2024年中考數(shù)學真題提優(yōu)訓練 二次根式（教師版含答案）

2024年中考數(shù)學真題專題提優(yōu)訓練一二次根式【教師版含答案】

一、作圖題

1.如圖所示的6x6方格紙上每個小正方形的邊長都為1.在方格紙上按要求畫圖.

圖1圖2

（1）在圖1中以點力為頂點，畫邊長為四，V5,四的AaBC；

（2）在圖2中以2B為一邊，畫菱形4BCD.

【答案】（1）解：如圖1,AaBC即為所畫（畫法不唯一）.

（2）解：如圖2,菱形即為所畫（畫法不唯一）.

圖2

2.如圖，已知aABC的三個頂點在格點上.

一

B

（1）畫出△AiBiCi,使它與AABC關于直線a對稱;

（2）求出△AiBiCi的周長.

【答案】（1）解：如圖，△AiBiCi為所求;

(2)解：由題意，可知：

z/i=Vi2+12=V2，

41cl=Vl2+22=V5，

/Ci=Vl2+22=V5，

，周長為：V2+V5+V5=2V5+V2

3.已知△ABC中，AB=1,BC=4&CA=^V125.

72□

（1）在4X4的方格紙上畫出△ABC三邊長，使它的頂點都在方格的頂點上（每個小方格的邊長

為1）;

（2）求最長邊上的高.

【答案】⑴解：BC=4g=2V2，CA=看"25=V5；

A△ABC為所作圖形.

(2)解：?.?△ABC的面積為々x1x2=1,BC=2V2,

???BC邊上的高為1x2+2V2=*-

4.如圖所示，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,任意連接這些小正方形的頂點，可得到一些

線段.請在圖中畫出線段AB=V^,CD=V5,EF=V13,并說明這樣畫的道理.

【答案】解：如圖所示,

AB=V2,CD=V5,EF=V13.

理由如下:

由勾股定理，得AB=J12+12=企,

CD=V12+22=V5,

EF=j22+32=履.（答案不唯一）

5.如圖，在矩形/BCD中無重疊放入面積分別為四而和秘小（a>b）的兩張正方形紙片，則圖中空

白部分的面積為cm?.

【答案】4ab-b

6.有這樣一個問題，探究函數(shù)y=/-2必的圖象與性質(zhì)，小張根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y=

爐-2序的圖象與性質(zhì)進行了研究，下面是小張的探究過程，請補充完整：

（1）函數(shù)y=N-2用的自變量取值范圍是

（2）下表是了與x的幾組對應值：

-4-3-2-101234

yn30-10-103m

求m的值；

（3）如圖，在平面直角坐標系X0中，算出了以上表中各對對應值為坐標的點，根據(jù)算出的點,

畫出該函數(shù)的圖象;

y個

10-

9-

8-

7-

6-

5-

4-

3-

2-

1-

12345678、

（4）進一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的最低點是（1,-1）,結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該

函數(shù)的其他性質(zhì)（一條即可）;

（5）根據(jù)圖象回答：方程N-27^=-1有個實數(shù)解.

【答案】（1）自變量取值范圍是任意實數(shù)

（2）解：當x=4時，y=42-2XV4^=16-8=8.

答:m的值為8.

當x<-1時，y隨x的增大而減小.

(5)3

7.如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,請在所給網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形,

(1)①已知點A在格點(即小正方形的頂點)上，畫一條線段AB,長度為V10,且點B在格

點上。

②以(1)中所畫的線段AB為一邊，另外兩條邊長分別為V5,V130面一個△ABC,使點C

在格點上(只需畫出符合條件的一個三角形)。

(2)所畫出的AABC的邊AB上的高線長為(直接寫出答案)

二、綜合題

8.定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母的過程叫做分母有理化.

如：將7=^=分母有理化.

解：原式=語等品可=(而+百).

運用上面的方法解決問題：

(1)將扁分母有理化.

“1111

⑵化間：7T+7?+V2+V3+73+74+…+V2015+V20l^'

【答案】⑴解：7^=(2；—=曹=4";

⑵解.諄式二1x(21)+lx"⑵++7^)

(72+l)x(72-l)(73+72)x(73-72)…(V2016+V2015)x(V2016-V2015)

=V2-1+V3-V2+V4-V3+...+V2016-V2015

=_1+V2016.

9.觀察下列含有規(guī)律的式子：①.J1+|=2②.[2+,=3R③.&+"=4J|，…根

據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，完成下面各題：

(1)按照這個規(guī)律，寫出第④個式子：;

(2)若式子屈1=8(a,b為正整數(shù))符合以上規(guī)律，則再吃=;

(3)請你用含有正整數(shù)n的式子，表示出你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：；

(4)請你通過計算，驗證：當n=20時，對應的式子是正確的.

【答案】⑴/

(2)4

⑶/+急=5+1)忌

(4)解：當71=20時，有120+白=21卷.

.??左邊=悟江厘,右邊

二左邊=右邊.

???當n=20時，對應的式子是正確的.

10.分母有理化：

⑴-^―=.

3V2---------'

⑵=---------；

2V5---------

【答案】(1)烏

(2)當

(3)乎

11.在平面直角坐標系中，點A(1,2),點B(a,b),且J—(a—3尸=反f點E(6,

0),將線段AB向下平移m個單位(m>0)得到線段CD,其中A、B的對應點分別為C、D.

(1)求點B的坐標及三角形ABE的面積；

(2)當線段CD與久軸有公共點時，求m的取值范圍；

(3)設三角形CDE的面積為S,當4WSW5時，求血的取值范圍.

【答案】(1)解：?:d—(a—3產(chǎn)=，4—b+7b—4,

[4-6Z0

，tb-4>0,

?b=4,

J—(a-3)2=0,

/.a-3=0，

??a=3,

AB(3,4),

過點B作BHLx軸于點H,過點A作AMLBH于點M,過點E作ENLAM于點N,連接EM,

=7；

(2)解：當點C在x軸上時，此時m=2,

當點D在x軸上時，m=4,

2<m<4時，線段CD與x軸有公共點；

(3)解：當點C在x軸上時，此時m=2,C(1,0),D(3,2),SACDE=5,

當點D在x軸上時，止匕時m=4,C(1,-2),D(3,0),SACDE=3,

當點C在x軸下方時，點D在x軸上方時，且SACDE=4,如圖2,

分別過點C,D作x軸，y軸平行線交于點G,連接GE,過點E作EHLCG于點H,

VC(1,2-m),D(3,4-m),

，CG=2,DG=2,EH=m-2,

SACDE=SACDG+SAEDG-SACEG,

.?.4=|x2x2+|x2x3-1x2?(m-2),

/.m=3.

???當2sms3時，4<S<5；

VCG=DG=2,GH=3,EH=m-2,

??.SACDE=SAECG-SACDG-SAEDG,

SACDE=|X2.(m-2)-|x2x2-|x2x3=m-7,

當m?7=4時，m=ll,當m-7=5時,m=12,

???當ll<m<12時，4<S<5.

綜合以上可得，當2<m<3或110msi2時，4<S<5.

12.一個三角形的三邊長分別為5.

(1)求它的周長(要求結(jié)果化簡)；

(2)請你給出一個適當?shù)膞值，使它的周長為整數(shù)，并求出此時三角形周長的值.

【答案】⑴解：...個三角形的三邊長分別為5源,際,打息，

,這個三角形的周長是：

5號白師+江啟

=V5x+V5x+^-1^

(2)解：當x=20時，這個三角形的周長是：爭=鄴孚型=25

13.閱讀下列材料，然后回答問題.

二次根式余，口,￡］，可以進一步化簡：.=合￡~=(一)；

V5\3V3+1V5V5XV55

耳叵＞=在(二)；

^3\3x33

2_2x(75-1)_2(73-1)_歷［/一、

TiTI=(V3+1)(V3-1)=(73)2-12=^-1(二)；

以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

式子/7也可以這樣化簡：

2_3-1_(73)2-12_(73+1)(73-1)_t(四).

V3+1V3+1V3+1V3+1'

2

(1)請參照(三)式、(四)式，用兩種不同的方法化簡亮行；

V/+V5

(2)直接利用上面的結(jié)論化簡：7^T+7CT+7CT+-+/7v

V3+1V5+V3V7+V5V2n+H-V2n—1

1受安解2_2(V7--75)_2(77—75)_fyR

【答案】m斛：7^_儲+圖("-佝_(⑺2_(圖2-"一月

2=7-5_("+⑸("-5

77+7f_V7+V5—77+71—Y''

12227

(2)解：原式=2*(7^+；^+；^+……J2n+1+J2n—1)

=2x(V3-1+V5-V3+V7-V5+.......A/2TI+1-V2n—1)

V271+1-1

2

14.觀察下列一組式的變形過程然后回答問題

1_V2_1__V2—1_]

例

1：V2+1=(V2+1)(V2-1)=(V2)2-l=1=-

例2：二k=V3—V2,=V4—V3,/斤=V5—V4

73+727J4+Vk3/5+V4

V6+V5--------------；7100+V99--------------

（2）請你用含n（n為正整數(shù)）的關系式表示上述各式子的變形規(guī)律

（3）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值。

1111

V2+1+V3+V2+V4+V3+…+V100+V99

【答案】(1)V6-V5；V100-V99

1_______

(2)解：而鎘=而釘—訴

L1111

,3)解：7？+1+7^+7T+7Z+7I+-"+VIOO+V99

=V2-1+V3-V2+....+V100-V99=V100-1=10-1=9

15.觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題:

v

例|1?一--=-------=*=-NT=-]

Vj?V2+1(72+1)(72-1)(72)2-1V/

111

例*2:75+77=8—魚，海誦=四「8'兩百=

,1)填空：懸后=-------------；7100+799=--------------------'

(2)請你用含n(n為正整數(shù))的關系式表示上述各式子的變形規(guī)律：.

(3)利用上面的結(jié)論，求下列式子的值(要有計算過程).&行+吳后+右，+...+

Vl+VVZ+V5V5+V4,

1

V9999+710W'

【答案】(1)10-3VT1；10-3vn

1.

(2)^7^T=

1111

⑶解：五短+五”++…+J9999+J10000=V2-1+V3-V2+V4-V3...+

V10000-V9999=V10000-1=100-1=99.

16.小明在解決問題：已知a=熹，求2a2-8a+l的值，他是這樣分析與解答的：

??_1_____2_點__/o

?a-2+V3-(2+V3)(2-V3)——'

a-2=-V3.

/.(a-2)2=3,即a2-4a+4=3.

.".a2-4a=-1,

2a2-8a+l=2(a2-4a)+l=2x(-1)+1=-1.

請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：

(2)計算：72+1+V3+V2+V4+V31''-1V2020+V2W；

1

(3)若a=曰，求2a2-8a+l的值.

V5—2

【答案】(1)V2-1

(2)解：原式+—++—

42020-1

=2V505-1；

(3)解：；a=V5+2,

a2=(V5+2)2=9+4V5,

?1?2a2—8a+1

=2(9+4A/5)-8(V5+2)+1

=18+8V5-8V5-16+1

=3.

答：2a2-8a+1的值為3.

17.先化簡，再求值：a+Vl-2cz+a2，其中a=1010.

如圖是小亮和小芳的解答過程.

小亮

（1）的解法是錯誤的，錯誤的原因在于未能符合題意地運用二次根式的性質(zhì)：病=

（a<0）；

（2）先化簡，再求值：x+2V%2-4x+4，其中x=-2019.

【答案】（1）小亮；-a

(2)解：x+2V%2-4%+4=x+2-2.=x+2|x-2|,

Vx=-2019,Ax-2<0,

原式=x+2(-x+2)=x-2x+4=-x+4,

將x=-2019代入上式得，

原式=2019+4=2023

18.已知a=V2+1,b=V2-1,求下列代數(shù)式的值:

(1)求ab的值

(2)求a2+ab+b2的值

⑶

【答案】(1)解：,/a=V2+1,b=V2-1,

ab=(V2+1)(V2-1)=2-1=1,

(2)解：Va=V2+Lb=遮-1,

/.a+b=V2+1+V2-1=2V2，

a2+ab+b2=(a+b)2-ab=8-1=7；

￡=板+.2=(a+b)2—2ab

(3)解：:+丁8—2=6

abab

19.閱讀下列解題過程:

11x（左一海）VK--74

V5-V4=V5-2

V5+V4(V5+V4)(V5-V4)(V5)2-(V4)2

11x（布一花）V6-V5

V6—V5

V6+75―(V6+V5)(V6-V5)(V6)2-(V5)2

請回答下列問題：

1

（1）觀察上面的解題過程，請直接寫出（n>2）的結(jié)果為

VTH-VH—1

1111

（2）利用上面所提供的解法，求1+V2+72+73+/3+V4+…+V99+V100的值.

【答案】(1)y/n-y/n—1

(2)解：原式=(V2-1)+(V3-V2)+(V4-V3)+...+(V100-V99)

Vioo-1.

20.閱讀與思考

請閱讀下面材料，并完成相應的任務.

在學習完實數(shù)的相關運算之后，某數(shù)學興趣小組提出了一個有趣的問題：兩個數(shù)的積的算術(shù)平方根

與這兩個數(shù)的算術(shù)平方根的積存在什么關系？小聰和小明分別用自己的方法進行了驗證：

小聰：V4X25=V100=10,V4X25=2x5=10,

所以吊4x25=V4xV25.

小明：-4x25)2=4X25=100,(V4X25)2=(2X5)2=100.

這就說明又下和游x星都是4x25的算術(shù)平方根，而4x25的算術(shù)平方根只有一個，

所以，4義25=V4xV25.

任務：

(1)猜想：當a20,bN0時，房和VHX迎之間存在怎樣的關系？并仿照小聰或小明的方法

舉出一個例子進行說明；

(2)運用以上結(jié)論，計算：①“6X36；@V49X121；

(3)解決實際問題：已知一個長方形的長為俄，寬為遮，求這個長方形的面積.

【答案】(1)解：近乂&=描；

例如：V4X9=V4xV9=6

(2)解：①，16X36=V16XV36=4x6=24；

@V49X121=V49XV121=7X11=77

(3)解：..?長方形的長為何，寬為用，

，S=V32xV8=V32x8=16,

答：這個長方形的面積為16.

2L閱讀理解材料：把分母中的根號化掉叫做分母有理化，例如：①+=意磊=/；②&匕;

二義器？、=，噌?2=或+1等運算都是分母有理化.

根據(jù)上述材料，

1

⑴化簡：運

1

⑵化簡：E

1111_____

(3)計算：(7^T+7^73+7TO+，"+V2023+V2021XV^+1)-

1

【答案】(1)解：云與

lxV3

-2V3xV3

_V3.

y

1

⑵解：中

lx(V5+V3)

(V5-V3)x(V5+V3)

V5+V3

5-3

V5+V3.

-2-'

1111._____

(3)解：(-/=----1—<=—；=H—7=—尸H---1—/—/)(，2023+1)

vV3+lV5+V3V7+V5V2023+V20217k)

1><(瘍_1)lx(V5-V3)

[(A/3+1)X(V3-1)+(V5+V3)X(V5-V3)+

lx(V2023-V2021)

+](V2023+1)

(V2023+V2021)x(V2023-V2021)

V2023-V2021i_

------------X------------)(72023+1)

乙

73-1+T5-V3+V7-V5……V2023-V2021,_

=(---------------------------------------5---------------------------------------)(72023+1)

_(V2023-1)(72023+1)

二2

2023-1

二2

=1011.

22.

(1)計算：V18-V8+V2；

=^-1X2A/3-|X5V3..................................................................................................................第二步

=2^3_^3_573......................................................................................................................................第三步

_W3_6V3_15V3...................................................................................................................................第四步

一666

=—塔..............................................................第五步

6

任務一：小明同學的解答過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因

是.

任務二：請你寫出正確的計算過

程_____________________________________________________________________________________

【答案】(1)解：V18-V8+V2

=3V2-2V2+V2

=2V2；

(2)第二步；去括號后符號錯誤；解：J|-1(V12-V75)=^-1(2V3-5V3)=^l-1x2V3+

1匚.2^/3p：,5734V36V3,157313傷

2X5V3=--V3+—+-

23.在數(shù)學學習活動中，小華和他的同學遇到一道題：已知。=熹1，求a+1的值.

小華是這樣解答的：?.?。="行=7^左號F=2-g，a+l=3-舊，請你根據(jù)小華的解

題過程，解決下列問題.

11

(1)填空：石反=---------;再三=----------;

(2)化簡：7^T+7I+7T+77+75+,"+V289+V288-

【答案】(1)V3+V2；密1

(2)解：原式=魚一1+遍一魚+逐一遍+...+J^的一加^

=7289-1

=17-1

=16.

24.化簡：

(1)母彳聞-5；

⑵孚一3+2VH6；

(3)(2V3+3V2)(2V3-3V2)；

(4)V2(V18-2V3)+4V2x2^.

【答案】(1)解：原式=6”4g-5

=5-5

=0

(2)解：原式=孚-孚+12V5

=12V6

(3)解：原式=12-18

=-6

(4)解：原式=6-2V6+2V6

=6.

25.解答題

(1)如圖，若圖中小正方形的邊長為1,則AABC的面積為

(2)反思(1)的解題過程，解決下面問題：

若2V?2+b2，J9a2+(,125a2+愣(其中a,b均為正數(shù))是一個三角形的三條邊長,

求此三角形的面積.

【答案】(1)\

(2)解：構(gòu)造如圖的矩形，

AD=J9a2+爐，AC=2JD+6，BC=J25a2+b2-

則AABC的面積等于大矩形面積與三個直角三角形面積之差,

故SAABc=5a><2b-x3axb-v5a'b-x2a><2b=4ab.

26.閱讀下面的材料，并解答問題:

1_lx(g-1)-1泛1

V2+1(V2+1)(V2-1)(V2)2-l2'

1_lx(V3—V2)_V3—/2_歷歷

73+72=(73+72)(73-/2)=(73)2-(72)2??

_1_=_lx(G⑸_=?Y=V4-V3

V4+A/3(^/4+>/3)(V4—A/3)"5)2-“J)2

(1)埴空.---二,------------=

八V5+V4-------------72017+72016

1

（〃為正整數(shù)）;

Vn+1+Vn

⑵化簡：言

【答案】(1)V5-V4；V2017-V2016；VnTT-Vn

(2)2V2+2

27.請回答下列各題.

11

（1）已知%=73-J2，丫=石+五，求/一xy+y2的值.

（2）已知實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應的點如圖所示，圖中。為原點，化簡:

da2-J(a—b)2+Ib+cI+yj~c^?

[1

【答案】(1)解：X=遮—金二8+魚，y=遮+魚=百一魚,x-y二V3+V2-V3+V2=2V2，

x產(chǎn)(V3+V2)(V3—V2)=1,

原式=(%—y)2+xy=(2V2)2+1=9

(2)解：由數(shù)軸可知，a<0,a-b<0,b+c<0,

原式二|CL\—|ct—+|b+c|+c=—ct—(b—a)—(h+c)+c=—2b

?c0b

28.觀察下列等式：

①普=(笈X^—l)=dl；

1________________/Q_/5

^73+72-(73+72)(73-72)—-；

⑶_1_=-=V4-V3.

°河+西(74+73)(74-73)'…

回答下列問題：

(1)利用你觀察到的規(guī)律，化簡：玲：帝

VZD-TVZZ

(2)計算：壺+毋萬+霜+..?+7!%.

【答案：](1)解：聞:反=(3+浸)借—聞)=V23-V22

1111

(2)解：1^+?^+年+…'

V2-1,73-V2V3-2,,4-V15

=---------------------------------------------------------------------=--------------------------------F???H------------=------------^=^—

(V2+1)(V2-1)(V3+V2)(V3-V2)(V3+2)(V3-2)(4+715)(4-715)

=V2-1+^3-V2+2-y/3+,,,+4-V15,

=3.

29.閱讀下列運算過程：

出1V3_V3

④再=反忑=與，

1_V5-V2_V5-V2_4^-42.

⑷回盡—(75+V2)(V5-V2)-5-2--3~

數(shù)學上把這種將分母中的根號去掉的過程稱作“分母有理化”.模仿上述運算過程，完成下列各題：

⑴.3

11111

(2)-----1-------1-------p...-I---------1-----,

1+V272+73V3+V4V98+V99V99+V100

【答案】(1)解：原式=瓷絲=卒.

72x722

(0)AS.[s-f—9一\_____?______乃一應______,______門____________i-...-i_____________________________,

:八工一(V2+1)(V2-1)(V3+V2)(V3-V2)(V4+V3)(V4-V3)十…十(聞+聞)(聞—聞)

VT00-V99

(7100+V99)(7100-V99)

=V2—1+—V2+V4—V3+…+V99—V98+V100—V99

=Vioo-i

30.我們在學習二次根式時，了解了分母有理化及其應用.其實，還有一個類似的方法叫做“分子有

理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消除分子中的根式.

("一石)("+乃)1

比如:V7-V6=

V7+V6-77+V6

分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題.例如:

比較：V7-V6和V6-V5的大小可以先將它們分子有理化如下：干一顯=黑丁,V6-V5=

V7+V6

]

A/6+V5

因為V7+V6>V6+V5,所以，V7—V6<V6—V5.

再例如，求了=V%+2-V%-2的最大值、做法如下:

.,________4

解：由1+2之0,工-220可知而y=Vx+2—y/x—2—1x+2+1x2,當、=2時，分母

Vx+l+VF^有最小值2.所以y的最大值是2

利用上面的方法，完成下面問題：

(1)比較g-和舊-舊的大小；

(2)求〉=Vx+1-V%-1+2的最大值.

__1__1

【答案】(1)解：???g-vis=-vis-vi7=7T，

VV19+V18>V18+V17,

?I1

'?V19+V18V18+V17，

即V19-V18<V18-V17；

(2)Vx+1>0,%-1>0,

X>1,

.________2

?“Vm-V^l+2=即+目+2,

，當x=1時，分母Vx+1+yJx-1有最小值V2,

...則y的最大值為：-^+2=V2+2.

V乙

31.如圖，在平面直角坐標系中，〃。&A(0,12),B(a,c),C(b,0),并且a,b滿足b=V^21+

V21^+16.一動點P從點A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點B移動；動點Q

從點O出發(fā)在線段0C上以每秒1個單位長度的速度向點CC運動，點P、Q分別從點4、。同

時出發(fā)，當點P運動到點B時，點Q隨之停止運動.設運動時間為t(秒)

(2)當t為何值時，四邊形PQCB是平行四邊形？并求出此時P、Q兩點的坐標.

(3)當t為何值時，RPQC是以PQ為腰的等腰三角形？并求出此時P、Q兩點的坐標.

【答案】（1）解：由b=Vci—21+V21—a+16,

ra-21>0

l21-a>0

???a=21/b=16,

VAB//OC,A(0,12),B(a,c),

；?c=12,

???B(2L12),C(16,0);

(2)解：如圖，

由題意得：AP=2t,QO=t,

則：PB=21—2t,QC=16-t,

???當PB=QC時，四邊形PQCB是平行四邊形，

21—2t=16—t,

解得：t=5,

???P(10,12),Q(5,0);

(3)解：當PQ=CQ時，過Q作QN_L4B,則四邊形AOQN是矩形,

???AN=OQ=t,QN=OA=12,

???PN=t,

由題意得：122+t2=(16—t)2,

解得：t=9

7

故P(7,12),Q(§,0),

當PQ=PC時，過P作PM1K軸,

則t=16-2t,

解得：t=竽，21=苧,

故P(等,12),Q(竽，0).

32.閱讀下列學習材料并解決問題

定義：如果一個數(shù)i的平方等于-1,記為m=_1,這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位.它的加，減，乘

法運算與整式的加，減，乘法運算類似.例如計算：

(2+i)+(3-4i)=5—31,

(2+0-(3-4i)=-l+5i

(2+i)(3-4i)=6-8i+3i-4i2=10-5i.

(1)問題：填空：產(chǎn)=,產(chǎn)=.

(2)計算：①(2+i)(2—I)；②(2+i)2；

(3)試一試：請利用以前學習的有關知識將*化簡成a+bi的形式(即分母不含i的形式).

【答案】(1)-i;1

(2)解：①(2+i)(2-i)

=4-i2

=4+1

=5；

②(2+i)2

=4+4i+i2

=4+4i-l

=3+4i；

(3)解:-i+1

3-i

(—i+1)(3+i)

(3-0(3+0

—3i—?2+3+i

二

-4—2i

=-10-

21.

=-----i

55

33.閱讀理解：因為/=36,所以36的平方根為±6,即±快=±6,所以36的算術(shù)平方根為6,

即=6,

(1)計算：V4xV9=，V4X9=；V16xV25=,

V16X25=.

結(jié)論：V4xV9V43T9；V16xV25716x25.(填“>”，"="，“V”)

(2)計算：@V5xV20;

(3)已知：a=V2,b=6亍，請用含a,b的式子表示

【答案】(1)6；6；20；20；=；=

(2)解：①xV20=A/5x20=V100=10；

②場義膈=鳥段=m=4；

(3)解：*.*a=V2,b-VTO,

AV80=V8x10=V2V2V2V10

=a3b

34.小明的作業(yè)中出現(xiàn)了如下解題過程:

解答下列問題:

(1)以上解題過程中，從第幾步開始出現(xiàn)了不符合題意?

⑵比較屜與W的大小，并寫出你的判斷過程.

【答案】(1)解：觀察解題過程可知，從第二步開始出現(xiàn)了不符合題意.

(2)解：結(jié)論:9

137?1_7149

于甲§2=2彳，

又..3749

乂*4〈彳

35.為了打贏湖北保衛(wèi)戰(zhàn)、武漢保衛(wèi)戰(zhàn)，4萬多名醫(yī)護人員逆行出征，約4萬名建設者從八方趕來,

并肩奮戰(zhàn)，搶建火神山和雷神山醫(yī)院.他們?nèi)找沽繎?zhàn)，與病毒競速，創(chuàng)造了10天左右時間建成兩座

傳染病醫(yī)院的“中國速度”！他們不畏風險，同困難斗爭，充分展現(xiàn)團結(jié)起來打硬仗的“中國力量”，在

建設過程中，有一位木工遇到了這樣一道數(shù)學題：

有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，在木板上截出兩個面積分別為18由7；2和32dm2的正方

形木板.

32dm2

18dm2

(1)求剩余木料的面積?

(2)如果木工想從剩余的木料中截出長為1.5dm,寬為1dm的長方形木條，最多能截出

塊這樣的木條.

【答案】(1)解：?兩個正方形的面積分別為18由層和32dm2,

,這兩個正方形的邊長分別為3立dm和4立dm，

,剩余木料的面積為(4V2-3V2)x3V2=6(dm2)；

(2)2

36.閱讀下列材料，并解答問題:

心1=V4-V2=2-V2

^72+71--；

J方+乃―-2-2；

61=V8-V6=2g-乃

~2~；

C1_710-78_710-272

J聞同一—2---2;??

(1)直接寫出第⑤個等式:

(2)用含〃(〃為正整數(shù))的等式表示你探索的規(guī)律；

1111

(3)利用你探索的規(guī)律’求質(zhì)”+不而+詬二后+???+7198+7200的值.

【答案】(1).2竊愿

(2)解：觀察可知等式左邊是—-^=，右邊是包隼四，

Vn+Vn+22

所以用含n的等式表示為：痂+\+2=颶5

1111

(3)解：72+V4+V4+V6+V6+V8+…+V198+V200

=2-42+V6-2+2V2-V6++7200-7198

~^2~-2-2

=V200-V2

2

=9V2

丁

37.已知實數(shù)x,y滿足y=，K一13+713一久+5,求:

(1)x與y的值；

(2)x2-y2的平方根.

【答案】(DM：Vx-13>0,13-x>0,

/.y=0+5=5；

(2)解：Vx2-y2=132-52=144,

；.x2-y2的平方根是±12.

38.在計算2遍義8-舊+8的值時，小亮的解題過程如下.

解：2V6XV3-V24-V3

=2V6V3-居-一①

=2V18-V8--②

=(2-1)V18-8一③

=V10一(4)

(1)老師認為小亮的解法有錯，請你指出：小亮是從第步開始出錯的；

(2)請你給出正確的解題過程.

【答案】(1)③

(2)解：原式=2/正一例=6V2-2V2=4V2

39.計算下面各題

(1)已知J39+久2-J15+N=2,求J39+/+J15+/的值

(2)已知729—%2-J15+尢2=2,求J29-尤2+J15+N的值.

【答案】(1)解：,.”39+%2-45+1=2,

(J39+%2-J15+N)(J39+N+J15+/)=2(J39+尤2+715+%2)，

A39+X2-15-x2=2(J39+N+45+/),

；.24=2(J39+/+V15+%2)，

：.個39+%2+J15+%2=12

(2)解：?J29-工2-V15+%2=2,

二(V29-%2-V15+%2)2=4,

?'?29—%2+15+%2-2A/29—x2?V15+x2=4，

??力29-％2?“5+%2=20，

(J29—久2+J15+N)2=29—/+15+/—2V29—x2?yj1E>+X2=4=44+2x20=84,

?'-729—x2+J15+==V84=2V21

40.已知直角三角形的兩直角邊長分別為（2+V5）和（逐-2）.

（1）求這個直角三角形的面積.

（2）求這個直角三角形的斜邊長.

【答案】⑴解：這個直角三角形的面積=品（2+6）X（遮—2）=今

（2）解：由勾股定理得：這個直角三角形的斜邊長=J（2+V5）2+（V5-2）2=V18=3V2.

41.問題探究：因為（a一1）2=3-2VI,所以53-2/=魚-1,

因為（企+1）2=3+2&,所以，3+2&=或+1,因為（2-遮＞=7-4形，所以丁7-43=

2-V3,請你根據(jù)以上規(guī)律，結(jié)合你的經(jīng)驗化簡下列各式：

⑴V5-2V6；

⑵/+a，

【答案】（1）解：V5-2V6

=V3-2V6+2

=J(V3)2-2V6+(V2)2

（1）計算：6+（V5+l）（V5-l）.

（2）下面是夏紅同學對題目的計算過程，請認真閱讀并完成相應的任務.

題目：已知久=聲，求久+1—J的值.

原式=(x+l)(匚1)-%2第一步

%2—1—%2

第二步

X—1

-1第三步

X—1

所％=魚代入上式，得

原式=背第四步

=(72+1)(72-1)第五步

=—1.第六步

任務一：填空：

①在化簡步驟中，第步是進行分式的通分.

②第步開始出錯，這一錯誤的原因是.

任務二：請直接寫出該題計算后的正確結(jié)果________________________________________________

【答案】(1)解：原式=6+5—1=10.

⑵一；五