專題05 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（講練）-2024年中考數(shù)學沖刺復習講練測（浙江新中考）（解析版）

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考點要求命題預測二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)是中考必考內(nèi)容，選擇題形式一般考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答題形式一般與三角形、四邊形等問題結合起來，難度較大，通常是壓軸題，要么以函數(shù)為背景引出動態(tài)幾何問題，要么以動態(tài)圖形為背景，滲透二次函數(shù)問題，是數(shù)形結合思想的典例。一、單選題1．（2023·浙江衢州·中考真題）已知二次函數(shù)（a是常數(shù)，）的圖象上有和兩點．若點，都在直線的上方，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件列出不等式，利用二次函數(shù)與軸的交點和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：，，點，都在直線的上方，且，可列不等式：，，可得，設拋物線，直線，可看作拋物線在直線下方的取值范圍，當時，可得，解得，，的開口向上，的解為，根據(jù)題意還可列不等式：，，可得，整理得，設拋物線，直線，可看作拋物線在直線下方的取值范圍，當時，可得，解得，，拋物線開口向下，的解為或，綜上所述，可得，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正確列出不等式是解題的關鍵．2．（2023·浙江杭州·中考真題）設二次函數(shù)是實數(shù)，則（

）A．當時，函數(shù)的最小值為 B．當時，函數(shù)的最小值為C．當時，函數(shù)的最小值為 D．當時，函數(shù)的最小值為【答案】A【分析】令，則，解得：，，從而求得拋物線對稱軸為直線，再分別求出當或時函數(shù)y的最小值即可求解．【詳解】解：令，則，解得：，，∴拋物線對稱軸為直線當時，拋物線對稱軸為直線，把代入，得，∵∴當，時，y有最小值，最小值為．故A正確，B錯誤；當時，拋物線對稱軸為直線，把代入，得，∵∴當，時，y有最小值，最小值為，故C、D錯誤，故選：A．【點睛】本題考查拋物線的最值，拋物線對稱軸．利用拋物線的對稱性求出拋物線對稱軸是解題的關鍵．3．（2023·浙江臺州·中考真題）拋物線與直線交于，兩點，若，則直線一定經(jīng)過（

）．A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得出，再利用根與系數(shù)的關系，分情況討論即可求出答案．【詳解】解：拋物線與直線交于，兩點，，．，∵，．當，時，直線經(jīng)過第一、三、四象限，當，時，直線經(jīng)過第一、二、四象限，綜上所述，一定經(jīng)過一、四象限．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，解題的關鍵在于熟練掌握根與系數(shù)關系公式．4．（2022·浙江舟山·中考真題）已知點，在直線（k為常數(shù)，）上，若的最大值為9，則c的值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【分析】把代入后表示出，再根據(jù)最大值求出k，最后把代入即可．【詳解】把代入得：∴∵的最大值為9∴，且當時，有最大值，此時解得∴直線解析式為把代入得故選：B．【點睛】本題考查一次函數(shù)上點的特點、二次函數(shù)最值，解題的關鍵是根據(jù)的最大值為9求出k的值．5．（2022·浙江湖州·中考真題）將拋物線向上平移3個單位，所得拋物線的解析式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)變化規(guī)律即可解答．【詳解】解：∵拋物線向上平移3個單位，∴平移后的解析式為：．故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的平移，掌握平移規(guī)律“左加右減，上加下減”是解題關鍵．6．（2023·浙江寧波·中考真題）已知二次函數(shù)，下列說法正確的是(

)A．點在該函數(shù)的圖象上B．當且時，C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點D．當時，該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線的左側【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵，當時：，∵，∴，即：點不在該函數(shù)的圖象上，故A選項錯誤；當時，，∴拋物線的開口向上，對稱軸為，∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，∵，，∴當時，有最大值為，當時，有最小值為，∴，故B選項錯誤；∵，∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點，故選項C正確；當時，拋物線的對稱軸為：，∴該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線的右側，故選項D錯誤；故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關鍵．二、填空題7．（2023·浙江紹興·中考真題）在平面直角坐標系中，一個圖形上的點都在一邊平行于軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯(lián)矩形為矩形．若二次函數(shù)圖象的關聯(lián)矩形恰好也是矩形，則．

【答案】或【分析】根據(jù)題意求得點，，，根據(jù)題意分兩種情況，待定系數(shù)法求解析式即可求解．【詳解】由，當時，，∴，∵，四邊形是矩形，∴，①當拋物線經(jīng)過時，將點，代入，∴解得：②當拋物線經(jīng)過點時，將點,代入，∴解得：綜上所述，或，故答案為：或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關鍵．三、解答題8．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點和．

(1)求該二次函數(shù)的表達式及圖象的頂點坐標．(2)當時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【答案】(1)，頂點坐標為；(2)【分析】（1）把和代入，建立方程組求解解析式即可，再把解析式化為頂點式，可得頂點坐標；（2）把代入函數(shù)解析式求解的值，再利用函數(shù)圖象可得時的取值范圍．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點和．∴，解得：，∴拋物線為，∴頂點坐標為：；（2）當時，，∴解得：，，

如圖，當時，∴．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的頂點坐標，利用圖象法解不等式，熟練的運用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．9．（2023·浙江·中考真題）已知點和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．(1)當時，求和的值；(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點且點A不在坐標軸上，當時，求的取值范圍；(3)求證：．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）由可得圖像過點和，然后代入解析式解方程組即可解答；（2）先確定函數(shù)圖像的對稱軸為直線，則拋物線過點，即，然后再結合即可解答；（3）根據(jù)圖像的對稱性得，即，頂點坐標為；將點和分別代入表達式并進行運算可得；則，進而得到，然后化簡變形即可證明結論．【詳解】（1）解：當時，圖像過點和，∴，解得，∴，∴．（2）解：∵函數(shù)圖像過點和，∴函數(shù)圖像的對稱軸為直線．∵圖像過點，∴根據(jù)圖像的對稱性得．∵，∴．（3）解：∵圖像過點和，∴根據(jù)圖像的對稱性得．∴，頂點坐標為．將點和分別代人表達式可得①②得，∴．∴．∴．∴．∴．【點睛】本題主要考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的對稱性、解不等式等知識點，掌握二次函數(shù)的對稱性是解答本題的關鍵．10．（2023·浙江嘉興·中考真題）在二次函數(shù)中，(1)若它的圖象過點，則t的值為多少？(2)當時，y的最小值為，求出t的值：(3)如果都在這個二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）將坐標代入解析式，求解待定參數(shù)值；（2）確定拋物線的對稱軸，對待定參數(shù)分類討論，分，當時，函數(shù)值最小，以及，當時，函數(shù)值最小，求得相應的t值即可得；（3）由關于對稱軸對稱得，且A在對稱軸左側，C在對稱軸右側；確定拋物線與y軸交點，此交點關于對稱軸的對稱點為，結合已知確定出；再分類討論：A，B都在對稱軸左邊時，A，B分別在對稱軸兩側時，分別列出不等式進行求解即可．【詳解】（1）將代入中，得，解得，；（2）拋物線對稱軸為．若，當時，函數(shù)值最小，，解得．，若，當時，函數(shù)值最小，，解得（不合題意，舍去）綜上所述．（3）關于對稱軸對稱，且A在對稱軸左側，C在對稱軸右側拋物線與y軸交點為，拋物線對稱軸為直線，此交點關于對稱軸的對稱點為且，解得．當A，B都在對稱軸左邊時，，解得，當A，B分別在對稱軸兩側時到對稱軸的距離大于A到對稱軸的距離，解得綜上所述或．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、極值問題；存在待定參數(shù)的情況下，對可能情況作出分類討論是解題的關鍵．11．（2023·浙江湖州·中考真題）某水產(chǎn)經(jīng)銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經(jīng)驗可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）存在一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：銷售價格x（元/千克）5040日銷售量y（千克）100200(1)試求出y關于x的函數(shù)表達式．(2)設該經(jīng)銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？【答案】(1)(2)銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)關系式為，由表中數(shù)據(jù)即可得出結論；（2）根據(jù)每日總利潤=每千克利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】（1）解：設y關于x的函數(shù)表達式為．將和分別代入，得：，解得：，∴y關于x的函數(shù)表達式是：；（2）解：，∵，∴當時，在的范圍內(nèi)，W取到最大值，最大值是2250．答：銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元．【點睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)等量關系寫出函數(shù)解析式．12．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點，拋物線的頂點在直線上，與軸的交點為，其中點的坐標為．直線與直線相交于點．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點．①求該拋物線的函數(shù)表達式；②求的值．(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點的橫坐標；若不能，試說明理由．【答案】(1)①；②(2)能，或或或．【分析】（1）①先求頂點的坐標，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；②過點作于點．設直線為，把代入，得，解得，直線為．同理，直線為．聯(lián)立兩直線解析式得出，根據(jù)，由平行線分線段成比例即可求解；（2）設點的坐標為，則點的坐標為．①如圖2-1，當時，存在．記，則．過點作軸于點，則．在中，，進而得出點的橫坐標為6．②如圖2-2，當時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標為．③如圖，當時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標為．④如圖2-4，當時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標為．【詳解】（1）解：①∵，∴頂點的橫坐標為1．∴當時，，∴點的坐標是．設拋物線的函數(shù)表達式為，把代入，得，解得．∴該拋物線的函數(shù)表達式為，即．②如圖1，過點作于點．

設直線為，把代入，得，解得，∴直線為．同理，直線為．由解得∴．∴．∵，∴．（2）設點的坐標為，則點的坐標為．①如圖，當時，存在．記，則．∵為的外角，∴．∵．∴．∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標為6．

②如圖2-2，當時，存在．記．∵為的外角，∴．∴∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標為．

③如圖2-3，當時，存在．記．

∵，∴．∴．∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標為．④如圖2-4，當時，存在．記．∵，∴．

∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標為．綜上，點的橫坐標為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識，分類討論是解題的關鍵．考點一二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)題型01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而減小．簡記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，1．（2023·浙江溫州·模擬預測）已知，都在拋物線上，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征及解一元一次不等式．根據(jù)列出關于m的不等式即可解得答案．【詳解】解：∵點，都在二次函數(shù)的圖象上，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：A．2．（2023·浙江溫州·一模）若二次函數(shù)，當隨的增大而減小，則自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及二次函數(shù)的頂點式，熟練掌握當拋物線開口向上時，在對稱軸左側y隨x的增大而減小，在對稱軸右側y隨x的增大而增大是解答本題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸右側y隨x的增大而增大，和二次函數(shù)的頂點式判斷對稱軸位置即可．【詳解】解：∵，∴函數(shù)圖象開口向上且對稱軸為，∴當時，y隨x的增大而減小，故選：A．3．（2023·浙江杭州·一模）坐標平面上有一水平線與二次函數(shù)的圖形，其中為一正數(shù)，且與二次函數(shù)圖象相交于、兩點，其位置如圖所示．若：：，則的長度為()A．17 B．19 C．21 D．24【答案】C【分析】根據(jù)對稱軸，結合即可求解．【詳解】解：設對稱軸與交于點．.，．對稱軸，．，：：．：：：：．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)關于對稱軸對稱，結合圖形，找到線段的長度是解題的關鍵．4．（2023·浙江寧波·一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，在范圍內(nèi)有最大值為，最小值為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把，代入，求出函數(shù)解析式，然后結合在范圍內(nèi)有最大值為，最小值為，求出a的臨界值即可．【詳解】解：把，代入，得，解得，∴，∴拋物線開口向下，當時，y取得最大值4，∵在范圍內(nèi)有最大值為，∴．解，得，∴當時，拋物線在范圍內(nèi)有最大值為，最小值為．故選B．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關鍵．5．（2023·浙江·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知某二次函數(shù)的圖象關于y軸對稱，其頂點在原點O，且過點，則該二次函數(shù)的表達式是．【答案】【分析】根據(jù)題意可設該二次函數(shù)的解析式為，利用待定系數(shù)法即可求解．【詳解】解：設該二次函數(shù)的解析式為，將帶入得：，解得：，該二次函數(shù)的表達式為：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．6．（22-23九年級上·浙江寧波·期末）拋物線的頂點坐標是．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，對于頂點式可以直接讀出其頂點坐標，從而得到答案．【詳解】解：拋物線的頂點坐標是，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，熟記拋物線頂點式性質(zhì)是解決問題的關鍵題型02與二次函數(shù)圖象有關的判斷項目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側cc=0圖象過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點b2-4ac＞0與x軸有兩個交點b2-4ac＜0與x軸沒有交點1．（2022·浙江金華·二模）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像相交于、兩點，則函數(shù)的圖像可能是（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：由=x2+bx+c圖象可知，對稱軸x=＞0，，，拋物線與y軸的交點在x軸下方，故選項B，C錯誤，拋物線的對稱軸為，∴，∴拋物線y=x2+（b-1）x+c的對稱軸在y軸的右側，故選項D錯誤，故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，明確二次函數(shù)中各項系數(shù)的意義及利用數(shù)形結合的思想是解答本題的關鍵．2．（2020·浙江·模擬預測）已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象可知，，再根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點位置，可確定，，∴一次函數(shù)的圖象y隨x增大而減小，且與y軸交于點，排除A、B；，∴反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，故選：C．【點睛】本題考查拋物線與x軸交點、一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖象確定，是解題的關鍵．題型03與系數(shù)a、b、c有關的判斷項目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側cc=0圖象過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點b2-4ac＞0與x軸有兩個交點b2-4ac＜0與x軸沒有交點1．（2023·浙江·模擬預測）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結論：①，②，③，④，⑤．其中正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】觀察圖象得：拋物線開口向下，與y軸交于負半軸，且對稱軸為直線，與x軸有2個交點，可得，，，，故②③正確；從而得到，故①正確；再由當時，，可得，故④正確；然后根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性可得當時，，從而得到，故⑤錯誤，即可．【詳解】解：觀察圖象得：拋物線開口向下，與y軸交于負半軸，且對稱軸為直線，與x軸有2個交點，∴，，，，故②③正確；∴，故①正確；當時，，∴，故④正確；∵當時，，且對稱軸為直線，∴當時，，∴，故⑤錯誤；綜上所述，正確的有4個，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結合思想解答是解題的關鍵．2．（2023·浙江·一模）如圖所示為二次函數(shù)的圖象，對稱軸是直線，下列結論：①；②；③；④；其中正確的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用拋物線圖像與性質(zhì)進行判斷，根據(jù)函數(shù)圖像開口方向確定，對稱軸及確定，函數(shù)圖像與軸交點的確定，取特殊點代入函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖像確定關于、、代數(shù)式的正負即可．【詳解】解：拋物線與軸有個交點，，，故①正確；當時，，，故②錯誤；拋物線開口向下，拋物線與軸交于正半軸，，拋物線的對稱軸為直線，故③正確；當時，，即，，，故④正確；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)的系數(shù)、、與拋物線圖像的位置關系是解題的關鍵，熟記一些特殊的自變量值所對應的代數(shù)式，如本題出現(xiàn)的時，，再結合圖像確定函數(shù)的取值范圍，能較快的解決問題．3．（2023·浙江·模擬預測）如圖，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，且經(jīng)過點，則下列說法①；②；③若是拋物線上的兩點，則；④正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】根據(jù)拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，，再由對稱軸為直線得到，即可判斷①；根據(jù)當時，，即可判斷②；根據(jù)拋物線開口向下，離對稱軸越遠函數(shù)值越小，即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當時，函數(shù)有最大值，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，故①正確；由函數(shù)圖象可知，當時，，∴，故②正確；∵拋物線開口向下，∴離對稱軸越遠函數(shù)值越小，∵，∴，故③錯誤；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當時，函數(shù)有最大值，∴，∴，故④正確；故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號等等，解題的關鍵是靈活應用圖中信息解決問題，屬于中考?？碱}型．題型04二次函數(shù)與一元二次方程的關系1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標．3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點．1．（2024·浙江寧波·一模）在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象與x軸恰好有2個交點，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與軸的交點問題，先分情況求解函數(shù)與軸的交點坐標，再結合圖象列不等式組求解即可．【詳解】解：∵，當時，，當時，，解得：，，當時，，解得：，，顯然當時，，∴函數(shù)過定點，如圖，顯然圖象與軸有3個交點，不符合題意；如圖，此時滿足且，解得：，故選B2．（2023·浙江杭州·模擬預測）已知關于的二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標為．若，則的取值范圍為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點問題，先求出拋物線與的交點，再分與兩種情況，進行討論即可得出答案．【詳解】解：，則，解得：，，關于的二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標為，且，當時，，解得：，當時，，解得：，綜上所述，的取值范圍是或，故選：A．3．（2023·浙江·模擬預測）已知二次函數(shù)，已知函數(shù)與x軸相交于，且函數(shù)的對稱軸為直線，則的根的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系，二次函數(shù)的性質(zhì)等等，先根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出二次函數(shù)與x軸相交于，再由二次函數(shù)的性質(zhì)得到當時，，最后根據(jù)的根可以看做是二次函數(shù)與直線的交點的橫坐標即可得到答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)與x軸相交于，且函數(shù)的對稱軸為直線，∴二次函數(shù)圖象與x軸另一個交點為，∵，∴函數(shù)開口向上，∴離對稱軸越遠函數(shù)值越大，∴當時，∵的根可以看做是二次函數(shù)與直線的交點的橫坐標，∴，故選：D．4．（2023·浙江杭州·二模）若三個方程的正根分別記為，則下列判斷正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了二次函數(shù)與x軸的交點，解題此題的技巧性是根據(jù)題意構造二次函數(shù)，并作出函數(shù)圖象，由函數(shù)圖象直接得出答案，“數(shù)形結合”思想的使問題變得直觀、簡單．設，進而可確定函數(shù)的對稱軸均為，開口向上，然后畫出三個函數(shù)的圖象，根據(jù)三個函數(shù)開口的大小，可確定三個二次函數(shù)與直線的交點位置，進而判定三個方程正根的大小．【詳解】解：對于方程設∵函數(shù)①，②，③的對稱軸均為，開口向上，∴函數(shù)①，②，③的圖象大致為：函數(shù)①，②，③與直線在第一象限交點的橫坐標分別是方程的正根∵，∴函數(shù)①，②，③的開口大小依次為：，∴．故選：B．5．（2024·浙江溫州·一模）已知二次函數(shù)圖象上部分點的坐標對應值列表如下：x05002000y11則關于x的方程的解是．【答案】500【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及函數(shù)與方程的關系，先得出，整理，得，即當時所對應的的值，即可作答．【詳解】解：由題意可知，當時，則二次函數(shù)關于x的方程的解是，即當時所對應的的值根據(jù)圖表信息，得故答案為：500．題型05二次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應用二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標是（h，k）．（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，a≠0．1．（2023·浙江紹興·模擬預測）如圖所示，已知拋物線，與x軸分別交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接，過點A作交拋物線于點D，連接，則的度數(shù)．【答案】/度【分析】先求出，得到，，由勾股定理得到，求出直線解析式為，進而直線解析式為，聯(lián)立求出，則，證明，求出，則，可證明是等腰直角三角形，則．【詳解】解：如圖所示，過點B作于E，在中當時，解得或，∴，∴，在中當時，，∴，∴，∴；設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，∵，∴可設直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，聯(lián)立解得或，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合，正確作出輔助線構造相似三角形，從而通過證明是等腰直角三角形是解題的關鍵．2．（2023·浙江·模擬預測）已知有如下拋物線：，經(jīng)過A，B，C，已知A為，，請回答以下題目：

(1)求解該拋物線的解析式并求出頂點的坐標；(2)若點D在x軸的上方的拋物線上，點N在點C上方：①當是以為底邊的等腰三角形時，求出點D的坐標；②若時，求出點D的坐標；③若直線交y軸于點N，過B作的平行線交y軸于點M，當D點運動時，求出的最大值以及此時D的坐標．【答案】(1)，頂點坐標為(2)①或②③最大值為，此時點的坐標為【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）①根據(jù)是以為底邊的等腰三角形，可得，建立方程求解即可得出答案；②過點作軸于點，則，證得，可得，即，解方程即可；③設，利用待定系數(shù)法可得：直線的解析式為，直線的解析式為，直線的解析式為，即可得出：，，即，，再運用三角形面積公式即可求得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）解：拋物線，經(jīng)過，兩點，，解得：，該拋物線的解析式為，，該拋物線的頂點的坐標為；（2）令，得，解得：，，，，設，且，①，，，，是是以為底邊的等腰三角形，∴，即，，整理得：，解得：或，∴或；②如圖，過點作軸于點，則，

，，，即，解得：，（舍去），點的坐標為；③設，如圖，

，直線的解析式為，令，得，，，直線的解析式為，，直線的解析式為，令，得，，，，，，當時，有最大值，最大值為，此時點的坐標為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形相似、面積的計算等，有一定的綜合性．3．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；(2)為第一象限內(nèi)拋物線上的一個點，過點作軸于點，交于點，連接，當線段時，求點的坐標；(3)以原點為圓心，長為半徑作，點為上的一點，連接，，求的最小值．【答案】(1)，頂點坐標為(2)點M的坐標為(3)的最小值為【分析】（1）由，解得，然后代入解析式求解；（2）當線段時，則點C在的中垂線上，即時，即可求解；（3）先證明，然后利用當B、P、G三點共線時，最小，最小值為即可求解．【詳解】（1）∵對稱軸是直線，故，解得，故拋物線的表達式為，∴拋物線的頂點為；（2）對于，令，解得或，令，則，故點A、B、C的坐標分別為，設直線的表達式為，則，解得，故直線的表達式，設點M的坐標為，則點D的坐標為，當線段時，則點C在的中垂線上，即，即，解得（舍去）或2，故點M的坐標為；（3）在上取點G，使，即，則，則點，∵，，∴，∴，故，則，故當B、P、G三點共線時，最小，最小值為，則的最小值．【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)，會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來以及利用點的坐標的意義表示線段的長度是解題的關鍵．.4．（2023·浙江金華·三模）小聰同學在解決拋物線平移問題時，發(fā)現(xiàn)了一些幾何結論：如圖1，拋物線的頂點為A，沿右上方平移后，所得拋物線的頂點B落在原拋物線上，且與原拋物線的對稱軸交于點C，連結，延長交原拋物線于點D，則．(1)如圖2，當時，請說明該結論成立．(2)當時，求點D的坐標．(3)過點D作軸，交原拋物線的對稱軸于點E，若，直接寫出的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)4【分析】（1）由題意知，，可得頂點，對稱軸為y軸，設拋物線向右平移h個單位長度，向上平移k個單位長度，則平移后的拋物線頂點為，平移后的函數(shù)解析式為，進而可得，由，，證明結論即可；（2）由題意知，，則頂點，對稱軸為y軸，同理（1）：平移后的拋物線頂點為，平移后的函數(shù)解析式為，，則，如圖1，過點B作軸于E,則，，由，可求，則，待定系數(shù)法求直線的解析式為，聯(lián)立得：，計算求出滿足要求的解，然后求解作答即可；（3）如圖2，過點B作于F，則，，由，可得，同理（1）可得，，，待定系數(shù)法求直線的解析式為，聯(lián)立得：，求得點D的橫坐標為，則，由，可得，證明，則，計算求解即可．【詳解】（1）解：證明：當時，，∴頂點，對稱軸為y軸，設拋物線向右平移h個單位長度，向上平移k個單位長度，∴平移后的拋物線頂點為，平移后的函數(shù)解析式為，將代入，得，∴，當時，，∴，∴，，∴；（2）解：當時，，∴頂點，對稱軸為y軸，同理（1）：平移后的拋物線頂點為，平移后的函數(shù)解析式為，，∴，如圖1，過點B作軸于E,∴，，∵，∴，解得，，∴，設直線的解析式為，將代入得，，解得，，∴直線的解析式為，聯(lián)立得：，解得，（舍去），，∴；（3）解：如圖2，過點B作于F，∵，∴，∴，∵，∴，設拋物線向右平移h個單位長度，向上平移k個單位長度，∴平移后的拋物線頂點為，平移后的函數(shù)解析式為，將代入，得，∴，∴，，設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立得：，解得：，，∴點D的橫坐標為，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴．∴的面積為4．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，正切，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)與相似綜合等知識．熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，正切，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)與相似綜合是解題的關鍵．5．（2023·浙江·模擬預測）已知二次函數(shù)的圖象為拋物線，點是平面直角坐標系上的兩點，一次函數(shù)的圖象過點且與交于兩點，垂直于的對稱軸，垂足為．

(1)用表示線段的長；(2)求證：；(3)若，是否存在直線，使得？如果存在，求出的解析式，如果不存在，說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)不存在，理由【分析】（1）聯(lián)立可得，從而得到，再由，可得，即可；（2）過點Q作對稱軸的垂線，垂足為點D，由（1）得：，，從而得到，可證得，即可；（3）假設存在直線，使得，則，設，可得，從而得到，再根據(jù)，可得，然后由（2）得：，，從而得到，繼而得到m，n為一元二次方程的兩個根，即可求解．【詳解】（1）解：由得：，∵一次函數(shù)的圖象過點且與交于兩點，∴，∵一次函數(shù)的圖象過點，∴，∴；（2）解：如圖，過點Q作對稱軸的垂線，垂足為點D，

由（1）得：，同理，∴，∵，∴，∴；（3）解：不存在，理由如下：假設存在直線，使得，則，設，∴，∵，∴點，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，由（2）得：，，∴，∴m，n為一元二次方程的兩個根，此時，∴此方程無解，即滿足條件的直線不存在．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．6．（2024·浙江·模擬預測）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與y軸的交點為．(1)求c的值；(2)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求a的值；(3)已知點A，B的坐標分別為和，若二次函數(shù)的圖象與線段恰有一個交點，直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)當或時，二次函數(shù)的圖象與線段恰有一個交點．【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結合是解題的關鍵．（1）把代入即可求解；（2）把和代入即可求解；（3）分三種情況討論，當二次函數(shù)圖象與軸只有一個交點時，當和，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點為，∴；（2）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，解得；（3）解：由題意得，對稱軸，解得，當二次函數(shù)的圖象與軸只有一個交點時，，解得（舍去），，當時，，∴二次函數(shù)的圖象與軸的交點為，符合題意；當時，；當時，；即二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，當，解得，不等式無解，∴當，解得，不等式的解集為，綜上，當或時，二次函數(shù)的圖象與線段恰有一個交點．7．（2024·浙江·模擬預測）如圖，拋物線與y軸交于A點，其頂點為D．直線分別與x軸、y軸交于B、C兩點，與直線相交于E點．(1)求A、D的坐標（用m的代數(shù)式表示）；(2)將沿著y軸翻折，若點E的對稱點P恰好落在拋物線上，求m的值；(3)拋物線上是否存在一點P，使得以P、A、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、對稱、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學會用配方法確定拋物線頂點坐標，學會分類討論，知道可以利用方程組求兩個函數(shù)圖象交點坐標，屬于中考壓軸題．（1）利用配方法求出頂點D坐標，令，可以求出點A坐標；（2）求出直線解析式，利用方程組求出點E坐標，再求出點E關于y軸對稱點坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題；（3）分為邊，為對角線兩種情形分別討論即可解決問題．【詳解】（1）∵，∴頂點，令，則，∴點，∴；（2）設直線為，則，解得，∴直線解析式為，由，解得，∴點E坐標為，∴點關于y軸的對稱點，∵點在拋物線上，∴，∴或，∵，∴；（3）如圖，①當為邊時，，，令，則，∴點C的坐標為，∴根據(jù)平移可以得到點P坐標，∴，∴或(舍棄)，②當為對角線時，為邊，根據(jù)平移可得點坐標，∴，∴或(舍棄)∴拋物線解析式為或．8．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知二次函數(shù)（a，b，c為已知數(shù)，且）與y軸的交點是．(1)求c的值．(2)若二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，求k的值，并用含a的代數(shù)式表示b．(3)在（2）成立的情況下，若，當時，的最大值為m，最小值為n，求的最小值．【答案】(1)(