2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 等差數(shù)列 思維導(dǎo)圖及練習(xí) 含答案

6.2等差數(shù)列

思維導(dǎo)圖

等差數(shù)列的概念

等差數(shù)列的概念^^3概念

等差數(shù)列的通項(xiàng)

通項(xiàng)的性質(zhì)

等差數(shù)列的性質(zhì)

前n項(xiàng)和的性質(zhì)

知識點(diǎn)總結(jié)

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于那么這個數(shù)

定義

列就叫做等差數(shù)列，即即+］一即=d（"CN*,d為常數(shù)）

通項(xiàng)

設(shè)｛斯｝是首項(xiàng)為由，公差為d的等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式斯=

公式

等差由三個數(shù)a,A,8組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時，A

中項(xiàng)叫做。與）的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A=

2.等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

已知條件前〃項(xiàng)和公式

斯,n

ai,d,n

典型例題分析

考向一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算

1.已知等差數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S“且滿足06=17,S5=a2a3,則?2=()

A.28B.30

C.32D.35

pii+5d=17,

解析：選D設(shè)公差為d且d>0,由4/6=17,$5="2的，得｛5ai+10d=(ai+tZ)(ai+2t/),=>

ld>0

"i=2,

故"i2=ai+lld=2+33=35.

d=3,

2.(2022?全國乙卷)記S“為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若2s3=3SZ+6,則公差d=.

解析：因?yàn)?s3=3S2+6,所以2(41+“2+的)=331+。2)+6,化簡得3d=6,得d=2.

答案：2

方法總結(jié)

解答等差數(shù)列運(yùn)算問題的通法

⑴等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)41和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前〃項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程

(組)求解.

⑵等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式，共涉及為，a?,d,n,S“五個量，知其中三個就能求另外兩個，

體現(xiàn)了解方程的思想.

考向二等差數(shù)列的判定或證明

［典例］在數(shù)列｛斯｝中，S“+i=4%+2,ai=l.

⑴設(shè)c,尸器求證數(shù)列｛c“｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

［解］⑴證明:在數(shù)列｛%｝中,VnGN*,S?+i=4a?+2,則當(dāng)"》2時，有&=4曲-1+2,

兩式相減得%+1=4斯-4%-1,而c,產(chǎn)引即即=2"以，則有2"+ic“+i=4X2"c"-4X2"FC"-I,

=-

整理得Cn+l2Cn1,即c〃+i+c〃-1"2c〃,

所以數(shù)列｛C“｝是等差數(shù)列.

(2)由S,+i=4%+2得ai+a2=4ai+2,而內(nèi)=1,則的=5,仃=%=：,C2=,=*

因此，等差數(shù)列｛C"｝的公5差13即｛c“｝是以作1為首3項(xiàng)，?為公差的等差數(shù)列，則c“=；1+3*"—l)

=|?—1,即第J：1,于是得即=(3"-1>2"-2,

所以數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式斯=(3〃-1)?2廠2.

［方法技巧］等差數(shù)列的判定與證明方法

如果一個數(shù)列｛%｝從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常

定義法

數(shù)，那么可以判斷數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列

等差如果一個數(shù)列｛%｝對任意的正整數(shù)n都滿足2%+1=即+斯+2,那么可以

中項(xiàng)法判斷｛斯｝為等差數(shù)列

如果一個數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式滿足斯="+%，〃為常數(shù))的形式，那

通項(xiàng)

么可以提出｛斯｝是首項(xiàng)為p+g,公差為p的等差數(shù)列，適用選擇、填空

公式法

題

2

如果一個數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和公式滿足Sn=An+Bn(A,B為常數(shù))的形

前〃項(xiàng)和

式，那么可以得出數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為A+3,公差為2A的等差數(shù)列，適

公式法

用選擇、填空題

考向三等差數(shù)列的性質(zhì)

角度7等差數(shù)列的性質(zhì)

［例1］⑴已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，若Sn)=10,$20=60,則S40等于()

A.110B.150C.210D.280

(2)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金維，長五尺.斬本一尺，重四斤.斬末一

尺，重二斤.問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細(xì).在粗的一端截

下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤.問依次每一尺各重多少斤？”假定該金杖被截成長度相

等的若干段時，其質(zhì)量從大到小構(gòu)成等差數(shù)列.若將該金杖截成長度相等的20段，則中間兩段的質(zhì)量和

為斤.

(3)已知數(shù)列｛斯｝,｛與｝都是等差數(shù)列，S?,T.分別是它們的前"項(xiàng)和，并且*=翌住，則皆=

-<nJHIO〃7

［解析］(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為Sn,所以S10,S20-S10,S30T20,S40~S30也成等差數(shù)

歹lj,故(S30—S2O)+SIO=2(S2。-Sio),所以530=150.又因?yàn)?820—510)+(840—530)=2(530—320),所以Su)=

280.

(2)設(shè)該若干段的質(zhì)量從大到小構(gòu)成等差數(shù)列｛斯｝,由題意得，每4段為1尺，即m+也+的+。4=4,

,3

。2。+“19+。18+。17=2,兩式相加得4(。1+。20)=6,貝I］〃10+〃11=。1+〃20=5?

13(即+°13)

(3)因?yàn)椋梗?出“｝為等差數(shù)列，所以%差=骷^=帚丁T浮又|=需，

乙口7十。13十。13)1131nJ〃十N

2

所以"=齷=2:13+3=a=

印以岳7133X13+8474

［答案］(DD(2)|(3)2

［方法技巧］

(1)運(yùn)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論可以提升解題效率.

(2)應(yīng)用性質(zhì)解題時，注意性質(zhì)成立的前提條件.

(3)要注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如a?=am+(n-m)d,4=包=，S2?-i=

n-m

〃(“1+即)"(。2+斯-1)5*、至

(2〃l)Gn,?SH22(〃，f/Z￡N).

角度2等差數(shù)列前"項(xiàng)和的最值

［例2］(多選)記等差數(shù)列｛”"｝的前”項(xiàng)和為S,.若“2=10,S5=S2,貝lj()

A.S§=S4B.。6=10

c.s,的最大值為30D.斯的最大值為15

ai+d=10,

［解析1設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則由題可得解得，

5al+10d=2al+d,

“Q5+20-5〃)35〃-5〃2

l)X(-5)=20-5n,S=，二“4=0,S=s,故A正確；a=-10,故B錯

lt22346

誤；當(dāng)"=3或"=4時，S,取得最大值為30,故C正確；由于d<0,.，.即的最大值為ai=15,故D正

確.

［答案］ACD

［方法技巧］

求等差數(shù)列前"項(xiàng)和S,最值的方法

(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式S?=an2+bn(a^0),通過配方或借助圖象求二次函

數(shù)最值的方法求解.

而eo,

（2）鄰項(xiàng)變號法：①若〃i>0,dVO,則滿足的項(xiàng)數(shù)機(jī)使得當(dāng)取得最大值SM；

lAn+lWO

而<0,

②若41V0,d>0,則滿足、八的項(xiàng)數(shù)根使得S〃取得最小值

、而+B0

基礎(chǔ)題型訓(xùn)練

一、單選題

1.觀察下面的數(shù)表：若第“行的各數(shù)之和為231,則〃=（）

12

123

1234

12345

A.15B.18C.20D.21

S”5"十3%

2兩等差數(shù)列2伽｝的前〃項(xiàng)和的比S廠筋+7'則於勺值是

28235348

A.—B.—C.—D.——

17152725

3.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S",若$<0,幾>0,則當(dāng)S“取最小值時，〃的值為（）

A.8B.9C.16D.17

4.在等差數(shù)列｛4｝中，若4+4+%=3,%]+%2+43=12,貝|〃5+〃9=（）

A.15B.10C.5D.1

5.已知｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，且。6+2%+%。=20,則，，7/8的最大值為（）

A.10B.20C.25D.50

6.數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為弘若點(diǎn)（〃，S“）在函數(shù)〃x）=d+2x的圖象上，則出⑼=（）

A.2021B.4041C.4042D.4043

二、多選題

7.若｛〃“｝為等差數(shù)列，的=11，%=5,則下列說法正確的是（）

A.〃〃=15-2〃

B.-20是數(shù)列｛““｝中的項(xiàng)

C.數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減

D.數(shù)列｛%｝前7項(xiàng)和最大

8.已知關(guān)于無的方程優(yōu)-8》+根)(尤2-8*+。=0的四個根是公差為2的等差數(shù)列｛%｝的前四項(xiàng)，5“為數(shù)

列｛%｝的前w項(xiàng)和，則()

A.。1=2B.rn-\-t=22

C.S5=afD.S10=100

9.《九章算術(shù)》〃竹九節(jié)〃問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的

容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第4節(jié)的容積為升.

10.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“有最小值，且-1＜包＜0,則使得S“＞0成立的〃的最小值是

。12

11.已知公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若卬-%+%=0,貝1.

6

12.已知數(shù)列｛4｝中，?i=-60,an+l=an+3,則同+同+同++|%)|=.

四、解答題

13.已知等差數(shù)列｛4｝中，%=1,%=-3,求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式

,、1CL

14.已知數(shù)列｛q｝滿足4=§，。用=高1.

⑴求證數(shù)列是等差數(shù)列；

(2)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑶試判斷，歷是否為數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，并說明理由.

15.在等差數(shù)列｛4｝中，%=8,%=-4.

(1)求知的通項(xiàng)公式；

(2)求(=14I+I。2I++1%I的表達(dá)式.

16.已知在公比為2的等比數(shù)列｛%｝中，4,生，%-4成等差數(shù)歹!J.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

5log,+1,”為奇數(shù)，

(2)設(shè)〃=；求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和邑

(4)2,〃為偶數(shù),

提升題型訓(xùn)練

一、單選題

1.在等差數(shù)列｛〃〃｝中，若q=1,。2+。4=1。，貝U〃20=()

A.38B.39C.40D.41

2.已知直線y=25—3x,點(diǎn)(小初)在該直線上，則〃3+〃5=()

A.24B.25C.26D.27

3.北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石,圍繞天心石的是扇環(huán)形的石板，從內(nèi)

到外各圈的石板數(shù)組成等差數(shù)列｛4｝,它的前〃項(xiàng)和為S“，且生=18,%+%=1。8,則邑1=()

A.2079B.2059C.2022D.1890

4.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若(々—IP+2010&-1)=1,（“2009-1）3+2。1。（。2009-1）=-1’下列為真

命題的序號為（）

①邑009；（）；（）^oo9<ai?22?

=2009252010=201032009Vs

A.①②B.②③C.②④D.③④

5.孫子定理是中國古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中一個重要定理，最早可見于中國南北朝時期

的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將其問題的解法傳至歐洲，1874年英國數(shù)學(xué)家

馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為"中國剩余定

理”.這個定理講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將2至2021這2020個整數(shù)中能被3

除余2且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列構(gòu)成一數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是()

A.132B.133C.134D.135

6.在a,b中插入〃個數(shù)，使它們和a,b組成等差數(shù)列d%,為，an,b,則q+g++an=()

A.〃(a+份B,正幺

2

C(〃+l)(a+6)D("+2)(。+6)

'2'2

二、多選題

7.關(guān)于等差數(shù)列，有下列四個命題，正