高考沖刺《數(shù)學(xué)》考前中檔保分專題沖刺練習(xí)（6+2+2+3）（21-22）教師版

第頁高考考前最后沖刺系列中檔保分（6+2+2+3）（本練習(xí)主要以模考題中的基礎(chǔ)中檔題為主，旨在為學(xué)生高考考前鞏固基礎(chǔ)，查缺補漏）（二十一）一、單選題1、（2024·浙江紹興·二模）已知橢圓的離心率為，長軸長為4，則該橢圓的短軸長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由離心率得到的關(guān)系式，代入的值，即可求得短軸長.【詳解】由可得（*），因，即，代入（*）解得，故短軸長為故選：B.2、（2024·貴州畢節(jié)·三模）隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A．0.66 B．0.34 C．0.17 D．0.16【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布對稱性求解即可.【詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以，所以.故選：D.3、（2024·遼寧撫順·三模）已知圓錐的底面圓的半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的母線長為（

）A． B．3 C． D．4【答案】D【分析】設(shè)母線長為，根據(jù)題意得到，即可求解．【詳解】設(shè)母線長為，由題意，可得，解得，即圓錐的母線長為．故選：D.4、（2024·遼寧撫順·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞增C．為偶函數(shù) D．的最小值為【答案】C【分析】由積化和差公式化簡，根據(jù)周期公式判斷A，根據(jù)正弦函數(shù)的最值判斷D，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷C.【詳解】因為，此時最小正周期為，其最小值為，所以A錯誤，D錯誤；因為，所以，可知在上不單調(diào)，B錯誤；又，所以為偶函數(shù)，C正確．故選：C5、（2024·安徽·模擬預(yù)測）學(xué)校安排含唐老師、李老師在內(nèi)的5位老師去3個不同的學(xué)校進行招生宣傳，每位老師都必須選1個學(xué)校宣傳，且每個學(xué)校至少安排1人.由于唐老師是新教師，學(xué)校安排唐老師和李老師必須在一起，則不同的安排方法有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．60種【答案】B【分析】把5位老師按和分組，再把分成的3組安排到3所學(xué)校，列式計算得解.【詳解】把5位老師按和分組，且唐老師和李老師在一起的不同分組方法數(shù)為，所以不同的安排方法有（種）.故選：B6、（2024·河南·模擬預(yù)測）已知點是圓C上的任意一點，則的最大值為（

）A．25 B．24 C．23 D．22【答案】A【分析】設(shè)代入算式中由倍角公式化簡，利用基本不等式求積的最大值.【詳解】點是圓C上的任意一點，設(shè)則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.的最大值為25.故選：A二、多選題7、（2024·遼寧撫順·三模）年月日國家統(tǒng)計局發(fā)布了制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（）,如下圖所示:下列說法正確的是（

）A．從年月到年月,這個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（）的第百分位數(shù)為B．從年月到年月,這個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（）的極差為C．從年月到年月制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（）呈下降趨勢D．大于表示經(jīng)濟處于擴張活躍的狀態(tài);小于表示經(jīng)濟處于低迷萎縮的狀態(tài),則年月到年月,經(jīng)濟處于擴張活躍的狀態(tài)【答案】ABD【分析】根據(jù)折線圖中的數(shù)據(jù),結(jié)合極差、平均數(shù)、百分位數(shù)定義與計算方法逐一判斷即可.【詳解】由圖知,從年月到年月,這個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（）從小到大的順序為,因為,所以第百分位數(shù)為第個數(shù),即為,故A正確;從年月到年月,這個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（）的最大值為,最小值為,所以極差為,故B正確;由圖易知制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（）有升有降,故C錯誤;由圖知年月到年月PMI均大于,所以經(jīng)濟處于擴張活躍的狀態(tài),故D正確.故選:ABD.8、（2024·安徽·模擬預(yù)測）在信息時代，信號處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù).函數(shù)的圖象可以近似模擬某種信號的波形，則（

）A．為偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于點對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．是的一個周期【答案】BC【分析】對A，根據(jù)奇偶函數(shù)得定義判斷；對B，計算可判斷；對C，計算可判斷；對D，根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷.【詳解】由題意得，，對于A，，，∴函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，，∴的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；對于C，，∴的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于D，，∴不是的周期，故D錯誤.故選：BC.三、填空題9、（2024·安徽·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由實部和虛部都小于零解不等式組求出即可.【詳解】由題意得，，解得，∴實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.10、（2024·安徽·模擬預(yù)測）若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)m的最大值為.【答案】/【分析】根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，即可得到，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的值域即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，，令，則，易知單調(diào)遞增，所以.令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，得.所以的最大值為.故答案為：四、解答題11、（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的方程；(2)若函數(shù)在上有2個極值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）令，分離參數(shù)可得，由題意可得方程在上有2個根，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求出其極值和單調(diào)區(qū)間即可得解.【詳解】（1）由題意得，，故，解得，而，故所求切線方程為，即；（2）令，則，故，因為函數(shù)在上有2個極值點，所以方程在上有2個根，令，，則，令，解得，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，當(dāng)，，故實數(shù)的取值范圍為.12、（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，，，，，P為線段的中點，點N為線段上靠近的三等分點.(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先得到，，得到線面垂直，故，再得到，由三線合一得到，得到線面垂直，得到結(jié)論；（2）先證明出面面垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值.【詳解】（1）因為，故，又，所以，故側(cè)面為矩形，故，又，，，所以平面，而平面，故，又，，故為等邊三角形，所以，因為是線段的中點，故，且，平面，故平面，因為平面，故.（2）由（1）知，平面，又平面，故平面平面，以為原點，，所在直線分別為x，y軸，過點C在平面內(nèi)作垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，，設(shè)，則，即，解得，故，易得平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量，則，令，則.記平面與平面夾角為，故，即平面與平面夾角的余弦值為.13、（2024·安徽·模擬預(yù)測）某學(xué)校組織一場由老師與學(xué)生進行的智力問題比賽，最終由小明同學(xué)和唐老師入圍決賽，決賽規(guī)則如下：①學(xué)生：回答n個問題，每個問題小明回答正確的概率均為；若小明回答錯誤，可以行使學(xué)生權(quán)益，即可以進行場外求助，由場外同學(xué)小亮幫助答題，且小亮每個問題回答正確的概率均為.②教師：回答個問題，每個問題唐老師回答正確的概率均為.假設(shè)每道題目答對與否相互獨立，最終答對題目多的一方獲勝.(1)若，，記小明同學(xué)答對問題（含場外求助答對題數(shù)）的數(shù)量為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望：(2)若，且小明同學(xué)獲勝的概率不小于，求p的最小值.【答案】(1)分布列見解析，；(2).【分析】（1）求出小明答每個問題，回答正確的概率，再利用二項分布求出分布列及期望.（2）求出小明答對1個、2個試題的概率，唐老師答對0個、1個試題的概率，再把小明獲勝的事件分拆成互斥事件的和，即可求出概率.【詳解】（1）小明同學(xué)答每個問題，回答正確的概率，的所有可能取值為，顯然，則，，，，則的分布列為0123數(shù)學(xué)期望.（2）記事件為小明同學(xué)答對了道題，事件為唐老師答對了道題，，，其中小明同學(xué)答對某道題的概率為，答錯某道題的概率為，則，，，，所以小明同學(xué)獲勝的概率為，解得，所以的最小值為.（二十二）一、單選題1、（2024·浙江紹興·二模）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】由等差數(shù)列求和公式結(jié)合已知列方程即可求解.【詳解】由題意設(shè)等差數(shù)列的首項、公差分別為，因為，所以，從而.故選：D.2、（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知拋物線C：的焦點為F，若點在C上，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，將點坐標(biāo)代入拋物線方程，求得，求出，即可求得的面積.【詳解】

將代入C的方程，得，故，所以，則的面積.故選：A.3、（2024·貴州黔南·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知：為函數(shù)的對稱軸，結(jié)合余弦函數(shù)對稱性分析求解.【詳解】由題意可知：為函數(shù)的對稱軸，則，則，對于選項A：令，解得，不合題意；對于選項B：令，解得，符合題意；對于選項C：令，解得，不合題意；對于選項D：令，解得，不合題意；故選：B.4、（2024·全國·三模）若，則的值是（

）A．零 B．正數(shù) C．負(fù)數(shù) D．以上皆有可能【答案】A【分析】，則，代入已知利用指數(shù)、對數(shù)運算化簡求解即可.【詳解】令，則，由得，所以.故選：A.5、（2024·浙江紹興·二模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先得，進一步由有，結(jié)合二倍角公式、商數(shù)關(guān)系以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因為，所以，又因為，所以，從而，，所以.故選：B.6、（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R，對于任意實數(shù)x，y滿足，且，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．為偶函數(shù)C．是周期函數(shù) D．【答案】C【分析】對于A，令，結(jié)合即可判斷；對于B，令結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于C，令即可判斷；對于D，得出遞推關(guān)系，由此即可驗算.【詳解】令，得，因為，所以，A正確;令，則，所以，則為偶函數(shù)，B正確；令，得，即，所以不是周期函數(shù)，C錯誤；當(dāng)x取正整數(shù)n時，，則，D正確.故選：C.二、多選題7、（2024·安徽·模擬預(yù)測）“體育強則中國強，國運興則體育興”.為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運會，運動員們都在積極參加集訓(xùn)，已知某跳水運動員在一次集訓(xùn)中7位裁判給出的分?jǐn)?shù)分別為：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，則這組數(shù)據(jù)的（

）A．平均數(shù)為9.6 B．眾數(shù)為10C．第80百分位數(shù)為9.8 D．方差為【答案】ABD【分析】根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)和方差的定義求解.【詳解】對于A，平均數(shù)，故A正確；對于B，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為10，故B正確；對于C，7×0.8=5.6，第80百分位數(shù)為第6位，即10，故C錯誤；對于D，方差為，故D正確.故選：ABD.8、（2024·貴州黔南·二模）已知銳角的三個內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且的面積為.則下列說法正確的是（

）A．B．的取值范圍為C．若，則的外接圓的半徑為2D．若，則的面積的取值范圍為【答案】ABD【分析】對A：借助面積公式與余弦定理計算即可得；對B：借助銳角三角形定義與三角形內(nèi)角和計算即可得；對C：借助正弦定理計算即可得；對D：借助正弦定理，結(jié)合面積公式將面積用單一變量表示出來，結(jié)合的范圍即可得解.【詳解】對A：由題意可得，由余弦定理可得，即有，即，由，故，即，故A正確；對B：則，，解得，故B正確；對C：由正弦定理可得，即，故C錯誤；對D：若，則，由正弦定理可得，即，即，由，則，故，故D正確.故選：ABD.三、填空題9、（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)的周期為，則函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為．【答案】（答案不唯一，符合均為正確答案）【分析】求出，求出即可求出對稱軸方程.【詳解】因為函數(shù)的周期為，所以，所以，所以，令，所以，所以.故答案為：.10、（2024·貴州黔南·二模）已知四面體的四個面都為直角三角形，平面，為直角，且，則四面體的體積為，其外接球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)題意求，結(jié)合錐體的體積公式求四面體的體積；取的中點，分析可知四面體的外接球的球心即為點，進而可求外接球的表面積.【詳解】因為，且，可得，，所以四面體的體積為；取的中點，因為四面體的四個面都為直角三角形，則，可知四面體的外接球的球心即為點，半徑，所以其外接球的表面積為.故答案為：；.四、解答題11、（2024·貴州畢節(jié)·三模）2023年12月30日8時13分，長征二號丙/遠(yuǎn)征一號S運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火起飛，隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)試驗衛(wèi)星送入預(yù)定軌道由中國航天科技集團有限公司研制的運載火箭48次宇航任務(wù)全部取得圓滿成功．也代表著中國航天2023年完美收官某市一調(diào)研機構(gòu)為了了解當(dāng)?shù)貙W(xué)生對我國航天事業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機從本市大學(xué)生和高中生中抽取一個容量為的樣本，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如下列聯(lián)表：學(xué)生群體關(guān)注度合計關(guān)注不關(guān)注大學(xué)生高中生合計(1)完成上述列聯(lián)表；依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)聯(lián)，求樣本容量n的最小值；(2)用頻率估計概率，從本市大學(xué)生和高中生中隨機選取3人，用X表示不關(guān)注的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828，其中．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意即可完成列聯(lián)表，在由題意可得，即可求出；（2）由題意可得服從二項分布，再根據(jù)二項分布的期望公式即可得解.【詳解】（1）列聯(lián)表如下：學(xué)生群體關(guān)注度合計關(guān)注不關(guān)注大學(xué)生高中生合計，因為依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)，所以，由題可知，n是10的倍數(shù)，所以n的最小值為；（2）由（1）可知，所以不關(guān)注的人數(shù)為，用頻率估計概率，所以不關(guān)注的概率為，X的所有可能取值為0，1，2，3，，，所以X的分布列為X0123P因為，所以.12、（2024·貴州畢節(jié)·三模）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)在上有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值，令，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可證明；（2）由題意知原命題等價于導(dǎo)數(shù)在上有兩個不等實根，據(jù)此即可求解.【詳解】（1）證明：令，在上恒成立，在上單調(diào)遞