專題2.1 軸對(duì)稱之將軍飲馬模型重難點(diǎn)題型歸納（原卷版）

專題2.1軸對(duì)稱之將軍飲馬模型重難點(diǎn)題型歸納【題型1“2定點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)”作圖問題】【題型2“2定點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)”求周長(zhǎng)最小值問題】【題型3“2定點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)”求線段最小值問題】【題型4“1定點(diǎn)2動(dòng)點(diǎn)”-線段/周長(zhǎng)最小問題】【題型5“1定點(diǎn)2動(dòng)點(diǎn)”-角度問題】【題型1“2定點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)”作圖問題】 【典例1】如圖，點(diǎn)M，N在直線l的同側(cè)，小東同學(xué)想通過作圖在直線l上確定一點(diǎn)Q，使MQ與QN的和最小，那么下面的操作正確的是（）A． B． C． D．【變式1】如圖，河道m(xù)的同側(cè)有M、N兩個(gè)村莊，計(jì)劃鋪設(shè)一條管道將河水引至M，N兩地，下面的四個(gè)方案中，管道長(zhǎng)度最短的是（）A． B． C． D．【典例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，位置如圖，請(qǐng)完成下列問題：（1）分別寫出點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1（注意標(biāo)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)字母）；（3）求△ABC的面積；（4）在x軸上找一點(diǎn)P，使AP+BP最小，在圖中畫出點(diǎn)P，并寫出點(diǎn)P坐標(biāo)．（不限作圖工具，保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結(jié)論）．【變式2-1】如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）△ABC的面積為；（2）請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別A1，B1，C1；（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（保留痕跡）．【變式2-2】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過點(diǎn)M（3，0），且平行于y軸．（1）如果△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，3），作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1，△A1B1C1關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形△A2B2C2，并寫出△A2B2C2的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使其到A2、C2兩點(diǎn)的距離和最?。咳绻嬖?，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【題型2“2定點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)”求周長(zhǎng)最小值問題】【典例3】（2023春?龍崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面積是24，AB的垂直平分線ED分別交AC，AB邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段ED上一動(dòng)點(diǎn)，則△PBF周長(zhǎng)的最小值為（）A．7 B．9 C．11 D．14【變式3】如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝10，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上的任一點(diǎn)，則△ABP周長(zhǎng)的最小值是．【題型3“2定點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)”求線段最小值問題】【典例4】（2022春?河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一點(diǎn)，F(xiàn)是腰AB上任一點(diǎn)，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么線段BE+EF的最小值是（）A．5 B．3 C． D．【變式4】（2023春?東港市期中）如圖，等腰△ABC的面積為9，底邊BC的長(zhǎng)為3，腰AC的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于點(diǎn)E、F，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)，則DM+CM的最小值為（）A．12 B．9 C．6 D．3【題型4“1定點(diǎn)2動(dòng)點(diǎn)”-線段/周長(zhǎng)最小問題】【典例4】如圖，直線l1與l2交于點(diǎn)O，P為其平面內(nèi)一定點(diǎn)，OP＝3，M，N分別為l1與l2上的兩動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN，MN，若∠MON＝30°，則△MPN周長(zhǎng)的最小值為．【變式4-1】（2023春?惠安縣期末）如圖，已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部的一點(diǎn)，且OP＝4，點(diǎn)M、N分別是射線OA和射線OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式4-2】（2022秋?應(yīng)城市期末）如圖，∠MON＝50°，P為∠MON內(nèi)一點(diǎn)，OM上有點(diǎn)A，ON上有點(diǎn)B，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，∠APB的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．100°【典例5】如圖，CD是△ABC的角平分線，△ABC的面積為12，BC長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【變式5-1】如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD平分∠BAC，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），M是AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，D重合），則CM+MN的最小值為．【變式5-2】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段BD、BC上一動(dòng)點(diǎn)，AB＞BD且S△ABC＝10，AB＝5，則CM+MN的最小值為．【變式5-3】如圖，在銳角△ABC中，AC＝8，S△ABC＝24，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．【題型4“1定點(diǎn)2動(dòng)點(diǎn)”-角度問題】【典例6】（2021秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠ANM+∠AMN的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．130°【變式6-1】（2022秋?仁懷市期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC和CD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，AF．當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（）A．60° B．90° C．100° D．120°【變式6-2】如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在邊AB，BC上分別找一點(diǎn)E，F(xiàn)使△DEF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)∠EDF＝