河北省部分學(xué)校2024屆高三年級(jí)上冊(cè)摸底考試數(shù)學(xué)試題及答案

河北省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知全集U=auB={xeN|0〈xW8},An（CyB）=[1,3,5},則集合B為（）

A.{2,4,6,7}B.{0,2,4,6,8}C.{0,2,4,6,7,8}

D.{01,2,3,4,5,6,7,8}

2.已知直線1、m,n與平面a、0,下列命題正確的是（）

A.若a///?,Ica,nu0,貝〃//nB.若a10,Ica,貝加1°

C,若IJ.n,mln,貝D.若Z1a,1//P,則a10

3.若拋物線久2=2py（p>0）上一點(diǎn)M（n,6）到焦點(diǎn)的距離是4p,則p的值為（）

A.MB.工C.?D.Z

71276

4.在黨的二十大報(bào)告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育“，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡

發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號(hào)召，近期將安排甲、乙、丙、丁4名教育專家

前往某省教育相對(duì)落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的

概率為（）

A.1B.&C.iD.3

99327

5.蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社

團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香畫法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段48,作一個(gè)等

邊三角形ABC,然后以點(diǎn)8為圓心，4B為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。

（第一段圓?。?，再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段2C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

再以點(diǎn)/為圓心，4E為半徑逆時(shí)針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段

圓弧時(shí)，"蚊香'’的長(zhǎng)度為（）

A.44TTB.64TCC.707rD.80TT

6.已知圓C:x2+2久+y2—1=0,直線nix+n(y-1)=0與圓C交于2,B兩點(diǎn).若△ABC

為直角三角形，則()

A.mn=0B.m—n=0

試卷第1頁(yè)，共6頁(yè)

C.771+71=0D.m2—3n2=0

7.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個(gè)數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,方差

為5,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,方差為3.若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)

的方差為()

A.3.5B.4C,4.5D.5

8.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平

面上任意兩點(diǎn)的曼哈頓距離為：B)=\xi-%2|+|y1一41?已知

點(diǎn)M在圓O:x2+y2=1上，點(diǎn)N在直線/:3x+y-9=0上，則d(M,N)的最小值為()

A.國(guó)B.國(guó)—1C,18-2而D.3—近

101053

9.設(shè)集合P={%|0〈》44},Q={y|0WyW4},則下列圖象能表示集合P到集合。的

二、多選題

10.已知二項(xiàng)展開式/(%)=(%3一1)8,下列說(shuō)法正確的有()

x

A./(X)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是56

B./(%)的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0

C.f(x)的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是70

D./(i)=-16,其中i為虛數(shù)單位

11.在△4BC中，若4=eN*),貝1()

A.對(duì)任意的nN2,都有sin4<nsinB

B.對(duì)任意的幾>2,都有tanA<ntanB

C.存在n,使sinA>nsinB成立

D.存在n,使tanA>ntanB成立

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

三、填空題

12.已知單位向量日范滿足W+司=舊，則恒一同=.

13.定義兩個(gè)點(diǎn)集S、7之間的距離集為d(S,r)=|PQ||pes,QeT,其中|PQ|表示兩

點(diǎn)P、。之間的距離，已知鼠teR,S=/y)|y=kx+t,xeR,T=(x,y)|y=

V4%2+1,XeR,若d(S,T)=(l,+8),則f的值為.

14.已知C:y2=3過(guò)點(diǎn)P(1,O)傾斜角為60。的直線l交C于兩點(diǎn)(4在第一象限內(nèi)),

2X)

過(guò)點(diǎn)4作_L%軸，垂足為0,現(xiàn)將C所在平面以支軸為翻折軸向紙面外翻折，使得

々上平面一，平面=亳則幾何體P4BD外接球的表面積為一

四、解答題

15.已知函數(shù)/'(%)=alnx—%.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù):%)的最大值.

16.設(shè)S為數(shù)列a的前n項(xiàng)和，已知一「是首項(xiàng)為工、公差為工的等差數(shù)列.

nnn(n+l)23

(1)求a”的通項(xiàng)公式；

(2)令b=")%,T為數(shù)列b的前Zl項(xiàng)積，證明：J；nT<6n-l_

71s九九1=1I5

試卷第3頁(yè)，共6頁(yè)

17.最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗(yàn)結(jié)果為成功或不成功，且每次試驗(yàn)的成功概率為p(0<

p<1).現(xiàn)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功，則試驗(yàn)結(jié)束；若試驗(yàn)不成功，則

繼續(xù)試驗(yàn)，且最多試驗(yàn)8次.記X為試驗(yàn)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù),X的數(shù)學(xué)期望為E(X).

(1)證明：E(X)<一

p

(2)某公司意向投資該產(chǎn)品，若p=0.2,每次試驗(yàn)的成本為a(a>0)元，若試驗(yàn)成功則

獲利8a元，則該公司應(yīng)如何決策投資？請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.已知橢圓C：超+比=1(a>0,匕>0)的左、右焦點(diǎn)分別為工、工，離心率為工,

a2ZJ21Z2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)K且傾斜角為。(0<9<匹)的直線/與橢圓交于/、B兩點(diǎn)(其中點(diǎn)/在％軸上方),

12

△48尸2的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，將平面xOy沿％軸折疊，使y軸正半軸和工軸所確定的半平面(平面^々尸?)

與y軸負(fù)半軸和、軸所確定的半平面(平面B/71%)互相垂直.

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

折舂后

①若。=匹，求異面直線4F和所成角的余弦值；

312

②是否存在8（0<0<；）,使得折疊后△ABF?的周長(zhǎng)為f?若存在，求tan。的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

試卷第5頁(yè)，共6頁(yè)

19.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)九(%)滿足:對(duì)于任意的汽eR,都有九(%+2TU)=h(x)+/I(2TT),

則稱函數(shù)M%)具有性質(zhì)R

(1)判斷函數(shù)/(第)=2%,g(%)=cos%是否具有性質(zhì)P；(直接寫出結(jié)論)

(2)已知函數(shù)/(%)=sin(d)x+(/?)(-<co<-f\(p\<-),判斷是否存在3,w，使函數(shù)/(%)具

222

有性質(zhì)P?若存在，求出口0的值；若不存在，說(shuō)明理由；

(3)設(shè)函數(shù)/(%)具有性質(zhì)P,且在區(qū)間［0,2可上的值域?yàn)椋?(0),/(2n)］.函數(shù)g(x)=

sin(/(x)),滿足g(%+2n)=g(%),且在區(qū)間(0,2n)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).求證：/(2n)=

2Tl.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案：

1.C

【分析】利用韋恩圖即可得解.

【詳解】因?yàn)閁=auB={xeN|0W*W8}={0,1,2,3,456,7,8},

^n(Q.s)

又AnqB)={1,3,5},所以B={0,2,4,6,7,8}.

故選：C.

2.D

【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系，以及垂直，平行的判斷和性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,若a〃。，lea,nu0,則/與n可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若Zea,貝心與0可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若1171,mln,則/與小可能平行，也可能相交或異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若則由線面平行的性質(zhì)定理可知，必有(<=￡,使得Z〃(，

又/，明貝”i，a,因?yàn)?u0,所以a10,故D正確.

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析求解.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線為y=-h，

2

由題意可得：6+&=4p,解得p=￡.

27

故選：A.

4.B

【分析】分別求出“甲、乙、丙、丁4名教育專家到三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法”和

“每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的安排方法”的種數(shù)，再由古典概型的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】甲、乙、丙、丁4名教育專家到三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法共有：34=81

種；

每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的安排方法有：C2A3=36種；

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

由古典概型的計(jì)算公式，每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為：漁=宜

819

故選：B.

5.D

【分析】利用扇形弧長(zhǎng)公式及等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意每段圓弧的中心角都是亞，每段圓弧的半徑依次增加1,

3

則第n段圓弧的半徑為m弧長(zhǎng)記為a,則a=^-n,

nn3

所以=3(1+2+3+…+15)=80TT.

153

故選：D.

6.A

【分析】由直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式|2B|=2VT2—d2進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閳AC：X2+2x+y2—i=0,圓心為半徑為「=應(yīng)，即|C4|=\CB\=V2

因?yàn)閍ABC為直角三角形，所以MB|=WCB|2+|C4|2=2,

設(shè)圓心C(—1,O)到直線mx+n(y—l)=0的距離為d,d=f—?=也皿

Vm24-n2Vm2+n2

由弦長(zhǎng)公式|2B|=27T2—d2得d=1,所以上吐吐=1,化簡(jiǎn)得nm=0.

Vm2+n2

故選：A.

7.D

【分析】利用平均數(shù)和方差公式可求得新數(shù)據(jù)的方差.

【詳解】設(shè)甲組數(shù)據(jù)分別為匕、/、…、4,乙組數(shù)據(jù)分別為/、/、…、%,

12678127

甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為工￡匕元=3,可得率X.=18,方差為工￡6(%._3)2=5,可得

61=111=116i=l1

E6(X.-3)2=30,

i=lL

乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為工￡12%.=5,可得＞2了.=30,方差為工￡12(%.-5)2=3,可得

61=711=7161=71

E12(X.-5)2=18,

i=7L

混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為工￡以久.=12墳=4,

121=1112

方差為馬￡6(%「4)2+￡123—4)2]=工歷6(%—3—1)2+￡12(%_5+1時(shí)

12Li=l1i=71」12Li=l11=71」

1612612

=—[X-3)2+￡(%—5)2—2￡(4-3)+2￡(%.—5)+121

i=li=7i=li=7

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

=X[30+18-2X(3-3)X6+2X(5-5)X6+12]=5.

12

故選：D.

8.D

【分析】如圖，作過(guò)點(diǎn)M作平行于x軸的直線MB交直線1于點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)N作NA_LMB于點(diǎn)4

結(jié)合直線的斜率得出MN平行于無(wú)軸，d(M,N)最小，再設(shè)M(cos0,sin。)，求出|MB|,利用三

角函數(shù)知識(shí)得最小值.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)M作平行于x軸的直線MB交直線I于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)N作N41MB于點(diǎn)

4d(M,N)表示I"川+|M4|的長(zhǎng)度，因?yàn)橹本€I的方程為3x+y—9=0,所以tan/NB4=

3,3=3,即|NA|=3\AB\,d(M,N)=\MA\+3\AB\=\MB\+2\AB\,

\AB\

當(dāng)固定點(diǎn)M時(shí)，|M8|為定值，此時(shí)為零時(shí)，d(M,N)最小，即N與B重合(MN平行于x軸)

時(shí)，d(M,N)最小,如圖所示，

設(shè)M(cosB,sin。)，9G(0,2TI],貝=上且過(guò)=3—工sin。，

833

\MB\=%—cosd=3--sin。—cos。=3--(sin0+3cos0),

“33

由三角函數(shù)知識(shí)可知sin。+3cos0=VlOsin(0+(p),其中tan夕=3,

則其最大值是，花，

所以d(M,N)min=3-半，故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解曼哈頓距離的定義，得到|MB|=4-cosO=3-

D

工sin?！猚os。，再利用輔助角公式即可求出其最值.

3

9.B

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【詳解】對(duì)于A：由圖象可知定義域不是P,不滿足；

對(duì)于B：定義域?yàn)镻,值域?yàn)镼的子集，故符合函數(shù)的定義，滿足；

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

對(duì)于C：集合P中有的元素在集合Q中對(duì)應(yīng)兩個(gè)值，不符合函數(shù)定義，不滿足；

對(duì)于D：當(dāng)久=2時(shí)，有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)定義，不滿足.

故選：B.

10.BC

【分析】結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、系數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算即可得.

【詳解】1=4(％3)81)=(升那%244k,

K1o%o

對(duì)A：令244fc=0,即k=6,則7；=(96cq=28,故A錯(cuò)誤；

78

o

對(duì)B：令x=l,即f(l)=(1工)=0,故各項(xiàng)系數(shù)之和為0,故B正確；

1

對(duì)C：由71=8,故二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值為蜃=33=70,故C正確；

84X3X2X1

對(duì)D：/①=(i3I)8=(i>=o,故D錯(cuò)誤.

i

故選：BC.

11.AD

【分析】根據(jù)給定條件，舉例說(shuō)明判斷BD；構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性判斷AC.

【詳解】在△ABC中，當(dāng)4=3B時(shí)，71=3,取3=工，則4=①，tanA=1,

124

tanB=tan(-衛(wèi))=&_]=2V3,3tanB=3(2V3),貝1tanA>3tanB,B錯(cuò)，D對(duì)；

341/3

0<<TT0<nB<TT

顯然0<8<ir,即0<B<n，則0<B<工，

0<C<it0<TtBnB<Tin1

令/'(%)=sinnxnsinx,0<x<-2-,n>2,=ncosnxncosx=n(cosnxcosx)<

n1',

0,

因此函數(shù)/'(x)在(0,-J)上單調(diào)遞減,則/'(x)</(0)=0,即sinnB<nsinB,從而sinA<

n1

nsinB,A對(duì)，C錯(cuò).

故選：AD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及不同變量的數(shù)式大小比較，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù),

分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解作答.

12.V3

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知可得自不=j再由運(yùn)算律求口可即可.

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】因?yàn)閲?4=舊，所以4港+4心3+應(yīng)=3,所以港3=—3

則(2—3)2=8.2—2a-b+b2=3,故口—b\=V3.

故答案為：V3

13.-V5

【分析】集合T表示雙曲線y2—4%2=1上支的點(diǎn)，集合S表示直線y=kx+t上的點(diǎn)，

d(S,T)=(1,+8),故直線與漸近線平行，在漸近線下方，即t<0,且與漸近線的距離為1,

計(jì)算得到答案.

【詳解】y=74X2+1,即y2-4x2=1,y>0,故集合T表示雙曲線y2一4x2=I上支的

點(diǎn)，

集合S表示直線y=kx+t上的點(diǎn)，

d(S,T)=(1,+8),故直線與漸近線平行，在漸近線下方，即t<0,且與漸近線的距離為1.

雙曲線的漸近線為y=±2x,不妨取2x+y=0,則y=-2x+t,即2x+y-t=0,

平行線的距離d=3L=l,故1=—遍或1=逐(舍去).

J1+4

故答案為：_范

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查了集合的新定義，直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的

計(jì)算能力轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)條件得到直線與漸近線平行，在漸近線下方,

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

且與漸近線的距離為1是解題的關(guān)鍵.

14.13TT

【分析】翻折前，將直線，的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)2、B的坐標(biāo)，然后以以原坐

標(biāo)原點(diǎn)。為原點(diǎn)，原縱軸的負(fù)半軸所在直線為x軸，直線。P所在直線為y軸，過(guò)點(diǎn)。且垂直于

平面。PB的直線作z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心為G(a,b,c),根據(jù)球心的性質(zhì)可得出關(guān)

于a、b、c的方程組，解出這三個(gè)未知數(shù)的值，可得出球心的坐標(biāo)，可求得球的半徑，利用

球體的表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】翻折前，設(shè)點(diǎn)4(4，兀)、B(x2，y2),則兀＞0,直線I的方程為y=-1),

y=V3(x—1)x=2X2=~lr

聯(lián)立3可得1萬(wàn)或2即點(diǎn)火2,舊)、B?,—色)，

y2=：xV1=V3丫2=_@22

易知點(diǎn)D(2,0),

翻折后，以原坐標(biāo)原點(diǎn)。為原點(diǎn)，原縱軸的負(fù)半軸所在直線為X軸，直線。P所在直線為y軸，

過(guò)點(diǎn)。且垂直于平面。PB的直線作z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,l,0)、D(0,2,0)、B(落\0)、4(—五,2,3),

2222

設(shè)四棱錐P—4BD的外接球球心為G(a,b,c),

a2+(b—1)2+c2=CL2+(b—2)2+c2a_魚

由題意可得a2+(b—l)2+c2=(a-§)2+(b—?2+c2，解得b=ft

-22

a2+(b-1)2+C2=(a+玲+(b—2)2+(c—3)c=3

222

所以，球心為G(五,3,3),所以，球G的半徑為|PG|=’3+(3—1)?+2=國(guó)，

2224242

因此，球G的表面積為4TtMG|2=13TT.

故答案為：13TT.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

體或長(zhǎng)方體中去求解；

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心,

找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；

④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建

立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.

15.(1)/(%)在(0,1)上為增函數(shù)；/(%)在(1,+8)上為減函數(shù)；

(2)a(lna—1)

【分析】(1)直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(2)求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.

【詳解】(1)f(%)的定義域?yàn)?0,+8),

當(dāng)Q=1時(shí)，/(%)=Inx—%,/z(x)=--1=

XX

當(dāng)『(￡)=上^>0,解得：

X

當(dāng)『(￡)=y<o,解得：x>1.

X

???f(%)在(0,1)上為增函數(shù);/(%)在(1,+8)上為減函數(shù)；

(2)/(%)的定義域?yàn)?0,+8),

/,(%)=2_1=二，

XX

當(dāng)a>0時(shí)，令f，(%)>0,得0<%<a,令『(%)<0時(shí)，得久>a,

???f(x)的遞增區(qū)間為(0,a),遞減區(qū)間為(a,+oo).

/(%)max=alna—a=a(lna—1).

16.(l)a九=能

(2)證明見解析

【分析】(1)由等差數(shù)列定義可得S,由S與a的關(guān)系即可得a；

nnnn

(2)由工與4可得與，即可得乙，由(2幾+1)5+1)N6,可得7；W6n-i,借助等比數(shù)列

求和公式計(jì)算即可得證.

【詳解】(1)由是首項(xiàng)為工、公差為工的等差數(shù)列,

'-n(n+l)J23

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

故^-=工i(n-1)=21,

n(n$2336

即s=("i)n(n1)=加2四08

n366

當(dāng)nN2時(shí)，S="2<皿一。,

n-l6

故S—S=a=^(ZTli)(7li)_九(271—1)(71—1)

nn—1ri$6

_九(2九23rl1—2汽3?一j)_能

6

當(dāng)九=1時(shí)，a=S=^=l,符合上式，

116

故a=倦；

n

(2)由Q=712,S=山2一取幾明

nn6

故b_Qn-l)/_6(2"-1)九2_6(2"-l)n

n

SnTt(2nD(nD(2n0(n力

川T=bbh=6(2-1).6(4—1)X2..6(211-1)"

n12n(20(10(4力(20(271D(n]

_6蟲2—1)-6九

——,

(2n$(n](2nl)(n1

由(2nl)(n1)>3x2=6,

故Tw-=6n-l,

n6

則T.<6n-i=1X(-)=6f

i=1?~i=11-65

17.(1)證明見解析；

(2)應(yīng)該投資，理由見解析

【分析】(1)由題意，X=1,2,3,...,8,P(X=fc)=p(l—p)fc-l,fc=,7,P(X=8)=

(1一p)7,列出分布列，列出E(X),乘公比錯(cuò)位相減法求和S=(1—p)。2(1-p)i

3(1-p)2…7(l—p)6,分析可證明E(X)<工；

p

(2)由(1)可得E(X)<工=5,分析即得解

p

【詳解】(1)由題意，X=1,2,3,...,8

故P(X=k)=p(l-p)fc-i,fc=1,2,-,7,P(X=8)=(1-p)7

分布列如下：

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

X12345678

PPp(l—P)p(l—p)2p(l—p)3p(l—p)4p(l—p)5p(l—p)6(1-p)7

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=p(l—p)o+2p(l—p)i+3P(1—p)2+—|-7P(1—p)6+

8(1-p)7,

記S=(1-p)0+2(1-P)1+3(1-p)2+…+7(1-p)6,

(1-p)S=(1-p)i+2(1-p)2+3(1-p)3+…+7(1-p)7,

作差可得，pS=(1-p)O+(1-P)1+(1-p)2+...+(1-P)6-7(1-p)7=一

p

7(1-p)7,

則E(X)=pS+8(1-p)7=+(1-p)7=<1；

ppp

(2)由(1)可知E(X)<2=5,則試驗(yàn)成本的期望小于5a元，

p

試驗(yàn)成功則獲利8a元，且8a>5a,則該公司應(yīng)該投資該產(chǎn)品

18.(1)超+以=1；(2)①追；②存在；tan6?=

432814

【分析】(1)由的周長(zhǎng)可求出a的值，從而由離心率的值可求得c=l,進(jìn)而由橢圓

中a2=b2+c2的關(guān)系求出b的值，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)①直線/的方程為y=^x+娟，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)4B的坐標(biāo)，再建立空間直角

坐標(biāo)系，求出點(diǎn)々,45%的坐標(biāo)，從而可得予，甌，再利用空間向量的夾角公式即可求解.

②由|4F,|+\B'F\+\A'B'\=^,\AF\+\BF\+\AB\=8,可得|AB|-|4B'|=1，設(shè)折疊

zz2zz2

前4(%,匕),3(芍,、2)，直線/的方程my=x+l與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入上式化

簡(jiǎn)整理即可求出zn的值，從而可得直線/的斜率，進(jìn)而可得tan。的值.

【詳解】解：(1)由橢圓的定義知：IXFJ+\AF2\=2a,\BF^\+|SF2|=2a,

所以△28%的周長(zhǎng)L=4a=8,所以a=2,

又橢圓離心率為，所以￡=工，所以C=l,b2=a2-C2=3,

2a2

由題意，橢圓的焦點(diǎn)在久軸上，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為必+比=1;

43

(2)①由直線/：y—O=b(%+l)與江+以=1,

43

聯(lián)立求得4(0,我)，(因?yàn)辄c(diǎn)4在久軸上方)以及8(-良，一&b)，

55

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

再以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原y軸負(fù)半軸，原久軸，原y軸正半軸所在直線為x,y,z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，則

F~A=(0,1,V3),BF=

1255

記異面直線4工和B凡所成角為cp,貝！1coss=Icos<FA,BF>1=區(qū)上嗎|=ll,

12121I物甌I28

②設(shè)折疊前4(%,y1)，B(x2，y2),折疊后4B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為4,B',A'^x^y^O),

B'(,X2>0,-y2),

由+忸”1+M'B'I=T，k叮+忸?+=8，故—=?

my=%+1一

{%21V2d，得(3TTI2+4)y2-6my-9=0,

43

%+%=

1z3m2+41z3m2+4

在折疊后的圖形中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(原工軸仍然為％軸，原y軸正半軸為y軸，

原y軸負(fù)半軸為z軸)；

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

\A'B'\='(4f)2+y/+42,\AB\=,0]——)2+“_/)2,

所以|4B|一\A'B'\=J(X]-+@1_M)2-J(%―%)2+邛+,=|>(i)

又_工，

J(七-々)2+%-%)2+7氏+W+埠2

所以“久]一4)2+(/—、2)2+J(X]一久2)2+邛+邛=-4yly2，(ii)

由(i)(ii)可得J(X]_々)2+(/一了2)2=工_2yly2'

4

2

+@1-

因?yàn)?X]_X2)2y2)2=(1+m2)(yi-y2)2=(1-2%/)，

所以(1+62)留一廣+^^=(工+。)2,

37n2+43m2+4437n2+4

即144(3f2=(1+」S_)2,

3m2+443m2+4

所以12+12史=工+二^,解得血2=四，

3m2+443nl2+445

因?yàn)?V6<匹，所以tan。=工=王”.

2m14

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)折疊前、后三角形△ABF2周長(zhǎng)的變化，得到

\AB\-\A,B,\=^進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式及韋達(dá)定理進(jìn)行求解.