2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市高三年級下冊二模文科數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市高三下學(xué)期二模文科數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知全集。={x|-l<x<5},集合A滿足可A={x|04尤<3},則（）

A.0eAB.l^A

C.2￡4D.3^A

2.已知復(fù)數(shù)z=l+后（i為虛數(shù)單位），則三的虛部為（）

A.-73B.-V3iC.-1D.-i

3.設(shè)機，??eR,則“〃但=1”是“3相+坨〃=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.若非零向量久6滿足|a|=|）|=|a+）|,則向量d與向量a+》的夾角為（）

A.150B.120C.60D.30

5.從分別寫有1,2,3,4,5,6的六張卡片中無放回隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的

數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為（）

3211

A.5-B.5-3-D.5-

6.已知函數(shù)〃元）=2-2，+。的值域為若（L+e）=M,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-°0,1)B.(-℃,1]C.(1,+w)D.[1,+co)

7.已知數(shù)列{%}為等比數(shù)列，且4=1,%=16,設(shè)等差數(shù)列也}的前〃項和為S“，若

="5,則既=（）

A.一36或36B.-36C.36D.18

8.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)

y=Asin血，但我們平時聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復(fù)

合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)/（%）=sin.r+|sin2x（xeR）,則下列說法正確的

是（）

A.〃x）的一個周期為兀B.〃x）的最大值為1

C.“X）的圖象關(guān)于點1寸稱D.在區(qū)間［0,可上有2個零點

9.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，設(shè)A（2.4）,B（-2,-4）,動點P滿足尸O.pA=.l,則

tan/P3O的最大值為（

2后4A/29C2屈

2129'41

10.在正方體ABCD-ABC。中，E為2。的中點，則直線用E與AQ所成角的余弦值

為（）

2

11.設(shè)g（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且g（l-x）=g（l+x）.若g

22

12.已知雙曲線C：3-3=15>0力>0）的左、右焦點分別為耳、瑞，雙曲線C的

ab

離心率為e,在第一象限存在點尸，滿足e-sinNPF；B=l,且則雙曲線C

的漸近線方程為（）

A.2x±y=0B.x±2y=0

C.3光土y=0D.九±3y=0

13.拋物線的準(zhǔn)線方程為y=l,則實數(shù)。的值為

14.在ABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=0,b=4,c-cosB+a=0,

貝|邊。=.

x+y-5>0

15.若實數(shù)XJ滿足約束條件x-2y+"0,貝ljz=x+y的最小值為.

x>l

16.已知圓柱的兩個底面的圓周在表面積為4元的球。的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的

最大值為.

三、解答題

17.某企業(yè)擬對某產(chǎn)品進行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技升級投入加（萬

元）與科技升級直接收益y（萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

序號1234567

試卷第2頁，共4頁

m234681013

y13223142505658

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了y與機的兩個回歸模型：模型①：9=4.而+11.8；模型②:

9=21.3后-14.4.

(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①、②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、

更可靠的模型；

(2)根據(jù)(1)選擇的模型，預(yù)測對該產(chǎn)品科技升級的投入為100萬元時的直接收益.

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.1m+11.8￡=21.3而-14.4

7

S(x-x)2

182.479.2

i=\

2

-y;)

(附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)玄=1-~」，六越大，模型的擬合效果越好)

Z=1

18.如圖，在多面體D4BCE中，ABC是等邊三角形，

AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=y/2.

(1)求證：BCLAE-,

(2)求三棱錐3-ACD的體積.

19.已知函數(shù)/(%)=4(*2-111彳)+(1-2/卜(42()).

⑴若x=l是函數(shù)y=/(x)的極值點，求。的值；

⑵求函數(shù)y=〃x)的單調(diào)區(qū)間.

22_

20.已知橢圓E:=+與=l(a>6>0)過點(0,1),且焦距為2石.

ab

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點s(l,o)作兩條互相垂直的弦A8,C￡>,設(shè)弦4氏8的中點分別為“d.證明：直

線MN必過定點.

21.已知數(shù)列｛4｝為有窮數(shù)列，且4?N*,若數(shù)列｛4｝滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列｛q｝

為機的上增數(shù)列：

①%+%+。3+…+Q,-m；

②對于使得%?的正整數(shù)對(0)有左個.

⑴寫出所有4的1增數(shù)歹U；

⑵當(dāng)〃=5時，若存在加的6增數(shù)列，求加的最小值.

]

x=

cosa

22.在直角坐標(biāo)系xOv中，曲線C的參數(shù)方程為,(a為參數(shù)，a^k:i+—),

遮sina2

y=

cosa

以坐標(biāo)原點。為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

0cos,+()=1.

(1)求曲線C的普通方程和直線I的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點尸(2,0),若直線/與曲線C交于A,B兩點,求向一向1的值?

23.已知f(x)=|2x+2|+|x_3|.

⑴求不等式〃x)<5的解集；

(2)若/(%)的最小值為加，正實數(shù)。，b,。滿足a+b+c=m,求證:

1119

-----1-----1----2—.

a+bb+ca+c2m

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)全集和集合A在全集中的補集易得集合A,逐一判斷選項即可.

【詳解】由。=料一1<無<5},^A={x|0<x<3},可得A={x|-L<x<0或3V無<5}

則0史4,UA,2eA,3GA,故B項正確，A,C,D項均是錯誤的.

故選：B.

2.A

【分析】由共軌復(fù)數(shù)以及虛部的概念即可得解.

【詳解】因為復(fù)數(shù)z=l+6i,所以胃=1-后的虛部為-石.

故選：A.

3.B

【分析】通過舉反例說明“〃掰=1”不是“坨〃2+坨力=0”的充分條件，再由對數(shù)的運算性質(zhì)由

1g根+lg〃=0推得〃〃7=1,即得結(jié)論.

【詳解】由〃"7=1不能推出1g機+lg〃=。，如W=-l滿足=1,

但1g加,1g〃無意義，故"=1”不是“1g小+1g"=0”的充分條件；

再由1g+1g〃=0可得lg(mn)=0,即得〃掰=1,故"=1”是“1g"2+1g〃=0”的必要條件

即“〃掰=1”是“1gm+lg/=0"的必要不充分條件.

故選：B.

4.C

【分析】利用向量加法的三角形法則作出圖象，根據(jù)圖象得答案.

【詳解】如圖：若|a|=SI=|a+b|,則ASC為等邊三角形

則向量a與向量a+匕的夾角為60.

故選：C.

【分析】根據(jù)題意，用列舉法分析“從六張卡片中無放回隨機抽取2張”和“抽到的2張卡片

答案第1頁，共13頁

上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)”的情況數(shù)目，由古典概型公式計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，從六張卡片中無放回隨機抽取2張,有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種取法,

其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)有(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,4),(3,5),

(3,6),(4,6),(5,6),共9種情況，

則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率尸="=|；

故選：A.

6.B

【分析】化復(fù)合函數(shù)/(9=2工,2工+。為/(〃)=2",〃=爐+2》+。，根據(jù)已知條件(1,+⑹=M,

確定M的取值范圍，再根據(jù)〃的取值范圍確定。的取值范圍即可.

【詳解】因為〃x)=2『+2工+"，令〃=/+2x+a,所以〃")=2"；

令函數(shù)a=f+2x+a的值域為N,因為(1,+<?)=",

所以(O,+“)=N,所以f+2尤+a必須能取到(0,+8)上的所有值，

4xa-2?4a-4/八曲1耳.

。=-------二1-4°，解侍aWL

故選：B

7.C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得小=4,繼而求得的值，利用等差數(shù)列前“項

和公式進行計算即可.

【詳解】數(shù)列｛風(fēng)｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為分且4=1,%=16,

則%=/=16,則/=4,

4

貝U=aq=4,

則品=也產(chǎn)9-，

故選：C.

8.D

【分析】對于A,考查函數(shù)、=sinx與y=；sin2x的周期即可；對于B,考查函數(shù)、=5111%與

答案第2頁，共13頁

y=；sin2x的最大值，驗證同時取最大值時的條件即可判斷；對于C,利用中心對稱的條件

進行驗證即可；對于D,令/（x）=0,解方程即可.

【詳解】對于A,因為y=sinx的周期為2兀，y=gsin2x的周期為兀，所以

〃x）=sinx+gsin2尤的周期為2兀，故A錯誤；

對于B,因為函數(shù)〉=5瓦尤的最大值為l,y=：sin2x的最大值為:，

2/

故兩個函數(shù)同時取最大值時，/（X）的最大值為

JTTT

此時需滿足％=—+2kn,kwZ且2x=—+2kn,keZ,不能同時成立,

22

a

故最大值不能同時取到，故/（元）的最大值不為則B錯誤;

對于（）（）（）；

C,/7i-x=sin7i-x+^-sin|^27i-x]=sinx-sin2x則

/（x）+/（7i-x）=2sinxwO,

故〃X）的圖象不關(guān)于點［,o］對稱，C錯誤;

對于因為/'（尤）=$也無+：也尤=$山尤（：苫）=時,

D,521+￡050sin%=0,又xe[0,7t],

所以x=0或者x=k；或者l+cosx=0,此時cosx=-l,又xe[0,7i],

所以x=/綜上可知，〃尤）在區(qū)間［0,可上有2個零點，故D正確，

故選：D.

9.C

【分析】設(shè)出點P（%y）,利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到點尸的軌跡，結(jié)合直線與圓的關(guān)系進

行求解即可.

【詳解】設(shè)P（x,y），貝ijPO=（f,-y）,PA=（2-x,4-y）,

貝ljPO'PA=-x{l-x）-y［^-y）=-1,BPx2-2x+y2-4）；+1=0,

化為（x—l）2+（y—2/=4,則點P的軌跡為以0（1,2）為圓心，半徑為2的圓，

—44

^k=—=2=k=~,所以氏0,0三點共線，

OB-2OD2

答案第3頁，共13頁

yt

顯然當(dāng)直線尸B與此圓相切時，tan/PB?的值最大.

又BD=M+G=3區(qū)PD=2,

貝1JPB=ylBD2-PD2=J45-4=屈，

PD22a

貝！ItanNPBO=—=-==

PBV41a

故選：c.

10.D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角余弦公式求出答案.

【詳解】以點O為坐標(biāo)原點，OAOCDR所在直線分別為X,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體ABC。-4月￡。的棱長為2,

則4（2,0,2）,r＞（0,0,0）,4（2,2,2）,￡（1,1,0）,

則直線B、E與A.D所成角的余弦值為

故選：D

11.A

答案第4頁，共13頁

【分析】結(jié)合抽象函數(shù)的奇偶性，周期性求解即可.

【詳解】若g(l—x)=g(l+x),且g(x)是定義域為R的奇函數(shù)，故—g(x)=g(—x),

貝1Jg(-x)=g(x+2),-g(x)=g(x+2),變形得g(x+4)=-g(x+2)=g(x),

可得g(x)周期為4,貝1Jg[?)=g[m=_g[-￡|=_g，故A正確.

故選：A

12.A

【分析】由題意設(shè)|所|=七則儼耳|=/一2。，而sin/尸耳凡=!=旦，|耳閭=2c,由三角形

ec

面積公式可得|尸耳=4"，從而歸可=2°,在△2/笆中，運用余弦定理可得：=2,由此即可

得解.

【詳解】

設(shè)|尸耳|=^^\\PF2\=t-2a,而e-sin/W譙=1,所以sin/P百鳥=：=’,

所以點尸到可約的距離為|P引sin/W譙=4，

又忸司=2c,所以S.=；2?4=4/,

解得f=4a,即|P周=4a,從而|尸用=2”,

又因為sin/P4&=1=0

ec

a

所以cosN尸片區(qū)=1

在和中’由余弦定理有?叱勺?)[(：：[伽):

b1

所以4。匕=4/+。2一/=〃+4/,即勺一4絲/7+4=0,

aa

h

解得2=2,雙曲線C的漸近線方程為2x土y=0.

a

故選：A.

答案第5頁，共13頁

13.—/—0.25

4

【分析】根據(jù)拋物線方程及準(zhǔn)線方程列出方程，解出即可.

【詳解】依題可知-3=1,

貝3=一9，

4

故答案為：二.

4

14.M

【分析】由余弦定理化角為邊，化簡整理后，代值計算即得.

【詳解】因。cos3+a=0,由余弦定理，c--+a=0,化簡得3a?+c?，

lac

因。=應(yīng)，6=4，故0="2—3片=回.

故答案為：M.

15.5

【分析】利用約束條件畫出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合圖形即可得

解.

x+y-5>0

【詳解】畫出約束條件-尤-2y+140的可行域如下圖所示陰影，

x>l

由2=工+九^y^-x+z,移動直線簇y=-x+z,

當(dāng)>=-%+2與x+y-5=0重合時，z取得最小值;

聯(lián)立04+13解得;2,則32)，

此時點4(3,2)在直線AX+X上,故z=3+2=5.

故答案為：5.

答案第6頁，共13頁

16.2兀

【分析】由題意，先求出球的半徑，再由球和圓柱的位置關(guān)系得到圓柱的底面半徑、母線和

球的半徑的關(guān)系，然后利用基本不等式求出圓柱的側(cè)面積的最大值.

【詳解】設(shè)球的半徑為R,圓柱的底面半徑為人母線為/,

由題意可知，S=4成2=4兀解得R=1,

又圓柱的兩個底面的圓周在表面積為4兀的球。的球面上，

所以圓柱的兩個底面的的圓心關(guān)于球心對稱，且產(chǎn)+(￡|2=R2=1,

圓柱的側(cè)面積S=2jirl,1>0,

因為產(chǎn)+乙22廣義,=〃，當(dāng)且僅當(dāng)廠=(，即r=應(yīng)時，等號成立，

4222

所以〃<1,S=2nrl<2n.

故答案為：27r.

17.(1)模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，即模型②的擬合效果精度更高、更可靠.

(2)198.6

【分析】(1)利用相關(guān)指數(shù)的定義判斷相關(guān)性即可.

(2)將給定數(shù)值代入擬合模型中求預(yù)測值即可.

【詳解】(1)由表格中的數(shù)據(jù)，182.4>79.2,

.182.479.2__182,4__n7_

,,7717

S(x-x)2Z5-療S(x-x)2Z(x-y,)2

i=li=li=li=l

所以，模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，

即模型②的擬合效果精度更高、更可靠.

(2)當(dāng)機=100萬元時，科技升級直接收益的預(yù)測值為：

j=21.37100-14.4=213-14.4=198.6(萬元)

18.(1)證明見解析

⑵如

3

【分析】(1)首先取BC中點。，連接AO,E。，根據(jù)題意易證EOYBC,從而

得到BC工平面AEO,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得到BC1AE.

答案第7頁，共13頁

(2)首先連接。。，易證DO_LBC,DO1AO,即可得到DO_L平面ABC,再根據(jù)

^B-ACD=%一ABC求解即可.

【詳解】(1)取BC中點0,連接AO,EO.

ABC是等邊三角形，。為BC中點，

:.AO±BC,

y,EB=EC,:.EOLBC,

AOc>EO=O,AO,EOAEO,.13C_L平面AEO,

又AEu平面AEO,

:.BCLAE.

(2)連接DO,如圖所示：

因為O3=OC,。為BC中點，則。OL5C,

由AB=AC=BC=2,DB=DC=EB=EC=e得AO=布,DO=l,

XAD=2,AO2+DO2=AD2,:.DO±AO,

又AOBC=O,AO,3Cu平面ABC,.?.￡>O_L平面ABC,

所以％.48=%-板=:50力0=?9*22、1=。?

19.(1)1

(2)單調(diào)減區(qū)間為(OM),單調(diào)增區(qū)間為內(nèi))

答案第8頁，共13頁

【分析】（1）由X=1是函數(shù)y=/（x）的極值點，r⑴=0,求解驗證即可;

（2）利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

【詳解】（1）函數(shù)定義域為（o,+8）,-（尤）=2-+（1-2辦,

因為X=1是函數(shù)y=/（x）的極值點，

所以/'。）=]+4_2/=0,解得q=_g或。=1,

因為“20,所以q=l.此時尸（x）=2f-x-l=（2x+l）（尤-1）,

XX

令尸（x）>0得x>l,令/'（x）<0得0<%<1,

在（0,1）單調(diào)遞減，在（1,+⑹單調(diào)遞增，所以x=l是函數(shù)的極小值點.

所以4=1.

（2）,/2。/+（l—2a~）元—a（2ar+l）（x—t?）

xx

因為aNO,所以2依20,令/'（x）>0得x>。；令/'（%）<0得0<x<a；

；?函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0,。），單調(diào)增區(qū)間為（。,+8）.

20.（1）—+/=1；

4

（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可求出橢圓E的方程.

（2）直線不垂直于坐標(biāo)軸時，設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立求出中點坐標(biāo)，求出直

線即得，再驗證之一垂直于x軸的情況即可.

【詳解】（1）依題意，橢圓半焦距C=A/L而6=1,則a2=/+c2=4,

所以橢圓的方程為二+V=L

4-

（2）當(dāng)直線A3不垂直于坐標(biāo)軸時，設(shè)直線A2的方程為x=7孫+1（尤H。），4（士,%）,8（尤2，%）,

由CD_LAB,得直線CD的方程為％=y+1,

m

答案第9頁，共13頁

x=my+1,cc

由兀2+4)2—4消去尤得：(m2+4)y2+2my-3=o,

貝!JA=16m2+48>0,必+%=—^―8

,故X+X,=/心1+%)+2=r—7

m+4m+4

4—rn14m2m

于是由代替加，得N(-

m+4m+4ml+4m2l+4m2

444

當(dāng)KTE'即3i時'直線.…二'過點啊，。）,

m-m

44m25m

即小時，直線MN的斜率為堀”/"匕+4

-m3+4力-1--+--4--m--74(m2-l)

1+4m2m2+4

-m5m,4、4(m2-1)44m2+164

直線MV:J+——2八(X一_T)令y=0,x=---------1--------=--------=—

m+44(m-1)m+45(/+4)(m2+4)5(加+4)5

4

因此直線MN恒過點K(1,0),

4

當(dāng)直線4B,CD之一垂直于尤軸，另一條必垂直于>軸，直線MN為x軸，過點K《,0）,

【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先

通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求

解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參

數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點.

21.⑴所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1,2,1和數(shù)列1,3

(2)7

【分析】（1）利用給定的新定義，求出所有符合條件的數(shù)列即可.

（2）運用給定的新定義，分類討論求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）由題意得q+/++%=4,則1+1+2=4或1+3=4,

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故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1,2,1和數(shù)列1,3.

(2)當(dāng)〃=5時，因為存在機的6增數(shù)列，

所以數(shù)列｛%｝的各項中必有不同的項，所以〃拈6且帆eN*,

若帆=6,滿足要求的數(shù)列｛%｝中有四項為1,一項為2,

所以上44,不符合題意，所以〃>6

若加=7,滿足要求的數(shù)列｛4｝中有三項為1,兩項為2,符合機的6增數(shù)歹U.

所以，當(dāng)〃=5時，若存在加的6增數(shù)列，m的最小值為7.

2

22.(1)C：x-^=l,直線/：X-A/3J-2=0

⑵2

3

\X=pCGSd

【分析】(1)用消參數(shù)法化參數(shù)方程為普通方程，由公式化極坐標(biāo)方程為直角

坐標(biāo)方程;

(2)化直線方程為夕點的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入拋物線方程利用參數(shù)幾何意義結(jié)合韋達定理

求解.

1

x=-------,

cosa/、r公包,冗、

【詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為（。為參數(shù)，a^k7i+—）,

V3sincr2

y=，

cosa

所以x2=_^,d="里，所以/-其=i.即曲線c的普通方程為/=i.

cosa3cosa33

直線/的極坐標(biāo)方程為0cos[o+m）=1,則0kosecosg-sinOsing]=l,

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為-2=0.

c也

X—2H-----1,

2

(2)直線/過點尸(2,0),直線/的參數(shù)方程為(r為參數(shù))令點A,2對應(yīng)的參

1

數(shù)分別為「馬，

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』+烏29

由<]2代入尤得分+