求軌跡方程方法總結(jié)

求軌跡方程方法總結(jié)高考數(shù)學(xué)中求軌跡方程的常見方法一、直接法.u.c.o.m當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡(jiǎn)單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡(jiǎn)、限制說明”五個(gè)基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.例1已知點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線解：，.由條件，，整理得，此即點(diǎn)的軌跡方程，所以的軌跡為拋物線，選D.例1已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與的比等于常數(shù)（如圖），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線．【解析】：設(shè)M（x，y），直線MN切圓C于N，則有，即，．整理得，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．若，方程化為，它表示過點(diǎn)和x軸垂直的一條直線；若λ≠1，方程化為，它表示以為圓心，為半徑的圓．二、定義法定義法是指先分析、說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種特殊曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌跡方程.CByxOA例2已知中，、、的對(duì)邊分別為、、，若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，，求頂點(diǎn)的軌跡方程.CByxOA解：如右圖，以直線為軸，線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.由題意，構(gòu)成等差數(shù)列，，即，又，的軌跡為橢圓的左半部分.在此橢圓中，，，故的軌跡方程為.為．(2)設(shè)點(diǎn)解方程組得由和得其中t＞1．消去t，得點(diǎn)P軌跡方程為和．其軌跡為拋物線在直線右側(cè)的部分和拋物線在直線在側(cè)的部分．六、交軌法求兩曲線的交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，或者先引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)來得到軌跡方程，稱之交軌法.xA1A2OxA1A2OyNMP、兩點(diǎn)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡的形狀.解：設(shè)及，又，可得直線的方程為①；直線的方程為②.①×②得③.又，代入③得，化簡(jiǎn)得，此即點(diǎn)的軌跡方程.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓.例6已知兩點(diǎn)以及一條直線：y=x，設(shè)長(zhǎng)為的線段AB在直線上移動(dòng)，求直線PA和QB交點(diǎn)M的軌跡方程．【解析】：PA和QB的交點(diǎn)M（x，y）隨A、B的移動(dòng)而變化，故可設(shè)，則PA：QB：消去t，得當(dāng)t=－2，或t=－1時(shí)，PA與QB的交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式，所以點(diǎn)M的軌跡方程是七、代入法yQOxNP當(dāng)題目中有多個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，將其他動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，再代入到其他動(dòng)點(diǎn)要滿足的條yQOxNP例7如圖，從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線，垂足為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)，則.因?yàn)樵谥本€上，①又得即.②聯(lián)解①②得.又點(diǎn)在雙曲線上，，化簡(jiǎn)整理得：，此即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.例2已知拋物線，定點(diǎn)A（3，1），B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP:PA=1:2，當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程，并指出這個(gè)軌跡為哪種曲線．【解析】：