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文檔簡介
2022年廣東省高考數(shù)學模擬試卷(二)(二模)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目
要求的。
1.已知集合〃={r尤(尤-2)<0},N={x|x-1<0},則MCN=()
A.(…,2)B.(…,i)c.(0,1)D.(1,2)
2.定義在[-2,2]上的下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是增函數(shù)的是()
A.y=sinxB.y--lxC.y—eMD.y—2x3
3.已知隨機變量X?N⑺,o2),若P(RWXWH+1)=0.2,則尸(XNp-l)=()
A.0.7B.0.4C.0.3D.0.2
4.某校安排高一年級(1)?(5)班共5個班去A,B,C,。四個勞動教育基地進行社會實踐,每個班去
一個基地,每個基地至少安排一個班,則高一(1)班被安排到A基地的排法總數(shù)為()
A.24B.36C.60D.240
5.若函數(shù)y=與y=V^cossx圖象的任意連續(xù)三個交點構(gòu)成邊長為4的等邊三角形,則正實數(shù)3
=()
171
A.-B.1C.—D.n
22
6.趙爽弦圖(如圖1)中的大正方形是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形拼接而成的,若直角三
角形的兩條直角邊長為a,b,斜邊長為c,由大正方形面積等于4個直角三角形的面積與中間小正方形的
面積之和可得勾股定理次+呈=02.仿照趙爽弦圖構(gòu)造如圖2所示的菱形,它是由兩對全等的直角三角形和
中間的矩形拼接而成的,設(shè)直角三角形的斜邊都為1,其中一對直角三角形含有銳角a,另一對直角三角
形含有銳角0(位置如圖2所示).借鑒勾股定理的推導思路可以得到結(jié)論()
A.sin(a-P)=sinacosp-cosasinP
B.sin(a+p)=sinacosP+cosasinP
C.cos(a-p)=cosacosp+sinasinp
D.cos(a+p)=cosacosp-sinasinp
圖1圖2
7.己知拋物線E:y2=4x,圓八(x-1)2+/=%直線/:。為實數(shù))與拋物線E交于點A,與圓尸
交于B,C兩點,且點B位于點C的右側(cè),則的周長可能為()
A.4B.5C.6D.7
8.存在函數(shù)/(x)使得對于VxWR都有/(g(x))=國,則函數(shù)g(x)可能為()
A.g(x)=siiu'B.g(x)=X2+2X
C.g(x)=4-尤D.g(x)—t^+e'x
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全
部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.已知復數(shù)z的共軌復數(shù)是2,(1-i)z=l+i,i是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()
A.Z2022=4B.2-2的虛部是0
C.|z-z+2z|=V5D.z-2+2z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限
10.吹氣球時,記氣球的半徑r與體積V之間的函數(shù)關(guān)系為r(V),尸(V)為r(V)的導函數(shù).已知r(V)
在0WVW3上的圖象如圖所示,若0<0<丫2/3,則下列結(jié)論正確的是()
r(l)-r(0)r(2)-r(l)
A.
1-02-1
B./(1)>r'(2)
C.啟)NR+rg)
2
D.存在(Vi,V2),使得存(%)=「($)—J%)
11.在所有棱長都相等的正三棱柱中,點A是三棱柱的頂點,M,N、。是所在棱的中點,則下列選項中直
12.如圖,已知扇形0AB的半徑為1,ZA0B=1點C、D分別為線段04、08上的動點,且。。=1,
點£為而上的任意一點,則下列結(jié)論正確的是()
—>—>—>—>
A.0ETB的最小值為0B.EA-EB的最小值為1—企
—>—>—>—>
C.EC的最大值為1D.EOED的最小值為0
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
V2y2_
13.已知雙曲線C:-=1(?>0,6>0)的漸近線方程為>=土其,則C的離心率為_____
azbz
14.若直線尸尤+a和直線y=x+b將圓(x-1)2+(y-1)2=1的周長四等分,則-例=.
15.若函數(shù)/(x)=situ-cos(x+(p)的最大值為1,則常數(shù)cp的一個取值為.
16.十字貫穿體(如圖1)是美術(shù)素描學習中一種常見的教具.如圖2,該十字貫穿體由兩個全等的正四棱
柱組合而成,且兩個四棱柱的側(cè)棱互相垂直,若底面正方形邊長為2,則這兩個正四棱柱公共部分所構(gòu)成
的幾何體的內(nèi)切球的體積為.
圖1圖2
四、解答題;本題共6.小題,共170分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
17.(10分)已知遞增等比數(shù)列{板}的前〃項和為品,且滿足4a2=ma3,&=14.
(1)求數(shù)列{即}的通項公式;
(2)若數(shù)列{阮}滿足%=n=③匕(髭N*),求數(shù)列{a}的前15項和.
I匕3(fc-1)<n<3k
18.(12分)小李下班后駕車回家的路線有兩條.路線1經(jīng)過三個紅綠燈路口,每個路口遇到紅燈的概率
112
都是一;路線2經(jīng)過兩個紅綠燈路口,第一個路口遇到紅燈的概率是一,第二個路口遇到紅燈的概率是假
323
設(shè)兩條路線全程綠燈時的駕車回家時長相同,且每個紅綠燈路口是否遇到紅燈相互獨立.
(1)若小李下班后選擇路線1駕車回家,求至少遇到一個紅燈的概率.
(2)假設(shè)每遇到一個紅燈駕車回家時長就會增加1加小為使小李下班后駕車回家時長的累計增加時間(單
位:min)的期望最小,小李應選擇哪條路線?請說明理由.
19.(12分)如圖,已知△ABC內(nèi)有一點P,滿足/E4B=NPBC=NPCA=a.
(1)證明:PBsmZABC=ABsmai
(2)若NA8C=90°,A3=BC=1,求尸C.
20.(12分)如圖1,在△ABC中,ZACB=90°,DE是△ABC的中位線,沿。E將△ADE進行翻折,使
得△ACE是等邊三角形(如圖2),記A8的中點為尸.
(1)證明:。凡L平面ABC;
71
(2)若AE=2,二面角。-AC-E為一,求直線AB與平面AC。所成角的正弦值.
6
XV
21.(12分)已知橢圓C:/+瓦=l(a>b>O),點E(l,0)為橢圓的右焦點,過點/且斜率不為。的
直線/1交橢圓于M,N兩點,當/1與x軸垂直時,|MM=3.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)4,A2分別為橢圓的左、右頂點,直線AiM,A2N分別與直線/2:x=l交于P,。兩點,證明:四邊
形。出2。為菱形.
22.(12分)已知函數(shù)/(x)=加內(nèi)-?。ā?N*且〃22)的圖象與無軸交于P,。兩點,且點尸在點。的
左側(cè).
(1)求點尸處的切線方程y=g(尤),并證明:尤20時,f(x)2g(尤);
(2)若關(guān)于x的方程/(無)=t。為實數(shù))有兩個正實根xi,X2,證明:?尤1-切〈磊+等.
2022年廣東省高考數(shù)學模擬試卷(二)(二模)
參考答案與試題解析
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目
要求的。
1.已知集合知=國尤(x-2)<0},N^{x\x-1<0},則MAN=()
A.(-8,2)B.(-8,i)c.(0,1)D.(1,2)
解:\'M^{x\x(x-2)<0}=(0,2),N={4r-l<0}=(-1),
則MCN=(0,2)A(-8,i)=(o,1).
故選:C.
2.定義在[-2,2]上的下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是增函數(shù)的是()
A.j=sinxB.y=-2xC.y=ewD.y=2xi
解:根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知y=sinx在[-2,2]上不單調(diào),A不符合題意;
y=-2尤在[-2,2]上單調(diào)遞減,不符合題意;
y=e同為偶函數(shù),不符合題意;
y=2_?為奇函數(shù),在[-2,2]上單調(diào)遞增,符合題意.
故選:D.
3.已知隨機變量X?N(u,。2),若P(pWXWu+l)=0.2,則尸(X》u-1)=()
A.0.7B.0.4C.0.3D.0.2
解:VP(R-1WXWQ=P(nWXW|i+l)=0.2,
:.P(X2u-1)=P(|1-1WXWQ+P(X2|1)=0.2+0.5=0.7.
故選:A.
4.某校安排高一年級(1)?(5)班共5個班去A,B,C,D四個勞動教育基地進行社會實踐,每個班去
一個基地,每個基地至少安排一個班,則高一(1)班被安排到A基地的排法總數(shù)為()
A.24B.36C.60D.240
解:?.?高一(1)班被安排到A基地,
...若A基地有兩個班,則只要把剩余的4個班分到四個基地即可,有題=24種,
若A基地只有一個班,則只要把剩余的4個班分到三個基地即可,有瑪x二/x弟=36種,
42
共有24+36=60種.
故選:C.
5.若函數(shù)y=V^s譏3%與y=圖象的任意連續(xù)三個交點構(gòu)成邊長為4的等邊三角形,則正實數(shù)3
()
1n
A.—B.1C.—D.it
22
解:由題意知,作出函數(shù)數(shù)y=逐5譏3式與y=V^cosoi久圖象
設(shè)兩圖象相鄰的3個交點分別為A,B,C,如圖所示,
則AB=4,△ABC為等邊三角形,
由圖可知,函數(shù)y=V^siiun尤的最小正周期T=AB=4,結(jié)合T=會,
.27r27Tn
..3=7=才=>
故選:C.
6.趙爽弦圖(如圖1)中的大正方形是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形拼接而成的,若直角三
角形的兩條直角邊長為a,b,斜邊長為c,由大正方形面積等于4個直角三角形的面積與中間小正方形
的面積之和可得勾股定理/+必=02.仿照趙爽弦圖構(gòu)造如圖2所示的菱形,它是由兩對全等的直角三角
形和中間的矩形拼接而成的,設(shè)直角三角形的斜邊都為1,其中一對直角三角形含有銳角a,另一對直
角三角形含有銳角p(位置如圖2所示).借鑒勾股定理的推導思路可以得到結(jié)論()
A.sin(a-p)=sinacosP-cosasinp
B.sin(a+0)=sinacosP+cosasinP
C.cos(a-P)=cosacosp+sinasinp
D.cos(a+p)=cosacos0-sinasinp
解:由題意得,DH—BF=sina,AH=
EH—FG==sina-sinP,EF=HG=cosp-cosa,
:?S四邊形ABCD=2X2*sina*cosa+2x2*sinP*cosP+(sina-sin0)(cosP-cosa)=sinacosB+sin0cosa,
過點D作DK±AB于點K,則DK=sin(a+p),
?二S四邊形A3C£)=A8?QK=sin(a+0),
/.sin(a+p)=sinacosB+sin0cosa,
故選:B.
7.已知拋物線E:V=4x,圓?。ㄓ纫?)2+/=4,直線/:丫=1為實數(shù))與拋物線E交于點A,與圓尸
交于8,C兩點,且點2位于點C的右側(cè),則△M2的周長可能為()
A.4B.5C.6D.7
解:由題意知:拋物線焦點(1,0)恰為圓心R拋物線準線/:尤=-1,圓半徑為2,可得圓廠與/相
切,
設(shè)直線/:y=f與準線/交于。,
由拋物線定義知:\AF\=\AD\,又|EB|=2,故△物8的周長為|以|+|A8|+|EB|=|A0+|AB|+2=|O8|+2,
由圖知2<|。目<4,故狽+2€(4,6),
結(jié)合選項知:△胡8的周長可能為5.
8.存在函數(shù)/(x)使得對于Vx&R都有/(g(x))=|x|,則函數(shù)g(x)可能為()
A.g(x)=siiu'B.g(x)=x2+2x
C.g(x)-尤D.g(無)="+/上
解:存在函數(shù)/(x)使得對于Vx€R都有/(g(x))=|x|,
對于A,g(x)=sinr,.,.f(0)—f(sinO)=0;f(0)—f(sinit)=it,故A錯誤,
對于2,,;g(x)=7+2x定義域為R,且g(-x)—x1-lx,
:.g(x)為非奇非偶函數(shù),
:.f(0)=f(g(0))=0,f(0)=f(g(-2))=0,故B錯誤,
對于C,g(x)=/-x,.,.f(0)=/(g(0))=0,f(0)=/(g(1))=1,故C錯誤,
D,g(x)定義域為R,且g(-無)=e*+e-x=g(尤),
;.g(無)為偶函數(shù),故。正確,
故選:D.
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全
部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.已知復數(shù)z的共軌復數(shù)是2,(1-i)z=l+i,i是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()
A.Z2022=4
B.2-2的虛部是0
C.|z,z+2z|=V5
D.z-2+2z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限
版1+1(1+022i._
觸2=口=(1_皿1+0=2=1,z=r,
202220224505,2
對于A,z=z=(z)?z=-1,故A錯誤,
對于8,z-z-i-(-i)=1,故8正確,
對于C,|z-z+2z|=|1+2i|=Vl2+22=V5,故C正確,
對于D,z-z+2z=l+2i,對應點為(1,2),在第一象限,故O錯誤.
故選:BC.
10.吹氣球時,記氣球的半徑r與體積V之間的函數(shù)關(guān)系為r(V),rYV)為/'(V)的導函數(shù).已知r(V)
在0WVW3上的圖象如圖所示,若0WVI<V2W3,則下列結(jié)論正確的是()
r(l)-r(0)r(2)-r(l)
A.
1-02-1
B./(1)>r'(2)
C.
D.存在we(Vi,v2),使得/(2)=*)[產(chǎn))
々刀、幾r(l)—r(0)八r(2)—r(l)
斛:設(shè)tana="景tan0=>
±—u4z—1
由圖得a>e,A錯誤;
根據(jù)圖象可知,圖象上的點的切線斜率越來越小,故由導數(shù)幾何意義得/(1)>r'(2),B正確;
設(shè)0=0,丫2=3,
而2,匕+吃、3r(V^+r(y2)r(3)
2222
33
因為r(―)-r(0)>r(3)-r(一),
22
所以廠A)>學,c錯誤;
22
(匕)
表示(Vl,r(Vi)),(V2,(V2?兩點連線的斜率,/(Vo)表示曲線在Vb處切線斜率,
匕-%
由于Voe(Vi,V2),
所以可以平移直線A8,使之與曲線相切,切點為C,。正確.
故選:BD.
11.在所有棱長都相等的正三棱柱中,點A是三棱柱的頂點,M,N、。是所在棱的中點,則下列選項中直
解:對A,:在底面內(nèi)AQ垂直于在底面內(nèi)的射影,
對8,:在底面內(nèi)不垂直于AQ在底面內(nèi)的射影MA,;.AQ不垂直MN;
對C,如圖在后側(cè)面內(nèi)垂直于A。在后側(cè)面內(nèi)的射影AP,...AQLMN;
對。,:在后側(cè)面內(nèi)不垂直于AQ在后側(cè)面內(nèi)的射影MQ,;.AQ不垂直MV.
故選:AC.
12.如圖,已知扇形。AB的半徑為1,4。8=今點C、。分別為線段。4、08上的動點,且CD=1,
點E為而上的任意一點,則下列結(jié)論正確的是()
A.0E-4B的最小值為0E4-EB的最小值為1一企
C.EC?ED的最大值為1EC?ED的最小值為0
解:以。為原點建立如圖所示的直角坐標系,
所以8(0,1),A(1,0),
設(shè)NEOA=。,貝!]E(cos8,s譏8)(8e[0,芻),OE=(cosOsin。),AB=(—1-1),
TT77
所以ZB?OE=sind-cosd=V2sin(0—彳),
因為6€[0,芻,
所以s譏(?!猑)G[―孝,孝],
—>—>—>—>
所以1,1],OETB的最小值為-1,故A錯誤;
—>—>
EX=(1—cos9,—sinO),EB=(—cos。,1—sind),
所以E4-EB=-cos0+cos26—sind+sin26=1—V2sm(0+.),
因為ee[o,今,
所以。+1琮,爭,
所以sin(e+^)E[孝,1],
,—>—>
所以1—&sin(8+/)6口一四,0],EA-EBe[l-V2,0],
-?->
E4的最小值為1一a,故B正確;
設(shè)C(t,0)(總[0,1]),
又|CD|=1,所以|。叫=一t2,可得D(0,Vl-t2),
T—>_____
EC=(t—cos9,—sind},ED=(—cos。,V1—t2—sinO^
所以EC?ED=tcosd+cos?8—V1—t2sin3+sin23=1—(tcos3+V1—t2sin0}=1-sin(0+(p),其
中COSR=y/1—t2,sin(p=t,
又怎[0,1],所以coscp,sin(pG[0,1],
所以0G[0/芻,(j9+06[0/7l]J
sin((p+0)E[0,1],-sin((p+0)E[-1,0],
—>—>
所以EC?CDG[0,1],
—>—>
EC-ED的最小值為0,故CO正確.
故選:BCD.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
%2y2_
13.已知雙曲線C:———=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±V5x,則。的離心率為2.
azbz
%2-y2
解:根據(jù)題意,雙曲線C--^-=1(?>0,b>0)的漸近線方程為y=±A,
azbz
又由其漸近線方程為y=±?x,得2=W,
aci
所以e=,=Jl+[)2=2,
故答案為:2.
14.若直線y=x+a和直線y=x+b將圓(x-1)2+(y-1)2=1的周長四等分,則|。-例=2.
解:二?直線/i:和直線/2:y=x+b為平行線,
,若直線/i:y=x+。和直線/2:將圓(x-1)2+(y-1)?=1分成長度相等的四段弧,
則可得直線相交所得劣弧所對圓心角為90°,又圓的半徑為1,
???圓心到直線的距離為d=lXsin45°=?,
V2
則圓心C到直線li:y=x+a或;2:y=x+b的距離相等,且為了,
即d=此界=孚,
V2乙
即|〃|=1,
則〃=±1,同理可得Z?=±l,又直線/i:y=x+a和直線/2:y=x+b不重合,
故-b\=2,
故答案為:2.
15.若函數(shù)/(x)=sinx?cos(x+(p)的最大值為1,則常數(shù)<p的一個取值為一](不唯一).
解:因為/(x)=sinx*cos(x+(p)的最大值為1,
所以y=sinx與y=cos(x+(p)同時取得最大值,
又x=2hi+*時y=siwc=l取最大值,
所以冗=2內(nèi)r+鄂寸,y=cos(2%7i+5+(p)=-sin(p也取到最大值1,
**?<p—2^71—不妨取年二一彳
故答案為:—3(不唯一).
16.十字貫穿體(如圖1)是美術(shù)素描學習中一種常見的教具.如圖2,該十字貫穿體由兩個全等的正四棱
柱組合而成,且兩個四棱柱的側(cè)棱互相垂直,若底面正方形邊長為2,則這兩個正四棱柱公共部分所構(gòu)
47r
成的幾何體的內(nèi)切球的體積為y.
幾何體廠為兩個全等的四棱錐S-ABCD和P-ABCD組成,
由題意,這兩個直四棱柱的中心是內(nèi)切球的球心,
在等腰三角形A8S中,SB=2立,S3邊上的高為2,貝USA=連,
該幾何體前后、左右、上下均對稱,知四邊形是邊長為灰的菱形,側(cè)面均為全等的等腰三角形,
腰長為迎,底邊為2vL
設(shè)AC的中點為H,連接8",SH,可知S"即為四棱錐S-ABC。的高,
設(shè)內(nèi)切球的半徑為/,由八個側(cè)面的面積均為2近,
:.-r'x2&x8=2x竽得/=1,
33
47r
故幾何體廠的內(nèi)切球的體積為/■,
47T
故答案為:—.
四、解答題;本題共6.小題,共170分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
17.(10分)已知遞增等比數(shù)列{斯}的前〃項和為品,且滿足4〃2=〃1。3,53=14.
(1)求數(shù)列{斯}的通項公式;
(2)若數(shù)列{氏}滿足b=n=③匕(在N*),求數(shù)列{為}的前15項和.
Ik,3(k—1)<n<3k
解:(1)設(shè)遞增等比數(shù)列{劭}的公比為q(q>l),
由4〃2=〃1〃3,53=14,得q解得,12.
z
+arq+arq=14(q=2
n1n
:.an=2-2-=2;
.、,fcizz/n=3k,*、
(2)由勾=](依N),
Ik,3(k—1)<n<3k
可得加=。1=2,加=〃2=4,/79=〃3=8,加2=3=16,815=45=32;
bi=b2=l,/?4=加=2,勿=/?8=3,bio=bn=4,Z?13=Z?14=5.
???數(shù)列{員}的前15項和乃5=2+4+6+8+10+2+4+8+16+32=92.
18.(12分)小李下班后駕車回家的路線有兩條.路線1經(jīng)過三個紅綠燈路口,每個路口遇到紅燈的概率
11
都是一;路線2經(jīng)過兩個紅綠燈路口,第一個路口遇到紅燈的概率是一,第二個路口遇到紅燈的概率是
32
a假設(shè)兩條路線全程綠燈時的駕車回家時長相同,且每個紅綠燈路口是否遇到紅燈相互獨立.
(1)若小李下班后選擇路線1駕車回家,求至少遇到一個紅燈的概率.
(2)假設(shè)每遇到一個紅燈駕車回家時長就會增加\rnin,為使小李下班后駕車回家時長的累計增加時間
(單位:min)的期望最小,小李應選擇哪條路線?請說明理由.
解:(1)設(shè)至少遇到一個紅燈為事件A,貝以為三個路口均遇見綠燈;
'.P(2)=(1-1)工捺,
?p=1__—
〃(A)127=27,
(2)線路1遇見紅燈的個數(shù)設(shè)為X,線路2遇見紅燈的個數(shù)設(shè)為Y,
1
則X服從二項分布,X?B(3,-),
所以E(X)=3x1=l,即選擇線路1回家時長的累計增加時間的期望為1;
y的所有可能取值為0,1,2,
121
p(r=o)(1一t)=看;
P(丫=1)=|1x(l-12)+i1x21=i1;
p(y=2)=|x|=|;
11177
.?.E(y)=0xi+lx|+2xi=^即選擇線路2回家時長的累計增加時間的期望為一,
o2DO6
E(X)<E(D,故小李應選擇路線1.
19.(12分)如圖,己知△ABC內(nèi)有一點P,滿足/B4B=NPBC=NPCA=a.
(1)證明:PBsinZABC=ABsma;
(2)若NABC=90°,AB=2C=1,求PC.
(1)證明:因為NAP8=180°-ZPAB-ZPBA=180°-a-ZFBA=180°-(a+ZPBA),
ZABC^ZPBA+ZPBC^ZPBA+a,
所以sin/APB=sin/ABC,
PB48
在AAB尸中,由正弦定理知,
sinZ-PABsinZ-APB
所以ABsina=P8sinNAPB=P8sinNA8C,得證.
(2)解:由(1)知,PBsinZABC=ABsina,
因為NABC=90°,A2=BC=1,所以PB=sina,
而/BPC=180°-ZPBC-ZPCB=180°-(a+ZPCB)=180°-ZACB=135°,
在△8CP中,由正弦定理知,
sinZ.BPCstnZ-PBCsin乙PCB'
~,1PCsinar~
所以-------=-----=-----------=\2,
sinl35°sinasin(45°-a)
解得cosa=2sina,PC—Vasina,
因為si/a+cos2a=1,且a€(0°,45°),所以sina=W,
故PC=V2sina=
20.(12分)如圖1,在△ABC中,ZACB=90°,DE是△ABC的中位線,沿OE將△ADE進行翻折,使
得△ACE是等邊三角形(如圖2),記A8的中點為足
(1)證明:OF_L平面A5C;
證明:(1)如圖,
1
取AC中點G,連接尸G和EG,由已知得。囿8C,S.DE=^BC.
因為RG分別為AB,AC的中點,所以FG〃BC,S.FG=^BC
所以。E〃PG,5.DE^FG.
所以四邊形。EG尸是平行四邊形.
所以EG〃。?
因為翻折的8C,AC,易知QELAC.
所以翻折后DE_L£A,DELEC.
又因為EAAEC=E,EA,ECu平面AEC,
所以。E_L平面AEC.
因為EGu平面AEC,所以EG_LBC.
因為△ACE是等邊三角形,點G是AC中點,所以EGLAC
又因為ACCBC=C,AC,BCu平面ABC.
所以EG_L平面ABC.
因為EG〃。孔所以Q/U平面ABC.
解:(2)過點E作即,EC,以E為原點,EH、EC,即所在直線分別為x,?z軸,建立空間直角坐
標系E-xyz,
Z"
B
設(shè)。E=a,則4(遮,1,0),5(0,2,2a),C(0,2,0),0(0,0,a),
—>—>—>
則4B=(-V3,1,2a),AC=(一用,1,0),CD=(0,-2,a),
—>
因為。EL平面AEC.所以ED=(0,0,a)是平面AEC的法向量,
設(shè)面AC。的法向量為晶=(x,y,z),
則歸■芯=。,gp[-V3x+y=0解得卜=寅.
(二rn
im-CD=0nI—2y)+az=0I(z=2gy
取y=得772=(a,V3tt/2V3).
因為二面角。-AC-E為3所以cos^二|cosV薪,ED〉|二|,E2I|2e。|_=堂
6°\m\-\ED\J4a2+12.Q/
TT
解得a=L所以m=(l,V3,2b),AB=(-V3,L2).
記直線AB與平面ACD所成角為0.
—>r尼?麗_|一聞聞4自_V6
則sin。=\cos<m,AB>\=
\m\-\AB\4'2般4
V6
所以直線AB與平面ACO所成角的正弦值為丁.
工2y2
2L(12分)已知橢圓C-+-=l(a>b>0),點八1,。)為橢圓的右焦點,過點尸且斜率不為。的
直線/i交橢圓于M,N兩點,當/1與x軸垂直時,|MN=3.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)Ai,A2分別為橢圓的左、右頂點,直線AiM,A2N分別與直線/2:尤=1交于尸,。兩點,證明:
四邊形。以2。為菱形.
解:(1)由題意可知,c=l,
當A與x軸垂直時,|MN|=g-=3,
結(jié)合。2=戶+02可知,a=2,b=V3,
_x2y2
橢圓C的標準方程為一+—=1;
43
X=my+1
(2)證明:設(shè)A的方程為x=%+l,M(xi,yi),N(尤2,*),聯(lián)立得y2,消去x整理可得,
lT+T=1
(3m2+4)y2-^6my-9=0,
_Q
易知A>。恒成立,由韋達定理可得為+%=—362+4,y,2=-37n2+4,
由直線A1M的斜率為右1M=J后,得直線A1M的方程為y=^2(x+2),
當x=l時,力=晶,
由直線A2N的斜率為心2N=得直線A2N的方程為y="三(X-2),
當x=l時,yQ=的芻,
若四邊形。朋2。為菱形,則對角線互相垂直平分,下面證y°+yp=0,
國頭n,_3yl,一段—3yl(肛一2)一及(巧+2)—21百、2—3(力+巧)
的/jyQ+yp-^+2十訪友——(巧+2)(%2-2)——(771為+3)(.、2-1)'
代入韋達定理得,2“%-3(%+%)=2m號-3?禹==0,
:.PF=QF,即尸。與。42互相平分垂直,則四邊形。以2。為菱形.
22.(12分)已知函數(shù)/(X)=旄加-加("6N*且〃22)的圖象與x軸交于P,。兩
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