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文檔簡介
2024年高考第二次模擬考試
高三數(shù)學全解全析
一'選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要
求的.
1.設集合4={中=也(》_3)},3={小4-1},則A(%2)=()
A.{止l<x<3}B.1x|x>-11C.{尤或x>3}D.{小>3}
【答案】B
【分析】先化簡集合,再利用集合的交并補運算求解即可,
【詳解】由題意得4={小>3},3={小4—1},又18={小>一1}
則Au(\3)={x[x>-1},故選:B.
2.關于復數(shù)z與其共輾復數(shù)彳,下列結論正確的是()
A.在復平面內,表示復數(shù)z和彳的點關于虛軸對稱
B.z-z>0
C.z+彳必為實數(shù),z—彳必為純虛數(shù)
D.若復數(shù)z為實系數(shù)一元二次方程ax-+bx+c^0的一根,則z也必是該方程的根
【答案】.D
【解析】對于選項A,表示復數(shù)z和彳的點關于實軸對稱,故錯誤:對于選項B、選項C,當z=0時均不成
立,故錯誤.故選D
3.已知向量a=(—2,4),b=(l,t),若a與方共線,則向量a+b在向量_/=(0,1)上的投影向量為()
A.jB.-jC.2jD.-2j
【答案】C
【解析】由向量a=(—2,4),力=(1,。,若a與B共線,則—2z—4=0,所以f=—2,
a+b=(-1,2),所以向量d+b在向量/=(0,1)上的投影向量為:
(a+b)-jj
故選:C
4."。/?>1”是“人〉工>0”()
a
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷.
【詳解】當。>0時,由。6>1,可得人〉工〉0,
a
當。<0時,由次?>1,得/?<,<();
a
所以“H>1”不是2>!〉0”的充分條件.
a
1a>0
因為b>—>0={ab—l,所以次?>1,
a-------->0
、a
所以“ab>1”是“b〉工>0"的必要不充分條件.
a
故選:B.
【點睛】本題考查不等式性質與充分、必要條件的判定,還考查了理解辨析問題的能力,屬于基礎題.
5.有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應聘,若每人至多被一家企業(yè)錄用,每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、乙兩
人不能被同一家企業(yè)錄用,則不同的錄用情況種數(shù)是()
A.60B.114C.278D.336
【答案】D
【解析】命題意圖本題考查排列與組合的應用.
錄用3人,有C;團=60種情況;錄用4人,有。;戲團-容H=162種情況;錄用5人,有
(VFA;-CX)+(CX—C;A;)=114種情況.所以共有336種.
Ao
6.已知D-.父+丁―2ax—2a—1=0,點P(—3,0),若上總存在M,N兩點使得工PMN為等邊三
角形,則。的取值范圍是()
A.+oo)B.u[l,+oo)
C.(^?,-2]O[1,4<O)D.[-2,-l)C(-l,-H?)
【答案】B
【解析】。的標準方程為(x—a)2+y2=(a+i)2,
圓心坐標為。(a,0),半徑為r=|a+l|.
因為戶閘=|刖],|阿>|=|皿,所以APMDVAPND.
所以NMPD=NNPD=30°.
要使一。上總存在M,N兩點使得為等邊三角形,
則D上存在一點M,使得ZMPD=30°,
當與,。相切時,NMPD最大,此時/MP£)230°,
故sinNMPD=^2sin30o=5,gp|a+l|>l(a+3),
整理得3a2+2a—520,解得ae1—oo,-|D[1,+8).
故選:B.
7.已知△ABC中,ZBAC=60°,AB=2,Q是邊BC上的動點.若R4J_平面ABC,PA=0,且尸。
與面ABC所成角的正弦值的最大值為」5,則三棱錐P-A3C的外接球的表面積為()
3
A.4兀B.6兀C.87rD.9兀
【答案】B
【解析】三棱錐P—ABC中,PAL平面ABC,設直線PQ與平面ABC所成角為。,
???sin。的最大值是好,...Sin6=^=正4",解得PQ2百,
3PQPQ3
即PQ的最小值為石,AQ的最小值是1,即A到BC的距離為1,
直角三角形AABQ中,AB=2,所以/3AQ=60。,又NBAC=60。,
所以AQ重合,貝叱ACB=90。,
則AABC的外接圓圓心M為AB的中點,
o
又PA,平面ABC,從而外接球的球心。為PB的中點,
外接球的半徑R=OB=yjMB2+MO2=ABPA屈
三棱錐P-ABC的外接球的表面積S=4#2=4兀x二6兀.
故選:B.
8?在△ABC中,角A,3,C所對的邊分別為4c,且c=〃(2cosA+l),則下列結論錯誤的是()
A.A=2B
B.若a=6b,則△ABC為直角三角形
(五2拒、
D?若△ABC為銳角三角形,則一r的取值范圍為三,、-
aI237
【答案】C
【解析】對于A,△ABC中,由正弦定理得sinC=2sinBcosA+sinB,由sinC=sinlA+B),得
sinAcosB—cosAsinB=sinB.BPsin(A—=sinB,由。則sinB>0,故0<A—2?<兀,所
以4一5=5或4-3+3=%,即A=25或4=兀(舍去),即A=23,A正確:
對于3,結合A=23和正弦定理知,一=百乙=-3。53=且,又。<45<兀,
sinAsin2BsinB2
jrjr
故A=23=—,C=—,B正確;
32
對于C,在銳角,ABC中,0<3</,0<4=23<四,0<。=?!?3<三,即巴<§(巴,且<tan5<L
222643
,[1111—1+tan^jB
故吉勺,___._._._._._.__-______—__—__________=__________.>「1,錯Ci里錯.誤>a;
tanBtanAtanB2tanB2tanB
對于D,在銳角八48。中,由四<5(工,變<cos5〈無
6422
csinCsin3Bsin2BcosB+cos2BsiiiB"門1
—=-----二-------=--------------------------2cos3----------
asinAsin2Bsin2B2cosB
由對勾函數(shù)性質知,
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部
選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.己知函數(shù)/(x)=sin(2x+9)|。|<京,彳為函數(shù)/Xx)的一個極值點,貝”()
A.八2。)=5")B./(X)>f{(p)
=/(x)=一/(r)
左力工l??冗i.TC/.TC//與、r\^\??27r71?1/1/\1
9.ACr【解析】由二+0=彳+左乃,|例<彳,有0=7,f(2(p)=f\—=sm—+—/(。)=1,
3226<36J2
A正確,B錯誤;x=匹是函數(shù)圖象的對稱軸,C正確;(包,0〕是函數(shù)的對稱中心,D錯誤,選AC.
6U2J
22
10.已知雙曲線E:j-L=1(?!?)的左、右焦點別為耳,工,過點B的直線/與雙曲線石的
a-2
右支相交于RQ兩點,則()
A.若E的兩條漸近線相互垂直,則
B.若E的離心率為6,則E的實軸長為1
C.若/月尸&=90。,貝|)歸耳|.歸耳|=4
D.當。變化時,HPQ周長的最小值為8&
【答案】ACD
【解析】依題意,b=6,
A選項,若雙曲線的兩條漸近線相互垂直,所以2=l,a=b=母,故A正確;
a
解得。=1,所以實軸長2〃=2,故B錯誤;
.-歸閭=2。
C選項,若N£P6=90°,貝|J<」P耳舊尸國2=公2,
整理得2歸耳卜歸閭=4?—閭=4,故C正確;
PF-PF=la
D選項,根據(jù)雙曲線的定義可知,《X2
。4-QF2=2a
兩式相加得|P£|+|Q£|—|PQ|=4z,|?制+|Q周=4z+|FQ|,
所以£PQ周長為4a+2歸。|,
當PQ_L耳月時,|PQ|取得最小值竺=3
aa
所以4a+2盧。|24。+?22/4心§=8四,
Q
當且僅當4。=—,即。=行時,等號成立,
a
所以EPQ周長的最小值為8后,故D正確.
故選:ACD
11.在棱長為2的正方體ABC。-4月6。中,E尸分別是棱8C,8的中點,則()
A.8a與所是異面直線
B.存在點P,使得4尸=2尸產(chǎn),且2C//平面AP耳
C.4尸與平面耳即所成角的余弦值為遺
3
D.點耳到平面4跖的距離為[
【答案】BC
【解析】A選項,以A作坐標原點,ABAD,"所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
4(2,0,2),A(0,2,2),E(2,l,0),4(l,2,0),A(0,0,2),3(2,0,0),C(2,2,0),
則BQ=(-2,2,0),EF=(-1,1,0),由于BR=2EF,故8Q與E尸平行,A錯誤;
B選項,設尸(x,y,z),因為4尸=2尸尸,所以(蒼)/一2)=2。一蒼2-%-2),
x=2-2x
即y=4—2y,解得x=2=:4,z=;2,故尸
z-2=-2zIT!)
設平面AP5]的法向量為根=(〃,仇c),
'/、(242、242
則《,(333)333,
m-ABX=(〃,/?,(?)?(2,0,2)=2。+2c=0
令a=l,則b=0,。=一1,則機=(1,0,-1),
因為BC?根=(0,2,0)。,0,—1)=0,故BC_Lm,5C7/平面AP用,
故存在點尸,使得4尸=2。尸,且5C//平面AP與,B正確;
C選項,平面與£5的法向量為;=。,0,0),
A尸/1(1,2,-2)-(1,0,0)11
故A尸與平面B.EB所成角的正弦值為—乂=一/"二-
A斗幾V1+4+43
則A尸與平面與防所成角的余弦值為3一];:=岑,C正確;
D選項,設平面4石廠的法向量為4=(西,%,zj,
nJ?rAE=(%,%,力(2,1,-2)=2占+%-24=0
則1
-EF=(x1,y1,z1)-(-l,l,0)=-x1+);1=0
令%=1,則%=1,4=3,故6
則點用到平面AEP的距離為
故選:BC
三'填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.若二項式的展開式中二項式系數(shù)之和為64,則二項展開式中系數(shù)最大的項為
【答案】240
【解析】
n
【詳解】因為二項式X+的展開式中二項式系數(shù)之和為64,
(2Y
所以2"=64,得〃=6,所以二項式為卜+不
6--r
則二項式展開式的通項I;.=C"6fC?X2
C,2「2C「2「T1114
令第廠+1項的系數(shù)最大,則66,,,解得一《廠<一,
C;2r>C;+12r+133
N3,
因為reN,所以廠=4,則二項展開式中系數(shù)最大的項為4=或2晨P=240,所以填240
13.若函數(shù)/(X)=◎+sinx的圖像上存在兩條互相垂直的切線,則實數(shù)。是一
【答案】0
【解析】注意到,f'(x)=a+cosx.
若函數(shù)/(九)上存在兩條切線垂直,則存在再、X2^R,使得
=-1<?(?+co&Xj)(a+cosx2)=-1
0片+。(8炳+cosx2)+cosX|-cosx2+1=0
o(a+COSX1+COSX2j+i_(COSX]—cos%]=Q
ocos叫=-cosx2=±1,4=0.
故答案為0
14.已知石,%2是實數(shù),滿足X:+8x;-4石々=8,當|再|取得最大值時,歸+閭
【答案】5
【解析】工;+8考一4%1%2=8.
&—2々『+4考=8之(再-2彳+2々『
「.16N片,<4.
取等條件:卜一2々=2々,」玉=4,或『7,+5
為=±4,[九2—1-[x2=—1,
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知數(shù)列{%}的前"項和為S“,且對于任意的〃eN*都有3s〃=2a〃+l.
(1)求數(shù)列{4}的通項公式;
⑵記數(shù)列{%}的前〃項中的最大值為Mn,最小值為外,令勿="丁〃,求數(shù)列也}的前20項和T20.
【答案】⑴%=(-2產(chǎn)
【解析】
【分析】(1)根據(jù)3s0=2%+1可得{4}是以公比為—2的等比數(shù)列,進而可求解,
(2)根據(jù)數(shù)列{4}的通項性質可對九分奇偶,進而可得mn,分組求和即可求解.
【小問1詳解】
對于任意的〃eN*都有3sL2q+1,
當〃22時,3s1=2%+1,兩式相減得3(S“—Si)=(2a.+1)—(2%_i+l),即
3an=2an-2an_x(n>2),
進而得4("之2),........................4分
當〃=1時,3s1=2%+1,故4=1,
所以數(shù)列{4}是以首項為1,公比為-2的等比數(shù)列,
所以%=(—2戶.......................6分
【小問2詳解】
11x
當九為奇數(shù)時,an=2-,且4〉。,當"為偶數(shù)時,an=-T-,且?!?lt;0,
因此當九為大于1的奇數(shù)時,{4}的前n項中的最大值為4=(-2廣,最小值為%T=(-2廣2,此時
M+ma+a
b_?n_?n-\
“_22
因此當九為偶數(shù)時,{4}的前n項中的最大值為/_]=(-2)7,
最小值為4=(—2廣,此時但==4一;芻.,.......................10分
當〃=1時,4=q,
因此也}的前20項和
品=4+他+&+-+九)+(4+&+d++%)=《+―
/\19
ai+aai+a^+a20_aS19+S20_1S19+S19+?20_1(-2)
222萬+^^-5+―2--幾+§+M
=BlT+L?…..........................................13分
1+2226
16.(15分)燈帶是生活中常見的一種裝飾材料,已知某款燈帶的安全使用壽命為5年,燈帶上照明的燈
珠為易損配件,該燈珠的零售價為4元/只,但在購買燈帶時可以以零售價五折的價格購買備用燈珠,該燈
帶銷售老板為了給某顧客節(jié)省裝飾及后期維護的支出,提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內更換的燈
珠數(shù)量的數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條燈帶更換
的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率,若該顧客買1盒此款燈帶,每盒有2條燈帶,記X表示這1盒燈帶在安全使用壽命
內更換的燈珠數(shù)量,〃表示該顧客購買1盒燈帶的同時購買的備用燈珠數(shù)量.
(2)若滿足P(X2“)<0.6的〃的最小值為人,求飛;
(3)在燈帶安全使用壽命期內,以購買替換燈珠所需總費用的期望值為依據(jù),比較"=1與"=%哪種
方案更優(yōu).
【答案】(1)分布列見解析;
(2)13;(3)"=%更優(yōu)
【解析】
【分析】(1)由條件確定隨機變量X可能取值,再求其取各值的概率,由此可得分布列;
(2)根據(jù)分布列結合條件求n的最小值;
(3)分別計算〃=%-1與〃=%時購買替換燈珠所需總費用的期望值,比較大小確定結論.
【小問1詳解】
設&表示1條燈帶在安全使用壽命內更換的燈珠數(shù)量,
則p(&=5)=P([=7)=P(&=8)=0.2,P([=6)=0.4,
X的取值范圍是{10,11,12,13,14,15,16},
p(x=10)=0.2x0.2=0.04,
尸(X=11)=2x0.2x0.4=0.16,
p(X=12)=0.42+2x0.2x0.2=0.24,
p(X=13)=2x(O.2xO.2+0.2x0.4)=0.24,
p(X=14)=0.22+2x0.4x02=0.2,
p(X=15)=2x0.2x0.2=0.08,
p(X=16)=0.2x0.2=0.04,
X的分布列為
X10111213141516
P0.040.160.240.240.20.080.04
......................................6分
【小問2詳解】由(1)可知「(乂212)=0.8,
P(X>13)=0.56,
故n()=13.......................................9分
【小問3詳解】
由(2)可知〃=%-1=12.
在燈帶安全使用壽命期內,當〃=12時,設購買替換燈珠所需總費用為u元,當〃=13時,設購買替換燈
珠所需總費用為v元,則上(“)=24+0.24x4+0.2x8+0.08x12+0.04x16=28.16,
E(v)=26+0.2x4+0.08x8+0.04x12=27.92.
£(V)<E(M),
故以購買替換燈珠所需總費用的期望值為依據(jù),“=%比〃=%-1的方案更優(yōu)。.................13分
17.(15分)如圖,在三棱柱A3C-4用£中,直線平面ABC,平面平面34GC.
⑴求證:AC_LBBl;
⑵若AC=BC^BC^l,在棱44上是否存在一點P,使二面角
3、萬。B,P
P-BC-C.的余弦值為土吧?若存在,求-v的值;若不存在,請說明理由.
io4與
B
17.【解析】⑴在平面BBCC中作5Z/LCG于H,
因為平面AA.C.C1平面BBgC,
且平面A&GCc平面BBgC=CG,
所以平面AACC,從而
AC1BH...........................................4分
在三棱柱ABC-A與G中,C1B-L平面ABC,ACu平面ABC,
所以AC,C13.
又因為BGc5"=5,所以A。,平面8gGC,因此
AC_LBB[...........................................7分
(2)由(1)可知,CA,CB,BC1兩兩垂直,如圖,以C為原點建立空間直角坐標系.
則42,0,0),5(0,2,0)6(0,2,2),4(0,4,2)用=BA=(2,-2,0).
設4尸=A=(22,-22,0),2e[0,1],
貝1JP(244—22,2)...........................................9分
設平面PBC的一個法向量為%=(x,y,z),
因為3P=(22,2-22,2),CB=(0,2,0),
n.-BP=0,2A-X+(2—2%)y+2z—0,
所以《即4
n「C3=0,2y=0,
z=-2x,
則有《
y=0.
令x=1,得%=(1,0,-4).10分
而平面BCG的一個法向量可以是n?=(1,0,0),
\|_E嚴1RI(1,0,-A).(1,0,0)3而
貝11皿(11],叫一F'解
同加:—W3
-2103
B.P1
即P為棱與A的三等分點,七=不.......................15分
A]4j
18.(17分)已知函數(shù),(%)=lnx-x+a.
⑴若直線y=(e-1)%與函數(shù)的圖象相切,求實數(shù)a的值;
⑵若函數(shù)g(x)=葉(X)有兩個極值點々和巧,且玉</,證明:%+無i>l+ln(五).(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
尤2
【答案】(1)2;(2)證明見解析.
【分析】(1)求出函數(shù)/(x)的導數(shù),利用導數(shù)的幾何意義結合已知求出a的值.
(2)求出函數(shù)g(x)及其導數(shù),確定g(x)有兩個極值點的條件,再由g'(xJ=0,g'(X2)=。變形并構造函數(shù),
利用導數(shù)推理論證即得.
【詳解】(1)依題意,設切點(無o,In%-%+a),求導得廣(無)=」一1,
X
則/(Xo)=,T=eT,解得尤o=L又/(尤0)=伯-1)%,(e-l)%0=lnx0-x0+a,貝lja=2,
x°e
所以實數(shù)a的值為2...............................................6分
(2)依題意,8(%)=取1!1彳-尤+0)的定義域為(0,+(?),
求導得g'(%)=lnx-x+a+d-l)x=lnx-2x+Q+l,
x
則/(%)=。有兩個不等的正根Xi,9,且是g'(X)的變號零點,
令/z(x)=ln%-2x+Q+l,x>0,求導得〃(%)二,一2,
x
當0<兀<!時,h\x)>0,當x>工時,hr(x)<0,
22
于是函數(shù)/X)在(0,1)上單調遞增,在(;,+⑹上單調遞減,
由函數(shù)獻尤)有兩個零點,得飄龍)1mx=〃(:)=a-ln2>0,解得a>ln2,..............................................9分
止匕時/z(e-3a)=_2a_2e3+l<]_21n2<0,令火a)=lna—a+l,求導得
a
當In2<a<1時,"(a)>0,
當a>l時,(p\d)<0,函數(shù)9(。)在(In2,1)上遞增,在(1,+oo)上遞減,
貝lj0(a)<0(1)=0,即Ina—a+l<0,h(2a)=In2a—3a+1=(Ina—a+1)+(In2—a)—。v0,
因此當a>ln2時,函數(shù)內(x)必有兩個零點為用,且是變號零點,由玉<馬,得0<4<(<三,
fln^-2^+?+l=0得1n2=2(-),令五=乙則
[Inx?~2尤2+。+1=0x?X2
一I/、入,In/tint、
于是2(在2—xJ=lnr,解得/=-,/,八,Xi、,,八,...................13分
Q+1)In1
因—>1+1畤),只需證>1+Inr
2(1)
3\nt-t]nt1只證-跑二
即-------------->1InrD<0,
2(D3—r
令/⑺=lnf一型—,0</<1,
.......................15分
3-t
14(37)2-4f(D"9)
求導得
43—)2*3-疔
因此函數(shù)p⑺在(0,1)上單調遞增,F(xiàn)(?)<F(l)=0,
17分
【點睛】思路點睛:涉及函數(shù)的雙零點問題,不管待證的是兩個變量的不等式,還是導函數(shù)的值的不等式,
都是把雙變量的等式或不等式轉化為一元變量問題求解,途徑都是構造一元函數(shù).
19.(17分)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家,他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中.
阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是已知動點”與兩定點Q,P的距離之比
翳^=2(2〉0,2W1),2是一個常數(shù),那么動點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓,圓心在直線PQ上.已知動
22
點M的軌跡是阿波羅尼斯圓,其方程為X2+/=4,定點分別為橢圓C:=+二=l(a>b>0)的右焦點
ab
產(chǎn)與右頂點A,且橢圓C的離心率為e=L.
2
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)如圖,過右焦點F斜率為k(k>0)的直線/與橢圓C相交于8,D(點B在x軸上方),點S,T是橢圓C上異
于B.D的兩點,SF平分/BSD,TF平分ZBTD.
\BF\
(1)求的取值范圍;
\DF\
(2)將點S、F、T看作一個阿波羅尼斯圓上的三點,若ASFT外接圓的面
積為手,求直線/的方程.
22口⑵
19.【答案】⑴土+乙=1⑵⑴y=叵X.%
8622
\(j—2\c+2
【解析】⑴方法⑴特殊值法,”(±2,。),用=心,且"2°,解得小2.
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