(jié)省裝飾及后期維護的支出,提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內更換的燈

珠數(shù)量的數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條燈帶更換

的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率,若該顧客買1盒此款燈帶,每盒有2條燈帶,記X表示這1盒燈帶在安全使用壽命

內更換的燈珠數(shù)量,〃表示該顧客購買1盒燈帶的同時購買的備用燈珠數(shù)量.

(2)若滿足P(X2“)<0.6的〃的最小值為人,求飛;

(3)在燈帶安全使用壽命期內,以購買替換燈珠所需總費用的期望值為依據(jù),比較"=1與"=%哪種

方案更優(yōu).

【答案】(1)分布列見解析;

(2)13;(3)"=%更優(yōu)

【解析】

【分析】(1)由條件確定隨機變量X可能取值,再求其取各值的概率,由此可得分布列;

(2)根據(jù)分布列結合條件求n的最小值;

(3)分別計算〃=%-1與〃=%時購買替換燈珠所需總費用的期望值,比較大小確定結論.

【小問1詳解】

設&表示1條燈帶在安全使用壽命內更換的燈珠數(shù)量,

則p(&=5)=P([=7)=P(&=8)=0.2,P([=6)=0.4,

X的取值范圍是{10,11,12,13,14,15,16},

p(x=10)=0.2x0.2=0.04,

尸(X=11)=2x0.2x0.4=0.16,

p(X=12)=0.42+2x0.2x0.2=0.24,

p(X=13)=2x(O.2xO.2+0.2x0.4)=0.24,

p(X=14)=0.22+2x0.4x02=0.2,

p(X=15)=2x0.2x0.2=0.08,

p(X=16)=0.2x0.2=0.04,

X的分布列為

X10111213141516

P0.040.160.240.240.20.080.04

......................................6分

【小問2詳解】由(1)可知「(乂212)=0.8,

P(X>13)=0.56,

故n()=13.......................................9分

【小問3詳解】

由(2)可知〃=%-1=12.

在燈帶安全使用壽命期內,當〃=12時,設購買替換燈珠所需總費用為u元,當〃=13時,設購買替換燈

珠所需總費用為v元,則上(“)=24+0.24x4+0.2x8+0.08x12+0.04x16=28.16,

E(v)=26+0.2x4+0.08x8+0.04x12=27.92.

£(V)<E(M),

故以購買替換燈珠所需總費用的期望值為依據(jù),“=%比〃=%-1的方案更優(yōu)。.................13分

17.(15分)如圖,在三棱柱A3C-4用£中,直線平面ABC,平面平面34GC.

⑴求證:AC_LBBl;

⑵若AC=BC^BC^l,在棱44上是否存在一點P,使二面角

3、萬。B,P

P-BC-C.的余弦值為土吧?若存在,求-v的值;若不存在,請說明理由.

io4與

B

17.【解析】⑴在平面BBCC中作5Z/LCG于H,

因為平面AA.C.C1平面BBgC,

且平面A&GCc平面BBgC=CG,

所以平面AACC,從而

AC1BH...........................................4分

在三棱柱ABC-A與G中,C1B-L平面ABC,ACu平面ABC,

所以AC,C13.

又因為BGc5"=5,所以A。,平面8gGC,因此

AC_LBB[...........................................7分

(2)由(1)可知,CA,CB,BC1兩兩垂直,如圖,以C為原點建立空間直角坐標系.

則42,0,0),5(0,2,0)6(0,2,2),4(0,4,2)用=BA=(2,-2,0).

設4尸=A=(22,-22,0),2e[0,1],

貝1JP(244—22,2)...........................................9分

設平面PBC的一個法向量為%=(x,y,z),

因為3P=(22,2-22,2),CB=(0,2,0),

n.-BP=0,2A-X+(2—2%)y+2z—0,

所以《即4

n「C3=0,2y=0,

z=-2x,

則有《

y=0.

令x=1,得%=(1,0,-4).10分

而平面BCG的一個法向量可以是n?=(1,0,0),

\|_E嚴1RI(1,0,-A).(1,0,0)3而

貝11皿(11],叫一F'解

同加:—W3

-2103

B.P1

即P為棱與A的三等分點,七=不.......................15分

A]4j

18.(17分)已知函數(shù),(%)=lnx-x+a.

⑴若直線y=(e-1)%與函數(shù)的圖象相切,求實數(shù)a的值;

⑵若函數(shù)g(x)=葉(X)有兩個極值點々和巧,且玉</,證明:%+無i>l+ln(五).(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

尤2

【答案】(1)2;(2)證明見解析.

【分析】(1)求出函數(shù)/(x)的導數(shù),利用導數(shù)的幾何意義結合已知求出a的值.

(2)求出函數(shù)g(x)及其導數(shù),確定g(x)有兩個極值點的條件,再由g'(xJ=0,g'(X2)=。變形并構造函數(shù),

利用導數(shù)推理論證即得.

【詳解】(1)依題意,設切點(無o,In%-%+a),求導得廣(無)=」一1,

X

則/(Xo)=,T=eT,解得尤o=L又/(尤0)=伯-1)%,(e-l)%0=lnx0-x0+a,貝lja=2,

x°e

所以實數(shù)a的值為2...............................................6分

(2)依題意,8(%)=取1!1彳-尤+0)的定義域為(0,+(?),

求導得g'(%)=lnx-x+a+d-l)x=lnx-2x+Q+l,

x

則/(%)=。有兩個不等的正根Xi,9,且是g'(X)的變號零點,

令/z(x)=ln%-2x+Q+l,x>0,求導得〃(%)二,一2,

x

當0<兀<!時,h\x)>0,當x>工時,hr(x)<0,

22

于是函數(shù)/X)在(0,1)上單調遞增,在(;,+⑹上單調遞減,

由函數(shù)獻尤)有兩個零點,得飄龍)1mx=〃(:)=a-ln2>0,解得a>ln2,..............................................9分

止匕時/z(e-3a)=_2a_2e3+l<]_21n2<0,令火a)=lna—a+l,求導得

a

當In2<a<1時,"(a)>0,

當a>l時,(p\d)<0,函數(shù)9(。)在(In2,1)上遞增,在(1,+oo)上遞減,

貝lj0(a)<0(1)=0,即Ina—a+l<0,h(2a)=In2a—3a+1=(Ina—a+1)+(In2—a)—。v0,

因此當a>ln2時,函數(shù)內(x)必有兩個零點為用,且是變號零點,由玉<馬,得0<4<(<三,

fln^-2^+?+l=0得1n2=2(-),令五=乙則

[Inx?~2尤2+。+1=0x?X2

一I/、入,In/tint、

于是2(在2—xJ=lnr,解得/=-,/,八,Xi、,,八,...................13分

Q+1)In1

因—>1+1畤),只需證>1+Inr

2(1)

3\nt-t]nt1只證-跑二

即-------------->1InrD<0,

2(D3—r

令/⑺=lnf一型—,0</<1,

.......................15分

3-t

14(37)2-4f(D"9)

求導得

43—)2*3-疔

因此函數(shù)p⑺在(0,1)上單調遞增,F(xiàn)(?)<F(l)=0,

17分

【點睛】思路點睛:涉及函數(shù)的雙零點問題,不管待證的是兩個變量的不等式,還是導函數(shù)的值的不等式,

都是把雙變量的等式或不等式轉化為一元變量問題求解,途徑都是構造一元函數(shù).

19.(17分)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家,他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中.

阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是已知動點”與兩定點Q,P的距離之比

翳^=2(2〉0,2W1),2是一個常數(shù),那么動點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓,圓心在直線PQ上.已知動

22

點M的軌跡是阿波羅尼斯圓,其方程為X2+/=4,定點分別為橢圓C:=+二=l(a>b>0)的右焦點

ab

產(chǎn)與右頂點A,且橢圓C的離心率為e=L.

2

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)如圖,過右焦點F斜率為k(k>0)的直線/與橢圓C相交于8,D(點B在x軸上方),點S,T是橢圓C上異

于B.D的兩點,SF平分/BSD,TF平分ZBTD.

\BF\

(1)求的取值范圍;

\DF\

(2)將點S、F、T看作一個阿波羅尼斯圓上的三點,若ASFT外接圓的面

積為手,求直線/的方程.

22口⑵

19.【答案】⑴土+乙=1⑵⑴y=叵X.%

8622

\(j—2\c+2

【解析】⑴方法⑴特殊值法,”(±2,。),用=心,且"2°,解得小2.

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