2024年中考數學復習《圓綜合壓軸題》專項提升練習題（含答案）

2024年中考數學復習《圓綜合壓軸題》專項提升練習題

1.如圖，已知。。的半徑為1,DE是。。的直徑，過點D作。0的切線AD,C是AD的中點，AE交。。于B

點，四邊形BC0E是平行四邊形.

(1)求AD的長；

(2)BC是。0的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由.

2.如圖，。0是等邊△ABC的外接圓.

(1)如圖1,連接A0,延長A0交弦BC于點M,交BC于點P.連接PB,PC.求證：PA=PB+PC；

(2)如圖2,若P為上任意一點，連接PA,PB,PC,(1)中的結論是否成立？若成立，請證明，若不

成立，請說明理由.

3.如圖，NAPB,點C在射線PB上，PC為。。的直徑，在/APB內部且到NAPB兩邊距離都相等的所有的

點組成圖形M,圖形M交。。于D,過點D作直線DEJ_PA,分別交射線PA,PB于E,F.

B

第1頁共25頁

(1)根據題意補全圖形；

(2)求證：DE是。。的切線；

(3)如果PC=2CF,且DF=遮，求PE的長.

4.如圖，AB是半圓的直徑，0是圓心，C是半圓上一點，D是弧AC中點，0D交弦AC于E,連接BE,若

AC=8,DE=2,求

(1)求半圓的半徑長；

(2)BE的長度.

5.如圖，AC為。。的直徑，B為AC延長線上一點，且/8八口=/人8口=30°,BC=1,AD為。0的弦，連結

BD,連結DO并延長交。。于點E,連結BE交。0于點M.

(1)求證：直線BD是。。的切線；

(2)求。0的半徑0D的長；

(3)求線段BM的長.

6.如圖所示，Rt^ABC中，ZBAC=90°,ZC=30°,BC=2,。。是△ABC的外接圓，D是CB延長線上一點,

且BD=1,連接DA,點P是射線DA上的動點.

(1)求證DA是。0的切線；

(2)DP的長度為多少時，/BPC的度數最大，最大度數是多少？請說明理由.

(3)P運動的過程中，(PB+PC)的值能否達到最小，若能，求出這個最小值，若不能，說明理由.

7.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC,點0在AB上，經過點A的。。與BC相切于點D,交AB于點

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E.

J

(1)求證：AD平分NBAC；

(2)若CD=1,求圖中陰影部分的面積(結果保留口).

8.如圖，Z\ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點P,PD_LAC于點D.

(1)求證：PD是。0的切線；

(2)若NCAB=120°,AB=6,求BC的長.

9.已知AB是。。的直徑，DA為。。的切線，切點為A,過。。上的點C作CD〃AB交AD于點D,連接BC、

AC.

(1)如圖①，若DC為。。的切線，切點為C,求/ACD和/DAC的大小.

(2)如圖②，當CD為。。的割線且與。。交于點E時，連接AE,若NEAD=30°,求NACD和NDAC的大

小.

10.己知：如圖，。。的直徑AB垂直于弦CD,過點C的切線與直徑AB的延長線相交于點P,連接PD.

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(1)求證：PD是。0的切線.

(2)求證：PD2=PB-PA.

(3)若PD=4,tanzCDB=j,求直徑AB的長.

11.如圖，AB、BC是。。的兩條弦，且AB_LBC,ODXAB,OEXBC,垂足分別為D、E,AB=BC.

?

(1)求證：四邊形DBEO是正方形；

(2)若AB=2,求。。的半徑.

12.在圓0中，點A,B,C均在。。上，請僅用無刻度直尺按要求畫圖：

圖1

圖2

(1)在圖1中，以點C為頂點作一銳角，使該銳角與/CAB互余；

(2)在圖2中，弦AD〃BC且ADWBC,過點A作一直線將aABC的面積平分.

13.如圖，點C在以AB為直徑的。。上，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D,AD交。。于點E.

(1)求證：AC平分NDAB；

第4頁共25頁

(2)連接BE交AC于點F,若cos/CAD=:，求工的值.

5FC

14.如圖，Rt^ABC中，/ABC為直角，以AB為直徑作。。交AC于點D,點E為BC中點，連結DE,DB

(1)求證：DE與。。相切；

(2)若/C=30°,求/BOD的度數；

(3)在(2)的條件下，若。0半徑為2,求陰影部分面積.

15.如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。0分別與BC,AC交于點D,E,過點D作。0的切線DF,

交AC于點F.

(1)求證：DF1AC；

(2)若。。的半徑為4,ZCDF=22.5°,求陰影部分的面積.

16.如圖，。。是AABC的外接圓，AB為直徑，NBAC的平分線交。。于點D,過點D的切線分別交AB,AC

的延長線于E,F,連接BD.

(1)求證：AF±EF；

(2)若AC=6,CF=2,求。。的半徑.

17.如圖，線段AB為的直徑，點C、E在上，弧BC=MCE,連接BE、CE,過點C作CM〃BE交AB的延長線

于點M.

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E

(1)求證：直線CM是圓0的切線；

(2)若sin/ABE=|,BM=4,求圓0的半徑.

18.如圖，PA是。0的切線，A為切點，點B、C、D在O0上，且PA=PB.

(1)求證：PB是。0的切線；

O

(2)若ZP=100°,貝UZB+ZD的度數為____

19.按要求作圖

1

圖1圖2

(1)如圖1,已知AB是OO的直徑，四邊形ACDE為平行四邊形，請你用無刻度的直尺作出NAOD的角平分

線0P；

(2)如圖2,己知AB是。0的直徑，點C是BD的中點,AB||CD,請你用無刻度的直尺在射線DC上找一點

P,使四邊形ABPD是平行四邊形.

20.如圖，在中，直徑AB與弦CD相交于點P,ZCAB=40ZAPD=65

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(1)求ZB的大小；

(2)已知AD=6,求圓心0到BD的距離.

21.如圖，A是圓0外一點，AC是圓0的切線，0B的延長線交AC于點A.

(1)求ZACB與ZCOB的大小關系；

(2)若AB=2,AC=4,求點C到直線0A的距離.

22.如圖，AB為。。的直徑，點C在。0上，延長BC至點D,使DC=CB,延長DA與。。的另一個交點為E,

連接AC,CE.

(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的長.

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答案

1.⑴解:連接BD,則/DBE=90

?..四邊形BCOE為平行四邊形，

；.BC〃OE,BC=OE=1.

在Rtz^ABD中，C為AD的中點，

.*.BC=iAD=l./.AD=2.

2

(2)解：BC為。。的切線.證明如下:

連接0B,

；BC〃OD,BC=OD,

四邊形BCDO為平行四邊形.

：AD為。。的切線,

.*.OD±AD.

.,?四邊形BCDO為矩形.

.*.OB±BC.

「OB是。。的半徑,

.?.BC為。0的切線.

2.(1)證明：連接OB、0C

VAABC是等邊三角形,

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AZAPB=ZACB=ZABC=ZAPC=60°,

又：OB=OP=OC,

AOBP與△OCP均為等邊三角形，

AOB=OP=BP,OP=OC=PC,

貝UAP=2OP=BP+PC,

即證：PA=PB+PC.

(2)解：PA=PB+PC仍然成立，理由如下，

如圖，延長PB至點D,使得BD=CP,連接AD,

VAABC是等邊三角形，

/.AB=AC,ZAPC=ZABC=60°,

又：/ABP+/ACP=180°,

ZABP+ZABD=180°,

ZABD=ZACP,

.二△ABD四△ACP(SAS),

；.AD=AP,ZD=ZAPC=60°,

AAADP是等邊三角形，

，PA=PD=PB+BD=PB+BC,

即PA=PB+PC.

3.(1)解：如圖所示，補全圖形

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(2)證明：連接OD.

VDE1PA,

???NPED=90°.

???依題意，PD是NAPB的角平分線,

AZAPD=ZDPB.

V0P=0D,

AZDPB=NPDO.

AZAPD=ZPDO.

???AP〃OD,

AZ0DF=ZPED=90°,

二?DE是。0的切線.

(3)解：VPC=2CF,

???設CF=x,那么PC=2x,0D=x.

VZ0DF=90°,

-1

RtAODF中，0D=jOF.

又：DF=E,

/.OD=1,0F=2,PF=3.

?.?在RtZ\PEF中，ZPEF=90°,

PE0D

.?.s■inz,nDrFrPn=—=—=-1?

PFOF2

APE=-.

2

4.(1)解：設圓的半徑為r,\?D是弧AC中點，

A0D1AC,AE=-AC=4,

2

在RtAAOE中,0A2=0E2+AE2,即d=(r-2)2+42,

解得,r=5,即圓的半徑長為5

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D

(2)解:連接BC,VAO=OB,AE=EC,

AOB

；.BC=20E=6,

；AB是半圓的直徑，.?.NACB=90°,；.BE=VEC2+BC2=2V13

5.(1)證明：VOA=OD,ZBAD=ZABD=30°,

NBAD=/AD0=30°,

ZDOB=ZBAD+ZADO=600,

.".Z0DB=Z180°-/DOB-NABD=90°,

：0D為。0的半徑，

直線BD是。0的切線；

(2)解：VZ0DB=90°,ZABD=30°,

：.0D=-OB,

2

V0C=0D,

???BC=OC=1,

???。0的半徑0D的長為1；

(3)解：V0D=l,

???DE=2,BD=V3,

???BE=VBD2+DE2=V7

〈DE為。0的直徑,

.?.ZDME=90°,

.\ZDMB=90°,

VZEDB=90°,

.\ZEDB=ZDME,

又?.?NDBM=NEBD,

.,.△BMD^ABDE,

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.BM_BD

'*BD―BE

，BM=黑=＞薩

線段BM的長為及

7

6.(1)證明：如圖,

連接A0,

VZ=30°，

/.ZA0B=2ZC=60°

AABO是等邊三角形，AB=BD=1,

??.NADC=/DAB=|NAB0=30°,

VZA0C=60°,

ZDA0=90°,

；.DA是。0的切線

即DP=DA=B時，NBPC的度數達到最大，為90'.

理由如下：若點P不在A處時，不妨設點P在DA的延長線上的時,

第12頁共25頁

連接BP,與00交于一點，記為點E,

連接CE,

則ZBPC<ZBEC=ZBAC=90°

(3)解：如圖2,

作點C關于射線DA的對稱點C，,

則BP+PC=BP+PC',

當點L,P,B三點共線時，(BP+PC，)的值達到最小，最小值為BC'.

過點C，作DC的垂線，垂足記為點H,連接DC',

在RtZiDCP中，ZPDC=30°,

.,.△DCC,為等邊三角形，

故H為DC的中點，

；.BH=DH-DB=-CD-DB=--1=-,C'H=百DH=-V3

222v2

在Rt^BC'H中，根據勾股定理得，BC'=VBH2+C'H2=V7.

(BP+PC)的最小值為V7.

7.(1)證明：連接DE,0D.

：BC相切。0于點D

/.ZCDA=ZAED,

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VAE為直徑,

AZADE=90°,

VACXBC,

AZACD=90°,

JZDAO=ZCAD,

?，?AD平分NBAC；(1)

(2)解：???在RtaABC中，NC=90°,AC=BC,

AZB=ZBAC=45°,

VBC相切。0于點D,

.?.Z0DB=90°,A0D=BD,

AZB0D=45°,

設BD=x,則0D=0A=x,0B=V2x,

.*.BC=AC=x+l,

,/AC2+BC2=AB2,：.2(x+1)2=(V2x+x)2,

x=，*,*BD-0D=s/2.，

45TTX(偽2二］_q

圖中陰影部分的面積=SABOD-s扇形DOE二|xV2xV2

3604

8.(1)證明：連接OP,

TAB二AC,

.\ZC=ZB,

又〈OP=OB,

.\Z0PB=ZB,

AZC=ZOPB,

AOPAD；

又?.,PD_LAC,

AZCDP=90°，

第14頁共25頁

AZDP0=ZCDP=90°,

???PD是。。的切線.

(2)連接AP,

VAB是直徑，

AZAPB=90°；

VAB=AC=6,ZCAB=120°,

AZABP=30°,

???AP=-AB=3

2

ABP=<62-32=3V3

???BC=2BP=6V3.

9.(1)???AB是。。的直徑，DA為。。的切線，切點為A,

,\DA_LAB,

.,.ZDAB=90°,

〈DC為。0的切線，切點為C,

???DC=DA,

?「CD〃AB,

.?.ZD+ZDAB=180°,

：.ZD=90°,

???NACD=NDAC=45°；

(2)TAB是。。的直徑，DA為。0的切線，切點為A,

ADA±AB,

.*.ZDAB=90o,

NDEA=NEAB,

.\ZADC=90o,

VZEAD=30°,

.\ZDEA=60o,

.?.ZEAB=60°,

.\ZBCE=120°,

TAB是。。的直徑，

.\ZBCA=90°，

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AZACD=30°,

???NDAC=60°.

AZPC0=90°,

VABXCD,AB是直徑,

???BD=阮，

???ZDOP=ZCOP,

在ADOP和△COP中，

DO=CO

ZDOP=ZCOP,

、OP=OP

AADOP^ACOP(SAS),

.\ZPD0=ZPC0=90°,

YD在。0上，

???PD是。。的切線；

(2)證明：TAB是。。的直徑,

AZADB=90°,

VZPD0=90°,

AZAD0=ZPDB=90°-ZBDO,

VOA=OD,

JNA二NADO,

???ZA=ZPDB,

VZBPD=ZBPD,

.,.△PDB^APAD,

.PD_PA

??—，

PBPD

APD2=PA-PB；

第16頁共25頁

(3)解：VDC±AB,

AZADB=ZDMB=90°,

AZA+ZDBM=90°,ZCDB+ZDBM=90°,

???ZA=ZCDB,

i

Vtanz.CDB=-,

2

?4A1BD

..tanA=-=

2~AD'

VAPDB^APAD,

.PB_PD_BD_1

??PD-PA-AD-2

VPD=4,

???PB=2,PA=8,

.\AB=8-2=6.

11.(1)證明：?.,OD_LAB于D,OE_LBC于E,

.*.BD=-AB,BE=-BC,ZBDO=ZBE0=90°，

22

VAB±BC,

.\ZDBE=90°,

；?四邊形DBEO是矩形，

VAB=AC,

???BD=BE,

二?四邊形DBEO是正方形，

(2)解：VZABC=90°,

AAC為直徑，

???AB=BC=2,

**?AC=V22+22=2V2，

A0A=V2，

AOO的半徑為V2.

12.(1)解：如圖1,NBCE為所作；

第17頁共25頁

E

O

~~/C

圖1

理由：???CB=CB

ZCAB=ZBEC,

；CE是直徑，

???ZBEC+ZBCE=90°,

ZBCE+ZCAB=9O°,

.?./BCE與NCAB互余；

(2)解：如圖2,直線AF為所作.

圖2

理由：AD||BC,

Z.C=z_DCB,

???AC=AC,

Z.B-ZD,

???zDCB=z_B,

???JF垂直平分BC,

則AF是△ABC的中線，

AF將AABC的面積平分.

13.(1)證明：連接0C,

第18頁共25頁

Dr

圖1

VCDMOO的切線，

ACDXOC,

又：CD_LAD,

/.AD/7OC,

.\ZCAD=ZACO,

VOA=OC,

.\ZCAO=ZACO,

.\ZCAD=ZCAO,

即AC平分/DAB

(2)解：連接BE、BC、OC,BE交AC于F交OC于H.

圖2

VAB是直徑，

ZAEB=ZDEH=ZD=ZDCH=90°,

四邊形DEHC是矩形，

/.ZEHC=90°即OC_LEB,

；.DC=EH=HB,DE=HC,

,/cosZCAD=:=落設AD=4a,AC=5a,貝!JDC=EH=HB=3a,

4AC

TcosNCAB=-=—,

5AB

第19頁共25頁

AAB=—25a,BC=1—5a,

44

在Rt^CHB中，CH=VCB2+BH2=；a,

Q_________7

DE=CH=-a,AE=VAB2+BE2=-a,

44

?「EF〃CD,

.AFAE7

——-——

**FCED9

14.(1)證明：連結OD,

BEC

：AB為。。為直徑，

.".ZADB=ZBDC=90°,

又是斜邊BC的中點

.\DE=BE=CE,

ZBDE=ZDBE,

V0D=0B,

Z0DB=Z0BD

/.Z0DE=Z0DB+ZBDE=Z0BD+ZDBE=ZABC=90°

即DE與。0相切.

(也可以通過證明AOBE絲ZXODE得到N0DE=/0BE=90°)

(2)解：若/C=30°而DE=CE,

:.ZDEB=60°

在四邊形OBED中，則NB0D=360°-90°-90°-60°=120°

(3)解：連結0E,則N0ED=N0EB=30°

,.,0D=0B=2/.DE=BE=2V3

=

S陰影部分=5四邊形OBED-Sgjg0BDSA0BE+SAODE-S扇彩OBD

-2V3+2V3-增冷=4V3-y.

第20頁共25頁

15.⑴解:連接AD,OD.TAB是直徑，Z.ZADB=90°，.\AD±BC.,ZAB=AC,/.D

是BC的中點.是AB的中點，；.OD〃AC./.Z0DF+ZDFA=180°VDF±AC,.,.ZDFA=90°..,.Z0DF=90°.

.\OD±DF

；.DF是。。的切線.

(2)解：連接0E；/ADB=/ADC=90°,ZDFC=ZDFA=90°,AZDAC=ZCDF=22.5°VAB=AC,D是BC中

點，.\ZBAC=2ZDAC=2X22.5°=45°.V0A=0E,AZ0EA=ZBAC=45°..\ZA0E=90°.>/0A=0E=4.

??S陰影二S扇形AOE-SAA0E=4兀—8.

16.(1)證明：

如圖1,連接OD

圖1

?「EF是。。的切線，且點D在。0上，

A0D±EF,

V0A=0D,

ZDAB=ZAD0,

VAD平分NBAC,

ZDAB=ZDAC,

.\ZAD0=ZDAC,

AAF/70D,

???AF_LEF；

(2)解：

如圖2,過D作DGLAE于點G,連接CD,

第21頁共25頁

VZBAD=ZDAF,AF±EF,DG±AE,

ABD=CD,DG=DF,

在RtAADF和RtAADG中

CAD=AD

IDF=DG

ARtAADF^RtAADG(HL),

同理可得RtACDF^RtABDG,

.\BG=CF=2,AG=AF=AC+CF=6+2=8,

???AB=AG+BG=8+2=10,

：.QQ的半徑0A二1AB二5.

17.(1)證明：連接0E,0C

???弧BC二弧CE

.".OCXBE

VCM/7BE

A0C±CM

?,?直線CM是圓0的切線

(2)解：設半徑為r

VCM//BE

???ZCM0=ZABE

在RtAOCM中

OC3

sinNCMO二—二sinNABE=-

OM5

3

解得r=6

r+4

第22頁共25頁

.?.圓0的半徑是6

18.(1)證明：連接0A,OB,0P

VPA是的切線，A為切點

/.ZPAO=90°

在△PBO和△PAO中，

VPB=PA,OB=OA,OP=OP

.*.△PBOPAO

."PBO=ZPAO=90°

APB1BO,且PB過半徑OB的外端

APB是OO的切線.

(2)220

19.(1)解：如圖1,連接AD,EC交于點F,作射線