天津市濱海新區(qū)大港2023-2024高三數(shù)學(xué)試題

天津市大港2023-2024高三上學(xué)期第一次形成性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本卷共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選答案填入答題紙中的答題欄內(nèi).1.已知全集，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由題意，根據(jù)補(bǔ)集的概念和運(yùn)算可得，結(jié)合交集的概念和運(yùn)算即可求解.【詳解】由，得或，所以.故選：C2.有一組樣本數(shù)據(jù)如下：56，62，63，63，65，66，68，70，71，74，則其75%分位數(shù)為（）A.68 B.69 C.70 D.71【答案】C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】已知數(shù)據(jù)是按照從小到大的順序排列，因?yàn)?，所?5%分位數(shù)為第個(gè)數(shù)據(jù)，即為.故選：C.3.是函數(shù)在單調(diào)遞減的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，進(jìn)而結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】，顯然函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；若函數(shù)單調(diào)遞減，則，所以是函數(shù)在單調(diào)遞減的充分不必要條件.故選：A.4.函數(shù)的圖像大致為（）A.B.C.D.【答案】C【分析】利用函數(shù)的定義域，奇偶性及其他性質(zhì)判斷即可.【詳解】的定義域?yàn)榍?，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除A，D，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤，故選：C.5.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則等于（）A.0.484 B.0.439 C.0.878 D.0.939【答案】B【分析】先根據(jù)求解，再根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.6.已知，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)可得，進(jìn)而得，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，即可求解.【詳解】由，得，即，又，所以.，所以.故選：A.7.為研究高中生愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某校研究性學(xué)習(xí)小組采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查了200名高中生，依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算得到，參照下表，得到的正確結(jié)論是（）P（≥）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.有99%的高中生愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”【答案】C【分析】比較觀測(cè)值與參照值大小，根據(jù)獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想確定結(jié)論即可.【詳解】由，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”.故選：C8.在三個(gè)地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感．假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人，則這個(gè)人患流感的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】考慮患流感的這個(gè)人可能來至于哪個(gè)地區(qū)，結(jié)合互斥事件的概率計(jì)算可得答案.【詳解】由題意得，從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人，則這個(gè)人可能來至于三個(gè)地區(qū)中患流感的人當(dāng)中，故這個(gè)人患流感的概率為，故選：D9.設(shè)函數(shù)，其中向量，，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸B.點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)是偶函數(shù)【答案】C【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷AB選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項(xiàng).【詳解】由已知可得，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，故點(diǎn)是函數(shù)一個(gè)對(duì)稱中心，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)的圖象，該函數(shù)為偶函數(shù)，D對(duì).故選：C.10.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以的最小值為.故選：B.11.已知函數(shù)有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由當(dāng)時(shí)，，根據(jù)時(shí)，函數(shù)值的范圍不超過列不等式求解即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，要使有最大值，則時(shí)，函數(shù)值的范圍不超過可得解得.故選：A.12.已知函數(shù)（其中a∈R），若的四個(gè)零點(diǎn)從小到大依次為，則的值是（）A.16 B.13 C.12 D.10【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義，通過轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】令，設(shè)，圖象如下圖所示：所以有，且，因此可得，所以，故選：C二?填空題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.13.是虛數(shù)單位，計(jì)算__________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，.故答案為：.14.的展開式中，的系數(shù)為__________．【答案】【詳解】,由得,所以的系數(shù)為點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).15.__________.【答案】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】原式.故答案為：.16.小明上學(xué)途中共有4個(gè)紅綠燈，且小明遇到每個(gè)紅燈的概率均為，記某次小明上學(xué)途中遇到紅燈的次數(shù)為，則小明上學(xué)途中恰好遇到兩個(gè)紅燈的概率為__________，__________.【答案】①.②.【分析】結(jié)合題設(shè)有，再應(yīng)用二項(xiàng)分布的期望公式求.【詳解】由題設(shè)，小明上學(xué)途中恰好遇到兩個(gè)紅燈的概率為：，又，由二項(xiàng)分布期望的求法可得.故答案為：；.17.新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻(xiàn).某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：研發(fā)投入（億元）12345產(chǎn)品收益（億元）3791011用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程是，當(dāng)研發(fā)投入億元時(shí)，相應(yīng)的產(chǎn)品收益估計(jì)值為__________.【答案】?jī)|元【分析】將樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程，求出的值，可得出回歸直線方程，再將代入回歸直線方程，可得結(jié)果.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，將樣本中心點(diǎn)代入回歸直線方程可得，解得，所以，回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，（億元），因此，當(dāng)研發(fā)投入億元時(shí)，相應(yīng)的產(chǎn)品收益估計(jì)值為億元.故答案為：億元.18.某校高三1班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中學(xué)生對(duì)勞動(dòng)教育重要性的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)需從中抽取2人參加學(xué)校開展的勞動(dòng)技能學(xué)習(xí)，恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的概率則為__________；在至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的條件下，都是女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的概率______________．【答案】①.②.【分析】設(shè)表示事件“恰有一名女生參加學(xué)習(xí)”，表示事件“至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)”，設(shè)表示事件“都是女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)”,結(jié)合組合數(shù)公式和條件概率公式，可分別求得.【詳解】設(shè)表示事件“恰有一名女生參加學(xué)習(xí)”，表示事件“至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)”，設(shè)表示事件“都是女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)”，則所以故答案為：；.19.設(shè)函數(shù)（A，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則______．【答案】2【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性可得；再根據(jù)可知其圖象的一條對(duì)稱軸為，和其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為，即可求得.【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性可知，解得；又，且，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，由可得函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，即其圖象關(guān)于成中心對(duì)稱；所以，解得.故答案為：220.如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)分別在邊上，且，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且滿足，則________；當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍為________．【答案】①.##②.【分析】若點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)平面向量的加減法的三角形法則表示，從而可求解，進(jìn)而可求得；當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，利用，表示出和，再表示出，根據(jù)的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則.所以，則；當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，，又，，又，則，.故答案為：；三?解答題：本大題共4小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.21.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）當(dāng)是第四象限角時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用已知條件求出，再結(jié)合差角的正切公式，即可求解.（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)式子即可求解.（3）由（1）知，，結(jié)合是第四象限角可求出的值，再利用和角的余弦公式，即可求解.【小問1詳解】若，則，顯然不滿足，∴則，∴則，∴.【小問2詳解】由（1）知，∴.【小問3詳解】由（1）知，又∵是第四象限角，∴解得，∴.22.在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若，且，求邊長(zhǎng)及的面積.（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由題意，根據(jù)正弦定理和二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解；（2）由（1），根據(jù)余弦定理求出c，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出sinA，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可求解；（3）由（1）（2）和二倍角的正、余弦公式求出cos2B、sin2B，結(jié)合兩角差的正弦公式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】，由正弦定理得，則，由，得，又，所以；【小問2詳解】由，得，由（1）知，又，得，即，由解得；又，所以；【小問3詳解】由（1）（2）知，，則，由，得，所以，，所以.23.已知函數(shù)（其中）.（1）若，求在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求切線的方程；（2）分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（3）由參變量分離法可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，所以，當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為，即.【小問2詳解】解：函數(shù)定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【小問3詳解】解：由可得，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，，則，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.24.已知函數(shù)，.（1）證明：對(duì)任意，；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)，證明：，.【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)證明出，即可證得結(jié)論成立；（2）由題意可知，在上恒成立，結(jié)合參變量分離可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）先證明出，然后再證，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可證得原不等式成立.【小問1詳解】證明：令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，故對(duì)任意的，.【小問2詳解】解：函數(shù)在上為減函數(shù)，故在上恒成立，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，可得，令，其中，則，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在