2022-2023學(xué)年上海市靜安區(qū)高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市靜安區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題（本題共8道小題，每小題4分，滿分32分）1.以為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．〖答案〗〖解析〗以為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，，，故〖答案〗為：.2.7個(gè)人站成一排，如果甲、乙2人必須站在兩端，有__________種排法.〖答案〗240〖解析〗先排甲和乙，有種排法，再排其他5人，有種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法.故〖答案〗為：240.3.過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的斜率為_(kāi)_____.〖答案〗或〖解析〗圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為1，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線：，此時(shí)直線與圓不相切，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，由題意，所以，平方化簡(jiǎn)得，解得或.故〖答案〗為：或.4.若雙曲線的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)，則的焦距為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是，故可設(shè)雙曲線的方程為：，把點(diǎn)代入雙曲線方程可得，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，，，，所以雙曲線的焦距為．故〖答案〗為：．5.已知曲線上一點(diǎn)，則在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗的導(dǎo)數(shù)為，該曲線在處的斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.6.一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和2個(gè)黑球.從口袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，則其中至少取到2個(gè)白球的概率為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由題意可得從口袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球共有種取法，其中至少取到2個(gè)白球的方法數(shù)有種，故其中至少取到2個(gè)白球的概率為.故〖答案〗為：.7.類(lèi)比教材中對(duì)圓雙曲線的“對(duì)稱(chēng)性”和“范圍”的研究，寫(xiě)出曲線的對(duì)稱(chēng)性和所在的范圍為_(kāi)_________．〖答案〗關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，〖解析〗由得，因?yàn)椋?，即，在曲線方程中，以代，得，與方程相同，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；以代，得，與原方程不同，所以曲線不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；以代，代，得，與原方程不同，所以曲線不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故〖答案〗為：關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，．8.已知某食品罐頭的體積是常量，其包裝是金屬材質(zhì)的圓柱形，假設(shè)該圓柱形的高和底半徑分別為和，為了使制作包裝的金屬材料最省，的值為_(kāi)_________.〖答案〗2〖解析〗設(shè)食品罐頭的體積是為常數(shù)）．由題意可得，圓柱的表面積．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，．故〖答案〗為：2．二、單選題（本題共3道小題，每小題4分，滿分12分）9.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）．A.－120 B.120 C.－60 D.60〖答案〗D〖解析〗的展開(kāi)式中的項(xiàng)為，令，解得，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D．10.已知物體的位移（單位：m）與時(shí)間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系，則物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槲矬w的位移（單位：m）與時(shí)間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系，所以，令，得.故選：A.11.如圖，封閉圖形的曲線部分是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸的長(zhǎng)為2的半個(gè)橢圓，設(shè)是該圖形上任意一點(diǎn)，則與線段的長(zhǎng)度的最大值最接近的是（）A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4〖答案〗C〖解析〗以AB為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：由題意，且橢圓焦點(diǎn)在y軸上，所以半橢圓方程為，，，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，所以，所以選項(xiàng)中與線段的長(zhǎng)度的最大值最接近的是.故選：C.三、解答題（本題共5道題，滿分56分）12.設(shè)橢圓C：過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為.（1）求C的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）將（0，4）代入C的方程得，∴=4，又得，即，∴A=5，

∴C的方程為．（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A，B，將直線方程代入C的方程，得，即，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，，即中點(diǎn)為．13.如圖是一座類(lèi)似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點(diǎn)離水面的高度為，橋面離水面的高度為.（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程；（2）求橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到）解：（1）設(shè)圓拱所在圓的圓心為，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，中垂線向上為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，設(shè)圓的半徑為，則，，，在直角中，，所以，解得，所以，所以圓拱方程為，.（2）由題意得，，令，得，所以，所以，所以.所以橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度約為367.4m.14.設(shè)，函數(shù).（1）請(qǐng)討論該函數(shù)的單調(diào)性；（2）求該函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，因?yàn)椋?，得，得，由，得，得，所以在上遞增，在上遞減；（2）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，由，得時(shí)，，由，得時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，綜上，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，.15.（1）已知是自然數(shù)，是正整數(shù)，且.證明組合數(shù)性質(zhì)：；（2）按（1）中的組合數(shù)性質(zhì)公式，有.請(qǐng)自編一個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題，使得與為該問(wèn)題的兩個(gè)不同的解法，并簡(jiǎn)要說(shuō)明解法的依據(jù).解：（1）等式左邊，等式右邊，等式左邊=等式右邊，原式得證.（2）計(jì)數(shù)問(wèn)題：一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的8個(gè)白球和1個(gè)黑球，從口袋取出4個(gè)球，有多少種不同取法？解法依據(jù)：對(duì)于，即從這9個(gè)球中直接取4個(gè)球，有種取法；對(duì)于，即第一類(lèi)為取4個(gè)白球，共種取法，第二類(lèi)為取3個(gè)白球，1個(gè)黑球，共種取法，共種取法.所以與為該問(wèn)題的兩個(gè)不同的解法.16.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中是非零常數(shù)，分別為直線的斜率.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程，并討論的形狀與值的關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，直線交曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若線段的長(zhǎng)度，的面積，求直線的方程.解：（1）設(shè)，因?yàn)椋瑒?dòng)點(diǎn)滿足：，分別為直線的斜率，所以，即，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.討論的形狀與值的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，的形狀為雙曲線；當(dāng)時(shí)，的形狀為焦點(diǎn)位于x軸的橢圓；當(dāng)時(shí)，的形狀為圓；當(dāng)時(shí)，的形狀為焦點(diǎn)位于y軸的橢圓；（2）當(dāng)時(shí)，的形狀為焦點(diǎn)位于y軸的橢圓，方程為.由題意知，直線斜率存在，聯(lián)立，則，，則，所以，所以，設(shè)到直線距離為，直線則，所以，平方得，代入上式得，則，平方得，即，所以，得，則，則，所以，此時(shí)成立，所以直線的方程為，即或或或.上海市靜安區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題（本題共8道小題，每小題4分，滿分32分）1.以為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．〖答案〗〖解析〗以為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，，，故〖答案〗為：.2.7個(gè)人站成一排，如果甲、乙2人必須站在兩端，有__________種排法.〖答案〗240〖解析〗先排甲和乙，有種排法，再排其他5人，有種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法.故〖答案〗為：240.3.過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的斜率為_(kāi)_____.〖答案〗或〖解析〗圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為1，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線：，此時(shí)直線與圓不相切，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，由題意，所以，平方化簡(jiǎn)得，解得或.故〖答案〗為：或.4.若雙曲線的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)，則的焦距為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是，故可設(shè)雙曲線的方程為：，把點(diǎn)代入雙曲線方程可得，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，，，，所以雙曲線的焦距為．故〖答案〗為：．5.已知曲線上一點(diǎn)，則在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗的導(dǎo)數(shù)為，該曲線在處的斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.6.一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和2個(gè)黑球.從口袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，則其中至少取到2個(gè)白球的概率為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由題意可得從口袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球共有種取法，其中至少取到2個(gè)白球的方法數(shù)有種，故其中至少取到2個(gè)白球的概率為.故〖答案〗為：.7.類(lèi)比教材中對(duì)圓雙曲線的“對(duì)稱(chēng)性”和“范圍”的研究，寫(xiě)出曲線的對(duì)稱(chēng)性和所在的范圍為_(kāi)_________．〖答案〗關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，〖解析〗由得，因?yàn)?，所以，即，在曲線方程中，以代，得，與方程相同，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；以代，得，與原方程不同，所以曲線不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；以代，代，得，與原方程不同，所以曲線不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故〖答案〗為：關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，．8.已知某食品罐頭的體積是常量，其包裝是金屬材質(zhì)的圓柱形，假設(shè)該圓柱形的高和底半徑分別為和，為了使制作包裝的金屬材料最省，的值為_(kāi)_________.〖答案〗2〖解析〗設(shè)食品罐頭的體積是為常數(shù)）．由題意可得，圓柱的表面積．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，．故〖答案〗為：2．二、單選題（本題共3道小題，每小題4分，滿分12分）9.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）．A.－120 B.120 C.－60 D.60〖答案〗D〖解析〗的展開(kāi)式中的項(xiàng)為，令，解得，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D．10.已知物體的位移（單位：m）與時(shí)間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系，則物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槲矬w的位移（單位：m）與時(shí)間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系，所以，令，得.故選：A.11.如圖，封閉圖形的曲線部分是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸的長(zhǎng)為2的半個(gè)橢圓，設(shè)是該圖形上任意一點(diǎn)，則與線段的長(zhǎng)度的最大值最接近的是（）A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4〖答案〗C〖解析〗以AB為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：由題意，且橢圓焦點(diǎn)在y軸上，所以半橢圓方程為，，，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以，所以選項(xiàng)中與線段的長(zhǎng)度的最大值最接近的是.故選：C.三、解答題（本題共5道題，滿分56分）12.設(shè)橢圓C：過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為.（1）求C的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）將（0，4）代入C的方程得，∴=4，又得，即，∴A=5，

∴C的方程為．（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A，B，將直線方程代入C的方程，得，即，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，，即中點(diǎn)為．13.如圖是一座類(lèi)似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點(diǎn)離水面的高度為，橋面離水面的高度為.（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程；（2）求橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到）解：（1）設(shè)圓拱所在圓的圓心為，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，中垂線向上為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，設(shè)圓的半徑為，則，，，在直角中，，所以，解得，所以，所以圓拱方程為，.（2）由題意得，，令，得，所以，所以，所以.所以橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度約為367.4m.14.設(shè)，函數(shù).（1）請(qǐng)討論該函數(shù)的單調(diào)性；（2）求該函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，因?yàn)?，由，得，得，由，得，得，所以在上遞增，在上遞減；（2）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，由，得時(shí)，，由，得時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，綜上，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，.15.（1）已知是自然數(shù)，是正整數(shù)，且.證明組合數(shù)性質(zhì)：；（2）按（1）中的組合數(shù)性質(zhì)公式，有.請(qǐng)自編一個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題，使得與為該問(wèn)題的兩個(gè)不同的解法，并簡(jiǎn)要說(shuō)明解法的依據(jù).解：（1）等式左邊，等式右邊，等式左邊=等式右邊，原式得證.（2）計(jì)數(shù)問(wèn)題：一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的8個(gè)白球和1個(gè)黑球，從口袋取出4個(gè)球，有多少種不同取法？解法依據(jù)：對(duì)于，即從這9個(gè)球中直接取4個(gè)球，有種取法；對(duì)于，即第一類(lèi)為取4個(gè)白球，共種取法，第二類(lèi)為取3個(gè)白球，1個(gè)黑球，共種取法，共種取法.所以與為該問(wèn)題的兩個(gè)不同的解法.16.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中是非零常數(shù)，分別為直線的斜率.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程，并討論的形狀與值