2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)二項(xiàng)式定理知識(shí)梳理與題型歸納

2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)二項(xiàng)式定理知識(shí)

梳理與題型歸納

二項(xiàng)式定理有關(guān)知識(shí)是?？純?nèi)容之一。本文就二項(xiàng)式定理題

型進(jìn)行歸納總結(jié)，并對(duì)解法進(jìn)行探討，供參考。

知識(shí)點(diǎn)梳理

一、定理內(nèi)容

nnn22n

(Q+b)=+Ci10/+Cia-b+…+6那一「〃+…+Qb

二、基本概念

①二項(xiàng)式展開式：

等式右邊的多項(xiàng)式叫作(a+b)11的二項(xiàng)展開式

②二項(xiàng)式系數(shù)：

展開式中各項(xiàng)的系數(shù)中的仁"=o，i，2，…,m

③項(xiàng)數(shù)：

展開式第r+l項(xiàng)，是關(guān)于a,b的齊次多項(xiàng)式.

④通項(xiàng)：

展開式的第r+l項(xiàng)，記作為+i=%a*W(r=0,1,2，…,n)

三、幾個(gè)提醒

①項(xiàng)數(shù)：

展開式共有n+1項(xiàng).

②順序:

注意正確選擇a與b,其順序不能更改,

即：(a+b尸和(b+a)11是不同的.

③指數(shù)：

a的指數(shù)從n到0,降黑排列；

b的指數(shù)從0到n,升幕排列。

各項(xiàng)中a,b的指數(shù)之和始終為n.

④系數(shù)：

正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)：

二項(xiàng)式系數(shù)指各項(xiàng)前面的組合數(shù)；

項(xiàng)的系數(shù)指各項(xiàng)中除去變量的部分(含二項(xiàng)式系數(shù))。

⑤通項(xiàng)：

通項(xiàng)Tn=乙陵一是指展開式的第r+1項(xiàng).

四、常用結(jié)論

令a=1,b=尢，有：

(1+—C：+C^x++…+C\xr+…+C^xn

=l,b=-x,有：

(1+%)n=C：——…+C\xr+…+(—

由此可得貝努力不等式。當(dāng)X>J時(shí)，有：

n>l時(shí)，(l+x)n>l+nx;

0<n<l時(shí)，(l+x)%l+nx.

(貝努力不等式常用于函數(shù)不等式證明中的放縮)

五、幾個(gè)性質(zhì)

①二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)稱性：

展開式中，與首末兩項(xiàng)等距的任意兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等

rr_z'n-r

②二項(xiàng)式系數(shù)最大值：

「061「2rrz'n

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)Ln,Ln中，最中

間那一項(xiàng)（或最中間兩項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大。即：

n

n為偶數(shù)時(shí)，最大二項(xiàng)式系數(shù)為C：

n-1n+i

n為奇數(shù)時(shí)，最大二項(xiàng)式系數(shù)為C:，C『

③二項(xiàng)式系數(shù)和：

二項(xiàng)展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)和等于2n，即：

以+端+喘+…+%=2門

奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和，即：

+髭++…=段+%+瑞+?

=2"-1

（注：凡系數(shù)和問題均用賦值法處理）

④楊輝三角中的二項(xiàng)式系數(shù)：

4-1+%=CM

題型歸納

一、求二項(xiàng)展開式

例1求（3〃+專『的展開式.

解一.（3々+專）4=C:（3a）4+C；（3V5）3G）i+

4（3⑸遍）2+W（3可㈤3+4閡，

=81f+i08x+54+U+」

xx-

--K），=￥

C：（3X）4+以（3%尸+《（3無產(chǎn)+或（3%）1+《已無產(chǎn)

=81xz+108x+—+f+54

xx￡

二、求展開式的指定項(xiàng)

在二項(xiàng)展開式中，有時(shí)存在一些特殊的項(xiàng)，如常數(shù)項(xiàng)、有理

項(xiàng)、整式項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等等，這些特殊項(xiàng)的求解主要是

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tz,然后依據(jù)條件先確定r的

值，進(jìn)而求出指定的項(xiàng)。

例2.求(3C-專丫展開式的常數(shù)項(xiàng).

nrr

解：EBTr+1=C^a-b博：

Tr+1=圖3向6-r(_為「=禺36-r(_i尸㈣6-21

知6—2r=0,則r=3,

政常數(shù)項(xiàng)為一支36-3=-540.

說明：凡二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的問題，均直接使用通項(xiàng)公式

處理.

例3：在二項(xiàng)式@+療y的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系蜀

為45,求/的項(xiàng)的系數(shù).

解：由條件知。;2=45,即=45,—%—90=0

解得」=一9(舍去)或二=10,

_￡210-r2

由=。;°(/“嚴(yán)"(爐丁+「，

y=q0M

10_r2

由題，意---------1—r=3,解得r=6,

43

則含有％3的項(xiàng)是第7項(xiàng)北+1=q；%3=210/,系數(shù)為210

說明：對(duì)于位置指定的展開項(xiàng)問題，要注意用原式，底數(shù)中

項(xiàng)的順序不得隨意調(diào)整。

例4-求(X_1)—(九一1)一+(九-1)3_(九一1)4+(尤_

的展開式中尤2的系數(shù).

解：由O-1尸潺逋項(xiàng)7；+i=CJ；xn-r(-l)r

購(gòu)所求項(xiàng)的系數(shù)若：

+C|(-l)-*(—1)2+cl(—1)2=-20

例5.求(?+1)6(2%-1)5的展開式中“6項(xiàng)的系數(shù)

解：+1)6的逋項(xiàng)為(V%)6-r,

(2%-的逋項(xiàng)為G(2?5-S(-1)S,

J?d(V%+1)6(2X一1)5屐開天的通項(xiàng)為：

_16-F-2.

Q(V%)6-r1臉(2無)5-$(-1尸=(-1)SQ-C1(2f-sx~^~

由16-r-2s=6得廠+2S=4,

2

故一項(xiàng)的系數(shù)為V

c?CQ23-《?禺?24+廢?啜?25=640.

說明：積的展開式問題，一般分別計(jì)算兩個(gè)因式的通項(xiàng)。

練習(xí)：

1.求常數(shù)項(xiàng)

1、已知‘I一菽）n的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為

3

-訝，其中J=T,則展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）

A.—45i

B.45i

C.-45

D.45

解析：第三項(xiàng)、第五項(xiàng)的系數(shù)分別為C"f2、8（-1）4,由題意

有

3

Cl），R

整理得I?-5n-50=0

解得n=10

設(shè)常數(shù)項(xiàng)為Ri=C>x2X。?㈠尸

則有2

得r=8

故常數(shù)項(xiàng)為%（-y=*=45,選D。

2.求有理項(xiàng)

（火+」=尸，neN*

2、已知2板的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)

列，求展開式中所有的有理項(xiàng)。

解析：展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為叱

則由題意可得=&

gPn2-9n+8=0

解得n=8（n=l舍去）

于是小F（⑨r在）r=*）”T

4-二ru7

若心為有理項(xiàng)，貝IJ4,且0q48,所以r=O,4,8o

故展開式中所有的有理項(xiàng)為

3.求幕指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)

3、在（五+荻）”的展開式中，x的基指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有

（）

A.3項(xiàng)

4項(xiàng)

B

C項(xiàng)

5

D項(xiàng)

6

）2Z

（五

=%

T，

r+

：

解析

r

24-x

2

X3

X

=Cj

4

12-￡r

X6

=C%

。

選C

，故

整數(shù)

數(shù)為

幕指

，x的

24時(shí)

18,

2,

6,1

r=0,

所以

的項(xiàng)

最大

系數(shù)

4.求

N,

"，ne

—I）

（點(diǎn)+

式

二項(xiàng)

項(xiàng)的

第五

只有

中，

開式

的展

誠(chéng)

知

4、已

項(xiàng)。

大的

數(shù)最

中系

開式

該展

，求

最大

系數(shù)

有9

式共

展開

可知

大，

數(shù)最

式系

二項(xiàng)

項(xiàng)的

第五

只有

：由

解析

=8

故n

項(xiàng)，

急?

4所

又…

4

）叮年

=C吟

有

，則

最大

系數(shù)

項(xiàng)的

r+1

設(shè)第

嚴(yán)

華《

吟之

叫嚴(yán)

0（擠

3

2WrS

解得

3

或r=

r=2

所以

14,

又「€

項(xiàng)是

最大的

中系數(shù)

展開式

項(xiàng)式的

所以二

1

5

^

=7x

2,T

T=7X

4

3

數(shù)和

式中系

求展開

三、

項(xiàng)系

偶數(shù)

項(xiàng)、

奇數(shù)

或者

的和

系數(shù)

有項(xiàng)

中所

開式

求展

及到

在涉

值

擇“賦

，選

特征

結(jié)構(gòu)

目的

據(jù)題

以根

?？?/p>

，通

題時(shí)

的問

數(shù)和

。

解決

加以

法”來

例6.求(2/—1尸的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和.

解：諛(2*2-l)n

2n2n2n

=a0(2x)-。1(2*2尸一1+a2(2x)~---+an+1(-l)

令式中化=1,

n2n

港系數(shù)和的(2尸-%(2尸-1+a2(2)-一…+an+i(-l)

=(2-l)n=1

說明：系數(shù)和的問題，一般用賦值法，將式中的字母均賦值

為1即可。

此種思路同樣適用于底數(shù)為多項(xiàng)式的展開式。

例7.若(，|+落廠的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和

為1024,求它的中間項(xiàng)。

解：?.?《+《+屐…￡「+??.=C+C；+…+C產(chǎn)+…=2附-、

2"-1=1024,解得〃=11

中間兩個(gè)項(xiàng)分列為%=6,"=7,

4

則T5+1=C；(白甘(欄丫=462?x-，T6+1=462?『石

76

例8.已知(3%-1)7=a0x+a1xH-------1-a6x+a7

求①Q(mào)o+電++06

②%+%+

③1的1+1^11+1@1T----卜\a?\

776

解：令/(")=(3%—I)>=aox+a1xH-------1-a6x+a7

+a=7

效if⑴=%)+%+電+/+?45+?6+a72

f(—1)——(ZQ+Q]—0.2+儀3—(Z4+Q5—06+儀7=—4^

27_47

由/'(1)+/(—1)=di+CI3+05+如7=—2~—=—8128

7

27+4

f(1)—f1)—a。+電++06=~~2——8256

|@ol+|%|+|a2H---卜1^71

—(tig+U2+CI4+06)—31+如3+05+07)=16384

說明：分奇偶項(xiàng)求系數(shù)和時(shí)，一般分別對(duì)變量賦值為1和-

1,得方程組處理。

2x200422004

練習(xí)：若(I-)=a0+ajX+a2x+???+a2004x(x€R),

貝ij(a。+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+???+(a0+a2004)=(用數(shù)字作

答)。

解析：取X=0,得ao=l

2004

取x=l,得a。+ai+…+a2004=(1-2)=1

故

(a0+ai)+(a0+a2)+(a0+a3)+---+(a0+a2004)=2OO3ao+(a0+&!+--+a2004)

=2003+1=2004

四、求系數(shù)最大(最小)項(xiàng)

例9,若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系蝴等于79，求(；+2x)

的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)?

解：由C；+C；+C；=79,解幽改=12,假役卻1項(xiàng)最大,

???(；+2x)12=§)12(1+4x)12

.仆MJ。"。；*

14+]24+2一[。；24和。；廣4用

化落得:9.4<r<10.4,

XV0<r<12,r=10,

即展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為北一

有北=(勺2。行41晨1°=16896/

說明：系數(shù)最大或最小問題，一般可先設(shè)出最值項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，

再利用不等式的恒成立性，求得系數(shù)最大或最小項(xiàng)。

也可將二項(xiàng)式看成數(shù)列，利用數(shù)列單調(diào)性的思路確定其單調(diào)

性后處理。

例10.在(2%+3)2。的展開式中，

求其項(xiàng)的最大系數(shù)與最大二項(xiàng)式系數(shù)之比。

解：不妨令丁「+1>丁什2,即QO22°T?3r>2""'

解得：r>11.6

即當(dāng)時(shí)「+當(dāng)時(shí)「+

r>11.6T1>Tr+2；r<11.6Ti<Tr+2,

顯然，r=0,1,2,…，19

所以TTT

<2<???<T13>14>15>…>r21

即最大項(xiàng)為第73項(xiàng)712+1=clg(2x)8-312,

c1228312

20

最大項(xiàng)系數(shù)412+1

因?yàn)殄镩_式第21項(xiàng)，政最大二項(xiàng)式家數(shù)為第〃項(xiàng),

1o

其二項(xiàng)式系數(shù)為C2o

政所家之比為"：31?=A.28,312

(20T1

五、多項(xiàng)展開式

有些三項(xiàng)式展開問題可以先通過變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開問題

加以解決，對(duì)于多項(xiàng)的和或積的二項(xiàng)式問題，可通過“搭配”

解決，但要注意不重不漏。

例11:求(/+3%+2)5的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)

解一:（x2+3x+2）5=[（x2+2）+3x]5

+2尸（3村，

當(dāng)且僅約r=l時(shí)，1+1的屣開大中才有區(qū)的一次項(xiàng)，

此時(shí)7；+1=4=。；（必+2）匕%,

所以x潺一次項(xiàng)為C：C：243X,

改一次項(xiàng)系數(shù)為。；。：243=240o

解二：

（%2+女+2）5=（尢+1）5（＞+2）5=（^^+4^+…+CXC/+C^2+…+或子）

改屐開式中含x的項(xiàng)為C；XC；25+C5X24=240x,

所以屣開式中一次項(xiàng)系數(shù)為240.

解三：由荽項(xiàng)式乘法法網(wǎng)，得一次項(xiàng)為己（3%）,24=240方.

政屐開式中一次項(xiàng)系數(shù)為240.

說明：對(duì)于底數(shù)為多項(xiàng)式的展開式問題，如果能將底數(shù)變形

為二項(xiàng)式，則直接用二項(xiàng)式定理；如果底數(shù)不能變形，可以

采用上述三種方式處理。

其中解法三利用了多項(xiàng)式的乘法原理，更側(cè)重于對(duì)二項(xiàng)式定

理原理的理解和認(rèn)識(shí)，應(yīng)引起重視。

例12?求(2,+“—1)5展開式中％4項(xiàng)系數(shù).

解：(2x2+x—1—1^)為五個(gè)%-1)相乘，

共宥5個(gè)2比2,5個(gè)％,5個(gè)一2和5個(gè)—1.

X

若谷次從谷因穴中取的一項(xiàng)「共5項(xiàng)J相乘且再為含匯4項(xiàng)，

有灰下種情況：

4個(gè)”和I個(gè)-1,結(jié)案為廢“4.(—1)1=-5%4

I個(gè)2/、2個(gè)％和2個(gè)—1,結(jié)梁為底12x21C4X21(―I)2=60%

2個(gè)2爐和3個(gè)一1,結(jié)梁為牖(2/)2?(-1)3=-40比4

個(gè)爐和個(gè)一｝給梁為戲(()

32227)3.-12=80X4

見才含》4的項(xiàng)為_5%4_|_60%4-40x4+8Ox4=95x4.

政屣開式中X4項(xiàng)的系數(shù)為9￡

練習(xí)1、6+《十點(diǎn)"的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為

x222510

X1不5z+^2x+25[(X+-72)](x+42)

(：+-+/)=(----------)-------7-------------------------

解析：2x2x(2x)5儂尸

對(duì)于二項(xiàng)式(x+拘1°的展開式中

\l=C'.(必工

要得到常數(shù)項(xiàng)需10-r=5,則r=5

5

Cio?(V2)=6372

所以常數(shù)項(xiàng)為F-

練習(xí)2、在(1-區(qū))5+(1^)6+(1川7+(1—)8展開式中，含x?的項(xiàng)的

系數(shù)是()

A.74

B.121

C.-74

D.-121

解析：(-X)5+(1-X)6+(1-X)7+(1X)8的展開式中，含x3的項(xiàng)為

C|(-x)3+C|(-x)3+C|(-x)3+C|(-x)3--121x3,故選D。

六、整除性問題

例13:證明：3?冏+2—8〃一9(〃EN*)能被64整除.

證:32"+2-8/2-9=9"+1-8/7-9=(8+l)"+1-8^-9

=%8向+C38〃+…+°：：；82+CM81+C--8/7-9

=。；+]8用+。3濟(jì)+…+。竄82+8(/?+1)+1—即一9

=。38用+仁陽+...+。竄82

由亍各項(xiàng)均能被64整除，

所以32n+2-8%一9(〃EN*)熊狼64整除.

練習(xí)：已知數(shù)列｛aj和｛bj的通項(xiàng)公式分別為

an=3\bn=4n+3,將兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)按它們?cè)谠瓟?shù)列中的

先后順序排成一個(gè)新數(shù)列&｝,求院｝的通項(xiàng)公式(neN)

分析：B被A整除可視B=(a+b)\利用二項(xiàng)式定理將(a+b)"

表達(dá)式為A(…)+C,若C可被A整數(shù)，則B可被A整除，可

見提取公因式A乃關(guān)鍵所在。

解析：由于數(shù)列｛1＞由數(shù)列履」和的公共項(xiàng)組成，那么必

有a.=',即3m=4n+3,整理得

"”一5T則J必能被4整除。

由二項(xiàng)式定理知：

(4-1廣-3=。：鏟Y.4m-1+...+C^-14x(-l)m-1+C^

(-1葉-3=4x[C：4mT-弋?鏟-2+...+*1(-1嚴(yán)]+?(-1廣-3],于

是當(dāng)且僅當(dāng)m為奇數(shù)即m=2k+l(keN+)時(shí)，n才是整數(shù)，故

2n+1

cn=3(neN*)o

例13.求80”被9除的余數(shù).

涌不：80"=（81—1尸二C：81“一/81】。+…+。；：81—1二81左一1（左eZ）,

:氐€2,「.9生1€2,8產(chǎn)釵9除余&

練習(xí)1:今天是星期天，從今天起2加。。天后的第一天是星期

幾？

分析：先考慮2項(xiàng)。除以7的余數(shù)是多少，利用7天為一個(gè)