專題37隨機(jī)事件的概率古典概型與幾何概型（教師版）

專題37隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型（核心考點(diǎn)精講精練）1.近幾年真題考點(diǎn)分布概率與統(tǒng)計(jì)近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年全國(guó)乙（文科），第4題,5分莖葉圖計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、概率2022年全國(guó)乙（文科），第14題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國(guó)乙（理科），第10題,5分互斥事件、獨(dú)立事件求概率2022年全國(guó)乙（理科），第13題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國(guó)乙（理科），第19題,12分2022年全國(guó)乙（文科），第19題,12分（1）求平均數(shù)；（2）求相關(guān)系數(shù)（3）估算樣本量2022年全國(guó)甲（文科），第17題,12分（1）求概率；（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)2022年全國(guó)甲（文科），第6題,5分古典概型2022年全國(guó)甲（理科），第19題,12分（1）求概率；（2）離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望2022年全國(guó)甲（理科），第15題,5分古典概型立體幾何2022年全國(guó)甲（理科），第2題,5分2022年全國(guó)甲（文科），第2題,5分眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)比較，求極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差2023年全國(guó)乙（文科），第9題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國(guó)乙（理科），第5題,5分2023年全國(guó)乙（文科），第7題,5分幾何概型圓環(huán)面積2023年全國(guó)乙（理科），第9題,5分計(jì)數(shù)原理與排列、組合2023年全國(guó)乙（理科），第17題,12分2023年全國(guó)乙（文科），第17題,12分（1）求樣本平均數(shù)，方差；（2）統(tǒng)計(jì)新定義2023年全國(guó)甲（文科），第4題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國(guó)甲（理科），第6題,5分條件概率2023年全國(guó)甲（理科），第9題,5分計(jì)數(shù)原理與排列、組合2023年全國(guó)甲（理科），第19題,12分（1）離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)2023年全國(guó)甲（文科），第20題,12分（1）求樣本平均數(shù)；（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.隨機(jī)事件與樣本空間：首先，我們要明確什么是隨機(jī)事件，樣本空間又是什么。隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；而樣本空間則是所有可能結(jié)果組成的集合;2.古典概型與概率的古典定義：在古典概型中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性完全相同。古典概型的概率定義為事件A包含的基本事件數(shù)除以樣本空間的基本事件總數(shù);3.幾何概型與等可能事件的概念：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積或度數(shù)）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型。幾何概型的特點(diǎn)是無限性和等可能性;【備考策略】1.理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.3.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.4.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.5.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率.6.掌握概率的基本性質(zhì).【命題預(yù)測(cè)】1.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容十分廣泛，包括了古典概型、幾何概型、隨機(jī)變量的分布等;2.命題可能會(huì)涉及到互斥事件、對(duì)立事件的概率求法，古典概型的概率公式的應(yīng)用，或者幾何概型的等可能事件的概念等;3.通過對(duì)整個(gè)學(xué)科的深入理解和掌握，以及對(duì)歷年真題的解析來推斷; 知識(shí)講解一、樣本點(diǎn)的樣本空間定義字母表示樣本點(diǎn)我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)

用ω表示樣本點(diǎn)

樣本空間全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間用Ω表示樣本空間

有限樣本空間若一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果,,…,,則稱樣本空間為有限樣本空間二、三種事件的定義隨機(jī)事件我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件,并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫字母,,,…表示.在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱為事件發(fā)生

必然事件作為自身的子集,包含了所有的樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生,所以總會(huì)發(fā)生,我們稱為必然事件不可能事件空集?不包含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生,我們稱?為不可能事件

三、事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示包含發(fā)生導(dǎo)致發(fā)生相等關(guān)系且并事件(和事件)與至少有一個(gè)發(fā)生A∪B或A+B

交事件(積事件)與同時(shí)發(fā)生A∩B或AB

互斥(互不相容)與不能同時(shí)發(fā)生A∩B=?

互為對(duì)立與有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B=?,A∪B=Ω四、頻率的穩(wěn)定性一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大,頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小,即事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率估計(jì)概率.1.從集合的角度理解互斥事件和對(duì)立事件(1)幾個(gè)事件彼此互斥,是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.(2)事件的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.2.概率加法公式的推廣當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí),要用到概率加法公式的推廣,即.1.判斷一個(gè)事件是哪類事件要看兩點(diǎn)一看條件,因?yàn)槿N事件都是相對(duì)于一定條件而言的;二看結(jié)果是否發(fā)生,一定發(fā)生的是必然事件,不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件,一定不發(fā)生的是不可能事件.2.不重不漏地列舉試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)的方法(1)結(jié)果是相對(duì)于條件而言的,要弄清試驗(yàn)的結(jié)果,必須首先明確試驗(yàn)中的條件.(2)根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn),按照一定的順序列舉出所有可能的結(jié)果,可應(yīng)用畫樹狀圖、列表等方法解決.判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷,不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件;兩個(gè)事件,若有且僅有一個(gè)發(fā)生,則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件,對(duì)立事件一定是互斥事件.求復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種方法(1)直接求解法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算.(2)間接求解法,先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式,即運(yùn)用逆向思維(正難則反).特別是“至多”“至少”型題目,用間接求解法就顯得較簡(jiǎn)便.五、古典概型具有以下特征的試驗(yàn)叫作古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型.(1)有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè);

(2)等可能性:每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

六、古典概型的概率公式一般地,設(shè)試驗(yàn)是古典概型,樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn),事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn),則定義事件的概率.

其中,和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).七、幾何概型1、定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型。

2、特點(diǎn)：

(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)。

(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等八、概率的性質(zhì)性質(zhì)1:對(duì)任意的事件,都有.性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即,(?).性質(zhì)3:如果事件與事件互斥,那么P(A)+P(B).

性質(zhì)4:如果事件與事件互為對(duì)立事件,那么,1P(B).

性質(zhì)5:如果,那么,由該性質(zhì)可得,對(duì)于任意事件,因?yàn)???,所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6:設(shè),是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,有.概率的一般加法公式中,易忽視只有當(dāng)?,即,互斥時(shí),,此時(shí).1.古典概型的概率求解步驟(1)求出所有基本事件的個(gè)數(shù);(2)求出事件包含的所有基本事件的個(gè)數(shù);(3)代入公式求解.2.基本事件個(gè)數(shù)的確定方法有列舉法,樹狀圖法,排列組合法等.1.求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出來.2.求互斥事件的概率可以將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運(yùn)用互斥事件的概率公式計(jì)算,也可以先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式求出所求概率.解決古典概型與幾何圖形、函數(shù)(方程)、解析幾何的交匯問題,其關(guān)鍵是利用幾何圖形中的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為概率模型,利用函數(shù)的性質(zhì)、方程根的存在性化為不等式組的解的情況,找到滿足解析幾何中圖形的代數(shù)關(guān)系,通過列舉法找到滿足條件的情況,再按照求古典概型的步驟求解.考點(diǎn)一、隨機(jī)事件與樣本空間1．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷））從分別寫有的張卡片中隨機(jī)抽取張，放回后再隨機(jī)抽取張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件總數(shù)n=5×5=25，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10個(gè)基本事件，∴抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率p=2．已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合A，B的四個(gè)命題：①若任取，則是必然事件；②若任取，則是不可能事件；③若任取，則是隨機(jī)事件；④若任取，則是必然事件．其中正確的命題有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由題意作出韋恩圖，結(jié)合必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】因?yàn)榧螦是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韋恩圖如圖：對(duì)于①：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，任取，則是必然事件，故①正確；對(duì)于②：任取，則是隨機(jī)事件，故②不正確；對(duì)于③：因?yàn)榧螦是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取，則是隨機(jī)事件，故③正確；對(duì)于④：因?yàn)榧螦中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，任取，則是必然事件，故④正確；所以①③④正確，正確的命題有3個(gè)．3．“不怕一萬，就怕萬一”這句民間諺語說明（

）.A．小概率事件雖很少發(fā)生，但也可能發(fā)生，需提防；B．小概率事件很少發(fā)生，不用怕；C．小概率事件就是不可能事件，不會(huì)發(fā)生；D．大概率事件就是必然事件，一定發(fā)生．【答案】A【分析】理解諺語的描述，應(yīng)用數(shù)學(xué)概率知識(shí)改寫即可.【詳解】“不怕一萬，就怕萬一”表示小概率事件很少發(fā)生，但也可能發(fā)生，需提防；4．某學(xué)校共有教職工120人，對(duì)他們進(jìn)行年齡結(jié)構(gòu)和受教育程度的調(diào)查，其結(jié)果如下表：本科研究生合計(jì)35歲以下4030703550歲27134050歲以上8210現(xiàn)從該校教職工中任取1人，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該教職工具有本科學(xué)歷的概率低于60％B．該教職工具有研究生學(xué)歷的概率超過50％C．該教職工的年齡在50歲以上的概率超過10％D．該教職工的年齡在35歲及以上且具有研究生學(xué)歷的概率超過10％【答案】D【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，用頻率代替概率求解.，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；，故正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的求法，還考查了分析求解問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.1．在3張卡片上分別寫上3位同學(xué)的學(xué)號(hào)后，再把卡片隨機(jī)分給這3位同學(xué)，每人1張，則恰有1位學(xué)生分到寫有自己學(xué)號(hào)卡片的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意列出所有可能的結(jié)果，然后利用古典概型計(jì)算公式即可求得滿足題意的概率值.【詳解】設(shè)三位同學(xué)分別為，他們的學(xué)號(hào)分別為，用有序?qū)崝?shù)列表示三人拿到的卡片種類，如表示同學(xué)拿到號(hào)，同學(xué)拿到號(hào)，同學(xué)拿到號(hào).三人可能拿到的卡片結(jié)果為：，共6種，其中滿足題意的結(jié)果有，共3種，結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.2．（2023屆河南省模擬理科數(shù)學(xué)試題）世界數(shù)學(xué)三大猜想：“費(fèi)馬猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“費(fèi)馬猜想”已經(jīng)分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費(fèi)馬大定理”．281年過去了，哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的成果“1＋2”由我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在1966年取得．哥德巴赫猜想描述為：任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和．在不超過17的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出基本事件總數(shù)，再求出和為奇數(shù)事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型求解.【詳解】不超過17的質(zhì)數(shù)有：2，3，5，7，11，13，17，共7個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，基本事件總數(shù)，其和為奇數(shù)包含的基本事件有：，共6個(gè)，所以.3．已知袋中有大小、形狀完全相同的4個(gè)紅色、3個(gè)白色的乒乓球，從中任取4個(gè)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．事件“都是紅色球”是隨機(jī)事件B．事件“都是白色球”是不可能事件C．事件“至少有一個(gè)白色球”是必然事件D．事件“有3個(gè)紅色球和1個(gè)白色球”是隨機(jī)事件【答案】C【分析】對(duì)事件分類，利用隨機(jī)事件的定義直接判斷即可．【詳解】因?yàn)榇杏写笮?、形狀完全相同?個(gè)紅色、3個(gè)白色的乒乓球，所以從中任取4個(gè)球共有：3白1紅，2白2紅，1白3紅，4紅四種情況.故事件“都是紅色球”是隨機(jī)事件，故A正確；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正確；事件“至少有一個(gè)白色球”是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤；事件“有3個(gè)紅色球和1個(gè)白色球”是隨機(jī)事件，故D正確．4．考慮擲硬幣試驗(yàn)，設(shè)事件“正面朝上”，則下列論述正確的是（

）A．?dāng)S2次硬幣，事件“一個(gè)正面，一個(gè)反面”發(fā)生的概率為B．?dāng)S8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)一定是4C．重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率D．當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí)，事件A【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的性質(zhì)可判斷A，B；根據(jù)頻率與概率的關(guān)系可判斷C，D.【詳解】擲2次硬幣，事件“一個(gè)正面，一個(gè)反面”發(fā)生的概率，A錯(cuò)誤；擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)的，B錯(cuò)誤；重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率無限接近于事件A發(fā)生的概率，C錯(cuò)誤；當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近0.5，D正確.5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1423石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得268粒內(nèi)夾谷32粒.則這批米內(nèi)夾谷約為（

）A．157石 B．164石 C．170石 D．280石【答案】C【分析】用樣本中夾谷的比例乘以總體容量可得結(jié)果.【詳解】樣本中夾谷的比例為，用樣本估計(jì)總體，可得這批谷內(nèi)夾谷約為（石）.考點(diǎn)二、事件的關(guān)系及運(yùn)算1．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“向上的點(diǎn)數(shù)為1或4”，事件為“向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A．與互斥 B．與對(duì)立C． D．【答案】C【解析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷．求出事件，然后計(jì)算概率．【詳解】與不互斥，當(dāng)向上點(diǎn)數(shù)為1時(shí)，兩者同時(shí)發(fā)生，也不對(duì)立，事件表示向上點(diǎn)數(shù)為之一，∴．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查互斥事件和對(duì)立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和對(duì)立事件的定義是解題關(guān)鍵．判斷互斥事件，就看在一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件能不能同時(shí)發(fā)生，只有互斥事件才可能是對(duì)立事件，如果一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，但非此即彼，即必有一個(gè)發(fā)生，則它們?yōu)閷?duì)立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本題．2．下列敘述正確的是（

）A．互斥事件一定不是對(duì)立事件，但是對(duì)立事件一定是互斥事件B．若事件發(fā)生的概率為，則C．頻率是穩(wěn)定的，概率是隨機(jī)的D．5張獎(jiǎng)券中有一張有獎(jiǎng)，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的可能性小【答案】B【分析】由互斥事件及對(duì)立事件的關(guān)系，頻率與概率的關(guān)系及隨機(jī)事件的概率逐一判斷即可得解.【詳解】解：對(duì)于A，互斥事件不一定是對(duì)立事件，但是對(duì)立事件一定是互斥事件，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件發(fā)生的概率為，則，即B正確；對(duì)于C，概率是穩(wěn)定的，頻率是隨機(jī)的，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，5張獎(jiǎng)券中有一張有獎(jiǎng)，甲先抽，乙后抽，那么乙和甲抽到有獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的可能性都為，即D錯(cuò)誤，即敘述正確的是選項(xiàng)B，【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件及對(duì)立事件的關(guān)系，重點(diǎn)考查了頻率與概率的關(guān)系及隨機(jī)事件的概率，屬基礎(chǔ)題.3．在一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件為“兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件是對(duì)立事件 B．事件與事件不是相互獨(dú)立事件C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)立事件，獨(dú)立事件的概念及古典概型概率公式逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，事件與事件是相互獨(dú)立事件，但不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，對(duì)于事件與事件，,事件與事件是相互獨(dú)立事件,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，記錄的結(jié)果一共有種，其中，事件發(fā)生，則兩次朝下的點(diǎn)數(shù)為一奇一偶，有種，所以，因?yàn)閽仈S正四面體向下的數(shù)字為奇數(shù)和偶數(shù)的方法種數(shù)相同，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D，事件表示第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)，第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故，故D錯(cuò)誤.4．（2023年山東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知P（B）=0.3，，，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知利用全概率公式得，即可求解.【詳解】由全概率公式可得：可得，解得：.則.1．口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，事件“取出的2球至少有一個(gè)白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，計(jì)算判斷A，B，D；分析事件與所含事件判斷C作答.【詳解】依題意，，，而，A不正確；，，B不正確；事件是含有1個(gè)白球與含有兩個(gè)白球的兩個(gè)互斥事件和，事件是含有1個(gè)白球與沒有白球的兩個(gè)互斥事件和，事件是必然事件，因此，C正確；因，，則，即D不正確.2．（2023屆上海市模擬數(shù)學(xué)試題）已知事件A與事件B互斥，如果，，那么．【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概率公式計(jì)算．【詳解】由題意．3．下列說法正確的是（

）A．從裝有個(gè)紅球和個(gè)白球的口袋內(nèi)任取個(gè)球，記事件為“恰有個(gè)白球”，事件為恰有個(gè)白球”，則與互斥B．甲?乙二人比賽，甲勝的概率為，則比賽場(chǎng)，甲勝場(chǎng)C．隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等D．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“向上的點(diǎn)數(shù)為或”，事件為“向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則與對(duì)立【答案】A【分析】直接利用互斥事件和對(duì)立事件，頻率和概率的關(guān)系的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，記事件為“恰有1個(gè)白球”，事件為恰有2個(gè)白球”，則與互斥，故正確；對(duì)于：甲、乙二人比賽，甲勝的概率為，并不是說比賽5場(chǎng)，甲勝3場(chǎng)，故錯(cuò)誤；對(duì)于：隨機(jī)試驗(yàn)可以用頻率估計(jì)概率，并不是說頻率和概率相等，故錯(cuò)誤；對(duì)于：拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“向上的點(diǎn)數(shù)為1或4”，事件為“向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則與不對(duì)立，故錯(cuò)誤．考點(diǎn)三、互斥與對(duì)立事件的概率計(jì)算1．（2023屆四川省模擬數(shù)學(xué)（文科）試題）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（

）A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對(duì)立事件C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對(duì)立事件【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件定義判斷求解.【詳解】由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,事件3可表示為：,事件4可表示為：,因?yàn)椋允录?與事件3不互斥，A錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录?，為必然事件，所以事?與事件2互為對(duì)立事件，B正確；因?yàn)?，所以事?與事件3不互斥，C錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录粸楸厝皇录?，所以事?與事件4不互為對(duì)立事件，D錯(cuò)誤；2．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球，下列選項(xiàng)中是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的是（

）A．“至少有1個(gè)紅球”與“都是黑球”B．“恰好有1個(gè)紅球”與“恰好有1個(gè)黑球”C．“至少有1個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”D．“都是紅球”與“都是黑球”【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概念分析可得.【詳解】從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球，可能的結(jié)果為：1紅1黑?2紅?2黑，對(duì)于A：“至少有1個(gè)紅球”包括1紅1黑?2紅，與“都是黑球”是對(duì)立事件，不符合；對(duì)于B：“恰好有1個(gè)紅球”和恰好有1個(gè)黑球”是同一個(gè)事件，不符合題意；對(duì)于C：“至少有1個(gè)黑球”包括1紅1黑?2黑，“至少有1個(gè)紅球”包括1紅1黑?2紅，這兩個(gè)事件不是互斥事件，不符合題意；對(duì)于D：“都是紅球”與“都是黑球”是互斥事件而不是對(duì)立事件，符合題意；3．假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有3個(gè)小孩的家庭，隨機(jī)選擇一個(gè)家庭，則下列說法正確的是（

）A．事件“該家庭3個(gè)小孩中至少有1個(gè)女孩”和事件“該家庭3個(gè)小孩中至少有1個(gè)男孩”是互斥事件B．事件“該家庭3個(gè)孩子都是男孩”和事件“該家庭3個(gè)孩子都是女孩”是對(duì)立事件C．該家庭3個(gè)小孩中只有1個(gè)男孩的概率為D．當(dāng)已知該家庭3個(gè)小孩中有男孩的條件下，3個(gè)小孩中至少有2個(gè)男孩的概率為【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念判斷A、B；利用列舉法求出只有一個(gè)男孩的概率，即可判斷C；利用條件概率的求法計(jì)算，即可判斷D.【詳解】A：假設(shè)事件A：該家庭3個(gè)小孩至少有1個(gè)女孩，則包含(女，男，男)的可能，事件B：該家庭3個(gè)小孩至少有一個(gè)男孩，則包含(女，女，男)的可能，所以，故A錯(cuò)誤；B：事件“3個(gè)孩子都是男孩”與事件“3個(gè)孩子都是女孩”不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥但不對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；C：3個(gè)小孩可能發(fā)生的事件如下：男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8種，其中只有一個(gè)男孩的概率為：，故C錯(cuò)誤；D：設(shè)M={至少一個(gè)有男孩}，N={至少有2個(gè)男孩}，由選項(xiàng)C可知，，所以，故D正確.1．（2023年湖北省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）某小組有1名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加圍棋比賽，事件“至多有1名男生”與事件“至多有1名女生”（

）A．是對(duì)立事件 B．都是必然事件C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是對(duì)立事件【答案】C【分析】根據(jù)兩個(gè)事件的關(guān)系可得正確的選項(xiàng).【詳解】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均為隨機(jī)事件，故B錯(cuò)誤.事件“至多有1名男生”有兩種情況：2名學(xué)生都是女生或2名學(xué)生一男一女.“至多有1名女生”有一種情況：2名學(xué)生一男一女.故兩個(gè)事件不是對(duì)立事件、互斥事件，故AD錯(cuò)誤，C正確.2．對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（

）A．A與B不互斥 B．A與D互斥但不對(duì)立C．C與D互斥 D．A與C相互獨(dú)立【答案】D【分析】由已知條件結(jié)合事件的運(yùn)算判斷事件間的互斥、對(duì)立關(guān)系，根據(jù)的關(guān)系判斷事件是否獨(dú)立.【詳解】由，，，即，故A、B互斥，A錯(cuò)誤；由，A、D互斥且對(duì)立，B錯(cuò)誤；又，，則，C與D不互斥，C錯(cuò)誤；由，，，所以，即A與C相互獨(dú)立，D正確.3．隨著北京冬奧會(huì)的舉辦，中國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動(dòng)，號(hào)召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（

）A．A與B為對(duì)立事件 B．A與C互斥C．A與C相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的概念即可判斷A、B，再根據(jù)古典概型的概率公式求出、、、、，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷C、D；【詳解】解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同；故與互斥不對(duì)立，與不互斥，所以，，且，，所以，，即與相互獨(dú)立，與不相互獨(dú)立.考點(diǎn)四、古典概型1．（2023屆河南省適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）安排，，，，五名志愿者到甲，乙兩個(gè)福利院做服務(wù)工作，每個(gè)福利院至少安排一名志愿者，則，被安排在不同的福利院的概率為．【答案】【分析】分1人,4人和2人，3人兩種情況安排到兩個(gè)福利院，再分析在4人組，3人組，2人組三種情況得到在同一福利院的分法，利用對(duì)立事件的概率求解即可.【詳解】5人分配到2個(gè)福利院有1,4和3,2兩種分組方法，共有種分法，其中，被安排在同一組在同一福利院有種，所以，被安排在不同的福利院的概率為.2．為推動(dòng)就業(yè)與培養(yǎng)有機(jī)聯(lián)動(dòng)、人才供需有效對(duì)接，促進(jìn)高校畢業(yè)生更加充分更高質(zhì)量就業(yè)，教育部今年首次實(shí)施供需對(duì)接就業(yè)育人項(xiàng)目．現(xiàn)安排甲、乙兩所高校與3家用人單位開展項(xiàng)目對(duì)接，若每所高校至少對(duì)接兩家用人單位，則兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型與對(duì)立事件的概率公式求解即可【詳解】因?yàn)槊克咝Ｖ辽賹?duì)接兩家用人單位，所以每所高校共有種選擇，所以甲、乙兩所高校共有種選擇，其中甲、乙兩所高校的選擇涉及兩家用人單位的情況有種，所以甲、乙兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為.3．（2023屆云南省模擬數(shù)學(xué)試題）在給某小區(qū)的花園綠化時(shí)，綠化工人需要將6棵高矮不同的小樹在花園中栽成前后兩排，每排3棵，則后排的每棵小樹都對(duì)應(yīng)比它前排每棵小樹高的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先求出事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型的公式計(jì)算即可．【詳解】方法一：設(shè)六棵樹從矮到高的順序?yàn)?，2，3，4，5，6，后排的每棵小樹都對(duì)應(yīng)比它前排每棵小樹高為事件A．則6必在后排，1在前排，因此，分為16相對(duì)和16不對(duì)兩種情況（相對(duì)的意思是前后相鄰），（1）16相對(duì)：5必在后排，2必在前排，因此，又可分為25相對(duì)和25不對(duì)兩種情況，①25相對(duì)時(shí)，34相對(duì)且4在后排，所以有種情況；②25不對(duì)，有種情況．（2）16不對(duì)：可分為5在前排和5在后排兩種情況，（?。?在前排，則56相對(duì)且4在后排，又可分為14相對(duì)和14不對(duì)兩種情況，14相對(duì)：有種；14不對(duì)：有種．（ⅱ）5在后排，又可分為15相對(duì)和15不對(duì)兩種情況，①15相對(duì)：2必在前排，又分為26相對(duì)和26不對(duì)兩種，26相對(duì)：有種；26不對(duì)：有種．②15不對(duì)，有種．所以.方法二：將設(shè)六棵樹從矮到高的順序?yàn)?，2，3，4，5，6，后排的每棵小樹都對(duì)應(yīng)比它前排每棵小樹高為事件A，所以，.【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是合理分類，首先根據(jù)題意知6必在后排，1必在前排，所以根據(jù)1，6的位置關(guān)系分為兩種情況，接下來就是根據(jù)每種情況，把能定下來的位置先定下來，不能定的就繼續(xù)分類討論，直至求出所有適合的基本事件個(gè)數(shù)．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在解題時(shí)發(fā)揮了關(guān)鍵作用．不放回問題4．一個(gè)盒子中裝有5個(gè)電子產(chǎn)品，其中有3個(gè)一等品，2個(gè)二等品，從中不放回地抽取產(chǎn)品，每次取1個(gè)，求：(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率；(2)取三次，第三次才取得一等品的概率．【答案】(1)；(2)；【分析】根據(jù)全概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求答案.【詳解】（1）令為第i(i=1，2，3)次取得一等品．（1）．（2）．有放回問題5．（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立【答案】B【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷【詳解】，【點(diǎn)睛】判斷事件是否獨(dú)立，先計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，再判斷是否成立1．上海某高校哲學(xué)專業(yè)的4名研究生到指定的4所高級(jí)中學(xué)宣講習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想．若他們每人都隨機(jī)地從4所學(xué)校選擇一所，則4人中至少有2人選擇到同一所學(xué)校的概率是．（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）【答案】【分析】考慮反面，4個(gè)人恰好分配到4個(gè)學(xué)校的情況，再作減法即得.【詳解】4個(gè)人分配到4個(gè)學(xué)校的情況總數(shù)為種，4個(gè)人恰好分配到4個(gè)學(xué)校的情況為種，所以4人中至少有2人選擇到同一所學(xué)校的情況有種，所以4人中至少有2人選擇到同一所學(xué)校的概率是.2．（2023年慕華優(yōu)策聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）學(xué)校高一年級(jí)從6個(gè)班各自選出2名同學(xué)參加市里組織的朗讀比賽.若從這12名同學(xué)選出6人參加決賽，其中預(yù)賽成績(jī)優(yōu)秀的一（1）班甲和一（2）班乙兩名同學(xué)必須參加，其余任選，則這6人恰好僅有兩名同學(xué)來自相同班級(jí)的概率為.【答案】【分析】在余下的10人中任選4人作為基本事件總數(shù)，僅有兩名同學(xué)來自相同班級(jí)可分為：來自一（1）班或一（2）班或余下的四個(gè)班中的一個(gè)班.【詳解】12名同學(xué)中選6人，其中2人必須參加，即在余下的10人中任選4人，所以基本事件總數(shù)為，余下4人中如有一人來自一（1）班或一（2）班選法有種，余下4人均來自余下的四個(gè)班選法有種，故所求概率為.3．有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為.【答案】【分析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為4．（2023年湖北省模擬數(shù)學(xué)試題）袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用X表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù)．(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；(2)求甲取到白球的概率．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）利用古典概型的概率公式運(yùn)算即可得解.（2）利用離散型隨機(jī)變量的分布列分析運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）設(shè)袋中原有個(gè)白球，由題意知，，可解得：或（舍去），即袋中原有3個(gè)白球．（2）由題意，的可能取值為.，，，，，因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在?次、第3次和第5次取球，記“甲取到白球”為事件，則.考點(diǎn)五、幾何概型1．如圖，陰影部分由四個(gè)全等的直角三角形組成的圖形是三國(guó)時(shí)代吳國(guó)趙爽創(chuàng)制的“勾股弦方圖”，也稱“趙爽弦圖”.若直角三角形中較大銳角的正弦值為，則在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，這一點(diǎn)落在小正方形內(nèi)的概率為.【答案】【分析】本題屬于幾何概型，分別求出面積，即可求概率.【詳解】設(shè)直角三角形中較大銳角為，則，所以設(shè)大正方形邊長(zhǎng)為1，則直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為，.故小正方形邊長(zhǎng)為，面積為.而大正方形的面積為1，故所求概率為.2．住在同一城市的甲、乙兩位合伙人,約定在當(dāng)天下午4.005：00間在某個(gè)咖啡館相見商談合作事宜，他們約好當(dāng)其中一人先到后最多等對(duì)方10分鐘,若等不到則可以離去,則這兩人能相見的概率為．【答案】【分析】將甲、乙到達(dá)時(shí)間設(shè)為（以為0時(shí)刻，單位為分鐘）.則相見需要滿足：畫出圖像，根據(jù)幾何概型公式得到答案.【詳解】根據(jù)題意：將甲、乙到達(dá)時(shí)間設(shè)為（以為0時(shí)刻，單位為分鐘）則相見需要滿足：畫出圖像：根據(jù)幾何概型公式：【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的應(yīng)用，意在考查學(xué)生解決問題的能力.3．對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的重要征，是數(shù)學(xué)家追求的目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造中的重要的美學(xué)因素．著名德國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家魏爾說：“美和對(duì)稱緊密相連”．現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法來估算對(duì)稱蝴蝶（如圖中陰影區(qū)域所示）的面積，做一個(gè)邊長(zhǎng)為2dm的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲1000個(gè)點(diǎn)，已知恰有395個(gè)點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)，據(jù)此可估計(jì)圖中對(duì)稱蝴蝶的面積是．【答案】【分析】先明確是幾何概型中的面積類型，通過試驗(yàn)求得概率，再求得正方形面積，再由幾何概型概率公式建立方程求解.【詳解】由題意可知，正方形面積為，設(shè)圖中對(duì)稱蝴蝶的面積為，則即，所以可估計(jì)圖中對(duì)稱蝴蝶的面積是.1．關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值：先請(qǐng)120名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個(gè)x、y都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)，再統(tǒng)計(jì)x、y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形時(shí)的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)m，最后再根據(jù)m來估計(jì)的值．假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是，那么的估計(jì)值為．【分析】表示的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，x、y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形時(shí)的數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)構(gòu)成圖中陰影部分，分別求出其面積，由幾何概型概率公式求得其概率后可得．【詳解】表示的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，如圖正方形（不含邊界），x、y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形滿足條件，表示的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域是圖中陰影部分（不含邊界），因此所求概率為，估計(jì)．2．甲訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上之間把報(bào)紙送到甲家，而甲取報(bào)紙的時(shí)間在早上之間，則甲能得到報(bào)紙的概率為.【答案】【分析】求出全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域以及甲能看到報(bào)紙構(gòu)成的區(qū)域，由面積之比可得.【詳解】設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為，甲取報(bào)紙的時(shí)間為，記甲能得到報(bào)紙為事件，可以看成是平面中的點(diǎn)，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋@是一個(gè)正方形區(qū)域，面積，事件所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋?所以.3．（2023屆四川省診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題）《定理匯編》記載了諸多重要的幾何定理，其中有一些定理是關(guān)于鞋匠刀形的，即由在同一直線上同側(cè)的三個(gè)半圓所圍成的圖形，其被阿基米德稱為鞋匠刀形.如圖所示，三個(gè)半圓的圓心分別為，，，半徑分別為，，（其中），在半圓О內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為，則.【答案】/【分析】通過計(jì)算三個(gè)半圓的面積，表示陰影部分的面積，利用幾何概型的概率計(jì)算公式即可得出答案.【詳解】解：陰影部分面積為：由圖可知：，所以則，因?yàn)樵诎雸AО內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為，所以，，即，則解得：，因?yàn)椋?4．（2023屆四川省模擬文科數(shù)學(xué)試題）四葉草也被稱為幸運(yùn)草、幸福圖，其形狀被廣泛用于窗戶、壁紙、地板等裝修材料的圖案中．如圖所示，正方形地板上的四葉草圖邊界所在的半圓都以正方形的邊長(zhǎng)為直徑．隨機(jī)拋擲一粒小豆在這塊正方形地板上，則小豆落在四葉草圖（圖中陰影部分）上的概率為．【答案】【分析】求出圖中陰影部分的面積，利用幾何概型公式求解即可．【詳解】不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2個(gè)單位，則圖中陰影部分的面積為兩個(gè)圓（半徑為1）的面積減去一個(gè)正方形（邊長(zhǎng)為2）的面積，即，根據(jù)幾何概型，小豆落在四葉草圖（圖中陰影部分）上的概率為．5．明朝著名易學(xué)家來知德以其太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說明一年之氣象，來氏認(rèn)為“萬古之人事，一年之氣象也，春作夏長(zhǎng)秋收冬藏，一年不過如此”.上圖是來氏太極圖，其大圓半徑為4，大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為1，兩圓之間的圖案是對(duì)稱的，若在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在黑色區(qū)域的概率為.【答案】【解析】設(shè)大圓面積為，小圓面積，求得，，進(jìn)而求得黑色區(qū)域的面積，結(jié)合面積比，即可求解.【詳解】設(shè)大圓面積為，小圓面積，則，，可得黑色區(qū)域的面積為，所以落在黑色區(qū)域的概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計(jì)算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．考點(diǎn)六、概率的基本性質(zhì)1．（2023屆陜西省模擬理科數(shù)學(xué)試題）某中學(xué)舉行疾病防控知識(shí)競(jìng)賽，其中某道題甲隊(duì)答對(duì)該題的概率為，乙隊(duì)和丙隊(duì)答對(duì)該題的概率都是.若各隊(duì)答題的結(jié)果相互獨(dú)立且都進(jìn)行了答題.則甲、乙、丙三支競(jìng)賽隊(duì)伍中恰有一支隊(duì)伍答對(duì)該題的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可.【詳解】解：記“甲隊(duì)答對(duì)該題”為事件A，“乙隊(duì)答對(duì)該題”為事件B，“丙隊(duì)答對(duì)該題”為事件C，則甲、乙、丙三支競(jìng)賽隊(duì)伍中恰有一支隊(duì)伍答對(duì)該題的概率.2．甲、乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲獲得冠軍的概率、甲獲得冠軍且比賽進(jìn)行了3局的概率，再由條件概率公式求甲獲得冠軍的情況下比賽進(jìn)行了三局的概率.【詳解】由題意，甲獲得冠軍的概率為，其中甲獲得冠軍且比賽進(jìn)行了3局的概率為，∴所求概率為.3．甲、乙兩人各有一個(gè)袋子，且每人袋中均裝有除顏色外其他完全相同的2個(gè)紅球和2個(gè)白球，每人從各自袋中隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則甲勝，且將取出的2個(gè)球全部放入甲的袋子中；若2個(gè)球異色，則乙勝，且將取出的2個(gè)球全部放入乙的袋子中.則兩次取球后，甲的袋子中恰有6個(gè)球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)取球規(guī)則分析得到兩次取球后甲的袋子中有6個(gè)球時(shí)，兩次取球均為同色，然后分第一次取球甲、乙都取到紅球和白球兩種情況求解即可.【詳解】由題，若兩次取球后，甲的袋子中恰有6個(gè)球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色.若第一次取球甲、乙都取到紅球，概率為，則第一次取球后甲的袋子中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙的袋子中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，概率為，故第一次取球甲﹑乙都取到紅球且兩次取球后，甲的袋子中有6個(gè)球的概率為.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后，甲的袋子中有6個(gè)球的概率為.故所求概率為.4．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球(球除顏色外，大小質(zhì)地均相同)．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①事件與相互獨(dú)立；②，，是兩兩互斥的事件；③；④；⑤A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先判斷出，，是兩兩互斥的事件，且不滿足，①錯(cuò)誤，②正確，用條件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出結(jié)論.【詳解】顯然，，，是兩兩互斥的事件，且，，而，①錯(cuò)誤，②正確；，，所以，③正確；④正確；，⑤錯(cuò)誤，綜上：結(jié)論正確個(gè)數(shù)為3.1．甲乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制，則甲最終獲勝的概率為（

）【答案】D【分析】由題意可得甲最終獲勝有兩種情況：一是前兩局甲獲勝，二是前兩局甲勝一局，第三局甲獲勝，然后由獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解即可【詳解】由題意可得甲最終獲勝有兩種情況：一是前兩局甲獲勝，則獲勝的概率為二是前兩局甲勝一局，第三局甲獲勝，則獲勝的概率為，而這兩種情況是互斥的，所以甲最終獲勝的概率為.2．甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已投球2次時(shí)投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．則投籃結(jié)束時(shí)，乙只投了1個(gè)球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，乙只投了1個(gè)球包括甲未投進(jìn)乙投進(jìn)結(jié)束，甲未投進(jìn)乙未投進(jìn)甲再投投進(jìn)結(jié)束兩個(gè)互斥事件的和，由互斥事件的和的概率及獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求解.【詳解】設(shè)，分別表示甲、乙在第k次投籃時(shí)投中，則，，（，2），記“投籃結(jié)束時(shí)，乙只投了1個(gè)球”為事件D．則3．某社團(tuán)開展“建黨100周年主題活動(dòng)——學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為、，兩人能否獲得滿分相互獨(dú)立，則下列說法正確的是（

）．A．兩人均獲得滿分的概率為B．兩人至少一人獲得滿分的概率為C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為D．兩人至多一人獲得滿分的概率為【答案】A【分析】利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式和對(duì)立事件概率公式計(jì)算各自的概率，進(jìn)而作出判定【詳解】解：∵甲、乙兩人能得滿分的概率分別為、，兩人能否獲得滿分相互獨(dú)立，分別記甲，乙能得滿分的事件為M，N，則，，M，N相互獨(dú)立，∴兩人均獲得滿分的概率為，故A正確；兩人至少一人獲得滿分的概率為，故B錯(cuò)誤；兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為，故C錯(cuò)誤；兩人至多一人獲得滿分的概率為，故D錯(cuò)誤．4．現(xiàn)將除顏色外其他完全相同的6個(gè)紅球和6個(gè)白球平均放入A、B兩個(gè)封閉的盒子中，甲從盒子A中，乙從盒子B中各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則甲勝，且將取出的2個(gè)球全部放入盒子A中；若2個(gè)球異色，則乙勝，且將取出的2個(gè)球全部放入盒子B中．按上述規(guī)則重復(fù)兩次后，盒子A中恰有8個(gè)球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】若兩次取球后，盒子A中恰有8個(gè)球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色．考慮第一次取球甲、乙都取到紅球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球或第一次取球甲、乙都取到白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，分別求出其概率，即可求出答案.【詳解】若兩次取球后，盒子A中恰有8個(gè)球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色．若第一次取球甲、乙都取到紅球，概率為，則第一次取球后盒子A中有4個(gè)紅球和3個(gè)白球，盒子B中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，概率為，故第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，盒子A有8個(gè)球的概率為，同理，第一次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后，盒子A中有8個(gè)球的概率為，所以兩次取球后，盒子A中恰有8個(gè)球的概率是．考點(diǎn)七、概率的綜合應(yīng)用1．某一電子集成塊有三個(gè)元件a，b，c并聯(lián)構(gòu)成，三個(gè)元件是否有故障相互獨(dú)立．已知至少1個(gè)元件正常工作，該集成塊就能正常運(yùn)行．若每個(gè)元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個(gè)元件出現(xiàn)故障的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個(gè)元件出現(xiàn)故障，進(jìn)而結(jié)合對(duì)立事件的概率公式得，再根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】解：記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個(gè)元件出現(xiàn)故障，則為該集成塊不能正常工作，所以，，所以2．（2023屆河北衡水中學(xué)模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為．假定每局之間相互獨(dú)立且無平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲、乙各勝一局的概率為．【答案】【分析】分兩種情況討論：（1）第一局甲勝，第二局乙勝：（2）第一局乙勝，第二局甲勝.分析出每局輸贏的情況，結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】分兩種情況討論：（1）第一局甲勝，第二局乙勝：若第一局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，若第一局乙執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，所以，第一局甲勝，第二局乙勝的概率為；（2）第一局乙勝，第二局甲勝：若第一局甲執(zhí)黑子先下，則乙勝第一局的概率為，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為，若第一局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝第一局的概率為，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為，所以，第一局乙勝，第二局甲勝的概率為.綜上所述，甲、乙各勝一局的概率為.3．（2023年四川省模擬理科數(shù)學(xué)試題）小明與小紅兩位同學(xué)計(jì)劃去養(yǎng)老院做義工．如圖，小明在街道E處，小紅在街道F處，養(yǎng)老院位于G處，小明與小紅到養(yǎng)老院都選擇最短路徑，兩人約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F；事件B：小明經(jīng)過H；事件C：從F到養(yǎng)老院兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則下面說法正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根據(jù)組合知識(shí)結(jié)合古典概型概率公式及條件概率的求法逐項(xiàng)分析即得.【詳解】小明到養(yǎng)老院能選擇的最短路徑條數(shù)為條；小明到F的最短路徑走法有條，再從F到養(yǎng)老院的最短路徑有條，小明經(jīng)過F到養(yǎng)老院能選擇的最短路徑條數(shù)為條，所以，故（1）正確；小明從H到養(yǎng)老院的最短路徑有條，即，從H到F的最短路徑有條，從F到養(yǎng)老院的最短路徑有3條，即，所以，故（2）正確；又，所以，故（3）正確．4．中國(guó)古塔矗立在大江南北，為城市山林增光添彩，被譽(yù)為中國(guó)古代杰出的高層建筑.如圖是位于陜西省西安市的大慈恩寺大雁塔，其塔身為四邊形，底面邊長(zhǎng)為aa米的圓周上任取一點(diǎn)觀看，則他能同時(shí)看到塔的兩個(gè)側(cè)面（即圖2中的正方形的兩邊）的概率為.【答案】【分析】由條件確定他能同時(shí)看見兩個(gè)側(cè)面的區(qū)域，利用幾何概率模型的公式求其概率.【詳解】當(dāng)他站在圓弧位置時(shí)，能同時(shí)看到兩邊，同理可得當(dāng)他站在圓弧時(shí)都能看到兩個(gè)邊，又，，，都是等邊三角形，所以圓弧對(duì)應(yīng)的區(qū)域的總長(zhǎng)度為，即，又圓的周長(zhǎng)為，所以他能同時(shí)看到塔的兩個(gè)側(cè)面的概率.1．（2023屆云南省教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組共有2名男生3名女生，從中隨機(jī)選出2名參加交流會(huì)，在已知選出的2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為．【答案】【分析】首先求出男女生各1名的概率，再應(yīng)用對(duì)立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后應(yīng)用條件概率公式求概率.【詳解】若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”，所以2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為，而，，故.2．（2023年上海市模擬數(shù)學(xué)試題）某興趣小組有10名學(xué)生，若從10名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的概率為，且女生人數(shù)超過1人，現(xiàn)在將10名學(xué)生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的左右相對(duì)順序固定，則共有種不同的站隊(duì)方法.【答案】25200【分析】由已知得10名學(xué)生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.【詳解】設(shè)10名學(xué)生中，有女生人，男生人，則10名學(xué)生中選取3人，恰有1名女生的概率，整理得：，即因式分解可得：，解得：或（舍去）或（舍去）所以10名學(xué)生中，有女生6人，男生4人，將6名女生排成一排有種方法，再將4名男生插到7個(gè)空中有種方法，因?yàn)槟猩淖笥蚁鄬?duì)順序固定，而4名男生排成一排有種方法，所以一共有.3．（2023屆四川省適應(yīng)性考試（二診）理科數(shù)學(xué)試題）在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式的系數(shù)和為256，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求得n，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式確定有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，根據(jù)插空法排列有理項(xiàng)，再根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】在二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為，所以.則即，通項(xiàng)公式為，故展開式共有9項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，展開式為有理項(xiàng)，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)都互不相鄰，即把其它的6個(gè)無理項(xiàng)先任意排，再把這三個(gè)有理項(xiàng)插入其中的7個(gè)空中，方法共有種,故有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為.4．（2023年四川省模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）如圖，將半徑為1分米的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)（陰影部分）.現(xiàn)在往圓內(nèi)任投100顆豆子，則落在星形區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù)大約為.【答案】【分析】求得圖中陰影部分面積，根據(jù)幾何概型的概率公式求得點(diǎn)落在星形區(qū)域內(nèi)的概率，即可求得落在星形區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù).【詳解】將半徑為1分米的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)（陰影部分）,即將圖形平均分成四個(gè)部分，則每個(gè)圖形空白處的面積為平方分米,則陰影部分的面積為平方分米,圓的面積為平方分米，∴根據(jù)幾何概型的概率公式可得點(diǎn)落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為︰，故往圓內(nèi)任投100顆豆子，則落在星形區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù)大約為.【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023年浙江省寧模擬數(shù)學(xué)試題）袋內(nèi)裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，設(shè)事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，則下列說法中正確的是（

）A．A與B是互斥事件 B．A與B不是相互獨(dú)立事件C．B與C是對(duì)立事件 D．A與C是相互獨(dú)立事件【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)題意可知，事件和事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)；不放回摸球，第一次摸球?qū)Φ诙蚊蛴杏绊?，所以事件和事件不相互?dú)立，故B正確；事件的對(duì)立事件為“第二次摸到黑球”，故C錯(cuò)；事件與事件為對(duì)立事件，故D錯(cuò).2．一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．事件A與事件B互斥C．事件A與事件B相互獨(dú)立 D．【答案】C【分析】利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義及古典概率公式逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個(gè)基本事件，則，A不正確；事件B含有的基本事件有8個(gè)：，其中事件發(fā)生時(shí)，事件A也發(fā)生，即事件A，B可以同時(shí)發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個(gè)，，即事件A與事件B相互獨(dú)立，C正確；，D不正確.3．甲、乙兩所學(xué)校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績(jī)的優(yōu)秀率為30%，乙校成績(jī)的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學(xué)校的成績(jī)放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個(gè)學(xué)生成績(jī)，則取到優(yōu)秀成績(jī)的概率為（

）【答案】D【分析】利用概率的定義求解.【詳解】解：由題意得：將兩所學(xué)校的成績(jī)放到一起，從中任取一個(gè)學(xué)生成績(jī)，取到優(yōu)秀成績(jī)的概率為，4．某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表：第一組第二組第三組合計(jì)投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)68125176369命中的頻率根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，那么誤差較小的可能性的估計(jì)是（

）【答案】D【分析】由頻率和概率的關(guān)系求解.【詳解】解：由題可知，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率，對(duì)可能性的估計(jì)誤差越?。?．壇子中放有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中不放回地取球2次，每次取1個(gè)球，用表示“第一次取得白球”，表示“第二次取得白球”，則和是（

）A．互斥的事件 B．相互獨(dú)立的事件C．對(duì)立的事件 D．不相互獨(dú)立的事件【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的知識(shí)確定正確答案.【詳解】設(shè)白球編號(hào)為，黑球的編號(hào)為，從壇子中不放回地取球2次，基本事件有，,，所以和是不相互獨(dú)立的事件.基本事件包括“第次取到白球，第次取到白球”，即和可以同時(shí)發(fā)生，所以和不是互斥，也不是對(duì)立事件.6．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）A．恰好有一個(gè)白球與都是紅球 B．至多有一個(gè)白球與都是紅球C．至多有一個(gè)白球與都是白球 D．至多有一個(gè)白球與至多一個(gè)紅球【答案】A【分析】由題意可得總事件分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，根據(jù)互斥事件以及對(duì)立事件的定義再對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析即可求解．【詳解】從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，表示的事件分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，故選項(xiàng)A中事件互斥不對(duì)立，A正確，選項(xiàng)B：至多有一個(gè)白球表示的是（紅，白），（紅，紅），與都是紅球不互斥，故B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B的分析可知互斥且對(duì)立，故C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D：至多有一個(gè)白球表示的是（紅，白），（紅，紅），至多有一個(gè)紅球表示的是（紅，白），（白，白），所以兩個(gè)事件不互斥，故D錯(cuò)誤.7．奧林匹克會(huì)旗中央有5個(gè)互相套連的圓環(huán)，顏色自左至右，上方依次為藍(lán)、黑、紅，下方依次為黃、綠，象征著五大洲．在手工課上，老師將這5個(gè)環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)制作，每人分得1個(gè)，則事件“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是（）A．對(duì)立事件 B．不可能事件C．互斥但不對(duì)立事件 D．不是互斥事件【答案】C【詳解】甲、乙不能同時(shí)得到紅色，因而這兩個(gè)事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到紅色，即“甲或乙分得紅色”的事件不是必然事件，故這兩個(gè)事件不是對(duì)立事件．8．某校為宣傳《中華人民共和國(guó)未成年人保護(hù)法》，特舉行《中華人民共和國(guó)未成年人保護(hù)法》知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定兩人為一組，每一輪競(jìng)賽中，小組兩人分別答兩題，若答對(duì)題數(shù)不少于3，則被稱為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，且同學(xué)甲和同學(xué)乙答對(duì)題的概率分別為，．若，，則在第一輪競(jìng)賽中他們獲得“優(yōu)秀小組”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，分析甲乙所在的小組獲“優(yōu)秀小組”的所有可能情況，再利用互斥事件的加法公式，相互獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，在第一輪競(jìng)賽中甲乙所在的小組能獲得“優(yōu)秀小組”的所有可能的情況有：甲答對(duì)1題，乙答對(duì)2題；甲答對(duì)2題，乙答對(duì)1題；甲答對(duì)2題，乙答對(duì)2題，且每人所答兩題中答對(duì)的1題有先后之分，所以所求概率為.9．盒中有個(gè)質(zhì)地，形狀完全相同的小球，其中個(gè)紅球，個(gè)綠球，個(gè)黃球；現(xiàn)從盒中隨機(jī)取球，每次取.【答案】【分析】分別計(jì)算“第一次取到紅球”的概率和“第一次取到綠球，第二次取到紅球”的概率后相加即可.【詳解】沒有取到黃球，可以是“第一次取到紅球”或“第一次取到綠球，第二次取到紅球”記事件表示第一次取到紅球，表示第二次取到紅球，表示第一次取到綠球，則，，∴沒有取到黃球的概率為.10．2021年神舟十二號(hào)、十三號(hào)載人飛船發(fā)射任務(wù)都取得圓滿成功，這意味著我國(guó)的科學(xué)技術(shù)和航天事業(yè)取得重大進(jìn)步．現(xiàn)有航天員甲、乙、丙三個(gè)人，進(jìn)入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項(xiàng)試驗(yàn)任務(wù)，工作時(shí)間不超過10分鐘，如果10分鐘內(nèi)完成任務(wù)則試驗(yàn)成功結(jié)束任務(wù)，10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤回再派下一個(gè)人，每個(gè)人只派出一次．已知甲、乙、丙10分鐘內(nèi)試驗(yàn)成功的概率分別為，，，每個(gè)人能否完成任務(wù)相互獨(dú)立，該項(xiàng)試驗(yàn)任務(wù)按照甲、乙、丙順序派出，則試驗(yàn)任務(wù)成功的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把試驗(yàn)任務(wù)成功的事件拆成三個(gè)互斥事件的和，再求出每個(gè)事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式計(jì)算作答.【詳解】試驗(yàn)任務(wù)成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，事件，，互斥，，，，所以試驗(yàn)任務(wù)成功的概率.11．由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個(gè)，則其恰好為“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個(gè)數(shù)字“431”保持遞減，后3個(gè)數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共個(gè)，前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增，說明中間數(shù)字為1；在剩余的四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，按照遞減順序,僅有一種排列方式放置在首兩位（或末兩位），則剩余兩位數(shù)字排列方式唯一確定，放置在最后兩位（或首兩位）.因此“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”的五位數(shù)有個(gè)，所以所求的概率．12．屈原是中國(guó)歷史上第一位偉大的愛國(guó)詩人，中國(guó)浪漫主義文學(xué)的奠基人，“楚辭”的創(chuàng)立者和代表作者，其主要作品有《離騷》《九歌》《九章》《天問》等.某校于2022年6月第一周舉辦“國(guó)學(xué)經(jīng)典誦讀”活動(dòng)，計(jì)劃周一至周四誦讀屈原的上述四部作品，要求每天只誦讀一部作品，則周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用古典概型去求周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的概率【詳解】該校周一至周四誦讀屈原的四部作品方法總數(shù)為周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的方法總數(shù)為則周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的概率為.13．某校為落實(shí)“雙減”政策.在課后服務(wù)時(shí)間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動(dòng)，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四名同學(xué)擬參加籃球?足球?乒乓球?羽毛球四項(xiàng)活動(dòng)，由于受個(gè)人精力和時(shí)間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，則恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)排列組合知識(shí)計(jì)算出事件發(fā)生的種類數(shù)，再利用古典概型的概率公式求出概率.【詳解】每人有種選擇，四人共有種選擇，其中恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)共有種選擇，所以四人中恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為：.14．若隨機(jī)事件、互斥，、發(fā)生的概率均不等于0，且分別為，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】根據(jù)已知條件和隨機(jī)事件的概率范圍及互斥事件的性質(zhì)，列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)事件、互斥，、發(fā)生的概率均不等于0，所以有：，即，解得，故答案為：.15．在拋擲一顆骰子（一種正方體玩具，六個(gè)面分別標(biāo)有字樣）的試驗(yàn)中，事件表示“不大于3的奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件表示“小于4的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則事件的概率為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件利用古典概率公式求出事件和的概率即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，拋擲一顆骰子的試驗(yàn)有6個(gè)不同的結(jié)果，它們等可能，其中事件有2個(gè)結(jié)果，事件有3結(jié)果，于是有，，而事件和是互斥的，則，所以事件的概率為.16．（2020年天津市高考數(shù)學(xué)試題）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為．【答案】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率關(guān)系，即可求出兩球都落入盒子的概率；同理可求兩球都不落入盒子的概率，進(jìn)而求出至少一球落入盒子的概率.【詳解】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子的概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，以及利用對(duì)立事件求概率，屬于基礎(chǔ)題.17．已知從某班學(xué)生中任選兩人參加農(nóng)場(chǎng)勞動(dòng)，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為．【答案】【分析】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，根據(jù)為互斥事件，與為對(duì)立事件，從而可求出答案.【詳解】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，易知為互斥事件，與為對(duì)立事件，又，所以.18．第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，中國(guó)郵政陸續(xù)發(fā)行了多款紀(jì)念郵票，其圖案包括“冬夢(mèng)”“飛躍”“冰墩墩”"雪容融”等，小明現(xiàn)有“冬夢(mèng)”"飛躍”“冰墩墩”"雪容融”郵票各2張，他打算從這8張郵票中任選3張贈(zèng)送給同學(xué)小紅，則在選中的3張郵票中既有“冰墩墩”郵票又有“雪容融”郵票的概率為.【答案】【分析】既有“冰墩墩”郵票又有“雪容融”郵票包括1張“冰墩墩”和2張“雪容融”、2張“冰墩墩”和1張“雪容融”、1張“冰墩墩”和1張“雪容融”和1張其他，再按照古典概型求解即可.【詳解】3張郵票中有1張“冰墩墩”郵票和2張“雪容融”郵票的情況有種，有2張“冰墩墩”郵票和1張“雪容融”郵票的情況有種，有1張“冰墩墩”郵票和1張“雪容融”郵票和1張其他郵票的情況有種，3張郵票中既有“冰墩墩”郵票又有“雪容融”郵票的概率為.19．（2023屆江西省聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）魯洛克斯三角形是指分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形，如圖①.魯洛克斯三角形的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑（等于正三角形的邊長(zhǎng)）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩直線都接觸.由于這個(gè)性質(zhì)，機(jī)械加工中把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出圓角正方形（視為正方形）的孔來.圖②是魯洛克斯三角形鉆頭（陰影部分）與它鉆出的圓角正方形孔洞的橫截面，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)飛向圓角正方形孔洞，則其恰好被鉆頭遮擋住，沒有穿過孔洞的概率為.【答案】【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，求出魯洛克斯三角形面積，再利用幾何概型求解.【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，魯洛克斯三角形由三個(gè)弓形與正三角形組成，其面積為，故所求概率.20．已知圓的半徑為2，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，則過點(diǎn)M的所有弦的長(zhǎng)度都大于的概率為.【答案】【分析】考查幾何概型，求出符合要求的點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)范圍，比上圓的面積【詳解】若過點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為，則，當(dāng)點(diǎn)M在以為圓心，半徑為1的圓內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)M的所有弦的長(zhǎng)度都大于，大圓面積為，符合要求的圓面積為，所以概率.21．寒假即將來臨，小明和小強(qiáng)計(jì)劃去圖書館看書，約定上午8：00~8：30之間的任何一個(gè)時(shí)間在圖書館門口會(huì)合．兩人商量好提前到達(dá)圖書館的人最多等待對(duì)方10分鐘，如果對(duì)方10分鐘內(nèi)沒到，那么等待的人先進(jìn)去．則兩人能夠在圖書館門口會(huì)合的概率是．【答案】【解析】先把兩人能夠會(huì)合轉(zhuǎn)化為幾何概型，利用幾何概型的概率公式直接求解.【詳解】設(shè)小明到達(dá)的時(shí)刻為8時(shí)x分，小強(qiáng)到達(dá)的時(shí)刻為8時(shí)y分，其中，則當(dāng)|xy|≤10時(shí)，兩人能夠在圖書館門口會(huì)合.如圖所示：兩人到達(dá)時(shí)刻（x，y）構(gòu)成正方形區(qū)域，記面積為S,而事件A：兩人能夠在圖書館門口會(huì)合構(gòu)成陰影區(qū)域，記其面積為S1所以.【點(diǎn)睛】（1）幾何概型的兩個(gè)特征——無限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是幾何概型；（2）幾何概型通常轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度比、面積比、體積比.22．在上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為．【答案】【詳解】試題分析：直線y=kx與圓相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，而，所以所求概率P=.【考點(diǎn)】直線與圓位置關(guān)系；幾何概型【名師點(diǎn)睛】本題是高考?？贾R(shí)內(nèi)容，考查幾何概型概率的計(jì)算.本題綜合性較強(qiáng)，具有“無圖考圖”的顯著特點(diǎn)，涉及點(diǎn)到直線距離的計(jì)算.本題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力及基本計(jì)算能力等.【能力提升】1．（2023屆上海市模擬數(shù)學(xué)試題）某個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設(shè)事件M：該家庭中有男孩、又有女孩，事件N：該家庭中最多有一個(gè)女孩，則下列說法正確的是．①若該家庭中有兩個(gè)小孩，則M與N互斥；

②若該家庭中有兩個(gè)小孩，則M與N不相互獨(dú)立；③若該家庭中有三個(gè)小孩，則M與N不互斥；

④若該家庭中有三個(gè)小孩，則M與N相互獨(dú)立．【答案】②③④【分析】若該家庭中有兩個(gè)小孩，寫出對(duì)應(yīng)的樣本空間即可判斷①②；若該家庭中有三個(gè)小孩，寫出對(duì)應(yīng)的樣本空間判斷③④作答.【詳解】若該家庭中有兩個(gè)小孩，樣本空間為(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)，(男,女),(女,男)(男,男),(男,女),(女,男)，(男,女),(女,男)，則M與N不互斥，①錯(cuò)誤；，，，則，所以M與N不相互獨(dú)立，②正確；若該家庭中有三個(gè)小孩，樣本空間為(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)，(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)，(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)，(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)，則M與N不互斥，③正確；，，，于是，所以M與N相互獨(dú)立，④正確．所以說法正確的是②③④.2．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，A表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，B表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”．C表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，D表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則下列命題正確的序號(hào)有．①A與C互斥；②；③A與D相互獨(dú)立；④B與C相互獨(dú)立．【答案】①③【分析】由互斥事件的定義可判斷①；分別列舉事件和事件的樣本點(diǎn)，可求得，，易知，，由相互獨(dú)立公式可判斷③，④；由條件概率公式可判斷②.【詳解】因?yàn)榕c不可能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，故①正確；包含：，，，，，共5個(gè)基本事件，包含：，，，，，，共6個(gè)基本事件，故，，，，則，故③正確；，故④錯(cuò)誤；，故②錯(cuò)誤；故答案為：①③3．我