江蘇省無錫市錫山區(qū)倉下中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷

江蘇省無錫市錫山區(qū)倉下中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級（上）第一

次段考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，

只有一個是正確的，請將正確的選項(xiàng)編號填寫在答卷紙相應(yīng)的位置處.）

1.（3分）下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的為（）

A.2/+孫=3B.%2=i

2

CX4^-5=0D.a^+bx+c—0

x

2.（3分）若。。的半徑為4cm,點(diǎn)A到圓心。的距離為5cm,那么點(diǎn)A與的位置關(guān)系

是（）

A.點(diǎn)A在圓外B.點(diǎn)A在圓上C.點(diǎn)A在圓內(nèi)D.不能確定

3.（3分）點(diǎn)/是△ABC的外心，則點(diǎn)/是△ABC的（）

A.三條垂直平分線交點(diǎn)B.三條角平分線交點(diǎn)

C.三條中線交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)

4.（3分）若關(guān)于x的方程/-X-相=0沒有實(shí)數(shù)根，則根的值可以為（）

A.-1B.-AC.0D.1

4

5.（3分）下列說法：①優(yōu)弧比劣弧長；②三點(diǎn)可以確定一個圓；③長度相等的弧是等??；

④經(jīng)過圓內(nèi)的一個定點(diǎn)可以作無數(shù)條弦；其中不正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于ZC=45°,AB=2,則。。的半徑為（）

A.1B.2A/2C.2D.72

7.（3分）某廠一月份生產(chǎn)某機(jī)器100臺，計劃二、三月份共生產(chǎn)280臺.設(shè)二、三月份每

月的平均增長率為x,根據(jù)題意列出的方程是（）

A.100（1+無）2=280

B.100（1+x）+100（1+無）2=280

C.100（1-X）2=280

D.100+100（1+龍）+100（1+無）2=280

8.（3分）如圖，。。的直徑AB=2,點(diǎn)。在A8的延長線上，。。與相切于點(diǎn)C,連

接AC.若NA=30°,則CD長為（）

B.近

D.M

9.（3分）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD對角線8。上的一點(diǎn)，。。經(jīng)過點(diǎn)C,且與AB邊相切

于點(diǎn)E,若AB=4,BC=5,則O。的半徑長為（）

萬

BC5

f,9

10.（3分）如圖，E是。。的直徑上一點(diǎn)，AB=1O,BE=2,過點(diǎn)E作弦CZJ1.4B,P

是庇上一動點(diǎn)，連接。P，過點(diǎn)A作A。，尸。，垂足為。，則。。的最小值為（）

P-_c

D?平

A.炳5cSVB

2'"T"

二、填空題（本大題共8小題，每空3分，共24分.不需寫出解答過程，只需把答案填寫

在答卷紙的相應(yīng)位置處.）

11.（3分）若x=2是方程/+3尤-2機(jī)=0的一個根，則根的值為.

12.（3分）方程/=?尤的根是.

13.（3分）若一元二次方程根脛+4尤+5=0有兩個不相等實(shí)數(shù)根，則m的取值范

圍.

14.（3分）如圖，。。的直徑CD垂直弦A8于點(diǎn)E,且CE=3cmDE=1cm,則弦AB=

15.（3分）如圖，四邊形A8CQ是。。的內(nèi)接四邊形，若/AOC=112°,則NABC的大小

為度.

16.（3分）如圖，△ABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,。為BC邊的中點(diǎn)，以上

一點(diǎn)0為圓心的OO和AB.BC均相切，則。。的半徑為.

17.（3分）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼

成的一個大正方形（如圖所示）.若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,

則大正方形的面積為.

18.（3分）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。是直徑A8所在直線下方一

點(diǎn)，連接CD,且滿足NAZ）8=60°,BD=2,AD=3?,則△A3。的面積

為_____________________;CD的長為.

三、解答題（本大題共8小題，共72分.請在答卷紙上指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟.）

19.（8分）解方程：

（1）（x+3）2=25；

（2）X2-4X+1=0.

20.（8分）已知：口ABCZ）的兩邊AB、A。的長是關(guān)于尤的方程/-1=0的兩個實(shí)

數(shù)根.

（1）當(dāng)“為何值時，四邊形ABCO是菱形？求出這時菱形的邊長；

（2）若的長為3,那么。A8CD的周長是多少？

21.（8分）如圖，在。。中，直徑與弦C￡＞相交于點(diǎn)尸，ZCAB=45°,4APD=75；

（1）求的大?。?/p>

（2）已知圓心。到8。的距離為3,求的長.

22.（9分）無錫陽山水蜜桃是中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，軟香可口、汁多味甜，有“水做的

骨肉”美譽(yù).某水果批發(fā)商銷售陽山水蜜桃，每箱成本是50元，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單

價是60元時，平均每天的銷量是80箱，當(dāng)銷售單價每提高5元，平均每天就少售出10

箱，但銷售單價不得超過90元.

（1）若銷售單價為65元，求每天的銷售利潤；

（2）要使每天銷售陽山水蜜桃盈利1200元，水蜜桃屬于易壞食品，批發(fā)商想要盡快銷

售水蜜桃，那么每箱水蜜桃的售價應(yīng)為多少元？

23.（9分）請僅用無刻度的直尺作圖.

（1）如圖1,△ABC是。。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)尸在。。上一點(diǎn)，MBP=CP.畫出

中的平分線；

（2）如圖2,△ABC是的內(nèi)接三角形，。是2C的中點(diǎn).畫出△ABC中的平

分線；

（3）如圖3,。。為AABC的外接圓，BC是非直徑的弦，。是BC的中點(diǎn)，E是弦A8

上一點(diǎn)，>DE//AC,請畫出△ABC的內(nèi)心/.

24.（10分）如果一元二次方程辦2+6x+c=0的兩根xi,無2均為正數(shù),其中X1>X2且滿足1

<XI-%2<2,那么稱這個方程有“友好根”.

（1）方程（x-五）G-=0“友好根”（填：“有”或“沒有”）；

（2）已知關(guān)于x的方程/-（f-1）x+f-2=0有"友好根”，求t的取值范圍.

25.（3分）已知：如圖，在△A8C中，AB^AC,以AC為直徑的。。與8c交于點(diǎn)。，DE

LAB,垂足為E,a的延長線與AC的延長線交于點(diǎn)?

（1）試說明：是。。的切線;

（2）若。。的半徑為6,BE=2,求CP的長.

26.（11分）如圖1,在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=8c?i,點(diǎn)P以3cm/s的速度從點(diǎn)A

向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)。以4cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)8運(yùn)動.點(diǎn)尸、。同時出發(fā)，運(yùn)動時間為

/秒(0<?<2),是APOB的外接圓.

(1)當(dāng)f=l時，的半徑是cm,與直線。的位置關(guān)系

是

(2)在點(diǎn)尸從點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動過程中,當(dāng)OM與矩形ABC。相切時，求t的值.

(3)連接PD,交OM于點(diǎn)N,如圖2,當(dāng)/APD=ZNBQ時，r的值

是

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，

只有一個是正確的，請將正確的選項(xiàng)編號填寫在答卷紙相應(yīng)的位置處.）

1.（3分）下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的為（）

A.2x2+xy=3B.x2=l

C-X2-^--5=0D.ax^+bx+c—0

x

【解答】解：A、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不合題意；

8、是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；

C、分母中含有未知數(shù)，不是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)。=0時不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

2.（3分）若。。的半徑為4c7九，點(diǎn)A到圓心。的距離為5。小那么點(diǎn)A與。。的位置關(guān)系

是（）

A.點(diǎn)A在圓外B.點(diǎn)A在圓上C.點(diǎn)A在圓內(nèi)D.不能確定

【解答】解：：的半徑為4c7〃，點(diǎn)A到圓心。的距離為5<?能，5cm>4cm,

.?.點(diǎn)A在圓外.

故選：A.

3.（3分）點(diǎn)/是△ABC的外心，則點(diǎn)/是△ABC的（）

A.三條垂直平分線交點(diǎn)B.三條角平分線交點(diǎn)

C.三條中線交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)

【解答】解：點(diǎn)/是△ABC的外心，則點(diǎn)/是△ABC的三條垂直平分線交點(diǎn)，

故選：A.

4.（3分）若關(guān)于x的方程/-尤-m=0沒有實(shí)數(shù)根，則m的值可以為（）

A.-1B.-AC.0D.1

4

【解答】解：???關(guān)于X的方程x2-x-機(jī)=0沒有實(shí)數(shù)根，

:=（-1）2-4XlX（-nt）=l+4m<0,

解得：m<_1,

故選：A.

5.（3分）下列說法：①優(yōu)弧比劣弧長；②三點(diǎn)可以確定一個圓；③長度相等的弧是等弧;

④經(jīng)過圓內(nèi)的一個定點(diǎn)可以作無數(shù)條弦；其中不正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：①優(yōu)弧比劣弧長，不一定，在同圓或等圓中結(jié)論成立，故①錯誤.

②三點(diǎn)可以確定一個圓，錯誤，應(yīng)該是過不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.故②錯

誤.

③長度相等的弧是等弧，錯誤，長度相等的弧不一定相等，等弧的長度相等，故③錯誤.

④經(jīng)過圓內(nèi)的一個定點(diǎn)可以作無數(shù)條弦，故④正確.

故選：C.

6.（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于。。，NC=45°,AB=2,則。。的半徑為（）

A.1B.2V2C.2D.V2

【解答】解：連接AO,并延長交。。于點(diǎn)連接8。，

VZC=45°,：.ZD=45a,

為。。的直徑，：.ZABD^90°,

：.ZDAB=ZD=45°,

'：AB=2,：.BD=2,

AD=VAB2+BD2=V22+22=2&，

/.oo的半徑AO=3D=

7.（3分）某廠一月份生產(chǎn)某機(jī)器100臺，計劃二、三月份共生產(chǎn)280臺.設(shè)二、三月份每

月的平均增長率為x,根據(jù)題意列出的方程是（）

A.100(1+x)2280

B.100(1+x)+100(1+x)2=280

C.100(1-x)2=280

D.100+100(1+x)+100(1+x)2=280

【解答】解：設(shè)二、三月份每月的平均增長率為尤，

則二月份生產(chǎn)機(jī)器為：100(1+尤)，

三月份生產(chǎn)機(jī)器為：100(1+無)2;

又知二、三月份共生產(chǎn)280臺；

所以，可列方程：100(1+x)+100(1+x)2=280.

故選：B.

8.(3分)如圖，。。的直徑AB=2,點(diǎn)。在的延長線上，。。與相切于點(diǎn)C,連

接AC.若乙4=30°,則C。長為()

DC

A.AB.近C.2^1D.M

333

【解答】解：如圖所示，連接BC,0C,

,：AB是直徑，

：.ZBCA=90°,

又,.,NA=30°,

：.ZCBA=90°-30°=60°,

?：DC是切線，

：.ZBCD=ZA=30°,ZOCD=90°

：.ZD=ZCBA-ZBCD=60°-30°=30°,

*：AB=2,

：.OC=1,

00=2,

?'?CZ)=7OD2-OC2=V22-12=^3

故選：D.

9.（3分）如圖，點(diǎn)。是矩形ABC。對角線2。上的一點(diǎn)，。。經(jīng)過點(diǎn)C,且與AB邊相切

589

【解答】解：連接。C、OE,作。尸_LBC于點(diǎn)尸，則/OFC=/OP8=90°,

；O。與AB邊相切于點(diǎn)E,

：.AB±AB,

?..四邊形ABC。是矩形，AB=4,BC=5,

：.ZEBF=90°,ZM=BC=5,

設(shè)O。的半徑為r,

.：NOEB=NEBF=/OFB=9Q°,

四邊形8E0F是矩形，

:.BF=OE=OC=r,

:.CF=5-r,

：/BEO=NA=90°,ZEBO^ZABD,

：.△EBOs^ABD,

?EB=OE；

.而DA，

:.EB=4OE=￡,

DA5

：.OF=EB=當(dāng),

5

\"OF2+CF2=OC2,

(Ar)2+(5-r)2=2,

5

整理得16r-250r+625=0,

，解得「=生或r=空(不符合題意，舍去),

82

???OO的半徑長為至，

故選：B.

B—__

10.(3分)如圖，E是O。的直徑A3上一點(diǎn)，AB=10,BE=2,過點(diǎn)E作弦P

是庇上一動點(diǎn)，連接。P，過點(diǎn)A作垂足為。，則。。的最小值為()

P,___

A.V553V5

2~T~D?平

【解答】解：：4。，尸￡),垂足為。，

AZAQD=90°,

...點(diǎn)。在以AO為直徑的圓上，

連接AD,以為直徑作OM,如圖,

連接并延長交OM于。'，

當(dāng)。點(diǎn)運(yùn)動到。'時，。。的值最小，

連接OD,

在RtZXODE中，

：。￡>=5,0E=5-2=3,

?,?￡)￡=VOD2-OE2=4,

在中，

Rt^AQEAD=>/AE2+DE2=4-75.

.,.MA=MQI=2A/^，

在RtAAOM中，OAf=A/QA2-AM2=疾,

：.OQ'=MQ'-OM=2娓-遍=疾,

；.0Q的最小值為巡.

故選：A.

二、填空題（本大題共8小題，每空3分，共24分.不需寫出解答過程，只需把答案填寫

在答卷紙的相應(yīng)位置處.）

11.（3分）若尤=2是方程/+3了-2巾=0的一個根，則.的值為5.

【解答】解：把x=2代入，得

22+3X2-2m=0,

解得：機(jī)=5.

故答案為：5.

12.（3分）方程x2=J^尤的根是XI=0,X2=J§—.

【解答】解：方程整理得：X（X-V3）=0,

可得x=0或x-^3=0,

解得：%l=0,X2=V3.

故答案為：XI=0,X2=V3

13.（3分）若一元二次方程m?+4x+5=0有兩個不相等實(shí)數(shù)根，則一的取值范圍，〃<三且

5

【解答】解：???一元二次方程如2+4x+5=0有兩個不相等實(shí)數(shù)根，

A=b2-4ac=41-4XmX5=16-20m>0,

解得：m<l,

5

:根WO,

???加的取值范圍為：m■且機(jī)70.

5

故答案為：m<A且根#0.

5

14.（3分）如圖，OO的直徑CO垂直弦AB于點(diǎn)E,且CE=3an,DE=lcm,貝I］弦AB=

2y/21_cm.

D

【解答】解：連接。4,如圖，

VCE=3cm,DE=lcm,

.\CD=10cm,

OC=OA=5cm,OE=2cm,

VAB±CD,

：?AE=BE,

在Rt/XAOE中，^￡=5/52-22=721（cm）,

：.AB=2AE=2-/21（cM.

故答案為2j五.

D

15.（3分）如圖，四邊形ABC。是O。的內(nèi)接四邊形,若NAOC=112°,則/ABC的大小

為124度.

D

1

A

R

【解答】解：；NAOC=112°,

：.ZD=IZAOC=56°,

2

四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

.\ZZ）+ZABC=180°,

/.ZABC=180°-56°=124°.

故答案為：124.

16.（3分）如圖，ZkABC中，ZC=90°,AC=6,AB=1O,。為BC邊的中點(diǎn)，以AD上

一點(diǎn)。為圓心的O。和A3、8c均相切，則O。的半徑為—衛(wèi)

【解答】解：過點(diǎn)。作。于點(diǎn)E,OFLBC于點(diǎn)F.

'：AB.8c是。。的切線，

點(diǎn)E、F是切點(diǎn)，

：.OE、O尸是。。的半徑;

：.OE=OF；

在△ABC中，NC=90°,AC=6,AB=10,

.??由勾股定理,得BC=8；

又?.，。是3c邊的中點(diǎn)，

??SAABD=S/\ACD,

又SAABD=SAABO+SABOD,

1.AB-OE+l-BD'OF^1.CD'AC,即10XO￡+4XOE=4X6,

222

解得OE=衛(wèi)，

7

，O。的半徑是衛(wèi)，

7

故答案為￡.

7

A

17.（3分）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼

成的一個大正方形（如圖所示）.若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,

則大正方形的面積為289.

【解答】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。，連接OE,0D,

則四邊形EODC為正方形，

OE=0￡>=3=AC+BC-BA,

2

：.AC+BC-AB^6,

：.AC+BC^AB+6,

：.(AC+BC)2=(AB+6)2,

/.BC2+AC2+2.BCXAC^AB2+12A8+36,

而BC2+AC2=AB2,

：.2BCXAC=12AB+36①，

???小正方形的面積為49,

CBC-AC)2=49,

：.BC2+AC2-28CXAC=49②，

把①代入②中得

AB2-12AB-85=0,

(AB-17)(AB+5)=0,

:.AB=n(負(fù)值舍去)，

大正方形的面積為289.

故答案為:289.

18.（3分）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C是窟的中點(diǎn)，點(diǎn)Z）是直徑所在直線下方一

點(diǎn)，連接C。，且滿足/AD8=60°,BD=2,AO=3?,則△A3。的面積為

CD的長為上Z2

一2-

【解答】解：交。。于E,連接8E,連接CA、CB,如圖，

,：AB為直徑，

/.ZAEB=ZACB^9Q°,

VZADB=60°,

：.DE=^BD=1,

2

:.BE=^^DE=S，

△AB。的面積=工乂3愿義?=包；

22

;點(diǎn)c是源的中點(diǎn)，

AAC=BC>

：.AC=BC,

...△ACB為等腰直角三角形，

把△C￡>B繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△（?剛，過F點(diǎn)作FHLDA于H點(diǎn)，如圖,

AZFC￡>=90°,NCFA=/CDB,CF=CD,AF=BD=1,

u：ZCFA-^ZCDA=ZCDB+ZCDA=ZADB=60°,

AZAFD+ZADF=30°,

：.ZHAF=30°,

；.FH=lAF=lf

2

:?AH=MFH=M，

在RtADFH中,DF=JFV+DM=V12+（473）2=7'

：.CD=亞o—迤.

22

故答案為：2；跡.

22

三、解答題(本大題共8小題，共72分.請在答卷紙上指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟.)

19.(8分)解方程：

(1)(x+3)2=25；

(2)x2-4x+l—0.

【解答】解：⑴：(x+3)2=25,

?\x+3=±5,

.*.xi=-8,X2=2；

(2)-4x+l=0,

-4x+1+3=0+3,

(x-2)2=3,

則x-2=J§或尤-2=-a，

解得尤I=F+2,X2=~V3+2.

20.(8分)已知：口ABC。的兩邊A3、的長是關(guān)于尤的方程mx+機(jī)-1=0的兩個實(shí)

數(shù)根.

(1)當(dāng)相為何值時，四邊形ABC。是菱形？求出這時菱形的邊長；

(2)若的長為3,那么。A8CD的周長是多少？

【解答】解：(1)?.FA8CD為菱形，

：.AB=AD,

，關(guān)于x的方程/-mx+m-1=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，

；.△=(-m)2-4X1X-1)=(m-2)2—0,

解得：mi=m2=2,

當(dāng)機(jī)為2時，四邊形ABC。是菱形.

將切=2代入原方程得了-2x+l=0,即(尤-1)2=0,

解得：X1=X2=1,

這時菱形的邊長為1.

(2)將尤=3代入原方程得32-37〃+"Z-1=0,

解得：相=4,

原方程為f-4x+3=0,

又148。的兩邊A3、AD的長是關(guān)于x的方程/-mx+m-1=0的兩個實(shí)數(shù)根，

：.AB+AD^4,

.?.□ABC。的周長是2(AB+AD)=2X4=8.

21.(8分)如圖，在。。中，直徑42與弦CD相交于點(diǎn)P,ZC4B=45°,ZAPD=75

(1)求的大??；

(2)已知圓心。到BD的距離為3,求4。的長.

【解答】解：（1）VZCAB=45°,ZAPD=75°.

：.ZC^ZAPD-ZCAB=30°,

:由圓周角定理得：ZC=ZB,

，/2=30°；

c

3

w

D

(2)過。作于E,

過。，

：.BE=DE,

:圓心。到BO的距離為3,

；.0E=3,

\'AO=BO,DE=BE,

：.AD=2OE=6.

22.(9分)無錫陽山水蜜桃是中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，軟香可口、汁多味甜，有“水做的

骨肉”美譽(yù).某水果批發(fā)商銷售陽山水蜜桃，每箱成本是50元，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單

價是60元時，平均每天的銷量是80箱，當(dāng)銷售單價每提高5元，平均每天就少售出10

箱，但銷售單價不得超過90元.

(1)若銷售單價為65元，求每天的銷售利潤；

(2)要使每天銷售陽山水蜜桃盈利1200元，水蜜桃屬于易壞食品，批發(fā)商想要盡快銷

售水蜜桃，那么每箱水蜜桃的售價應(yīng)為多少元？

【解答】解：(1)(65-50)X(80-10義65-6°)

5

=(65-50)X(80-10x9)

5

=(65-50)X(80-10)

=15X70

=1050(元).

答：每天的銷售利潤為1050元.

(2)設(shè)每箱水蜜桃的售價為y元，則每箱的銷售利潤為(y-50)元，平均每天的銷量

是(80-IOXXZ^L)箱，

5

依題意得：(y-50)(80-10x11辿)=1200,

5

整理得：j2-150y+5600=0,

解得：yi=70,j2=80,

又：要盡快銷售水蜜桃，

...y=70.

答：每箱水蜜桃的售價應(yīng)為70元.

23.（9分）請僅用無刻度的直尺作圖.

（1）如圖1,△ABC是O。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)尸在O。上一點(diǎn)，且前=薜.畫出△ABC

中NBAC的平分線；

（2）如圖2,△ABC是。。的內(nèi)接三角形，。是BC的中點(diǎn).畫出△ABC中/BAC的平

分線；

（3）如圖3,。。為AABC的外接圓，8C是非直徑的弦，。是8c的中點(diǎn)，E是弦AB

上一點(diǎn)，1.DE//AC,請畫出△ABC的內(nèi)心/.

二____A工A

p

圖1圖2圖3

【解答】解：（1）連接AP,

,-,BP=AP.

：.ZBAP^ZCAP,

：.AP是/BAC的角平分線；

3

p

圖1

（2）連接。。并延長與圓交于點(diǎn)￡,連接AE,

:。是8C的中點(diǎn)，

:.BD=CD,

BE=CE，

：.ZBAE=ZCAE,

圖2

（3）連接。。并延長與圓交于點(diǎn)G,連接OE并延長與圓交于點(diǎn)F,連接CF、AG相交

于點(diǎn)J,

?.?。是BC的中點(diǎn)，DE//AC,

是AB的中點(diǎn)，

由（2）可知，C戶是NACB的平分線，AG是/A4c的平分線，

圖3

24.（10分）如果一元二次方程以2+6x+c=0的兩根XI,無2均為正數(shù)，其中X1>X2且滿足1

<X1-X2<2,那么稱這個方程有“友好根”.

（1）方程（X_近）G-=0沒有“友好根”（填：“有”或“沒有”）；

（2）已知關(guān)于x的方程/-（f-1）x+f-2=0有"友好根”，求t的取值范圍.

【解答】解：（1）方程（x-我）（%-73）=0沒有“友好根”，理由如下：

,/（%-/2）（"、&=0,

'.XI—,4^,X2—y[2,

這時％1>0,X2>0,但XLX2V1,

；?滿足％1>X2且不滿足1〈XI-X2<2這個條件，

...方程(X-V2)(x-V3)=o沒有“友好根”;

故答案為：沒有；

(2)x2-G-1)x+t-2=0

由已知△=(/-1)2-4XlX。-2)=(/-3)2>0,

.(t-1)±V(t-3)2

??A------------------------------,

2

；?當(dāng)/>3時，xi=t-2,X2=l,

當(dāng)/V3時，xi=l,x2—t-2,

??,一元二次方程〃/+-+。=0有“友好根”，

1?XI,X2均為正數(shù)，X1>X2且滿足1〈XI-X2V2,

若xi=/-2,X2=l,則1V/-2-1V2,

解得4V/V5；

卜-叱<2,無解

右=1,X2=t~2,貝!<J

0<t-2<l

綜上，r的取值范圍是4<r<5.

25.(3分)已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,以AC為直徑的OO與3C交于點(diǎn)。，DE

VAB,垂足為E,即的延長線與AC的延長線交于點(diǎn)?

(1)試說明：是O。的切線；

(2)若。。的半徑為6,BE=2,求C尸的長.

【解答】(1)證明：如圖，連接。。，AD,

是直徑，

：.AD±BC,

又：在△ABC中，AB^AC,

：.BD=CD,

9：AO=OC,

：.OD//AB,

DELAB,

：.DE±ODf

???。。為。O半徑，

???OE是。。的切線；

(2)解:「。。的半徑為6,AB=AC,

：.AC=AB=6+6=12f

?:BE=2,

：.AE=12-2=10,

過。作0H_L45于H,則四邊形ODEH是矩形,

：.EH=OD=6,OH//EF,

：.AH=AE-OD=10-6=4,

:.AH=1AO,

2

AZAOH=30°,

：.ZF=30°