2024年高考數(shù)學(xué)19題新模式新結(jié)構(gòu)新題型數(shù)學(xué)與閱讀理解 含答案

20M年高壽數(shù)學(xué)19題新模式新結(jié)構(gòu)新題型

01,1電,2…

逾回工](2023上?北京朝陽?高三統(tǒng)考期中724南通)己知4?=電/奧:「電皿(M>2)是館?個(gè)正整

ia?n,la?n,2

數(shù)組成的恒行nz列的數(shù)表，當(dāng)l<iVs&nz,l</Vt&nz時(shí)，記d@力Q&J=除,廠電,l+限廠電/.設(shè)燈

eN*,若4n滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：

①-6{l,2,3;---,n)(i=l,2,---,m;j=l,2,---,m)；

②對(duì)任意kE{1,2,3,…,九},存在i6{1,2,…,m},/E{1,2,…,m},使得，則稱4n為葭數(shù)表.

(123]

⑴判斷4=231是否為「3數(shù)表，并求d(Qi,i,Q2,2)+d(Q2,2，Q3,3)的值；

、312>

(2)若「2數(shù)表4滿足d(°M，d+1/+1)=l(i=1,2,3;/=1,2,3),求鼻4中各數(shù)之和的最小值；

(3)證明:對(duì)任意M數(shù)表4o,存在1&1<5<10,1&/〈±<10,使得或心,力08)=0.

???

題目區(qū)（鎮(zhèn)海高三期末）19.在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.

考察如圖所示的光滑曲線C：夕=/（①）上的曲線段卷，其弧長(zhǎng)為As,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段卷運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)

時(shí)，A點(diǎn)的切線U也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線岳，記這兩條切線之間的夾角為它等于ZB的傾斜角與驍?shù)?/p>

傾斜角之差）.顯然,當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大;當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程

度越大，因此可以定義左=△8為曲線段卷的平均曲率;顯然當(dāng)5越接近4即As越小，K就越能精確

As

““I3（若極限存在）為曲線。在點(diǎn)人處的

刻畫曲線。在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義K=limiA

△s—o|As

（1+/2尸

曲率.（其中??'分別表示"=/3）在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）

（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；

（2）求橢圓手+才=1在（6,｝）處的曲率；

（3）定義隊(duì)y）=，0了!為曲線y=/（,）的“柯西曲率”.已知在曲線/（乃=adn,-2,上存在兩點(diǎn)

（1+沙）

P（g,/3））和□（，/（◎）），且P，Q處的“柯西曲率”相同，求溝+次的取值范圍.

題目區(qū)(合肥一中期末)19.同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容.同余的定義為:設(shè)a,beZ,meN*且館>1.

若nz|a—b則稱a與b關(guān)于模m同余，記作Q三b(modnz)("『'為整除符號(hào)).

(1)解同余方程x2—x=0(mod3)；

(2)設(shè)(1)中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列｛aj,其中^<(12<?3<-<^.

①若bn=an+1—an(n6N*),數(shù)列｛fen｝的前幾項(xiàng)和為S九，求S2024；

②若cn—tana2n+rtana2n-i(nGN*),求數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和Tn.

題目④(北京西城)給定正整數(shù)N>3,已知項(xiàng)數(shù)為m且無重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列4(小%),但，紡)，…,(標(biāo)防)

滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①為，%C｛l,2,…,N｝,且2；六%(i=l,2,…,?7l)；②為+l=%(i=l,2,…,7n—l)；③(p,q)與

(q,p)不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中.

(1)當(dāng)N=3,館=3時(shí)，寫出所有滿足g=1的數(shù)對(duì)序列A；

(2)當(dāng)N—6時(shí)，證明：mW13；

(3)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，記m的最大值為T(N),求T(N).

(如皋市)對(duì)于給定的正整數(shù)九，記集合7T=｛方|2=(力%力2,g,…，力1，力戶用，=1,2,3,???,幾｝,其中元素

日稱為一個(gè)n維向量.特別地，6=(0,0,…,0)稱為零向量.

設(shè)k6R,?=(QiQ,…,Qn)GR"，］=('也，…也)e?，定義加法和數(shù)乘：揚(yáng)=(fcai,fca2,—,fcan),1+為=(的

+匕1,。2+匕2,???,。九+匕九)?

對(duì)一組向量房，辦…,五(seN+，s>2),若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)自，M…,鼠，使得瓦房+居顯H---\-ks

4二6,則稱這組向量線性相關(guān).否則，稱為線性無關(guān).

(1)對(duì)九=3,判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān),并說明理由.

①為=(1,1,1),3=(2,2,2)；

②方=(1,1,1),分=(2,2,2),7=(5,1,4);

(3)2=(1,1,0),=(1,0,1),/=(0,1,1),(1,1,1).

(2)已知2,瓦少線性無關(guān)，判斷日+瓦/+力4+少是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.

(3)已知館(館>2)個(gè)向量房，辦…，募線性相關(guān)，但其中任意山—1個(gè)都線性無關(guān)，證明：

①如果存在等式瓦房+居芯H----\-krnaZ=0(kiER,i=l,2,3,???,m),則這些系數(shù)自，履,…,斯或者全為零，

或者全不為零；

②如果兩個(gè)等式自房+后屬H----F3或=6,2商+，2瓦H----Hm/=百(鼠6RJi￡R,i=l,2,3,???,nz)同時(shí)成立,

其中仔0,則牛=牛=“二畀

h‘21飾

題目回（江蘇四校）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用.設(shè)是直線，上

互異且非無窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，則稱落?第■（分式中各項(xiàng)均為有向線段長(zhǎng)度，例如為力，C,。

A.L）

四點(diǎn)的交比，記為（A,B-,C,D）.

⑴證明：1一（。,民。聞二言詞；

（2）若Z1,如Z3，。為平面上過定點(diǎn)P且互異的四條直線，5，。為不過點(diǎn)p且互異的兩條直線，乙1與33

13,一的交點(diǎn)分別為4，瓦，。1，功，”與點(diǎn)勾,13，/4的交點(diǎn)分別為4，瑪，。2，。2,證明：（4,B1；G,A）=

（42,八；。2,。2）；

（3）己知第（2）問的逆命題成立，證明：若AEFG與AE'F'G'的對(duì)應(yīng)邊不平行，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn),

則AEFG與AE'F'G'對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上.

題目力（高考仿真）已知無窮數(shù)列｛an｝滿足an=max｛an+i,an+2）—min｛an+i,an+2｝（n=1,2,3,…），其中max

｛劣,g｝表示為，"中最大的數(shù)，min｛力,g｝表示為，"中最小的數(shù).

（1）當(dāng)Qi=1,電=2時(shí)，寫出電的所有可能值；

（2）若數(shù)列｛Q/中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列｛Q/中的項(xiàng)；

（3）若為＞0（九=1,2,3,…），是否存在正實(shí)數(shù)使得對(duì)任意的正整數(shù)期都有M《河？如果存在，寫出一個(gè)

滿足條件的如果不存在，說明理由.

題目回(高考仿真)若項(xiàng)數(shù)為％(keN*,k>3)的有窮數(shù)列｛廝｝滿足：0《5<&2<&3<?“<@,且對(duì)任意的

%+俳或%—Qz?是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，則稱數(shù)列｛aj具有性質(zhì)P

(1)判斷數(shù)列0,1,2是否具有性質(zhì)P并說明理由；

(2)設(shè)數(shù)列｛an)具有性質(zhì)P,魚(i=l,2,???,k)是｛冊(cè)｝中的任意一項(xiàng)，證明：<4一心一定是｛冊(cè)｝中的項(xiàng);

(3)若數(shù)歹U｛Q/具有性質(zhì)P證明：當(dāng)k>5時(shí)，數(shù)列｛QJ是等差數(shù)列.

題目包(安徽)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中.

阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q,P的距離之比-ML=*>0J豐1),

X是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)河的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已知?jiǎng)狱c(diǎn)刊的軌跡是阿波羅尼斯

圓，其方程為x2+y2=4，定點(diǎn)分別為橢圓+￥=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)F與右頂點(diǎn)4且橢圓。的離

ab

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，過右焦點(diǎn)F斜率為fc(fc>0)的直線I與橢圓。相交于(點(diǎn)B在。軸上方)，點(diǎn)ST是橢圓。上

異于B,D的兩點(diǎn)，SF平分/.BSD,TF平分/.BTD.

①求箓的取值范圍；

②將點(diǎn)S、F、T看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若asm外接圓的面積為好,求直線z的方程.

O

7

［題目I10(鄭州外國(guó)語)記U=｛1,2,…,100｝.對(duì)數(shù)列｛飆｝(neN*)和U的子集T,若T=0,定義Sr=0；若

7=｛力也,…，右｝，定義$7=01+七2H-\-atk.例如：T=｛1,3,66｝時(shí)，ST—a^a-i+a^.現(xiàn)設(shè)｛a”｝(nCN*)

是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T=｛2,4｝時(shí)，S?=30.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)任意正整數(shù)k(lWkW100)，若T｛1,2,…#｝,求證：ST<耿+1；

⑶設(shè)CUU,。USD,求證：Sc+S°no>2S".

題目五(福建模擬)2022年北京冬奧會(huì)標(biāo)志性場(chǎng)館--國(guó)家速滑館的設(shè)計(jì)理念來源于一個(gè)冰和速度結(jié)合的

創(chuàng)意，沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰運(yùn)動(dòng)員高速滑動(dòng)時(shí)留下的一圈圈風(fēng)馳電掣

的軌跡，冰上劃痕成絲帶，22條“冰絲帶”又象征北京2022年冬奧會(huì).其中“冰絲帶”呈現(xiàn)出圓形平面、橢圓

形平面、馬鞍形雙曲面三種造型，這種造型富有動(dòng)感，體現(xiàn)了冰上運(yùn)動(dòng)的速度和激情這三種造型取自于球、

橢球、橢圓柱等空間幾何體,其設(shè)計(jì)參數(shù)包括曲率、撓率、面積體積等對(duì)幾何圖形的面積、體積計(jì)算方法的研

究在中國(guó)數(shù)學(xué)史上有過輝煌的成就，如《九章算術(shù)》中記錄了數(shù)學(xué)家劉徽提出利用牟合方蓋的體積來推導(dǎo)

球的體積公式，但由于不能計(jì)算牟合方蓋的體積并沒有得出球的體積計(jì)算公式直到200年以后數(shù)學(xué)家祖沖

之、祖眶父子在《綴術(shù)》提出祖瞄原理:“事勢(shì)既同，則積不容異”，才利用牟合方蓋的體積推導(dǎo)出球的體積公

式原理的意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.

8

（I）利用祖瞄原理推導(dǎo)半徑為R的球的體積公式時(shí),可以構(gòu)造如圖所示的幾何體幾何體陰■的底面半徑

和高都為R,其底面和半球體的底面同在平面。內(nèi).設(shè)與平面a平行且距離為d的平面萬截兩個(gè)幾何體得

到兩個(gè)截面，請(qǐng)?jiān)趫D中用陰影畫出與圖中陰影截面面積相等的圖形并給出證明；

A,B（如圖），類比（I）中的方法，探究橢球A的體積公式，并寫出橢球4B的體積之比.

題目工J用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲

線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下:若廣（外是/（2）的導(dǎo)函數(shù)，尸（，）是r（c）的導(dǎo)函數(shù)，

則曲線9=/（為在點(diǎn)3，八,））處的曲率人=—（城].

{i+了㈤呼

⑴若曲線/（/）=lnc+c與g{x}=建在（1,1）處的曲率分別為居，%,比較反,%的大小;

（2）求正弦曲線九（0=sin/QEH）曲率的平方K2的最大值.

???

題目M設(shè)P為多面體”的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為1—-^-（ZQ1PQ2+ZQ2PQ3

+…+/Q—PQ計(jì)/Q^PQi）,其中QKi=l,2,…，鼠3）為多面體用■的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平

面QFQ2,平面Q2-PQ3,…，平面Qk和平面QkPQi遍歷多面體用■的所有以P為公共點(diǎn)的面.

圖1圖2

⑴任取正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)，求該點(diǎn)處的離散曲率；

⑵如圖1,已知長(zhǎng)方體A?QQ,-ABCD,AB=BC=1,AA1=浮，點(diǎn)、P為底面A田Q⑷］內(nèi)的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則求四棱錐P—A6CD在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值；

（3）圖2為對(duì)某個(gè)女孩面部識(shí)別過程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分,就是先在面部取若干采樣點(diǎn)，然后

用短小的直線段連接相鄰三個(gè)采樣點(diǎn)形成三角形網(wǎng)格.區(qū)域a和區(qū)域萬中點(diǎn)的離散曲率的平均值更大的

是哪個(gè)區(qū)域?（只需確定“區(qū)域?！边€是“區(qū)域/'）

?M

題目包近些年來,三維掃描技術(shù)得到空前發(fā)展，從而催生了數(shù)字幾何這一新興學(xué)科.數(shù)字幾何是傳統(tǒng)幾何

和計(jì)算機(jī)科學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物.數(shù)字幾何中的一個(gè)重要概念是曲率，用曲率來刻畫幾何體的彎曲程度.規(guī)定：

多面體在頂點(diǎn)處的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的所有面角之和的差（多面體的面角是指多面體的面上的

多邊形的內(nèi)角的大小，用弧度制表示），多面體在面上非頂點(diǎn)處的曲率均為零.由此可知，多面體的總曲率等

于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正方體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是f，所以正方體在各頂點(diǎn)

的曲率為2L3X5=^，故其總曲率為47r.

（1）求四棱錐的總曲率；

（2）表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡(jiǎn)單多面體.關(guān)于簡(jiǎn)單多面體有著名歐拉定理:設(shè)簡(jiǎn)單多

面體的頂點(diǎn)數(shù)為。，棱數(shù)為L(zhǎng),面數(shù)為“，則有：。-乙+河=2.利用此定理試證明：簡(jiǎn)單多面體的總曲率是

常數(shù).

12

20M年高壽數(shù)學(xué)19題新模式新結(jié)構(gòu)新題型

01,1電,2…

逾回工](2023上?北京朝陽?高三統(tǒng)考期中724南通)己知4?=電/奧:「電皿(M>2)是館?個(gè)正整

ia?n,la?n,2

數(shù)組成的恒行nz列的數(shù)表，當(dāng)l<iVs&nz,l</Vt&nz時(shí)，記d@力Q&J=除,廠電,l+限廠電/.設(shè)燈

eN*,若4n滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：

①-6{l,2,3;---,n)(i=l,2,---,m;j=l,2,---,m)；

②對(duì)任意kE{1,2,3,…,九},存在i6{1,2,…,m},/E{1,2,…,m},使得，則稱4n為葭數(shù)表.

(123]

⑴判斷4=231是否為「3數(shù)表，并求d(Qi,i,Q2,2)+d(Q2,2，Q3,3)的值；

、312>

(2)若「2數(shù)表4滿足d(°M，d+1/+1)=l(i=1,2,3;/=1,2,3),求鼻4中各數(shù)之和的最小值；

(3)證明:對(duì)任意M數(shù)表4o,存在1&1<5<10,1&/〈±<10,使得或心,力08)=0.

【答案】(1)是；5

(2)22

(3)證明見詳解

【分析】(1)根據(jù)題中條件可判斷結(jié)果，根據(jù)題中公式進(jìn)行計(jì)算即可；

⑵根據(jù)條件討論ai+ltj的值，根據(jù)=\aitj-as,j\+\aStj-aStt\，得到相關(guān)的值，

進(jìn)行最小值求和即可；

(3)當(dāng)2時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)k用從左向右的有向線段連接，則該行有rz—1條有向線段,得到橫向有向

線段的起點(diǎn)總數(shù)，同樣的方法得到縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)，根據(jù)條件建立不等關(guān)系，即可證明.

[123)

【詳解】⑴4=231是心數(shù)表，

、312>

d(Ql,l，Q2,2)+4(。2,2,。3,3)=2+3=5.

⑵由題可知或。切,電工)=\aitj-aStj\+\asd-as>t\=l(i=1,2,3;，=1,2,3).

當(dāng)ai+i,j~1時(shí)，有d(a*/,a計(jì)ij+1)=(&廠1)(。計(jì)1,，+1—1)=1，

所以。刃+。計(jì)1,/+1=3.

當(dāng)ai+i,j=2時(shí)，有d(Q￡,jS+i,/+i)—(2—aQ(2—ai+l,j+l)—1,

所以a0,/+a計(jì)i,/+i=3.

所以Q^+Q計(jì)i」+i=3(i=1,2,3;，=1,2,3).

所以2+。3,3+。4,4=3+3=6,。1,3+。2,4=3,。3,1+。4,2=3.

。1,2+。2,3+。3,4=3+1=4或者。1,2+。2,3+。3,4=3+2=5,

。2,1+。3,2+。4,3=3+1=4或者。2,1+。3,2'+。4,3=3+2=5,

。1,4=1或?電,4=2,。4,1=1或?。4,1=2,

故各數(shù)之和>6+3+3+4+4+1+1=22,

(1111)

一1222.

當(dāng)A=時(shí)，

41211

a212>

???

各數(shù)之和取得最小值22.

（3）由于「4數(shù)表4。中共100個(gè)數(shù)字，

必然存在ke{1,2,3,4},使得數(shù)表中看的個(gè)數(shù)滿足T>25.

設(shè)第i行中場(chǎng)的個(gè)數(shù)為n（i=1,2,-,10）.

當(dāng)丁拄2時(shí),將橫向相鄰兩個(gè)％用從左向右的有向線段連接,

則該行有小一1條有向線段，

所以橫向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)7?=§8-1）>E（r-l）=T-10.

設(shè)第，列中k的個(gè)數(shù)為Cj（j—1,2,…,10）.

當(dāng)今）2時(shí)，將縱向相鄰兩個(gè)k用從上到下的有向線段連接，

則該列有與一1條有向線段，

所以縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)C=E（cj-l）=T-10.

所以R+O2T—20,

因?yàn)門>25,所以A+C-T'ZT—ZO-TuT—ZO>。.

所以必存在某個(gè)A；既是橫向有向線段的起點(diǎn)，又是縱向有向線段的終點(diǎn),

即存在1<UVU410,lVpVq<10,

使何*a”,。-—a*q—%,

所以“匍。,4?）=-Qp,p\+l^.p—a?,g|=0,

則命題得證.

題目叵（鎮(zhèn)海高三期末）在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察

如圖所示的光滑曲線。：沙=/（。）上的曲線段檢，其弧長(zhǎng)為As,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從/沿曲線段檢運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)時(shí)，

A點(diǎn)的切線〃也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線如記這兩條切線之間的夾角為（它等于％的傾斜角與匕的傾斜

角之差）.顯然,當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越

大，因此可以定義衣當(dāng)為曲線段檢的平均曲率;顯然當(dāng)3越接近4即As越小，K就越能精確刻畫

曲線。在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義=—回二（若極限存在）為曲線。在點(diǎn)A處的曲

—必si（1+//

率.（其中“，娟'分別表示《=/（，）在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）

（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；

⑵求橢圓1+/=1在（逐素處的曲率；

⑶定義四）:言不為曲線,小）的“柯西曲率已知在曲線存在兩點(diǎn)

P（gJ（g））和□（◎,/（◎）），且P，Q處的“柯西曲率”相同，求湍+溝的取值范圍.

【答案】（1）1（2）卑%

⑶①）

【解析】

【分析】（1）依據(jù)所給定義求解即可.

（2）直接利用定義求解即可.

（3）合理構(gòu)造給定式子，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，結(jié)合高觀點(diǎn)極限方法求解即可.

【小問1詳解】

兀

兀

~3

【小問2詳解】

y=

I=瓜216V7

故“L=V32yL尸2,故K=

c3.49

(1+升

【小問3詳解】

于'⑸=Inc—1,「（①）=?，故W⑹==產(chǎn)）3=，其中s=混,

力（1+g）xl＜lnx）3V3（sins）

令亡尸y鬲，5次L則［Jn3產(chǎn)tlnt，則In力產(chǎn)一，其中1=粵＞1（不妨t＞幻

22?T.-可I九2

令p(力)=xlnx,0‘(/)=1+ln%=p(力)在(0常)遞減，在(占+8)遞增，故1>￡2>~>力>0；

令h(t)=ln(±i+力2)=ln(t+l)-?嗎,

t—1

〃⑴='令m(t)=lnt~1),

(I)'

則mf(t)=，當(dāng)力＞1時(shí)，＞0恒成立，故?71。）在（1,+8）上單調(diào)遞增,

力G+l)

可得m(t)>nz⑴=0,即In力——一>0,

0寸"J.

故有〃⑴=瓦?了［int—2(力T)]>0,

t+1

則無⑴在（1,+8）遞增,

又lim/z(t)=ln2—1,limTi(t)=0,故ln(fi+t2)?(ln2—1,0),

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求導(dǎo)數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是將給定式子合理轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后利用極限

方法求得關(guān)鍵函數(shù)值域，最終即可求解.

題目區(qū)（合肥一中期末）同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容.同余的定義為:設(shè)a,bCZ,MCN*且m＞L若

m\a-b則稱a與b關(guān)于模館同余，記作Q三b（modM）（“『'為整除符號(hào)）.

（1）解同余方程x2—x=0（mod3）；

(2)設(shè)(1)中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列｛QJ,其中QiVQ2〈Q3V-VQ公

①若bn=an+1—an(nGTV*)，數(shù)列｛fen｝的前幾項(xiàng)和為S^,求S2024；

②若cn=tana2n+rtana2n-i(nEN*),求數(shù)列｛金｝的前?i項(xiàng)和Tn,

解：(1)由題意x｛x—1)=0(mod3)，所以/=3k或⑦-1=3fc(fc€Z),即⑦=3%或力=3k+l(kGZ).

(3義中(n為奇數(shù))

⑵由⑴可得｛冊(cè)｝為｛3,4,6,7,9,1。,…｝,所以*為偶數(shù)).

①因?yàn)?=冊(cè)+1—aJ“eN*),所以0=?

$2024=61+62+63+—卜62024=3x1012=3036.

②cn=tana2n+rtana2n-i~tan3n?tan3(n+l)(nGN*).

小、，°c/—tan3(n+1)—tan3n、

因?yàn)閠an3n,tan3(n+1)=-------------------------------1,

tan3

tan6-tan3+/tan9-tan6,\(tan3(7i+1)-tan3n

所以工=

cx+c2+…4=tan3J〈tan3)\tan3

tan3(n+1)—tan3tan3(n+1)

---------------on=-----

tan3---------------tan3

題目④(北京西城)給定正整數(shù)N>3,已知項(xiàng)數(shù)為機(jī)且無重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列4(如%),但,紡)，…,(廝跖)

滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①為，%C{l,2,…,N},且2；六%(i=l,2,…,?7l)；②為+l=%(i=l,2,…,7n—l)；③(p,q)與

(q,p)不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中.

(1)當(dāng)N=3,館=3時(shí)，寫出所有滿足g=1的數(shù)對(duì)序列A；

(2)當(dāng)N—6時(shí)，證明：mW13；

(3)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，記m的最大值為T(N),求T(N).

【答案】(1)4(1,2),(2,3),(3,1)或A(l,3),(3,2),(2,1)

⑵證明詳見解析⑶T(N)=/N(N—1)

【解析】

【分析】(1)利用列舉法求得正確答案.

(2)利用組合數(shù)公式求得小的一個(gè)大致范圍，然后根據(jù)序列A滿足的性質(zhì)證得rnW13.

(3)先證明T(N+2)=T(N)+2N+1,然后利用累加法求得T(N).

【小問1詳解】

依題意，當(dāng)N=3,zn=3時(shí)有：

力：(1,2),(2,3),(3,1)或4(1,3),(3,2),(2,1).

【小問2詳解】

當(dāng)N=6時(shí)，

因?yàn)?p,q)與(q,p)不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中，

所以mW最=15,所以1,2,3,4,5,6每個(gè)數(shù)至多出現(xiàn)5次，

又因?yàn)殡?產(chǎn)%(i=1,2,…1),

所以只有為,%“對(duì)應(yīng)的數(shù)可以出現(xiàn)5次，

所以nzW]x(4x4+2x5)=13.

【小問3詳解】

當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，先證明T(N+2)=T(N)+2N+1.

因?yàn)?P，Q)與(q,p)不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中，

所以T(N)<或=JN(N-1),

當(dāng)N=3時(shí)，構(gòu)造A(l,2),(2,3),(3,1)恰有點(diǎn)項(xiàng)，且首項(xiàng)的第1個(gè)分量與末項(xiàng)的第2個(gè)分量都為1.

對(duì)奇數(shù)N,如果和可以構(gòu)造一個(gè)恰有?項(xiàng)的序列4且首項(xiàng)的第1個(gè)分量與末項(xiàng)的第2個(gè)分量都為1,

那么多奇數(shù)N+2而言，可按如下方式構(gòu)造滿足條件的序列n：

首先，對(duì)于如下2N+1個(gè)數(shù)對(duì)集合：

{(1,N+1),(N+1,1)},{(1,N+2),(N+2,1)},

{(2,N+l),(N+l,2)},{(2,N+2),(N+2,2)},

{(N,N+1),(N+1,N)},{(N,N+2),(N+2,N)},

{(N+1,N+2),(N+2,N+1)},

每個(gè)集合中都至多有一個(gè)數(shù)對(duì)出現(xiàn)在序列A中，

所以T(N+2)<T(N)+2N+1,

其次,對(duì)每個(gè)不大于N的偶數(shù)iC{2,4,6,…,N—1},

將如下4個(gè)數(shù)對(duì)并為一組：

(N+l,i),(i,N+2),(N+2,i+1),(i+1,N+1),

共得至U處尹組，將這與4組對(duì)數(shù)以及(1,N+1),(N+1,N+2),(N+2,1),

按如下方式補(bǔ)充到A的后面，

即A,(1,7V+1),(N+1,2),(2,N+2),(N+2,3),(3,n+1),…，

(N+1,N-1),(N—1,N+2),(N+2,N),(N,N+1),(N+1,N+2),(N+2,1).

此時(shí)恰有T(N)+2N+1項(xiàng)，所以T(N+2)=T(N)+2N+1.

綜上，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，

T(N)=(T(N)—T(N—2))+(T(N—2)—T(N—4))+…+(T(5)-T(3))+T(3)

=(2(22)+1)+(2(N-4)+1)+…+(2*3+1)+3

=(2(N—2)+1)+(2(N—4)+1)+…+(2X3+1)+(2x1+1)

=(2N-3)+(2N—7)+…+7+3

=2N-3+3*N-；+1=如(N—i).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解新定義題型的步驟：

⑴理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.

⑵重視“舉例"，利用''舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉

例”提供的分類情況.

(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

■目I5)(如皋市)對(duì)于給定的正整數(shù)九，記集合&1={a\a—(的血,如…,跳)，叼C凡/=1,2,3,…，九}，其中元素

方稱為一個(gè)九維向量.特別地，6=(0,0,…#)稱為零向量.

設(shè)kC五，a=(a1,a2,--,an)C/=(仇也,…也)e定義加法和數(shù)乘：ka-(ka1,ka2,—,kan),日+彼=@

+bi,a2+b2,?■■,an+bn).

對(duì)一組向量質(zhì)，芯,…，區(qū)(se2),若存在■—組不全為零的實(shí)數(shù)ki，k2,鼠,使得自&+無石H---卜總

五=6,則稱這組向量線性相關(guān).否則，稱為線性無關(guān).

(1)對(duì)九=3,判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.

@2=(1,1,1),^=(2,2,2)；

②&=(1,1,1),]=(2,2,2),7—(5,1,4)；

③&=(1,1,0),彼=(1,0,1),7=(0,1,1),(1,1,1).

⑵已知2,赤斤線性無關(guān)，判斷4+瓦片+落日+歹是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.

⑶己知m(m>2)個(gè)向量區(qū)，辦…，江線性相關(guān)，但其中任意小—1個(gè)都線性無關(guān)，證明：

①如果存在等式k而+后芯H--l-kmaZ=0(k(E7?,i=1,2,3,—,m)，則這些系數(shù)自，自，■■■,km或者全為零,

或者全不為零；

②如果兩個(gè)等式阮7+卜斌H---\-kmaZ—0,+\瓦H--卜2m晨—0(k,：ER,i—l,2,3,'-,m')同時(shí)成立,

其中仔0,則牛=華=”二畀

⑴解:對(duì)于①，設(shè)kZ+k[=6,則可得3+2k2=0,所以4法線性相關(guān)；

對(duì)于②，設(shè)k^a+=6,則可得｛自+2a2+5自=0自+2k2+七=0自+2k2+4履=0,所以k1-\-2k2=0,fc3—

0,所以乙方斤線性相關(guān)；

對(duì)于③，設(shè)k(a++k^y+k$=6,則可得｛自+口+3=0自+底+屹=?？?&+M=0,解得k尸fc2—底=

―—,所以日訪線性相關(guān)；

(2)解:設(shè)自0+4+k20+衿+fc3(?+刃=6,

則(自+花)左+(自+%2)為+(fc2+fc3)/=0,

因?yàn)橄蛄抗ぜ按蹙€性無關(guān)，所以｛fci+fc3—0fci+fc2—0居+卜3=。，解得比=42=自=。，

所以向量4+瓦為+落1+歹線性無關(guān)，

⑶①瓦1+卜21T---卜%或=6,如果某個(gè)十=0,i=1,2,???,m,

則k方+防五H---卜*碼+向H卜％晨=0,

因?yàn)槿我饧右?個(gè)都線性無關(guān)，所以自，k2,…及t,及+i,…，%都等于0,

所以這些系數(shù)自，k2,%或者全為零，或者全不為零,

②因?yàn)長(zhǎng)W0,所以,。，…，鼠全不為零,

所以由，扃+，2芯H---1■晨式=

代入自甚+k&H--Fkm募=6可得fci(―"顯-----產(chǎn)需)+k募H---Fkm晨二0,

所以（一---H（一與自+kJ募=0,

所以一Y-ki+k2=0,,,,,—廣卜i+km=0,

所以

:題目回(江蘇四校)交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用.設(shè)48C,。是直線，上

互異且非無窮遠(yuǎn)的四點(diǎn),則稱崇?黑(分式中各項(xiàng)均為有向線段長(zhǎng)度，例如4B=—A4)為/,昂。，。

mA.D

四點(diǎn)的交比，記為(AB；。,。).

⑴證明一一(。,8。,力)=適/；

（2）若L，的如，4為平面上過定點(diǎn)P且互異的四條直線，乙，乙2為不過點(diǎn)P且互異的兩條直線，乙1與33

13,〃的交點(diǎn)分別為4,5,Ci，Di，工2與U，3，4的交點(diǎn)分別為42，小，。2，。2,證明：（4,B1；G,A）=

（42，石2；。2，。2）；

（3）已知第（2）問的逆命題成立，證明：若AEFG與AEN'C的對(duì)應(yīng)邊不平行，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn),

則△石FG與AE'F'G'對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上.

DC-BABC-AD+DC?BABC-(AC+CD)+CO?AB

解：⑴1一（。,且。,人）二1一

BC-DABC-ADBC-AD

BC?AC+BC?CD+CD?AB_BC-AC^AC-CD_AC-BD1

BC-ADBC-ADBC-AD(B,A；C,n)

AC?BDSAPAQJS郵B】D\

⑵(4,5；G,2)=

SkPB\C；SbpAQ\

y-PAX-PCrsinZAjPG--PBX-PDr-sinAB1PD1_sin/4PC?sin/BFR

1"PBX-PCfsinZB^G-1-PAVPD「sin/APRsin/BFG。sm^A.PD,

sinZAPC'sin/B2P02_^^PAci^\PBD422,

22222。B2L)2

(A2,B2;C2)A)；

sin/B2PG，svciZ-AiPOiSXPBQ；SXPAQ?B2C2'42

第⑵問圖第⑶問圖

（3）設(shè)EF與E'F'交于X,FG與F'G'交于Y,EG與E'G'交于Z,連接XV,FF'與XY爻于L,EE'與

xy交于河，GG'與xy交于N,欲證x,y,z三點(diǎn)共線，只需證z在直線xy上.考慮線束XP,XE,

XM,XE',由第（2）問知（P,F；L,F'）=（P,E;M,E'）,再考慮線束YP,YF,YL,YF',由第（2）問知（P,F；L,

F'）=（P,G；N,G'）,從而得到（P,E；ME'）=（P,G；N,G'）,于是由第⑵問的逆命題知，石G,MV,E'G'交于

一點(diǎn)，即為點(diǎn)z,從而AIN過點(diǎn)z,故z在直線xy上，x,y,z三點(diǎn)共線.

（題目不（高考仿真）已知無窮數(shù)列｛aj滿足?=1112*｛冊(cè)+1,飆+2｝—min｛a“+i,an+2｝（n=1,2,3,…），其中max

｛x,y｝表示c,y中最大的數(shù)，min｛a?,y｝表示①，y中最小的數(shù).

（1）當(dāng)5=1,a2—2時(shí)，寫出a」的所有可能值；

（2）若數(shù)列｛冊(cè)｝中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列｛冊(cè)｝中的項(xiàng)；

（3）若a“>0（九=1,2,3,…），是否存在正實(shí)數(shù)使得對(duì)任意的正整數(shù)都有期《河？如果存在，寫出一個(gè)

滿足條件的M；如果不存在，說明理由.

【答案】⑴｛1,3,5｝

（2）證明見解析（3）不存在，理由見解析

【解析】

【分析】⑴根據(jù)定義知an>0,討論&3>2、&3<2及（13,為大小求所有a&可能值；

（2）由a—0,假設(shè)存在n0EN"使a進(jìn)而有a??<max｛a?o+1,a?o+2｝Wa”。，可得min｛a%+i,冊(cè)產(chǎn)｝=0,即

7

可證結(jié)論；

(3)由題設(shè)Q九Wan+i(n=2,3,…)，令S={n|an>an+lin^1},討論S=0、SW0求證Q九>A/即可判斷存在

性.

【小問1詳解】

由an=max{an+i,an+2}-min{an+1,an+2}>0,。產(chǎn)max{2,a3}—min{2,a3}=1,

03>

若2,則a3—2=1,即。3=3,此時(shí)a2=max{3,a4}—min{3,a4}=2,

當(dāng)a4>3，則.一3=2,即四=5;

當(dāng)Q4V3,則3—。4=2,即。4=1；

3V3=3=2=

若Q2,則2—。1,即。1,此時(shí)。max{l,a4}—min{l,a4}=2,

4=

當(dāng)a4>1,則a4—1=2,即。3;

當(dāng)Q4V1,則1—。4=2,即。4=一1(舍)；

綜上，Q4的所有可能值為{1,3,5).

【小問2詳解】

由⑴知：Q言0,則min{an+i,an+2}>0,

數(shù)歹{QJ中的項(xiàng)存在最大值,故存在7i()eN*使(n二1,2,3,…)，

由冊(cè)。=max{ano+i,Q&+2}-min{ano+1,ano+2}<maxfa^+^a^}<Q&,

所以min{ano+i,ano+2}=0,故存在kG{n0+l,n0+2}使ak—0,

所以0為數(shù)列{為}中的項(xiàng)；

【小問3詳解】

不存在，理由如下：由an>0(n=1,2,3,…)，則Q九#Q計(jì)4n=2,3,…)，

設(shè)S={n|an>an+i,n>1},

若S=0,則。14電，Q/<的+i(i=2,3,…)，

對(duì)任意同>0,取九產(chǎn)［詈］+2(［可表示不超過田的最大整數(shù))，

+(a-i-^n-2)+…+2)+

當(dāng)九>為時(shí),an=(an—an_i)n(如-。電

=an-2+an_3+...+電+電〉(八—l)Qi>M;

若S#0,則S為有限集，

設(shè)館=max{n|an>an+1,n>1},am+i<am+i+1(i=1,2,3,???),

對(duì)任意河>0,取九2=［-^-］+館+1(［回表示不超過名的最大整數(shù))，

L。館+1」

當(dāng)？i>小時(shí)，Q/i=(an—an_i)+(an_!—an_2)+…+(am+2—am+1)+am+1

=an_2+an_3+...+am+am+i>(n-m)am+1>M;

綜上，不存在正實(shí)數(shù)加，使得對(duì)任意的正整數(shù)九，都有冊(cè)《河.

1(h=h+1,

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，首選確定Q九#冊(cè)+2,3,…)，并構(gòu)造集合S={n|an>。九>1},討論S=

0、SW0研究存在性.

：題目回(高考仿真)若項(xiàng)數(shù)為％(%eN*,k>3)的有窮數(shù)列{廝}滿足：0W5Va2Va3<-<&,且對(duì)任意的

i-j(lWik),%+處或電一為是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，則稱數(shù)列{aj具有性質(zhì)P.

(1)判斷數(shù)列0,1,2是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

(2)設(shè)數(shù)列{%}具有性質(zhì)P,a,(i=1>2,…，k)是{.}中的任意一項(xiàng)，證明：a&—次一定是{an}中的項(xiàng)；

(3)若數(shù)列{為}具有性質(zhì)P,證明：當(dāng)％>5時(shí)，數(shù)列{廝}是等差數(shù)列.

解析：(1)數(shù)列0,1,2具有性質(zhì)P.

理由：根據(jù)有窮數(shù)列｛Q』滿足：0<的<。2<。3<…V恤,且對(duì)任意的ij(l&i&j&k),%+Q4或a—ai是數(shù)

列｛aj中的項(xiàng)，則稱數(shù)列｛Q/具有性質(zhì)P,

對(duì)于數(shù)列0,1,2中，若對(duì)任意的ij(l可得a-a-0或1或2,

可得知—出一定是數(shù)列｛斯｝中的項(xiàng)，所以數(shù)列0,1,2具有性質(zhì)P...........4分

⑵證明：由Q,(i=1,2,…,k)是數(shù)列｛%｝中的任意一^頁，

因?yàn)閿?shù)列｛廝｝具有性質(zhì)P,即Q/+QE或%?—&是數(shù)列｛QJ中的項(xiàng)，

令j=k,可得ak-\-ai或ak—ai是數(shù)列｛斯｝中的項(xiàng)，

又因?yàn)?WQIVQ2V…〈恁，可得。計(jì)?！暌欢ú皇菙?shù)列｛。九｝中的項(xiàng)，

所以可一。一定是數(shù)列｛QJ中的項(xiàng)...........8分

(3)由數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)P,可得ak+aki｛aj,所以ak-akE｛an｝,