相交線與平行線（ 知識通關(guān)練）-【單元測試】 七年級數(shù)學(xué)下冊分層訓(xùn)練AB卷（湘教版）（解析版）

班級姓名學(xué)號分?jǐn)?shù)第四章相交線與平行線（A卷·知識通關(guān)練）核心知識1相交線1．（2022春·河南信陽·七年級統(tǒng)考期末）下面四個(gè)圖形中，∠1與∠2是對頂角的是（）A．B．C． D．【答案】C【分析】有公共頂點(diǎn)兩角兩邊互為反向延長線則兩角為對頂角．【詳解】A.∠1、∠2不是對頂角B.∠1、∠2不是對頂角C.∠1、∠2是對頂角D.∠1、∠2不是對頂角【點(diǎn)睛】熟練掌握對頂角的概念是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）按下列語句畫圖：點(diǎn)在直線上，也在直線上，但不在直線上，且直線兩兩相交，下列圖形符合題意的是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中語句，結(jié)合直線與直線、點(diǎn)與直線關(guān)系逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：由點(diǎn)在直線上，也在直線上，可知直線與直線交于點(diǎn)；A、C不符合題意；由點(diǎn)不在直線上，可知B不符合題意；再由直線兩兩相交，即可確定D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線、點(diǎn)與直線的關(guān)系，熟記相關(guān)定義是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)B、O、D在同一直線上．若，則的度數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，，進(jìn)而求出度數(shù)，利用平角的定義可知，，即可解答．【詳解】，點(diǎn)B、O、D在同一直線上故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角的概念，做題關(guān)鍵要掌握平角的定義．4．（2022春·廣東河源·七年級?？计谀┤鐖D，直線與三角形的兩邊，相交，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．，是同位角 B．，是內(nèi)錯(cuò)角C．，是同位角 D．，是同旁內(nèi)角【答案】A【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義，可得答案．【詳解】解：A．∠1與∠4、是同位角，故原說法錯(cuò)誤，符合題意；B．∠3與∠4是內(nèi)錯(cuò)角，說法正確，不符合題意；C．，是同位角，說法正確，不符合題意；D．，是同旁內(nèi)角，說法正確，不符而合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、用旁內(nèi)角，掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·遼寧葫蘆島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，可得，從而得到，再由平分，可得，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵平分，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計(jì)算，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，明確題意，準(zhǔn)確得到角與角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·江蘇南京·七年級南京玄武外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，直線，相交于點(diǎn)O，，垂足為O，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)對頂角的性質(zhì)可得，即可求得，再由垂直的定義即可求解．【詳解】解：平分，，，，，，又，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)，垂直的定義，準(zhǔn)確找到各角之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)，平分，且，射線在內(nèi)部．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可知的度數(shù)，再利用鄰角互補(bǔ)即可得到的度數(shù)；（2）根據(jù)角的倍數(shù)即可得到的度數(shù)，再利用余角的定義即可求得的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵，平分，∴，∵，∴即的度數(shù)為；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了余角的定義，鄰角互補(bǔ)，角的倍數(shù)的運(yùn)算，掌握鄰角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·寧夏銀川·七年級?？计谀┮阎菏侵苯?，直線、、交于點(diǎn)，平分，求：和、的度數(shù)．【答案】，，【分析】根據(jù)是直角，平分，得出，根據(jù)對頂角相等得出，根據(jù)平角的定義結(jié)合圖形即可求得，．【詳解】解：∵是直角，平分，∴，∴；∵，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的意義，對頂角相等，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．核心知識2平移1．（2022春·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期末）下列現(xiàn)象中屬于平移的是（

）①方向盤的轉(zhuǎn)動；②打氣筒打氣時(shí)，活塞的運(yùn)動；③鐘擺的擺動；④汽車雨刷的運(yùn)動A．①② B．②③ C．①②④ D．②【答案】D【分析】直接根據(jù)平移的定義分別判斷．【詳解】解：①方向盤的轉(zhuǎn)動是旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；②打氣筒打氣時(shí)，活塞的運(yùn)動是平移，故符合題意；③鐘擺的擺動是旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；④汽車雨刷的運(yùn)動是旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；綜上分析可知，屬于平移的是②，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，熟練掌握平移的定義是解答本題的關(guān)鍵．平移是指在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)方向作相同距離的移動．平移不改變圖形的形狀和大小，只是改變位置．2．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧市第十五中學(xué)統(tǒng)考期末）如圖，將沿方向平移得到對應(yīng)的．若，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，可知點(diǎn)移動到，可求出的長度，由此即可求解．【詳解】解：∵沿方向平移得到對應(yīng)的，∴，∵，∴（）．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平移的性質(zhì)，理解圖形平移的性質(zhì)和特點(diǎn)，平移后線段的長度關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·河北秦皇島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，沿直線向右平移得到，已知，，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵沿直線向右平移得到，∴，∵，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，解一元一次方程，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·遼寧丹東·八年級?？计谀┤鐖D，將沿BC方向平移3cm得到，若的周長為24cm，則四邊形ABFD的周長為（

）A．30cm B．24cm C．27cm D．33cm【答案】A【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得DF=AC，再求出四邊形ABFD的周長等于△ABC的周長加上AD與CF，然后計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴DF=AC，AD=CF=3cm，∴=30（cm）故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大?。虎诮?jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等，確定出四邊形的周長與△ABC的周長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東江門·七年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD的長AB為8，寬AD為6，將這個(gè)長方形向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到長方形EFGH，則陰影部分的面積為（

）A．30 B．32 C．36 D．40【答案】A【分析】利用平移的性質(zhì)求得，根據(jù)陰影部分的面積=長方形的面積-長方形的面積，求解即可．【詳解】解：如圖，∵將這個(gè)長方形向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，∴∵長方形ABCD的長AB為8，寬AD為6，∴,，∴長方形，∴陰影部分的面積為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等．6．（2022春·福建廈門·七年級?？计谀┤鐖D，將直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13，則DB長為（）A．4 B．5 C．9 D．13【答案】B【分析】利用平移的性質(zhì)可知，由此可解．【詳解】解：∵平移前后對應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行且相等，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“平移前后對應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行且相等”．7．（2022春·重慶大足·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，將直角沿著射線方向平移10個(gè)單位長度，得，已知，，則陰影部分的面積為（

）A．40 B．60 C．20 D．80【答案】B【分析】首先根據(jù)三角形的面積公式和矩形的面積公式計(jì)算出：△ABC的面積，矩形的面積，再用矩形的面積﹣△ABC的面積可得陰影部分的面積．【詳解】解：∵△ABC的面積為：?CB?AC8×5＝20，矩形的面積：＝8×10＝80，∴陰影部分的面積為80﹣20＝60，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．8．（2022春·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，三張正方形紙片①，②，③分別放置于長，寬的長方形中，正方形①，②，③的邊長分別為a，b，c，且，則陰影部分周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)求出水平邊之和及豎直邊之和，再列式計(jì)算解答．【詳解】解：將陰影部分水平的邊通過平移可得水平邊之和為：2（a＋b），將陰影部分豎直的邊通過平移可得豎直邊之和為：2（a＋c－b），∴陰影部分的周長為：2（a＋b）＋2（a＋c?b）＝2a＋2b＋2a＋2c?2b＝4a＋2c，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平移的性質(zhì)，整式的加減，根據(jù)平移的性質(zhì)求出水平邊之和及豎直邊之和是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）如圖，經(jīng)過平移后得到，下列說法：①；②；③；④和的面積相等；⑤四邊形ACFD和四邊形BCFE的面積相等，其中正確的有(

)A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：經(jīng)過平移后得到，∴，故①正確；，故②正確；，故③正確；和的面積相等，故④正確；四邊形和四邊形都是平行四邊形，且，即兩個(gè)平行四邊形的底相等，但高不一定相等，∴四邊形和四邊形的面積不一定相等，故⑤不正確；綜上：正確的有4個(gè)故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是圖形的平移，掌握平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2022春·廣西崇左·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將直角三角形沿著斜邊的方向平移到的位置（A、D、C、F四點(diǎn)在同一條直線上）．直角邊交于點(diǎn)G．如果，的面積等于4，下列結(jié)論：①；②三角形平移的距離是4；③；④四邊形的面積為16；其中正確的是（

）A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】由平移的性質(zhì)得到BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正確；根據(jù)圖形的平移得到∠EDC=∠A，∠EDC=∠BED，故∠A=∠BED，故①正確；根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊得到△ABC平移的距離＞4，故②錯(cuò)誤；根據(jù)三角形的面積公式得到GE=2，根據(jù)梯形的面積公式得到四邊形GCFE的面積=（6+10）×2=16，故④正確．【詳解】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿著斜邊AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四點(diǎn)在同一條直線上，∴BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正確；由圖形的平移知，ED∥AB，AC∥BE，∴∠EDC=∠A，∠EDC=∠BED，∴∠A=∠BED，故①正確；∵BG=4，∴AD=BE＞BG，∴△ABC平移的距離＞4，故②錯(cuò)誤；∵EF=10，∴CG=BC-BG=EF-BG=10-4=6，∵△BEG的面積等于4，∴BG?GE=4，∴GE=2，∴四邊形GCFE的面積=（6+10）×2=16，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，面積的計(jì)算等，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．核心知識3平行線的性質(zhì)與判定1．（2022秋·云南文山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線、被直線所截，，，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求出的度數(shù)，再利用鄰補(bǔ)角的定義，即可求出的度數(shù).【詳解】解：如圖：，故答案選：.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的定義.此題比較簡單，解題的關(guān)鍵在于是否熟練掌握兩直線平行，同位角相等.2．（2023秋·河南鄭州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由互余可求得的度數(shù)，然后由兩直線平行，同位角相等求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵直尺的兩邊平行，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．兩直線平行，同位角相等的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．3．（2023秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知，現(xiàn)將一個(gè)含角的直角三角尺按如圖方式放置，其中頂點(diǎn)F、分別落在直線，上，交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對頂角相等可得，再由平行線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)．【詳解】解：交于點(diǎn)，，，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．4．（2022秋·重慶渝北·九年級統(tǒng)考期末）如圖，，將一塊三角板如圖所示放置，，，則的度數(shù)為（

）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)可以得到，然后利用平角解題即可．【詳解】解：∵，，∴，又∵，∴故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·廣東佛山·八年級?？计谀┤鐖D，點(diǎn)E在的延長線上，下列條件中能判斷的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項(xiàng)進(jìn)行分析可得答案．【詳解】解：A、，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得，故此選項(xiàng)不符合；B、，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得，故此選項(xiàng)符合；C、，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得，故此選項(xiàng)不符合；D、，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得，故此選項(xiàng)不符合．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．6．（2023秋·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是的邊延長線上一點(diǎn)，射線在內(nèi)部，下列條件中能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定方法即可求解．【詳解】解：選項(xiàng)，，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，故符合題意；選項(xiàng)，，不能判定，故不符合題意；選項(xiàng)，，不能判定，故不符合題意；選項(xiàng)，，不能判定，故不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定方法，同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含角的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，作，∴，∵，，∴，∴，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，熟知平行線的性質(zhì)與常規(guī)三角板套裝中三角板的特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．8．（2022秋·黑龍江大慶·八年級?？计谀┤鐖D，，則的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對頂角相等得到，推出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∴，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定和性質(zhì)：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；要靈活應(yīng)用．9．（2023秋·廣東佛山·八年級?？计谀┤鐖D，下列條件中，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；可以進(jìn)行判定．【詳解】解：A、因?yàn)楹鸵唤M內(nèi)錯(cuò)角，且，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可以判定，故符合題意，B、因?yàn)楹褪且唤M同位角，且根據(jù)同位角相等兩直線平行可以判定，不符合題意，C、因?yàn)楹褪且唤M對頂角，和是一組同旁內(nèi)角，，即，根據(jù)根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可以判定，不符合題意,D、,因?yàn)楹鸵唤M鄰補(bǔ)角，所以不能判定兩直線平行，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行的判定，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握直線平行的判定定理．10．（2023秋·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，四條直線相交，和互余，是的余角的補(bǔ)角，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由和互余，是的余角的補(bǔ)角易證，然后利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：和互余，是的余角的補(bǔ)角，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)以及余補(bǔ)角的計(jì)算，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．11．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，以下四個(gè)條件：①；②；③；④平分∠且，其中能判斷直線的有（）A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】利用平行線的判定方法逐一判斷即可．【詳解】解：∵∴故①正確；∵∴故②不正確；∵∴故③正確；∵平分∠∴，又∵∴∴∴故④正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┤鐖D，已知，和分別平分和，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，易證與、，與、間關(guān)系．再由角平分線的性質(zhì)及角的和差關(guān)系計(jì)算得結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，，，，，，，．，．又和分別平分和，，①，②．①②，得，③．①③，得．．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及角的和差關(guān)系．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，是解決本題的關(guān)鍵．13．（2023秋·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，則，，之間的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別過C、D作的平行線和，由平行線的性質(zhì)可得到，可求得答案．【詳解】解：如圖，分別過C、D作的平行線和，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ).14．（2022秋·吉林長春·七年級?？计谀┤鐖D，已知，，，則等于______．【答案】##度【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線經(jīng)過點(diǎn)且，，則__________度．【答案】60【分析】由，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得，從而可得到答案．【詳解】解：，，，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·河南開封·八年級統(tǒng)考期末）某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知，，，則______．【答案】##20度【分析】過點(diǎn)C作，先證明，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，，最后利用角的和差關(guān)系求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作，∵，∴，∴，，又，，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·四川宜賓·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖．求證：平分．請完善證明過程，并在括號內(nèi)填上相應(yīng)依據(jù)：證明：∵，（

）∴，（

）∴，（

）∴，（

）

∵(已知)，∴，（

）∴平分．（

）【答案】已知；；同角的余角相等；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；等量代換；角平分線定義【分析】根據(jù)同角的余角相等可得，由平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)等量代換得解題即可．【詳解】證明：∵（已知）∴，(同角的余角相等)∴，(

同位角相等，兩直線平行

)∴，(

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

)

∵(已知)，∴(

等量代換

)∴平分(角平分線定義

)故答案為：已知；；同角的余角相等；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；等量代換；角平分線定義【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，同角的余角相等，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·山西運(yùn)城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)E、F在直線上，點(diǎn)G在線段上，與交于點(diǎn)H，，．(1)試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)；理由見解析(2)【分析】（1）先判定，再證明即可得證．（2）利用平行線的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）與之間的數(shù)量關(guān)系是．理由：∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．（2）由（1）知，∴，由（1）知，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋·四川樂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)．(1)請說明的理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)求解即可；（2）因?yàn)?，即，再因?yàn)?，即可得，由?）的結(jié)論可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·云南文山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，．(1)求證：；(2)若平分，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）由領(lǐng)補(bǔ)角，結(jié)合題意得，從而求解；（2）由角平分線及平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合題意可得，等量代換即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴；（2）∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行角的等量代換．21．（2022秋·四川宜賓·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)C、D在直線b上，平分，平分，直線交于點(diǎn)E．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，試求的度數(shù)（用含m、n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)E作，可得，再由平分，可得，然后根據(jù)，可得，從而得到，再由平分，可得，即可求解；（2）過點(diǎn)E作，可得，再由平分，可得，然后根據(jù)，可得，從而得到，再由平分，可得，即可求解；【詳解】（1）解：過點(diǎn)E作，∴，∵，平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計(jì)算，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．核心知識4垂線1．（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考）如圖所示，施工隊(duì)要從村莊A到公路之間修建一條最短的小路，設(shè)計(jì)師給出的方案是：過點(diǎn)A作于點(diǎn)B，沿修建小路，則其原理是（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短C．過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線 D．兩點(diǎn)確定一條直線【答案】B【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連線段中，垂線段最短，∴過點(diǎn)A作于點(diǎn)B，這樣做的理由是：垂線段最短．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段的性質(zhì)，從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．2．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖所示，已知，直線過點(diǎn)，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，繼而可得出．【詳解】解：由題意得，，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義，鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是學(xué)會垂直和鄰補(bǔ)角進(jìn)行角的計(jì)算．3．（2023春·河北唐山·七年級統(tǒng)考）如圖，直線，相交于點(diǎn)，，平分，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可得，從而得到的度數(shù)，再由平分，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．又∵平分，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直的定義、角平分線的定義，熟練掌握垂直的定義、角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023春·湖北省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考）直角三角形中，，，，，則點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的所有線段中，最短的線段長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂線段最短解決此題．【詳解】如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D．∵，∴．∴根據(jù)垂線段最短，點(diǎn)B到直線上各點(diǎn)的所有線段中，最短的線段長為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂線段最短，熟練掌握垂線段最短是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023春·河北承德·九年級統(tǒng)考）點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，點(diǎn)、是直線上兩點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離有可能為（

）A．2.9 B．3.1 C．4 D．5【答案】A【分析】直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)此定義即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，且垂線段最短，所以點(diǎn)到直線的距離小于3，所以點(diǎn)到直線的距離可能是2.9，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，理解此含義是解決本題的關(guān)鍵.6．（吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，某單位要在河岸上建一個(gè)水泵房引水到處，他們的做法是：過點(diǎn)作于點(diǎn)，將水泵房建在了處．這樣做最節(jié)省水管長度，其數(shù)學(xué)道理是_______．【答案】垂線段最短【分析】直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短．【詳解】通過比較發(fā)現(xiàn)：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短．故答案為：垂線段最短．【點(diǎn)睛】此題主要考查點(diǎn)到直線的距離，動手比較、發(fā)現(xiàn)結(jié)論是解題關(guān)鍵．7．（2022春·黑龍江牡丹江·七年級統(tǒng)考期末）有下列命題：①過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行；③平移變換中，連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等；④點(diǎn)到直線的距離是指從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段；⑤垂線段最短．其中正確的命題有____________．（只填寫序號）【答案】①②⑤【分析】由過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線可判斷①，由平行線的判定方法可判斷②，由平移的性質(zhì)可判斷③，由點(diǎn)到直線的距離可判斷④，由垂線段的性質(zhì)可判斷⑤，從而可得答案．【詳解】解：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，正確，故①符合題意；在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行．正確，故②符合題意；平移變換中，連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等（或在同一直線上），故③不符合題意；點(diǎn)到直線的距離是指從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，故④不符合題意；垂線段最短，正確，故⑤符合題意；故答案為：①②⑤【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)與判定，平移的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離的含義，垂線段的性質(zhì)，掌握以上基本概念是解本題的關(guān)鍵．8．（2023秋·江蘇南京·九年級校考期末）下列三個(gè)日?，F(xiàn)象：①用兩根釘子就可以把一根木條固定在墻上；②把彎曲的公路改直，就能夠縮短路程；③體育課上，老師測量某名同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績．其中，可以用“兩點(diǎn)之間線段最短”來解釋的是________.(填序號)【答案】②【詳解】解：①用兩根釘子就可以把一根木條固定在墻上，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線；②把彎曲的公路改直，就能夠縮短路程，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短；③體育課上，老師測量某個(gè)同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績，根據(jù)垂線段最短；故答案為②．9．（2022秋·江蘇淮安·七年級校考期末）如圖，直線，相交于點(diǎn)E，，，則___________．【答案】38【分析】由得，結(jié)合已知可以求出，再利用對頂角相等，求出．【詳解】解：∵，∴，∴，∵與是對頂角，∴．故答案為：38．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角度的計(jì)算，掌握垂直的意義，對頂角相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·吉林長春·七年級東北師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，，．點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值為_____．【答案】##【分析】根據(jù)垂線段最短，得出當(dāng)時(shí)，的值最小，然后利用等面積法求解即可．【詳解】解：在中，，，，，如圖，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，的面積，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短和三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵在學(xué)會利用面積法求高．11．（2022秋·遼寧葫蘆島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知O是直線上的點(diǎn)，，分別是和的角平分線，則下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的有（填序號）___________．【答案】①②③④【分析】根據(jù)角平分線的定義，垂直的定義，利用等角的余角相等，逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵分別是和的角平分線，∴，，∴，，∴，故①正確；∵，，∴，∴，故②正確；∵，，∴，故③正確；∵，∴，故④正確；綜上，①②③④都是正確的，故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角，角平分線的定義，垂直的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·陜西西安·七年級西安益新中學(xué)校）如圖，是的邊上一點(diǎn)．(1)過畫的垂線，垂足為點(diǎn)；(2)過點(diǎn)畫的垂線，交于點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離是線段______的長度．【答案】(1)見解析；(2)見解析；【分析】（1）三角尺的直角的一邊與重合，另一直角邊經(jīng)過點(diǎn)P畫出垂線，垂足為點(diǎn)H即可；（2）同（1）的方法即可完成畫圖．【詳解】（1）如圖，即為所求；（2）如圖，即為所求；所以點(diǎn)O到直線的距離是線段的長度．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，垂線，點(diǎn)到直線的距離，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．13．（2022春·廣東廣州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)P在的邊上．按下列要求作圖，并回答問題．(1)過點(diǎn)P畫射線的垂線，垂足為點(diǎn)C；點(diǎn)P到射線的距離是線段的長；(2)過點(diǎn)P畫出直線，若，則（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】(1)畫圖見解析，(2)或【分析】（1）利用直角三角板，一條直角邊與、重合，另一直角邊過O畫直線即可，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可得到答案；（2）利用直尺和直角三角板，畫出平行線即可．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：如圖1或圖2所示，即為所求：∵，∴點(diǎn)P到直線的距離是線段的長，故答案為：．（2）解：如圖1或圖2即為所求；如圖1所示，∵，∴，∴；如圖2所示，∵，∴；綜上所述，或故答案為：或【點(diǎn)睛】此題主要考查了畫垂線，以及點(diǎn)到直線的距離，畫平行線，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，掌握平行線的性質(zhì)．14．（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考）如圖所示，已知直線與交于點(diǎn)，，垂足為，且．(1)求的度數(shù)；(2)過點(diǎn)O在上方作射線，若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)垂線的定義得到，根據(jù)求出，再加上即可；（2）先由平角得出，根據(jù)知，繼而由可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，，∴，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握垂的定義及對頂角、鄰補(bǔ)角．15．（2023春·全國·七年級期中）如圖，直線相交于點(diǎn)平分垂足為點(diǎn)(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)平分嗎？為什么？【答案】(1)(2)平分，理由見解析【分析】（1）因?yàn)楹褪菍斀?，由可得到由平分即可得出結(jié)果．（2）由可得出由是平角，進(jìn)而可得出，由平分可知從而得到即可得出結(jié)論．【詳解】（1）和是對頂角，∵平分（2）平分理由：是平角，平分即平分【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)及角的計(jì)算，熟練掌握垂線的性質(zhì)及角的計(jì)算的方法進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．16．（2023春·全國·七年級期中）如圖，直線與相交于點(diǎn)，，分別是，的平分線．(1)寫出的補(bǔ)角；(2)試判斷和的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若，求和的度數(shù)．【答案】(1)，，(2)，理由見解析(3)，【分析】（1）由補(bǔ)角的定義，即可得到答案；（2）由角平分線的定義得到，即可證明問題；（3）由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，余角的定義即可求解．【詳解】（1）解：平分，，的補(bǔ)角是，，；（2），理由如下：，分別是，的平分線，，，，，；（3）平分，，，．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，鄰補(bǔ)角，余角，補(bǔ)角，關(guān)鍵是掌握角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義和性質(zhì)．核心知識5兩條平行線間的距離1．（2023春·江蘇·七年級專題）如圖，直線，其中P在上，A、B、C、D在上，且PB⊥，則與間的距離是（）A．線段PA的長度 B．線段PB的長度 C．線段PC的長度 D．線段PD的長度【答案】B【分析】根據(jù)平行線之間的距離定義解答即可．【詳解】解：∵P在上，B在上，PB⊥，，∴與間的距離是線段PB的長度．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線之間的距離，掌握兩條平行線中，一條直線上的任意一個(gè)點(diǎn)到另一條直線的垂線段的長度叫做這兩條平行線間的距離是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題）如圖，，，，．則下列結(jié)論正確的是（

）．A．A與B之間的距離就是線段AB B．AB與CD之間的距離就是線段AC的長度C．與之間的距離就是線段CE的長度 D．與之間的距離就是線段CD的長度【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離和平行線間的距離的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、A與B之間的距離就是線段AB的長度，不符合題意，故本項(xiàng)錯(cuò)誤；B、AB與CD之間的距離就是線段HI的長度，不符合題意，故本項(xiàng)錯(cuò)誤；C、與之間的距離就是線段CE的長度，符合題意，故本項(xiàng)正確；D、與之間的距離就是線段CE或GF的長度，不符合題意，故本項(xiàng)錯(cuò)誤．故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離和平行線間的距離的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握以上基本的性質(zhì)．3．（2023春·七年級）如圖，點(diǎn)，為定點(diǎn)，直線，是直線上一動點(diǎn)．對于下列各值：①的度數(shù)；②線段的長；③的面積；④的周長；其中不會隨點(diǎn)的移動而變化的是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．①②【答案】C【分析】根據(jù)運(yùn)動得出的大小不斷發(fā)生變化；求出長為定值；由于P到的距離為定值，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；根據(jù)運(yùn)動得出不斷發(fā)生變化．【詳解】解：當(dāng)P點(diǎn)移動時(shí)，發(fā)生變化，∴①錯(cuò)誤；∵A、B為定點(diǎn)，∴長為定值，∴②正確；∵點(diǎn)A，B為定點(diǎn)，直線，∴P到的距離為定值，故的面積不變，∴③正確；當(dāng)P點(diǎn)移動時(shí)，的長發(fā)生變化，∴的周長發(fā)生變化，∴④錯(cuò)誤；綜上，正確的有②③，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等底等高的三角形的面積相等，平行線間的距離的運(yùn)用，熟記定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023·全國·八年級專題）已知直線在同一平面內(nèi)，且，與的距離為，與的距離為，則與的距離是（

）A． B． C．或 D．以上都不對【答案】C【分析】分類討論，當(dāng)直線在之間時(shí)，當(dāng)直線不在之間時(shí)，根據(jù)平行線間的距離計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：①當(dāng)直線在之間時(shí)，如圖所示，∵是三條平行的直線，而與的距離為，與的距離為，∴與的距離是，②當(dāng)直線不在之間時(shí)，如圖所示，∵是三條平行的直線，而與的距離為，與的距離為，∴與的距離是，綜上所述，與的距離為或．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線間的距離的計(jì)算，掌握平行線間的距離，圖形結(jié)合即可求解．5．（2023春·全國·七年級專題）在同一平面內(nèi)，設(shè)、、是三條互相平行的直線，已知與的距離為，與的距離為，