2023屆湖南省長(zhǎng)沙市A佳教育聯(lián)盟高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版） - 副本

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長(zhǎng)沙市A佳教育聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.為了給熱愛(ài)朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（）A.B.C.D.4.建筑學(xué)中必須要對(duì)組合墻的平均隔聲量進(jìn)行設(shè)計(jì).組合墻是指帶有門或窗等的隔墻，假定組合墻上有門?窗及孔洞等幾種不同的部件，隔墻及各種部件的面積分別為（單位：），其相應(yīng)的透射系數(shù)分別為，則組合墻各部分的透射系數(shù)的平均值為：，于是組合墻的平均隔聲量（單位：）可用公式：估算而得.已知某墻的透射系數(shù)為，面積為，在墻上有一扇門和窗，門的透射系數(shù)為，面積為，窗的透射系數(shù)為，面積為，則組合墻的平均隔聲量約為（）注：A.18.322B.26.990C.33.010D.44.3025.在平面四邊形中，，若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，（）A.B.C.D.7.數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.8.如圖所示，雙曲線與拋物線有公共焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)與拋物線相交于點(diǎn)，若，雙曲線的離心率為，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)據(jù)的極差?平均數(shù)?眾數(shù)?第80百分位數(shù)分別是，數(shù)據(jù)的極差?平均數(shù)?眾數(shù)?第80百分位數(shù)分別是，且滿足，則（）A. B.C. D.10.已知直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為，直線，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，圓上存在三點(diǎn)到直線距離等于的充要條件是C.當(dāng)時(shí)，直線上存在點(diǎn)使，則或D.若有且只有一條直線被圓截得弦長(zhǎng)為，則11.設(shè)為兩個(gè)正數(shù)，定義的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，這是我們熟知的基本不等式.上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中為有理數(shù).下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.12.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.若關(guān)于的方程恰有1個(gè)解，則或C.函數(shù)的圖象與直線可能有2個(gè)交點(diǎn)D.若，且，則存在最小值三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為正數(shù)，的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，則常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.14.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明.經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有關(guān)于方程表示的曲線是橢圓，則的取值范圍為_(kāi)_________.15.在棱長(zhǎng)為3的正方體中，為棱上一點(diǎn)，且，則正方體表面到點(diǎn)距離為的點(diǎn)的軌跡總長(zhǎng)度為_(kāi)_________.16.已知為等腰直角三角形，為線段的中點(diǎn)，，點(diǎn)分別在線段上，且，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（含端點(diǎn)位置），的最大值為_(kāi)_________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足：我們稱其為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”.例如：數(shù)列為4項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列為5項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”.設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)等于.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求.18.（12分）2022年12月26日常益長(zhǎng)高鐵開(kāi)通試運(yùn)營(yíng)儀式在常德舉行，標(biāo)志著我省邁入“市市通高鐵”的新時(shí)代.常益長(zhǎng)高鐵全線長(zhǎng)157公里，共設(shè)有常德站?漢壽站?益陽(yáng)南站?寧鄉(xiāng)西站?長(zhǎng)沙西站5個(gè)車站.在試運(yùn)營(yíng)期間，鐵路公司隨機(jī)選取了乘坐常德開(kāi)往長(zhǎng)沙西站次復(fù)興號(hào)列車的200名乘客，記錄了他們的乘車情況，得到下表（單位：人）：下車站上車站漢壽站益陽(yáng)南站寧鄉(xiāng)西站長(zhǎng)沙西站總計(jì)常德站1020104080漢壽站10102040益陽(yáng)南站104050寧鄉(xiāng)西站.3030總計(jì)103030130200用頻率代替概率，根據(jù)上表解決下列問(wèn)題：（1）在試營(yíng)運(yùn)期間，從常德上車的乘客中任選3人，設(shè)這3人到長(zhǎng)沙西站下車的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（2）已知德山經(jīng)開(kāi)區(qū)的居民到常德站乘車的概率為0.6，到漢壽站乘車的概率為0.4，若經(jīng)過(guò)益陽(yáng)南站后高鐵上有一位來(lái)自德山經(jīng)開(kāi)區(qū)的乘客，求該乘客到長(zhǎng)沙西站下車的概率.（3）為了研究各站客流量的相關(guān)情況，用表示所有在漢壽站上下車的乘客的上?下車情況，“”表示上車，“”表示下車.相應(yīng)地，用分別表示在益陽(yáng)南站，寧鄉(xiāng)西站上?下車情況，比較方差大小關(guān)系.19.（12分）已知三棱臺(tái)中，底面，分別是的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn).（1）求證：；（2）若是線段的中點(diǎn)，平面與的交點(diǎn)記為，求二面角的余弦值.20.（12分）如圖，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足.（1）求；（2）在所在平面上存在點(diǎn)，連接，若，，求的面積.21.（12分）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，的面積為3.（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與直線分別交于點(diǎn).若點(diǎn)四點(diǎn)共圓，求實(shí)數(shù)的值.22.（12分）設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知有極大值為1，設(shè)，若，且，證明：.——★參考答案★——一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.C〖解析〗因此.故選：C.2.A〖解析〗所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.3.B〖解析〗由題意設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，設(shè)六棱柱的高為，正六棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為，正六棱錐的母線長(zhǎng)為正六棱錐的側(cè)面積正六棱柱的側(cè)面積，故選：B.4.B〖解析〗由題意得：組合墻的透射系數(shù)的平均值：，故組合墻的平均隔聲量為，故選：B.5.C〖解析〗由題，又，則，則中由余弦定理得，又，所以為正三角形，故以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)，則，則，則當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)時(shí)，取最大值3，故.故選：C.6.C〖解析〗由可知，即，即.，，兩式相減可得，因?yàn)楣蕦⒋氲茫?，所以函?shù)，則故選：C.7.D〖解析〗得，又，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B正確；由得，選項(xiàng)C正確；由，，得，選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.8.B〖解析〗根據(jù)題意，如圖：因?yàn)殡p曲線和拋物線共焦點(diǎn)，故可得，又到的距離，即，又，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，則，解得；由可得，則由等面積可知：，解得，則，則，又點(diǎn)在漸近線上，即，即，又，聯(lián)立得，即，解得，故.故選：B.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可知，兩組數(shù)據(jù)滿足，由平均數(shù)計(jì)算公式得，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)，由眾數(shù)知識(shí)得，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)于數(shù)據(jù)，，假設(shè)其第80百分位數(shù)為，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，，當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，設(shè)其整數(shù)部分為，則，所以對(duì)于數(shù)據(jù)，假設(shè)其第80百分位數(shù)為，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，，當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，設(shè)其整數(shù)部分為，則，所以，故D正確.故選：BCD.10.BC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，圓心到直線距離為，圓上存在三點(diǎn)到直線距離等于，所以圓上存在三點(diǎn)到直線距離等于的充要條件是故正確；對(duì)于選項(xiàng)，直線存在點(diǎn)使，當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，只需此時(shí)，即，所以圓心到直線距離，解得或，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，該直線過(guò)圓心或垂直于，圓心到直線距離為或，所以或，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.AC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由可知，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.ABD〖解析〗由函數(shù)，可得，函數(shù)的圖象如下圖所示.對(duì)于選項(xiàng)，由圖可知，和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，若函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，可得或，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線為，函數(shù)在處的切線為，如圖中虛線所示，易知當(dāng)，即時(shí)，的圖象與直線恰有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，令，得，令，則，由二次函數(shù)的圖象及零點(diǎn)存在定理可知，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)，即時(shí)，令，設(shè)，則（僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；故錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)，由，則，則，設(shè)，則，設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以存在最小值，故D正確；故選：ABD.三?填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.60〖解析〗的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，且為正數(shù)，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：60.14.〖解析〗方程，則，可得動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離的比為常數(shù)，由橢圓的定義，可得，解得.故〖答案〗為：.15.〖解析〗以為球心，為半徑的球與正方體表面的交線長(zhǎng)度即為所求，在平面和平面上軌跡是以為圓心，為半徑，圓心角為的兩段弧，弧長(zhǎng)為，在平面上的軌跡是以為圓心，1為半徑，圓心角為的弧，弧長(zhǎng)為，在平面上的軌跡是以為圓心，2為半徑，圓心角為的弧，弧長(zhǎng)為，因此，軌跡的總長(zhǎng)度為.16.〖解析〗為等腰直角三角形，為線段的中點(diǎn)，，所以，設(shè)，則，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，則，在與中，易得，，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.解：（1）由，得，則，又，則，所以，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列..則，則時(shí)，.當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，的通項(xiàng)公式為.（2）由題知：是以8為末項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以解得，所以，所以所以，即.解得.18.（1）解：從常德上車的乘客到長(zhǎng)沙西站下車的概率，所以，根據(jù)頻率估計(jì)概率，從常德上車的乘客中任選3人，設(shè)這3人到長(zhǎng)沙西站下車的人數(shù)，所以其概率分布列如下：0123（2）解：記事件A：該乘客在過(guò)益陽(yáng)南站后到長(zhǎng)沙西站下車，記事件：該乘客在常德站上車，記事件：該乘客在漢壽站上車.所以，，由表中數(shù)據(jù)可知，經(jīng)過(guò)益陽(yáng)南站后，從常德站上車的乘客還有50人，40人在長(zhǎng)沙西站下車；從漢壽站上車，經(jīng)過(guò)益陽(yáng)南站后，乘客還有30人，其中在長(zhǎng)沙西站下車的有20人；所以，，所以，，所以該乘客到長(zhǎng)沙西站下車的概率.（3）兩點(diǎn)分布：.19.解：（1）如圖所示：取線段的中點(diǎn)，連接，易得，所以四點(diǎn)共面.因?yàn)椋?，又因?yàn)榈酌嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，所以平面，因?yàn)槠矫妫砸驗(yàn)?，又因?yàn)?，所以四邊形是正方形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?；所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連接，則與的交點(diǎn)即為.由分別為和的中點(diǎn)知為線段的三等分點(diǎn)，且.由（1）知，所以兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面的法向量，則取，則同理可求得平面的法向量，.設(shè)二面角為，由圖易知為銳角，所以，所以二面角的余弦值為20.解：（1）由，得，根據(jù)正弦定理，得.·因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，所以，則.又是三角形內(nèi)角，（2）令，四邊形內(nèi)角和為，由（1）的結(jié)論知：①在中，由正弦定理得：，在中，，又，將①代入得：，即，21.解：（1）當(dāng)軸時(shí)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，代入雙曲線方程，可得，即，由題意，可得.解得，雙曲線的方程為：；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，.則，且因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以，又，所以，故以，即，所以又直線，令，得，同理，故，其中，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.22.（1）解：，定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，可得，則，解得令，解得，.綜上，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）證明：由（1）得的極大值為，所以，即，記，則，易知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.且.當(dāng)時(shí)，，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，·所以，即，所以在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，因?yàn)椋杂孝倩颌趦煞N情況，當(dāng)①時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以.當(dāng)②時(shí)，由，得，所以，則，由，所以，.令，則所以，即在上單調(diào)遞減，且當(dāng)趨向于1時(shí)趨向于0，則所以，則，即，綜上可得當(dāng)，且時(shí)，.湖南省長(zhǎng)沙市A佳教育聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.為了給熱愛(ài)朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（）A.B.C.D.4.建筑學(xué)中必須要對(duì)組合墻的平均隔聲量進(jìn)行設(shè)計(jì).組合墻是指帶有門或窗等的隔墻，假定組合墻上有門?窗及孔洞等幾種不同的部件，隔墻及各種部件的面積分別為（單位：），其相應(yīng)的透射系數(shù)分別為，則組合墻各部分的透射系數(shù)的平均值為：，于是組合墻的平均隔聲量（單位：）可用公式：估算而得.已知某墻的透射系數(shù)為，面積為，在墻上有一扇門和窗，門的透射系數(shù)為，面積為，窗的透射系數(shù)為，面積為，則組合墻的平均隔聲量約為（）注：A.18.322B.26.990C.33.010D.44.3025.在平面四邊形中，，若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，（）A.B.C.D.7.數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.8.如圖所示，雙曲線與拋物線有公共焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)與拋物線相交于點(diǎn)，若，雙曲線的離心率為，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)據(jù)的極差?平均數(shù)?眾數(shù)?第80百分位數(shù)分別是，數(shù)據(jù)的極差?平均數(shù)?眾數(shù)?第80百分位數(shù)分別是，且滿足，則（）A. B.C. D.10.已知直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為，直線，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，圓上存在三點(diǎn)到直線距離等于的充要條件是C.當(dāng)時(shí)，直線上存在點(diǎn)使，則或D.若有且只有一條直線被圓截得弦長(zhǎng)為，則11.設(shè)為兩個(gè)正數(shù)，定義的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，這是我們熟知的基本不等式.上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中為有理數(shù).下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.12.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.若關(guān)于的方程恰有1個(gè)解，則或C.函數(shù)的圖象與直線可能有2個(gè)交點(diǎn)D.若，且，則存在最小值三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為正數(shù)，的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，則常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.14.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明.經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有關(guān)于方程表示的曲線是橢圓，則的取值范圍為_(kāi)_________.15.在棱長(zhǎng)為3的正方體中，為棱上一點(diǎn)，且，則正方體表面到點(diǎn)距離為的點(diǎn)的軌跡總長(zhǎng)度為_(kāi)_________.16.已知為等腰直角三角形，為線段的中點(diǎn)，，點(diǎn)分別在線段上，且，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（含端點(diǎn)位置），的最大值為_(kāi)_________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足：我們稱其為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”.例如：數(shù)列為4項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列為5項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”.設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)等于.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求.18.（12分）2022年12月26日常益長(zhǎng)高鐵開(kāi)通試運(yùn)營(yíng)儀式在常德舉行，標(biāo)志著我省邁入“市市通高鐵”的新時(shí)代.常益長(zhǎng)高鐵全線長(zhǎng)157公里，共設(shè)有常德站?漢壽站?益陽(yáng)南站?寧鄉(xiāng)西站?長(zhǎng)沙西站5個(gè)車站.在試運(yùn)營(yíng)期間，鐵路公司隨機(jī)選取了乘坐常德開(kāi)往長(zhǎng)沙西站次復(fù)興號(hào)列車的200名乘客，記錄了他們的乘車情況，得到下表（單位：人）：下車站上車站漢壽站益陽(yáng)南站寧鄉(xiāng)西站長(zhǎng)沙西站總計(jì)常德站1020104080漢壽站10102040益陽(yáng)南站104050寧鄉(xiāng)西站.3030總計(jì)103030130200用頻率代替概率，根據(jù)上表解決下列問(wèn)題：（1）在試營(yíng)運(yùn)期間，從常德上車的乘客中任選3人，設(shè)這3人到長(zhǎng)沙西站下車的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（2）已知德山經(jīng)開(kāi)區(qū)的居民到常德站乘車的概率為0.6，到漢壽站乘車的概率為0.4，若經(jīng)過(guò)益陽(yáng)南站后高鐵上有一位來(lái)自德山經(jīng)開(kāi)區(qū)的乘客，求該乘客到長(zhǎng)沙西站下車的概率.（3）為了研究各站客流量的相關(guān)情況，用表示所有在漢壽站上下車的乘客的上?下車情況，“”表示上車，“”表示下車.相應(yīng)地，用分別表示在益陽(yáng)南站，寧鄉(xiāng)西站上?下車情況，比較方差大小關(guān)系.19.（12分）已知三棱臺(tái)中，底面，分別是的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn).（1）求證：；（2）若是線段的中點(diǎn)，平面與的交點(diǎn)記為，求二面角的余弦值.20.（12分）如圖，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足.（1）求；（2）在所在平面上存在點(diǎn)，連接，若，，求的面積.21.（12分）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，的面積為3.（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與直線分別交于點(diǎn).若點(diǎn)四點(diǎn)共圓，求實(shí)數(shù)的值.22.（12分）設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知有極大值為1，設(shè)，若，且，證明：.——★參考答案★——一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.C〖解析〗因此.故選：C.2.A〖解析〗所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.3.B〖解析〗由題意設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，設(shè)六棱柱的高為，正六棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為，正六棱錐的母線長(zhǎng)為正六棱錐的側(cè)面積正六棱柱的側(cè)面積，故選：B.4.B〖解析〗由題意得：組合墻的透射系數(shù)的平均值：，故組合墻的平均隔聲量為，故選：B.5.C〖解析〗由題，又，則，則中由余弦定理得，又，所以為正三角形，故以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)，則，則，則當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)時(shí)，取最大值3，故.故選：C.6.C〖解析〗由可知，即，即.，，兩式相減可得，因?yàn)楣蕦⒋氲?，又，所以函?shù)，則故選：C.7.D〖解析〗得，又，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B正確；由得，選項(xiàng)C正確；由，，得，選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.8.B〖解析〗根據(jù)題意，如圖：因?yàn)殡p曲線和拋物線共焦點(diǎn)，故可得，又到的距離，即，又，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，則，解得；由可得，則由等面積可知：，解得，則，則，又點(diǎn)在漸近線上，即，即，又，聯(lián)立得，即，解得，故.故選：B.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可知，兩組數(shù)據(jù)滿足，由平均數(shù)計(jì)算公式得，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)，由眾數(shù)知識(shí)得，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)于數(shù)據(jù)，，假設(shè)其第80百分位數(shù)為，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，，當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，設(shè)其整數(shù)部分為，則，所以對(duì)于數(shù)據(jù)，假設(shè)其第80百分位數(shù)為，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，，當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，設(shè)其整數(shù)部分為，則，所以，故D正確.故選：BCD.10.BC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，圓心到直線距離為，圓上存在三點(diǎn)到直線距離等于，所以圓上存在三點(diǎn)到直線距離等于的充要條件是故正確；對(duì)于選項(xiàng)，直線存在點(diǎn)使，當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，只需此時(shí)，即，所以圓心到直線距離，解得或，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，該直線過(guò)圓心或垂直于，圓心到直線距離為或，所以或，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.AC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由可知，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.ABD〖解析〗由函數(shù)，可得，函數(shù)的圖象如下圖所示.對(duì)于選項(xiàng)，由圖可知，和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，若函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，可得或，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線為，函數(shù)在處的切線為，如圖中虛線所示，易知當(dāng)，即時(shí)，的圖象與直線恰有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，令，得，令，則，由二次函數(shù)的圖象及零點(diǎn)存在定理可知，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)，即時(shí)，令，設(shè)，則（僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；故錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)，由，則，則，設(shè)，則，設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以存在最小值，故D正確；故選：ABD.三?填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.60〖解析〗的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，且為正數(shù)，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：60.14.〖解析〗方程，則，可得動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離的比為常數(shù)，由橢圓的定義，可得，解得.故〖答案〗為：.15.〖解析〗以為球心，為半徑的球與正方體表面的交線長(zhǎng)度即為所求，在平面和平面上軌跡是以為圓心，為半徑，圓心角為的兩段弧，弧長(zhǎng)為，在平面上的軌跡是以為圓心，1為半徑，圓心角為的弧，弧長(zhǎng)為，在平面上的軌跡是以為圓心，2為半徑，圓心角為的弧，弧長(zhǎng)為，因此，軌跡的總長(zhǎng)度為.16.〖解析〗為等腰直角三角形，為線段的中點(diǎn)，，所以，設(shè)，則，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，則，在與中，易得，，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.解：（1）由，得，則，又，