2.3 等腰三角形的性質(zhì)定理（原卷版）

2.3等腰三角形的性質(zhì)定理了解等腰三角形和等邊三角形的概念掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理掌握有一個角是30°的直角三角形的性質(zhì)知識點一等腰三角形的性質(zhì)1.性質(zhì)1等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”).數(shù)學(xué)語言:如圖所示,在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C.拓展：由“等腰三角形的兩個底角相等”,可以得到以下推論:等邊三角形的各個內(nèi)角都等于60°2.性質(zhì)2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”)數(shù)學(xué)語言:如圖所示,在△ABC中，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，ADBC;∵AB=AC,ADBC,∴∠BAD=∠CAD,BD=CD.知識點二等腰三角形的其他性質(zhì)(1)等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等(2)等腰三角形兩底角的平分線相等(3)等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高(4)當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時，此等腰三角形為等腰直角三角形,它的兩條直角邊相等,兩個銳角都是45°注意：(1)應(yīng)用“三線合一”性質(zhì)的前提是在等腰三角形中,且必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角平分線.等腰三角形一腰上的高與中線不一定重合.(2)等腰三角形是軸對稱圖形頂角平分線(或底邊上的高,或底邊上的中線)所在的直線是它的對稱軸即學(xué)即練1（2021春·福建漳州·八年級福建省詔安縣第二實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等腰三角形的一個角為40°，求它另外兩個角的度數(shù)．即學(xué)即練2（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個角100°，它的另外兩個角的度數(shù)分別為．即學(xué)即練3（2022春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．（請寫出已知，求證，證明過程，并畫出圖形）題型一根據(jù)等邊對等角求角度例1（2023秋·浙江杭州·八年級杭州市公益中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分線，延長BD至E，使DE=AD，則∠E的度數(shù)為（）

A．40° B．60° C．70° D．80°舉一反三1（2023秋·浙江·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DM交BC于點D，邊AC的垂直平分線EN交BC于點E．

(1)已知△ADE的周長7cm，求BC(2)若∠ABC=30°，∠ACB=40°，求舉一反三2（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在BC，AC，

A．50° B．55° C．60° D．65°題型二根據(jù)等邊對等角證明例2（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，P為BC的中點，D，E分別為AB，AC上的點，且∠BDP=

(1)求證：△BDP≌△CEP．(2)若PD⊥AB，∠A=110°，求∠舉一反三1（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，點P為△ABC內(nèi)部一點，使得∠PBC=30°，∠PBA=6°，且∠PAB=∠PAC=24°，求∠APC的度數(shù)是．

舉一反三2（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAF=∠DAE．求證：

(1)△ABE≌(2)∠AEF=∠AFE．題型三根據(jù)三線合一求解例3（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┫铝忻}是真命題的是（）A．相等的角是對頂角B．一個角的補角是鈍角C．如果ab=0，那么a+b=0D．等腰三角形的對稱軸是頂角平分線、底邊的高線、底邊的中線所在的直線舉一反三1（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分線與AD交于點P，連接PC．若BD=2CD，△ABC的面積為2，則△DPC的面積為（）

A．1 B．12 C．13 D舉一反三2（2022秋·浙江金華·八年級義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)?？计谥校┤鐖D，D為△ABC外一點，BD⊥AD，BD平分△ABC的一個外角，∠C=∠CAD．若AB=10，BC=2，則BD的長為．

題型四根據(jù)三線合一證明例4（2022秋·浙江臺州·八年級?？计谥校┰凇鰽BC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD=AB．∠EDF=60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點E，F(xiàn)．

(1)求證：△ABD是等邊三角形；(2)求證：BE=AF．舉一反三1（2022秋·浙江寧波·八年級校考期中）已知：如圖，B，D，E，C在同一直線上，AB=AC，AD=AE．求證：BD=CE．舉一反三2（2022秋·浙江麗水·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，在△ABC中，AB=BC，點E是AC上一點，DE⊥BC于點D，(1)若∠AED=155°，求∠ABC的度數(shù)；(2)若點E是AC的中點，證明∠EBC=∠CED．單選題1．（2022秋·浙江杭州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AB=AD，點B關(guān)于AC的對稱點E恰好落在CD上，若∠BAD=a0°<a<180°，則∠ACB的度數(shù)為（

A．45° B．a(chǎn)-45° C．90°-12a2．（2022秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，AD是等腰△ABC底邊BC邊上的中線，BE平分∠ABC，交AD于點E，AC＝12，DE＝3，則△ABE的面積是（）A．16 B．18 C．32 D．363．（2022秋·浙江金華·八年級校考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．D是BC中點 B．AD平分∠BAC C．AB＝2BD D．∠B＝∠C4．（2022秋·浙江杭州·八年級校考期中）如圖鋼架中，∠A=α，焊上等長的鋼條P1P2，P2P3，P3P4

A．25° B．20° C．15° D．30°5．（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且AB=AC+CD，若∠BAC=n°，則∠ABC的大小為（）

A．90°-n°3 B．180°-n°3 C．180°-n°2填空題1．（2022秋·浙江·八年級期中）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則這個等腰三角形的底角度數(shù)是．2．（2022秋·浙江金華·八年級義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)?？计谥校┤鐖D，等腰△ABC的底邊BC長為6，面積是21，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為．

3．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）等腰三角形的周長為13，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊長為．三、解答題1．（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC，請你利用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．

(1)作△ABC的中線AD．(2)作出以BC為底邊，∠C為底角的等腰三角形△EBC．2．（2022秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：在△ABC中，點E在直線AC上，點B、D、E在同一條直線上，且BA=BD,∠BAE=∠D．

(1)如圖1，若BF平分∠ABC，求證：∠AEB+∠BCE=180°．(2)如圖2，若BE平分△ABC的外角∠ABF，交CA的延長線于點E，問：∠AEB和∠BCE的數(shù)量關(guān)系發(fā)生改變了嗎？若改變，請