湖南省岳陽市汨羅市第一中學2023-2024學年高二下學期5月月考數學試題

2024年05月高二數學月考試題一．選擇題（共8小題，每題5分，共40分）1．已知U＝R是實數集，M＝{x|＞1}，N＝{x|y＝}，則陰影部分表示的集合是（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）2．已知四組不同數據的兩變量的線性相關系數r如下：數據組①的相關系數r1＝0；數據組②的相關系數r2＝﹣0.95；數據組③的相關系數|r3|＝0.89；數據組④的相關系數r4＝0.75．則下列說法正確的是（）A．數據組①對應的數據點都在同一直線上 B．數據組②中的兩變量線性相關性最強 C．數據組③中的兩變量線性相關性最強 D．數據組④中的兩變量線性相關性最弱3．鄭州綠博園花展期間，安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務，要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（）A．168種 B．156種 C．172種 D．180種4．在等差數列{an}中，若a4+a7+a10＝10，則a3+a11＝（）A．2 B．4 C．6 D．85．已知A（﹣3，0），B（0，2），O為坐標原點，點C在∠AOB內，||＝2，且∠AOC＝，設＝+（λ∈R），則λ的值為（）A．1 B． C． D．6．已知函數f（x）＝xm+lnx，若＝﹣2，則m＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣57．已知x＞0，y＞0，x3+y3＝x﹣y，則的最小值是（）A．2 B． C． D．8．已知某圓錐的內切球（球與圓錐側面、底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（）A．32π B．28π C．24π D．20π二．多選題（共4小題，每題5分，共20分）（多選）9．已知數列{an}滿足a1＝1，，則下列結論正確的有（）A．為等比數列 B．{an}的通項公式為 C．{an}為遞增數列 D．的前n項和（多選）10．記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a3＝2，S4＝14，則（）A．{an}是遞增數列 B．a1＝8 C．S5＝a2a3 D．|Sn|的最小值為3（多選）11．甲中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件．則下列結論中正確的是（）A． B． C．事件B與事件A1相互獨立 D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件（多選）12．已知函數f（x）＝πcosx﹣x2+2πx，則（）A．f（x）在上單調遞增 B．f（x）在上單調遞減 C．?x∈R，f（x）＜8 D．f（x）的極小值大于0三．填空題（共4小題，每題5分，共20分）13．給出下列四個結論：①若角α為第一象限的角，則角α必為銳角；②對任意的復數z，都有；③設α是空間一個平面，m，n是空間兩條不同的直線，且m?α．則“n∥m”是“n∥α”的充分條件；④在△ABC中，若A＜B，則sinA＜sinB．所有正確的結論序號為．14．已知函數f（x）的定義域為R，f'（x）為f（x）的導函數，若f（x）具有下列性質：①f（x）的值域為（﹣∞，1]；②f'（x）為奇函數；③對任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有f'（x1+x2）＝f'（x1）+f'（x2）．則f（x）的一個解析式為f（x）＝．15．若點P是棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1表面上的動點，點M是棱A1D1的中點，當AP⊥DM時，線段AP長度的最大值為．16．“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國古代典籍《莊子?天下》，其中蘊含著等比數列的相關知識．已知長度為4的線段AB，取AB的中點C，以AC為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為S1，在圖①中取CB的中點C1，以CC1為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為S2，以此類推，則S3＝；＝．四．解答題（共6小題，共70分）17．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（12分）（1）求C；（2）若△ABC的面積為，D為AC的中點，求BD的最小值．18．設數列{an}是等比數列，其前n項和為Sn．（12分）（1）從下面兩個條件中任選一個作為已知條件，求{an}的通項公式；①a1＝1，{2﹣Sn}是等比數列；②S2＝2a3+1，S3＝6a4+1．（2）在（1）的條件下，若bn＝a3n﹣1，求數列{bn}的前n項和Tn．19．某超市為了回饋新老顧客，決定在2023年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎派送禮品活動．為設計一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超市面向該市某中學學生征集活動方案，該中學某班數學興趣小組提供的方案獲得了征用．方案如下：將一個4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個相同的小正方體．經過攪拌后，從中任取兩個小正方體，記它們的著色面數之和為ξ，記抽獎一次中獎的禮品價值為η．（12分）（1）求P（ξ＝3）；（2）凡是元旦當天在該超市購買物品的顧客，均可參加抽獎．記抽取的兩個小正方體著色面數之和為6，設為一等獎，獲得價值30元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數之和為5，設為二等獎，獲得價值20元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數之和為4，設為三等獎，獲得價值10元的禮品，其他情況不獲獎．求某顧客抽獎一次獲得的禮品價值的分布列與數學期望．20．某企業(yè)積極響應“碳達峰”號召，研發(fā)出一款性能優(yōu)越的新能源汽車，備受消費者青睞．該企業(yè)為了研究新能源汽車在某地區(qū)每月銷售量y（單位：千輛）與月份x的關系，統(tǒng)計了今年前5個月該地區(qū)的銷售量，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．（12分）9.529.5185.6表中．（1）根據散點圖判斷兩變量x，y的關系用y＝a+bx與y＝c+dx2哪一個比較合適？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程（的值精確到0.1），并預測從今年幾月份起該地區(qū)的月銷售量不低于3.6萬輛？附：對于一組數據（x1，y1），（x2，y2），?，（xn，yn），其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為．21．已知拋物線E：y2＝4x，過點Q（2，0）作直線與拋物線E交于A，B兩點，點P是拋物線上異于A，B兩點的一動點，直線PA，PB與直線x＝﹣2交于M，N兩點．（12分）（1）證明：M，N兩點的縱坐標之積為定值；（2）求△MNQ面積的最小值．22．已知函數f（x）＝（x+1）e1﹣x．（10分）（1）求f（x）的極大值；（2）設m，n是兩個不相等的正數，且（m+1）en+（n+1）em＝4em+n﹣1，證明：m+n＜2．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1-5：ABBDD6-8:BCA二．多選題（共4小題）9：ABD．10：BCD．11：ABD．12：ACD．三．填空題（共4小題）13：②④．14：﹣x2+1（答案不唯一）．15：316：；×[﹣+]．四．解答題（共6小題）17【解答】解：（1）因為，所以，由正弦定理得，所以，即．又A∈（0，π），所以sinA≠0，所以sinC＝cosC，則tanC＝＝．由C∈（0，π），得．（2），所以ab＝40．在△BCD中，由余弦定理得：，當且僅當且ab＝40，即時取等號，所以BD的最小值為．18【解答】解：（1）設等比數列的公比為q，q≠0，若選①，根據{2﹣Sn}是等比數列可知，又a1＝1，故，故S1＝1，S2＝1+q，，故（2﹣1﹣q）2＝（2﹣1）（2﹣1﹣q﹣q2），即1﹣2q+q2＝1﹣q﹣q2，解得，故，此時，故{2﹣Sn}即為等比數列符合題意，故；若選②，由S2＝2a3+1，S3＝6a4+1可得S3﹣S2＝a3＝6a4﹣2a3，即，故，故，解得a1＝1，故；（2），故．19．【解答】解：（1）64個小正方體中，三面著色的有8個，兩面著色的有24個，一面著色的有24個，另外8個沒有著色，∴．（2）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，η的取值為30，20，10，0，，，，，所以隨機變量η的分布列為：η3020100P∴．20．【解答】解：（1）由散點圖可知，圖中點的分布不是一條直線，相鄰兩點的縱坐標的差值是增大趨勢，故y＝c+dx2比較合適．（2）令t＝x2，設y關于t的回歸方程為y＝c+dt，則，，，則＝，，故y關于t的回歸方程為y＝4+0.5t，令4+0.5x2≥36，解得x≥8或x≤﹣8（舍去），故估計從今年8月份期該地區(qū)的月銷售量不低于3.6萬輛．21【解答】解：（1）證明：設直線AB的方程為x＝my+2，聯(lián)立拋物線方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），P（s，t），可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，直線PA的斜率為＝＝，則直線PA的方程為y﹣t＝（x﹣s），令x＝﹣2，可得y＝t+（﹣2﹣s）＝，M（﹣2，），同樣可得N（﹣2，），可得M，N兩點的縱坐標之積為＝＝y(tǒng)1y2＝﹣8，即為定值﹣8；（2）△MNQ面積為S＝?4?|MN|＝2|MN|＝2|yM﹣yN|＝2|yM+|≥4＝8，當且僅當yM＝±2，△MNQ的面積取得最小值8．22．【解答】（1）解：因為的定義域為，當x＜0時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增，當x＞0時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減，所以，函數f（x）的極大值為f（0）＝e；（2）證明：因為（m+1）en+（n+1）em＝4em+n﹣1，則，即f（m）+f（n）＝4，由（1）知，函數f（x）在（﹣∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，因為m、n是兩個不相等的正數，且滿足f（m）+f（n）＝4，不妨設0＜m＜1＜n，構造函數g（x）＝f（x）+f（2﹣x），則，令h（x）＝g′（x），則，當0＜x＜1時，1﹣x＞0＞x﹣1，則h′（x）＜0，此時函數h（x）單調遞減