三角形大單元教學(xué)的實(shí)踐探索

【摘要】大單元教學(xué)順應(yīng)新課標(biāo)的定位。本文立足基于課程整合的整體化教學(xué)課題研究，從對(duì)三角形大單元的認(rèn)識(shí)，三角形內(nèi)容在現(xiàn)行人教版教材中的分布，統(tǒng)合后的三角形大單元結(jié)構(gòu)圖，三角形大單元教學(xué)設(shè)計(jì)的外在結(jié)構(gòu)（m個(gè)“1+n”）等四個(gè)方面對(duì)三角形大單元教學(xué)進(jìn)行闡釋，尤其是基于對(duì)m個(gè)“1+n”的解讀，從大概念的確定、厘定大單元內(nèi)容及學(xué)習(xí)路徑、大單元教學(xué)整體規(guī)劃等三個(gè)視角，統(tǒng)籌教學(xué)布局，指向?qū)W科育人，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展?！娟P(guān)鍵詞】三角形；大概念；大單元教學(xué)新課標(biāo)明確提出了大單元教學(xué)，但在現(xiàn)實(shí)課堂中，一線教師對(duì)大單元的認(rèn)識(shí)以及大單元教學(xué)的具體實(shí)踐等仍頗感困惑，如何讓大單元教學(xué)真正落地成為關(guān)鍵問題。筆者帶領(lǐng)的教育部名師領(lǐng)航團(tuán)隊(duì)作為“整體統(tǒng)攝·快慢相諧：初中數(shù)學(xué)整體化教學(xué)”（獲國家教學(xué)成果二等獎(jiǎng)）的推廣群體，對(duì)大單元整體化教學(xué)有較深入的研究，本文就以三角形大單元為例，探索大單元教學(xué)的有效路徑，為一線教師更好地落實(shí)新課標(biāo)理念提供參考與借鑒。一、對(duì)三角形大單元的認(rèn)識(shí)要認(rèn)識(shí)三角形大單元，首先應(yīng)界定清楚大單元的概念。關(guān)于大單元，學(xué)界至今沒有統(tǒng)一的界定，但大都認(rèn)同崔允漷教授的說法，即大單元是指向素養(yǎng)的、相對(duì)獨(dú)立的、體現(xiàn)完整教學(xué)過程的課程細(xì)胞。大單元之“大”，表現(xiàn)在以大概念為統(tǒng)領(lǐng)，整合課程目標(biāo)、內(nèi)容、實(shí)施和評(píng)價(jià)，使之成為一個(gè)完整的學(xué)習(xí)事件［1］。通過不斷學(xué)習(xí)，筆者研究團(tuán)隊(duì)達(dá)成如下共識(shí)：大單元不同于傳統(tǒng)的教材單元，而是課程意義上的單元，是基于學(xué)生終身學(xué)習(xí)、持續(xù)發(fā)展的需求，通過大概念引領(lǐng)，把一章或幾章內(nèi)具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的知識(shí)和問題進(jìn)行結(jié)構(gòu)整合優(yōu)化后的，具有相對(duì)獨(dú)立性、綜合性的重構(gòu)單元。也就是說，大單元之大，不是單純“量”的意義上的大，而是整體性、系統(tǒng)性、生長性課程思維的形象化表現(xiàn)。大單元具有大概念統(tǒng)領(lǐng)、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)、大局觀統(tǒng)籌的大格局、大學(xué)習(xí)觀的典型特征。三角形作為最簡單的封閉圖形，既順承前面學(xué)過的線段、角、平行線及相交線，又為后續(xù)四邊形等圖形的學(xué)習(xí)提供思路、方法的支持。顯而易見，三角形處于前銜后聯(lián)的核心地位，其重要性正如項(xiàng)武義所言：“三角形是僅次于線段和直線的基本幾何圖形，而空間的大部分基本性質(zhì)都已經(jīng)在三角形的幾何性質(zhì)中充分體現(xiàn)。三角形之所以成為古希臘幾何學(xué)所研究的主角，其原因也就是：三角形既簡單而又能充分反映空間的本質(zhì)。”［2］張景中等則指出：“歐幾里得給我們的基本解題工具，主要是全等三角形和相似三角形?！保?］這都足以說明掌握好三角形知識(shí)意味著理解了幾何圖形的大部分基本性質(zhì)。同時(shí)，三角形的知識(shí)是研究其他幾何圖形不可或缺的基礎(chǔ)，它的研究路徑、過程和方法可以遷移到四邊形等較復(fù)雜圖形的研究中，具有統(tǒng)領(lǐng)性、一貫性，所以三角形的學(xué)習(xí)對(duì)整個(gè)幾何系統(tǒng)的學(xué)習(xí)具有舉足輕重的作用。三角形在初中學(xué)段若作為大單元呈現(xiàn)，自然囊括了三角形的基本內(nèi)容、特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）、全等三角形和相似三角形、解直角三角形等內(nèi)容，因此要依據(jù)對(duì)大單元的認(rèn)識(shí)，立足三角形的核心素養(yǎng)功能，把這些內(nèi)容重構(gòu)為結(jié)構(gòu)化的課程組織。單元大小其實(shí)是相對(duì)的，不可一概而論，對(duì)于數(shù)學(xué)而言，一個(gè)章可以看作一個(gè)中單元，幾個(gè)關(guān)聯(lián)密切的章可以重構(gòu)成一個(gè)大單元，或者突出一個(gè)主題，將相關(guān)內(nèi)容結(jié)合在一起，形成一個(gè)大單元。二、三角形內(nèi)容在現(xiàn)行人教版教材中的分布為了更好地把握三角形大單元，更好地厘清學(xué)習(xí)脈絡(luò)，更好地發(fā)揮這一大單元的教學(xué)作用，彰顯其前構(gòu)性和統(tǒng)領(lǐng)性的價(jià)值，現(xiàn)通過線型分布圖的形式展現(xiàn)三角形內(nèi)容在現(xiàn)行人教版教材中的分布（圖1）。從現(xiàn)行人教版教材來看，三角形內(nèi)容的各個(gè)章節(jié)安排在了八年級(jí)和九年級(jí)，如此安排是依據(jù)學(xué)生年齡段的思維特點(diǎn)，順應(yīng)了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，把思維能力發(fā)展的主線嵌入其中。但這些知識(shí)畢竟以章的形式分散在兩個(gè)學(xué)年內(nèi)，有一定的時(shí)段相隔且銜接不緊密，因此為了凝聚三角形知識(shí)所承載的發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)之力，就需要把它們重新組合起來，形成一個(gè)統(tǒng)合的、統(tǒng)籌思考的課程組織，即三角形大單元。利用大單元發(fā)揮好“大”的統(tǒng)攝作用，形成全景式的整體認(rèn)知和對(duì)幾何本質(zhì)的深度理解，進(jìn)而落實(shí)好用數(shù)學(xué)的思維表達(dá)世界的課程理念。三、統(tǒng)合后的三角形大單元結(jié)構(gòu)圖讀懂教材（包括讀懂章前語、章頭圖等），是基于大概念進(jìn)行大單元教學(xué)設(shè)計(jì)的前提。教師應(yīng)多角度、高站位地解讀教材中的教學(xué)內(nèi)容，統(tǒng)合各版本教材和各種資源，厘清教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)和方法的脈絡(luò)，解構(gòu)并重構(gòu)教材，確定好大單元統(tǒng)攝下的教學(xué)內(nèi)容，在大單元統(tǒng)攝下調(diào)節(jié)好中單元知識(shí)的內(nèi)在秩序，形成內(nèi)在結(jié)構(gòu)，聚合成育人的力量，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?；谝陨险J(rèn)識(shí)，利用“三鏡”思維透視三角形大單元：用“放大鏡”看，三角形的研究路徑與角的研究路徑具有一致性（同構(gòu)），形成類比性大結(jié)構(gòu)（如圖2）；用“顯微鏡”看三角形的邊、角、線等各個(gè)元素及其關(guān)聯(lián)，特殊三角形的基于邊、角、線的特征，形成局部網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；用“望遠(yuǎn)鏡”看三角形的生長發(fā)展，從三角形之間的關(guān)系（全等變換、相似變換）以及從質(zhì)性到量化（解三角形）進(jìn)階的角度，形成統(tǒng)領(lǐng)性結(jié)構(gòu)（如圖3）。如此三角形大單元的路徑就清晰了。四、三角形大單元教學(xué)設(shè)計(jì)的外在結(jié)構(gòu)：m個(gè)“1+n”大單元教學(xué)設(shè)計(jì)是指以大主題或大任務(wù)為中心，對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行分析、整合、重組和開發(fā)，形成具有明確的主題（或?qū)ｎ}、話題、大問題）、目標(biāo)、任務(wù)、情境、活動(dòng)、評(píng)價(jià)等要素的結(jié)構(gòu)化的具有多種課型的統(tǒng)籌規(guī)劃和科學(xué)設(shè)計(jì)。筆者認(rèn)為章起始課教學(xué)是落實(shí)大單元教學(xué)的抓手，而大單元教學(xué)又是落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的抓手，如此一來，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)就和章起始課教學(xué)密切關(guān)聯(lián)在一起，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地就有了可操作、能行動(dòng)的路徑。為避免“單元—課時(shí)”兩張皮的現(xiàn)象，課節(jié)的教學(xué)要通過單元大概念和課時(shí)大概念的關(guān)聯(lián)形成一體化。大單元教學(xué)設(shè)計(jì)是對(duì)大單元整體構(gòu)想的多元復(fù)合，不可能一蹴而就，它需要后繼的一個(gè)個(gè)小單元、一節(jié)節(jié)課去遞次進(jìn)階完成?；谡n程統(tǒng)整的大單元，是在“大單元大概念—單元大概念—課時(shí)大概念”的執(zhí)行鏈條上，通過外在的結(jié)構(gòu)形式，即m個(gè)“1+n”來實(shí)現(xiàn)的?！癿”是指三角形大單元可分解成邏輯連貫、前后一致的m個(gè)章單元，而每一個(gè)章單元是通過“單元（呈現(xiàn)）—課時(shí)（表達(dá)）”設(shè)計(jì)來展開的；“1”即為章單元起始課，通過起始課把單元以終為始進(jìn)行整體布局、先行組織、統(tǒng)籌安排；依大單元的總體目標(biāo)（課標(biāo)設(shè)定）確定好單元目標(biāo)，在單元目標(biāo)之下，根據(jù)上下位關(guān)聯(lián)等一脈貫通關(guān)系，把單元的內(nèi)容進(jìn)行合理劃分形成“n”。這里的n不是簡單的課節(jié)疊加，即形如“n=1+1+1+…+1”的簡單化累計(jì)，而是每一個(gè)“1”之間是前銜后聯(lián)、一脈相承的鏈?zhǔn)桨l(fā)展，是共同服務(wù)于章單元的系列化、系統(tǒng)化的課程細(xì)胞。需要說明的是，這是一個(gè)完整的立體推進(jìn)的一體化系統(tǒng)，相互依托，相輔相成，共同指向（大）單元目標(biāo)，體現(xiàn)出單元的整體性、完整性、連貫性。（一）大概念的確定三角形大單元教學(xué)的有效實(shí)施需要確定好三角形的大概念，通過大概念去統(tǒng)領(lǐng)大單元。大單元是基于大概念、服務(wù)大概念的，圍繞學(xué)科大概念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)成為變革學(xué)科教學(xué)實(shí)踐和引領(lǐng)教學(xué)改革的核心理念之一［4］。何為大概念？大概念是指能反映學(xué)科本質(zhì)，能夠聯(lián)結(jié)和統(tǒng)領(lǐng)零散知識(shí)點(diǎn)，處于更高層次、居于中心地位、藏于更深層次，能長久保留和廣泛遷移的原理、思想、方法等［5］。大概念是擺脫了知識(shí)立意桎梏走向素養(yǎng)立意的中間介質(zhì)，是實(shí)現(xiàn)知識(shí)學(xué)習(xí)與核心素養(yǎng)發(fā)展有效對(duì)接的應(yīng)然選擇。幾何學(xué)的本質(zhì)是研究空間的圖形，研究圖形的性質(zhì)以及圖形之間的關(guān)系［6］。這是幾何學(xué)的課程大觀念，也就是大概念。三角形是初中學(xué)段平面幾何的核心內(nèi)容，根據(jù)幾何學(xué)課程大概念的上位統(tǒng)攝，依據(jù)幾何的研究對(duì)象——圖形的形狀、大小和位置，對(duì)于三角形大單元，筆者從系統(tǒng)思維出發(fā)，站在課程統(tǒng)合的高度，從思想層面和素養(yǎng)層面兩個(gè)維度確立其大概念。1.思想層面用變換的觀點(diǎn)［（幾何）模型思想、圖形變換思想］看待幾何圖形，使靜態(tài)的幾何圖形靈動(dòng)起來。即立足幾何直觀，利用幾何思維，在公理化思想等一般觀念的統(tǒng)領(lǐng)下，遵循幾何研究的“一般套路”展開研究，形成具有遷移性的幾何知識(shí)系統(tǒng)，指向幾何抽象與邏輯推理，這是一以貫之的大概念。2.素養(yǎng)層面三角形大單元集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。三角形是整個(gè)初中幾何系統(tǒng)的核心地帶，因而凝聚了幾何圖形內(nèi)容蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)。因此，只有把三角形的?。ㄖ校﹩卧獏R聚起來，統(tǒng)籌安排、集體發(fā)力，聚焦以上數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才便于形成學(xué)生的必備品格和關(guān)鍵能力。從素養(yǎng)層面確立大概念，使單課節(jié)走向單元化，形成單元呈現(xiàn)與課時(shí)表達(dá)的高通路，實(shí)現(xiàn)單元與課時(shí)之間的強(qiáng)聯(lián)結(jié)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的意義聯(lián)結(jié)，才能更好地把發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)落地。（二）厘定大單元內(nèi)容及學(xué)習(xí)路徑筆者將三角形大單元的內(nèi)容及學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)為“三角形→全等三角形→特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）→相似三角形→解三角形”。這條學(xué)習(xí)鏈基本能立體展現(xiàn)幾何圖形學(xué)習(xí)的三條路徑：一般到特殊，一個(gè)到兩個(gè)（多個(gè)），質(zhì)性到量化。（三）大單元教學(xué)整體規(guī)劃（1）基于以上整體定位與綜合分析，依據(jù)對(duì)應(yīng)的課標(biāo)內(nèi)容和人教版教材內(nèi)容，對(duì)三角形單元的頂層設(shè)計(jì)與統(tǒng)籌規(guī)劃如表1所示。（2）從研究一個(gè)三角形升級(jí)為研究兩個(gè)三角形（關(guān)系）。在這一單元的章起始課中，需要依據(jù)幾何圖形的研究對(duì)象（形狀、大?。┌褍蓚€(gè)或多個(gè)三角形的關(guān)系揭示出來，以呈現(xiàn)研究問題的整體性，識(shí)得兩個(gè)三角形關(guān)系的全貌（全等關(guān)系、相似關(guān)系、等積關(guān)系等），構(gòu)建起兩個(gè)圖形關(guān)系的結(jié)構(gòu)圖，然后從最特殊、最重要的圖形關(guān)系——全等三角形入手研究。通過章起始課先把這一單元的整體概貌描繪出來，接著后續(xù)的課節(jié)先整體建構(gòu)全等三角形的判定方法，然后跟進(jìn)練習(xí)提升課，踐行好“有全等模型找出來，無全等模型造出來”的思維路徑，加強(qiáng)幾何直觀與邏輯推理的教學(xué)，并滲透平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等全等變換思想，用變換的觀點(diǎn)看圖形、識(shí)圖形、找聯(lián)系。（3）有了前兩章的研究基礎(chǔ)，就可以對(duì)特殊三角形進(jìn)行探索了。首先是在邊這一元素上特殊的等腰三角形單元，課時(shí)設(shè)計(jì)如下。這一單元依附于軸對(duì)稱，通過章起始課（第1課時(shí)）規(guī)劃好研究線路，在喚醒學(xué)生小學(xué)形成的基本認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，從理性的角度再次認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱（圖形）（含性質(zhì)與判定），并勾勒出這一單元的概貌，厘清學(xué)習(xí)的脈絡(luò)，接著就在章起始課的規(guī)劃下依次研究基本的軸對(duì)稱圖形。界定好了軸對(duì)稱圖形后，接著就是研究具體的軸對(duì)稱圖形，從最簡單的軸對(duì)稱圖形（即線段）開始。既然是軸對(duì)稱圖形，那它的對(duì)稱軸在哪里？一條線段將端點(diǎn)重合進(jìn)行對(duì)折，折痕即為對(duì)稱軸，如此一來對(duì)稱軸在折疊的操作中露出水面。這條線段具備哪些特質(zhì)？這是研究的又一重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)并證明。研究完一個(gè)命題后，還需要研究它的逆命題，即通過反證研究獲得線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。此為等腰三角形單元的第2課時(shí)。接著的第3課時(shí)要研究哪種圖形呢？學(xué)生自然想到角，然后仿照線段垂直平分線的思路進(jìn)行研究，獲取角的對(duì)稱軸。接下來的第4、第5課時(shí)就應(yīng)該到封閉圖形了，最簡單的封閉圖形即為三角形，于是提出問題：所有三角形都是軸對(duì)稱圖形嗎？若不是，哪些三角形是軸對(duì)稱圖形？由此引出等腰三角形、等邊三角形，并依次研究（各1個(gè)課時(shí)，等腰三角形相當(dāng)于節(jié)起始，要教好這個(gè)節(jié)的“結(jié)構(gòu)”，而等邊三角形則是用“結(jié)構(gòu)”，即用等腰三角形研究的基本路徑，如此形成自洽）。繼續(xù)思考，再向前研究自然是四邊形（n邊形）了，在此埋下伏筆，說明在后面單獨(dú)確立單元進(jìn)行研究。整個(gè)過程由簡到繁，除了獲得基本軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)及判定外，還給學(xué)生進(jìn)一步了解全等三角形的性質(zhì)與判定的機(jī)會(huì)。在這個(gè)過程中，幾何直觀、模型思想、邏輯推理等核心素養(yǎng)獲得進(jìn)一步的發(fā)展。（4）完成了在邊這一元素上特殊的等腰三角形的學(xué)習(xí)，接下來就是在角元素上特殊的直角三角形的學(xué)習(xí)。鑒于直角三角形研究工具的暫時(shí)不足，教學(xué)可分兩個(gè)單元先后展開：一是基于三邊關(guān)系的勾股定理的學(xué)習(xí)，二是脫胎于相似三角形的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)。緊跟等腰三角形學(xué)習(xí)的是勾股定理，這一單元的核心知識(shí)就是勾股定理及其逆定理，通過對(duì)“直角三角形兩銳角互余”及“兩銳角互余的三角形是直角三角形”的研究學(xué)習(xí)，全景展現(xiàn)勾股定理及其逆定理的學(xué)習(xí)架構(gòu)，形成單元起始課的概貌。然后在章起始課基礎(chǔ)上深度探究勾股定理逆定理，進(jìn)而跟進(jìn)對(duì)定理、逆定理的演練，加固學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本定理的理解并深化應(yīng)用，使這一對(duì)定理成為解決三角形問題的利器（工具）。（5）幾經(jīng)學(xué)習(xí)，整體化學(xué)習(xí)的鏈條發(fā)展到了相似三角形，至此學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過圖形的全等、全等三角形等相關(guān)知識(shí)，也研究了幾種圖形的全等變換。全等是圖形間的一種相互依存關(guān)系，而相似比全等更具有一般性，研究相似圖形是研究全等圖形的延續(xù)和深化。由全等進(jìn)入相似，可使認(rèn)識(shí)擴(kuò)大到新的領(lǐng)域，所以本單元的研究內(nèi)容即為在已學(xué)習(xí)的圖形全等和全等變換知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展?；诖?，在類比全等三角形的基礎(chǔ)上展開對(duì)三角形相似的判定與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，這是初中學(xué)段的難點(diǎn)所在，自然也是整個(gè)三角形大單元的難點(diǎn)，因此也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的良好契機(jī)。具體教學(xué)時(shí)，通過章起始課讓學(xué)生直觀感受相似形（一般化）的特點(diǎn)，體會(huì)研究相似形的必要性與價(jià)值，類比全等的知識(shí)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)整個(gè)單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)和研究框架，對(duì)本單元內(nèi)容形成一個(gè)全景認(rèn)識(shí)。本單元把三角形大概念推至一個(gè)新的高度，可謂之幾何圖形本質(zhì)性認(rèn)識(shí)以及幾何意義上定性研究的升華。通過本單元學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會(huì)特殊到一般、具體到抽象、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，再次經(jīng)歷研究幾何圖形的過程，進(jìn)一步感知研究幾何圖形及其關(guān)系的一般思路——“定義—判定—性質(zhì)—應(yīng)用”，體會(huì)幾何知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系與發(fā)展。本單元把抽象概括、幾何直觀與邏輯推理等貫通整個(gè)教學(xué)過程，力圖實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂中切實(shí)落地。（6）最后即為銳角三角函數(shù)。銳角三角函數(shù)是對(duì)直角三角形研究的進(jìn)一步完善。通過對(duì)直角三角形構(gòu)成元素關(guān)系的分類，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)元素間的空缺。為打通其各元素之間的關(guān)系，自然會(huì)引動(dòng)空缺填補(bǔ)，從而實(shí)現(xiàn)直角三角形的角、邊、邊角三個(gè)維度研究的延伸與完