數(shù)學(xué)-2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬（新高考Ⅱ卷1全解全析）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試

高三數(shù)學(xué)（新高考II卷）?全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓

名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無(wú)效.

3.回答第H卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

4.測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合要求的。

1.若復(fù)數(shù)二滿足？(l+i)=2i,則|z|=()

A.V2B.2C.V3D.3

【答案】A

2,2

【解析】合2i(l)2i-2i

=l+i,

(l+i)(>i)

目=也.故選：A.

2.設(shè)集合N={x[(x+l)(x-4)<0},8={x|2x+a<0},且/c8={x|-l<x<3},貝!|。=()

A.6B.4C.-4D.-6

【答案】D

【解析】5=jx|x<-|p={x|-l<x<4},

VAr\B=[x\-X<x<3\,：.—|=3>**?a=-6,故選D.

3.已知等差數(shù)列｛%｝的前5項(xiàng)和品=35,且滿足生=13%,則等差數(shù)列｛0“｝的公差為（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】D

【解析】1=5%+10d=35；%=q+4d=13%,解得〃=3,%=1.故選:D

4.從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為（）

3139

A.—B.-C.—D.—

102510

【答案】C

【解析】以點(diǎn)A為例，以點(diǎn)A為其中一個(gè)頂點(diǎn)的三角形有

△ABCQABDQABEQABFQACD/ACEQACFQADEQADFQAEF,共10個(gè)，

其中直角三角形為"BDQABEQACDQACFQADEQADF，共6個(gè)，

故所得三角形是直角三角形的概率為［=I.

5.龍洗，是我國(guó)著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近

似看作一個(gè)圓臺(tái).現(xiàn)有一龍洗盆高15cm,盆口直徑40cm,盆底直徑20cm.現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)

水深6cm時(shí)，盆內(nèi)水的體積近似為（）

A.1824cm3B.2739cm3C.3618cm3D.4512cm3

【答案】B

【解析】如圖所示，畫出圓臺(tái)的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長(zhǎng)EC與ED于點(diǎn)G.

根據(jù)題意，AB=20cm,CD=10cm,AC=15cm,EC=6cm,

設(shè)CG=xcm,EF=ycm

1°%歹x+6”

所以一=-----，—=----解得％=15,歹=14,

20x+1510x

所以jg(?！?2+兀.1()2+兀.14J0>6=872兀.2739(加3),故選：B.

sin2a

6.已知tan(a+￡),tan(a-￡)是方程/+4r3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則一返)

cos2。

A.-2B.-1C.—D.2

3

【答案】D

【解析】因?yàn)閠an(e+0,tan(a-0是方程》2+4-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

所以tan(a+/7)+tan(a-b)=-4,tan(a+/?)xtan(a-b)=-3,

sin2a_sin(a+/)+(&-6)sin(a+/)cos(a_/?)+cos(a+/7)sin(a_/7)

因?yàn)?/p>

cos2y0coscos(a+/)cos(a_/?)+sin(a+/7)sin(a一4)

tan(a+/?)+tan(a—尸)-4?

1+tan(cif+y0)-tan(6Z-y0)1+(-3)*

故選：D

7.已知直線/與圓12+/=8相切，與拋物線了2=以相交于48兩點(diǎn)，以48為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)

原點(diǎn)，則直線/的方程為()

A.x+y-4=0或歹+4=0B.x-y-4=0或x+y-4=0

C.x+2y+4=0^x-2y-4=0D.x—2y+4=0或x+2y+4=0

【答案】B

【解析】若直線/的斜率不存在，又直線/與圓=8相切，則直線/的方程為x=2收或

x=—2-\/2，

又直線與拋物線/=4x相交于48兩點(diǎn)，貝！I直線/的方程為x=2收，此時(shí)可設(shè)/（2虛,為卜

8（2亞,-%）,且=4X2A/^=8&,

所以厲.礪=（20,為卜（2后,-%）=87；=8-8行*0,不符合題題意；

若直線/的斜率存在，設(shè)直線/得方程為y=h+，"，由直線/與圓/+/=8相切，

則圓心（0,0）到直線的距離為坐［=20，所以療=8+8左2①，

設(shè)人/士,%、）,8（/%,%、）,則聯(lián)立拋物線與直線方程I匕V=kx“+m得上2/+（2?-4、）x+/o=0,

\y=4x

A二(2左加一4『-4k2m2二-16ATW+16>0得km<1,

2km-4

所以玉+%=---p一，再/=

2

貝河.礪=x1x2+必必=x1x2+(AXj+m)(Ax2+機(jī))=(1+左Xlx2+km(再+x2)+m

整理得：/+4g=0②，聯(lián)立①②解得左=1,加=-4或左=-1,心=4,

所以直線/的方程為x-y-4=0或x+y-4=0.故選：B.

15--3-4

8.設(shè)〃=e4——，b=e4——，c=e3——，貝(I()

443

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】B

151i_1］1i

［解析］tz=e4——=e4----1,b=e4-(——)-1,c=e3----1

4443

令/(x)=e'—x—l,所以"x)=e'—l,

令/(x)=e'_l=0得x=0,

x<0時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

x>o時(shí),r(x)>o,/(X)單調(diào)遞增，

所以/(}>/(：)，所以c>。，

令gOO=e-x)~(e-x+x)=ex-e-x-2x,

所以g\x)=e+ex-1>2丘?尸-2=0,

所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,

g(J>g(O)=lT-0=0，

11-11

所以e'；〉(e4+?,

1i_1i

所以e4——l>e4+——1,

44

所以a>6,所以6<a<c,故選：B.

二'多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.為了解學(xué)生的身體狀況，某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測(cè)量體重，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這些學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)

(單位：千克)全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則()

A.頻率分布直方圖中〃的值為0.04

B.這100名學(xué)生中體重不低于60千克的人數(shù)為20

C.這100名學(xué)生體重的眾數(shù)約為52.5

D.據(jù)此可以估計(jì)該校學(xué)生體重的75%分位數(shù)約為61.25

【答案】ACD

【解析】由(0.01+0.07+0.06+4+0.02)x5=1,解得a=0.04,故選項(xiàng)A正確；

體重不低于60千克的頻率為(0.04+0.02)x5=03,

所以這100名學(xué)生中體重不低于60千克的人數(shù)為0.3x100=30人，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

100名學(xué)生體重的眾數(shù)約為*巨=52.5,故選項(xiàng)C正確；

因?yàn)轶w重不低于60千克的頻率為0.3,而體重在［60,65)的頻率為0.04x5=0.2,

所以計(jì)該校學(xué)生體重的75%分位數(shù)約為60+5x；=61.25,故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

10.已知拋物線C：V=2px的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸(9,6)在c上，直線母"交C于另一點(diǎn)。，則

()

3

A.C的準(zhǔn)線方程為x=lB.直線尸。的斜率為一

4

C..|Fg|.=2D.線段尸。的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為號(hào)41

【答案】BD

【解析】對(duì)A：?.?點(diǎn)尸（9,6）在拋物線C上，貝1118P=36,解得p=2,

故拋物線C的方程為/=4x,焦點(diǎn)廠（1,0）,準(zhǔn)線x=-l,A錯(cuò)誤；

對(duì)B：直線P2的斜率左=答=。，B正確；

9-14

對(duì)C直線P。的方程y=

r3L=1

聯(lián)立方程y=W（xT）,解得［二二或9

即叫故同仁"+勺"+i=Mc錯(cuò)誤；

1

對(duì)D：線段P。的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為9二+2=史，D正確；

2-9

故選：BD.

11.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD-44GA中，點(diǎn)E,F,G分別是棱40,CD的中點(diǎn)，則

()

A,直線4G,GE為異面直線

]_

B?VD「BEF

3

C-直線4G與平面所成角的正切值為:

D.過(guò)點(diǎn)比E,戶的平面截正方體的截面面積為9

【答案】BC

【解析】對(duì)于A,連接EG,NC,4G，

由題意可知EG///C,因?yàn)閆C〃4G，所以EG〃4G，所以4G,C￡共面,

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,連接］E,FB,EB,EF,D\B,

由題意可知。尸=1，ED=\,

所以七一弼=%人*F=；S,*/8=；xgxlxlx2=；,故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于C,連接4。，

由正方體的性質(zhì)可知。G,平面所以NG/Q即為直線4G與平面所成的角，則

DG1V2

tanZGA^D故選項(xiàng)C正確;

AtD_25/24

對(duì)于D,連接EF,FC“EB,BG，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可得即//3。，且跖=；5G，

所以平面EFG3即為過(guò)點(diǎn)比E,F的平面截正方體的截面，該四邊形為梯形，其上底也，下底

為2行，高為強(qiáng)，所以截面面積為$=!＞＜（也+2后卜逑=2,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

221＞22

故選：BC

12.已知函數(shù)〃x）=2sin1龍+3（彳＞0,0＜。＜無(wú)）的部分圖象如圖1所示，M3分別為圖象的最

高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過(guò)A作x軸的垂線，交x軸于H,點(diǎn)C為該部分圖象與x軸的交點(diǎn).將繪有該圖象

的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時(shí)|/同=屈，則下列四個(gè)結(jié)論正確的有（）

A./I=也

71

B.（p=一

3

C.圖2中，ABAC=5

D.圖2中，S是A42C及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合7={?！曦?0歸2},則T表示的區(qū)域的

面積大于:

4

【答案】AC

T-^-4

【解析】函數(shù)/（X）的最小正周期為‘一萬(wàn)一4,

在圖2中，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC.方的方向分別為V、Z，軸的正方向建立如下圖所示的空間

直角坐標(biāo)系。-xTz，，

設(shè)點(diǎn)4（0/0）,則點(diǎn)［（0J"）、5（2,Z+2,0）,

|^5|=^(O-2)2+(Z+2-?)2+(2-O)2=VZF+4=710,因?yàn)?>0,解得力=百，故A正確;

所以，/(x)=V3sin^—+^j,貝！|/(O)=6sin0=V可得sin0=；

5兀

又因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在x=0附近單調(diào)遞減，且0＜。＜兀，所以,故B錯(cuò)誤;

(P=~6~

nt5兀nt5兀

因?yàn)?（。=esin一十一=6,可得sin一十一=1,

2626

又因?yàn)辄c(diǎn)A是函數(shù)〃x）的圖象在了軸左側(cè)距離了軸最近的最高點(diǎn)，則［+￥=］,可得:一,

2623

所以，/（x）=V3sin^y+y^|,

因?yàn)辄c(diǎn)C是函數(shù)“X）在了軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心，所以，牛+當(dāng)=兀，可得%=:，

263

翻折后，則有/（。,-|,百］、46,，。）q。。。］、

所以，益=（e,2,-網(wǎng)，^C=（0,l,-V3）,

所以，在圖2中，ZB-^C=0+2xl+(-V3)2=5,故C正確;

在圖2中，設(shè)點(diǎn)0（x,%O）,\AQ\=<2,

可得/+卜+胃＜1,

一/、〒/廠\/口“，「TC-A^B2277V2

HC=（?！?。），陞=（82。），cos^C=p^p［=^-＞T*

IT

易知/A4'C為銳角，貝!JO＜/84C＜：,

4

所以，區(qū)域7是坐標(biāo)平面x'Oy'內(nèi)以點(diǎn)?為圓心，半徑為|/'C|=1,且圓心角為484。的扇形及其

內(nèi)部,

故區(qū)域T的面積Sr<：x?xl2=9,故D錯(cuò)誤.

24o

故選：AC

第II卷(非選擇題)

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知平面向量〃=(T,2),b=(m,-3),若￡+25與Z共線，則加=.

【答案】j3

【解析】a=(-1,2),S=(OT,-3),貝!)2+2否=(-1+2%-4),

R+2B)〃Z,故4=2(-1+2加)，解得機(jī)=g

14.已知函數(shù)"x)=log4(4，+l)+日/eR)是偶函數(shù)，則心.

【答案】

I

【解析】由已知，/(-x)=log4(4-+l)-Ax,因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，所以

/(-x)=/(x),即皿4(4-、+1)-皿4(4'+1)=2丘，對(duì)VxeR恒成立，

即log44-*=2丘，對(duì)WxeR恒成立，解得左=-；.

15.(x+J+lj(l-x)6的展開式中個(gè)的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】10

【解析】|x+}+l}l-X)6=耳1-4+?1一X1+(l-X)6,

6r

(1-x)展開式的通項(xiàng)為Tr+l=q(-x)=COZ,

取r=2得到4=廢(-1)2,2=15/；

取r=3得到n=仁(-1)3-x3=-20x3；

取r=4得到7；=C：(-1)，X4=15X4；

故d的系數(shù)為15-20+15=10.

16.若存在a>0,使得函數(shù)〃x)=3a21nx與g(x)=；x2+2ax-6的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處

的切線也相同，貝!16的最大值為.

3-

【答案】-e3

2

【解析】/（X）=3/頤的定義域?yàn)椋?,+8）,8（耳=；/+2G-6的定義域?yàn)閰^(qū),

設(shè)兩函數(shù)圖象的公共點(diǎn)橫坐標(biāo)為%,則%>0,

,(無(wú))=^L,g'(x)=x+2a,貝!]^-=毛+2°,即x：+2辦()-3/=0,

X、0

解得/=?；?3。,

因?yàn)椤ā?,所以/=_3。<0（舍去），％0=Q>0滿足要求,

且/(〃)=g(。)，即3/In。=；/-2/+6,

b=2"-3/InQ,Q>0,

令〃(a)=:/一3a2in。,a〉0,貝1!"(〃)=5〃-6aIna—3〃=2a(1—3Ina),

當(dāng)0<a<￡時(shí)，磯G>。，M。）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，"伍）<。，人⑷單調(diào)遞減,

故〃（。）在心）處取得極大值，也是最大值，

<1^1223-32

53333

故力(a)1Mx=/zleJ=-e-3eIne--e,所以b的最大值為

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

17.（本小題滿分10分）在①cos/=Z^，②6cosc=（2"c）cos8中任選一個(gè)作為已知條件,

2b

補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并作答.

問(wèn)題：在“3。中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知

⑴求5；

⑵若“8C的外接圓半徑為2,且cosNcosC='，求ac.

8

注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解析】（1）選擇條件①：

因?yàn)閏os/=MU，在。BC中，由余弦定理可得=&*,

2b2bc2b

因?yàn)?e(0,%所以B=g.

選擇條件②：

因?yàn)閎cosC=（2。一c）cos5,在"BC中，由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sin4cos5,

即sin（5+C=2sinZcos3,貝!|sinZ=2sin4cos3,

因?yàn)榱Α?0,兀)，所以sin/wO,貝！jcosB='，

2

因?yàn)槲?。?，所以8

(2)因?yàn)?=4,所以4+C=—貝(1cos(/+C)=-孑，

BPcosAcosC-sin^4sinC=-g,又cos4cosC=--,

113

所以sinNsinC=7-g==.因?yàn)椤?C的外接圓半徑R=2,

2oo

所以由正弦定理_可_得sinNsinC==aoc=g3,所以ac=6.

448

18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S”為｛為｝的前〃項(xiàng)和，且

2S”=+an.

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

⑵記q=(-1)"anan+i,求數(shù)列｛c0｝的前〃項(xiàng)和7；.

【解析】(1)由2S“=端+?！钡脮r(shí)，2sl=端一+%7

兩式相減得2ali=aj-a"+an-%，整理得an+an_x=(a,+0-%)

因?yàn)?。?,所以%-限=1(〃22),所以數(shù)列｛a“｝是以1為公差的等差數(shù)列

在2S”中令〃=1解得％=1

所以2=1+("T)=〃.

(2)當(dāng)〃=2人時(shí)

Tn=-axa2+a2a3一+%%一。5a6-1—

+a2k-3a2k-\~a2k-\a2k+a2ka2k+\=2（%+。4。2左），

又。2，%，???，。2左是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,

匚匚1、1左（2+2左）J2

以〃2+。4---a2卜~-----....=k+左7，

故7^=2F+2M所以北=^^

當(dāng)〃=2左+1時(shí)

Tn=-axa2+a2a3一43%+。4a5-a5a6-1—

+。2"3。2左-1—a2k-\a2k+°2〃2左+11°2左+1°2氏+2=2(%+“4°2左)一°2左+1〃2左+2，

又的,。4，…，。2k是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列，-g發(fā)+1。2斤+2=-（2左+1乂2左+2）

所以2(〃2+〃4T----^a2k)~a2k+ia2k+2='(2+21)一(21+1)(21+2),

故q+1=-2伍+1）L所以北=二

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，北=￡1^；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，7；=一（"；）".

19.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中/DE-BCF,平面平面N8五E,四邊形

/2CD是矩形，四邊形48斤￡是平行四邊形，且48=4,BF=2,8c=26，以為直徑的圓

經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸.

⑴求證：平面/O尸；

⑵求平面DEF與平面ABCD的夾角的余弦值.

【解析】（1）以N8為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，尸，叱，

???四邊形/BCD為矩形，所以1/8,

???平面/8CD1平面/B/茁，平面平面/8萬(wàn)￡=/8,/Du平面/3CD,

.■.AD^^ABFE,

■：BFu平面ABFE,ADLBF,

又?.?4Fu平面40尸，4Du平面40尸，AF[}AD=A,AF,40u平面4DP,

,_L平面40尸；

(2)AD_L平面A8尸E,又?.?/尸u平面A8FE,AEABFE,

AD±AE,AD1AF,

XvAEUBF,AF±AE,則40、AE、4F兩兩互相垂直,

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，/￡為x軸，4尸為了軸，4D為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

?，-AB=4,BF=2,BC=2拒,，AD=26,

在Rt^AFB中，由勾股定理得AF=^AB--BF2=A/42-22=273，

則點(diǎn)4（0,0,0）,D（0,0,2A/3）,F（0,273,0）,5（-2,273,0）,<7卜2,26,2班）,

貝！］皮=（一2,26,0）,CF=（2,0,-2V3）,AD=（0,0,273）,方=卜2,2百,0）.

設(shè)平面48CD的法向量為4=（再,必/1）,平面?！晔姆ㄏ?yàn)镴=（%,%/2）,

2后=0-2%2+=0

則得

-2X]+2y=02X2-2#>Z[=0

取』=(百,1,0),M=(V3,1,1),

設(shè)平面DEF與平面ABCD的夾角為。,

4275

貝1|cos。=

2x75-5

所以平面DEF與平面ABCD夾角的余弦值為手.

20.（本小題滿分12分）市教育局計(jì)劃舉辦某知識(shí)競(jìng)賽，先在A,B,C,。四個(gè)賽區(qū)舉辦預(yù)

賽，每位參賽選手先參加“賽區(qū)預(yù)賽”，預(yù)賽得分不低于100分就可以成功晉級(jí)決賽.賽區(qū)預(yù)賽的

具體規(guī)則如下：每位選手可以在以下兩種答題方式中任意選擇一種答題.方式一：每輪必答2個(gè)

問(wèn)題，共回答6輪，每輪答題只要不是2題都錯(cuò)，則該輪次中參賽選手得20分，否則得0分，各

輪答題的得分之和即為預(yù)賽得分；方式二：每輪必答3個(gè)問(wèn)題，共回答4輪，在每一輪答題中，

若答對(duì)不少于2題，則該輪次中參賽選手得30分，如果僅答對(duì)1題，則得20分，否則得0

分.各輪答題的得分之和即為預(yù)賽得分.記某選手每個(gè)問(wèn)題答對(duì)的概率均為。

(1)若p=g,求該選手選擇方式二答題晉級(jí)的概率；

(2)證明：該選手選擇兩種方式答題的得分期望相等.

【解析】(1)該選手選擇方式二答題，記每輪得分為X,

則X可取值為0,20,30,

131

且尸（X=0）=/P（X=20）=w，P（X=30）=-

記預(yù)賽得分為y,

P（Y>100）=P（Y=120）+F（r=1,10）+P（r=100）

...該選手所以選擇方式二答題晉級(jí)的概率為言.

12o

(2)該選手選擇方式一答題：

設(shè)每輪得分為則占可取值為0,20,

且尸(J=0)=(l_p)2,尸(J=20)=l_pq=0)=20_p2

.?.￡?=20°（2-0,

設(shè)預(yù)賽得分為乂，則4=6。，

E(Z)=E(60)=6E⑷=120p(2-p).

該選手選擇方式二答題：

設(shè)每輪得分為7,則，可取值為0,20,30,且

尸(？=0))=(l-p)3,

尸《=20)=3p(lM

P(7=3O)=3p2(i_0+/,

.,.￡(<)=60/?(1-^)2+30[3/?2(1-^)+^3]=30/7(2-/?).

設(shè)預(yù)賽得分為不，則天=47

￡化)=磯47)=4￡(7)=120川2-0,

因?yàn)镋(、)=E化)，所以該選手選擇兩種方式答題的得分期望相等.

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=(x-l)ln(x-2)-a(x-3),fleR.

⑴若。=1,討論〃x)的單調(diào)性；

(2)若當(dāng)x＞3時(shí)，/(力＞0恒成立，求。的取值范圍.

【解析】(1)的定義域?yàn)?2,+動(dòng)，當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=(x-l)ln(x-2)-x+3,

y—I1

f(x)=In(x-2)H------1=ln(x-2)+

x—2x—2

^g(x)=ln(x-2)+—!—，則g'(x)=W1x-3

x—Z(7)2

令g'(x)=O,解得x=3,

當(dāng)xe(2,3)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(3,+oo),g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以，g(x)min=g(3)=l>0,則g(x)=/'(x)>0對(duì)任意的x>2恒成立,

所以，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+s),無(wú)遞減區(qū)間.

(2)解：當(dāng)x＞3時(shí)，/(力＞0恒成立等價(jià)于ln(x-2)-小心＞0在(3,+⑹上恒成立,

X—1

設(shè)=In(x-2^-a^X＞3),

12ax?-2(a+l)x+4a+l

則力'(%)=

x—2x-1)-(x-2)(x-l)2

設(shè)0(x)=—2(Q+1)X+2Q+1(X>3),

則。(x)圖象為開口向上，對(duì)稱軸為X=a+1的拋物線的一部分，

當(dāng)a(2時(shí)，a+1＜3,夕(x)在(3,+co)單調(diào)遞增，且°(3)=4—2a20,

所以，^(x)＞0,即〃'(x)N0,則函數(shù)力⑴在(3,+8)上單調(diào)遞增,

又因?yàn)椤?3)=0,所以為吊＞0在(3,+8)恒成立,滿足題意；

當(dāng)。＞2時(shí)，a+1＞3,。(3)=4-2。＜0,

所以方程。(x)=0有兩相異實(shí)根，設(shè)為X1、*2，且再＜々，則不＜3＜七,

當(dāng)