2024年深圳市中考數(shù)學模擬題匯編：銳角三角函數(shù)（附答案解析）

2024年深圳市中考數(shù)學模擬題匯編：銳角三角函數(shù)

一.選擇題（共10小題）

1.2cos45°的值等于（）

B.C.1D.2

2.在中，ZC=90°,sinA=則taru4=（）

5443

A.-B.-C.~D.-

34

3.閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關系的數(shù)學定理，運用它

可以解決?類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題.余弦定理是這

樣描述的：在△45C中，N4、/B、NC所對的邊分別為〃、b、c,則三角形中任意一

邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.用

公式可描述為：a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC.現(xiàn)已知

在△45C中，AB=2,BC=4,ZA=60°,則4c的長為（）

A.2V3B.V13+1C.V13-1D.3V2

4.如圖，在中，"=90。，sinA=^fAB=10,則的面積為（）

A.24B.30C.40D.48

5.在RtZUCB中，ZC=90°,48=8,sin4=則BC的長為（）

A.6B.7.5C.8D.12.5

6.如圖，在中，ZC=90°,45=13,BC=T2,下列三角函數(shù)正確的是（）

B

A.sinB=B.cosA=C.tanB=yyD.cosB=-p-

7.如圖為東西流向且河岸平行的一段河道，點/,8分別為兩岸上一點，且點8在點4正

第1頁（共23頁）

北方向，由點/向正東方向走。米到達點C,此時測得點2在點C的北偏西55°方向上,

則河寬AB的長為（）

北

十東

河岸—B

河岸AC

a,a,a,

A.atan55°米B.―二米C?嬴不米D.——米

cos55°tan550

8.如圖，沿N2方向架橋AD,以橋兩端2、。出發(fā)，修公路和DC,測得N48C=150°,

5C=1800m,Z5C￡>=105°,則公路DC的長為（）

A.900mB.900V2mC.900V3mD.1800m

9.如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,AC=2,BC=1,則JsinB的值為（）

10.如圖，已知△/BC的三個頂點均在正方形格點上，則下列結(jié)論錯誤的為（）

A.cosC=-g-B.tanB.tanC=l

第2頁（共23頁）

1

C.sin5=sinCD.tanB=

二.填空題（共5小題）

11.攔水壩的橫斷面如圖所示，迎水坡43的坡比是1：V3,壩高3c=8加，則坡面A3的

長度是」

12.如圖，在Rtz\48C中，ZACB=90°，AC=12,BC=5,CO_L43于點D,那么sin/

BCD的值是.

13.我國是最早了解勾股定理的國家之一，東漢末年數(shù)學家劉徽在為《九章算術(shù)》作注中依

據(jù)割補術(shù)而創(chuàng)造了勾股定理的無字證明“青朱出入圖”，移動幾個圖形就直觀地證明了勾

股定理.如圖，若CB=9,CG=12,貝i]tan/FE7=

H

14.如圖，在5X4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,△/BC的頂點都在這些

小正方形的頂點上，貝Usin//8C的值為

第3頁（共23頁）

A

15.某水庫堤壩的橫斷面如圖所示，迎水坡的坡度是1：V3,堤壩高2。=50%，則48

三.解答題（共5小題）

16.計算：2cos30°-tan60°+sin45°cos45°.

17.如圖，已知?△NiBCi,ZC=40°，ZSi=55°，AC=6,BC=1,AiCi=8,

4

18.已知：如圖，在△NBC中，AB=AC=15,tanA^

求：（1）S“BC；

（2）N3的余弦值.

19.如圖，燈塔/周圍12海里內(nèi)有暗礁.一漁船由東向西航行至2處，測得燈塔/在北偏

西58°方向上，繼續(xù)航行8海里后到達。處，測得燈塔/在西北方向上.如果漁船不改

第4頁（共23頁）

變航線繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險？（參考數(shù)據(jù)：sin32°^0.530,cos32°仁0.848,

tan32°—0.625,sin58°^0.848,cos58°—0.530,tan58°—1.6)

北

20.黨的十八大以來，復興號實現(xiàn)對31個省區(qū)市全覆蓋按照有關規(guī)定：距離鐵軌道200米

以內(nèi)的區(qū)域噪音影響超過標準，不宜臨路新建學校、醫(yī)院、敬老院和集中住宅區(qū)等噪聲

敏感建筑物.請閱讀以下材料，完成問題：

材料1：在Rt448C中30°的所對的直角邊等于斜邊的一半.

材料2：如圖2是一個小區(qū)平面示意圖，矩形跖為一新建小區(qū)，直線為高鐵軌道,

C、。是直線上的兩點，點。、/、B在一直線上，且ZM_LC4,ZACD=30Q.

小王看中了①號樓/單元的一套住宅，與售樓人員的對話如圖：

（1）小王心中一算，發(fā)現(xiàn)售樓人員的話不可信，請你用所學的數(shù)學知識說明理由；

（2）若一列長度為228米的高鐵以252千米/小時的速度通過時，則A單元用戶受到影

響時間有多長？（溫馨提示：V2?1.4,V3?1.7,V37?6.1）

第5頁（共23頁）

2024年深圳市中考數(shù)學模擬題匯編：銳角三角函數(shù)

參考答案與試題解析

.選擇題（共10小題）

1.2cos45°的值等于（

A.V2B.V3

【考點】特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】實數(shù)；數(shù)感.

【答案】A

【分析】把cos45。=孝代入原式，即可計算.

【解答】解：2cos45°=2義孝=&.

故選：A.

【點評】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，關鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值.

【考點】同角三角函數(shù)的關系.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】D

【分析】先利用平方公式求出cos/的值，然后利用tatb4=^求解.

【解答】解：???NC=90°,sin2X+cos2^=l；

故選：D.

22

【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關系：平方關系：（sin^+cos^=l）;正余弦與正切

之間的關系（積的關系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即12逾=瑞

或sinu4=taiL4?cosN.

3.閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關系的數(shù)學定理，運用它

第6頁（共23頁）

可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題.余弦定理是這

樣描述的：在△/3C中，//、NB、/C所對的邊分別為a、b、c,則三角形中任意一

邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.用

公式可描述為：a2—b2+c2-2bccosA；Z>2=a2+c2-2accosB；c2—a2+b2-labcosC.現(xiàn)已知

在△48C中，48=2,3c=4,//=60°,則NC的長為（）

A.2V3B.V13+1C.V13-1D.3V2

【考點】解直角三角形.

【專題】新定義；解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)4B=c=2,BC—a—4,ZA—60°,c^^^+c2-2bccosA,可以計算出NC

的長.

【解答】解：；4B=c=2,BC=a=4,ZA—60°,c^—lr+c1-2bccosA,

：.42=b2+22-2/>X2cos60°,

-1

即16=廬+4-2Z>X2x-j,

解得6i=l+Vl^,Z>2=1-V13（不合題意，舍去），

'.AC—b=\+V13,

故選：B.

【點評】本題考查解直角三角形、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，利用新定義解

答.

4.如圖，在RtZ\48C中，"=90。，si九4=1，48=10,則△48C的面積為（）

【考點】解直角三角形；三角形的面積.

【專題】解直角三角形及其應用；幾何直觀；運算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可以計算出3c的長，再根據(jù)勾股定理可以得到/C的長，然

后即可計算出△/BC的面積.

第7頁（共23頁）

2

【解答】解：Vzc=90%sinA=|,AB=10,

3

：.BC=AB^inA=lOx|=6,

.\AC=7AB2—BC2=V102—62=8,

ACBC8X6

KABC的面積為：一--=—^―=24,

故選：/.

【點評】本題考查解直角三角形、三角形的面積，解答本題的關鍵是明確題意，計算出

ZC和BC的長.

5.在RtZX/CB中，ZC=90°,48=8,sinJ=1,則8c的長為（）

A.6B.7.5C.8D.12.5

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦值的定義解決此題.

【解答】解：如圖.

：.BC^6.

故選：A.

【點評】本題主要考查正弦值的定義，熟練掌握正弦值的定義是解決本題的關鍵.

6.如圖，在中，ZC=90°,/5=13,BC=\2,下列三角函數(shù)正確的是（）

第8頁（共23頁）

12

A.sinB=B.cosA=C.tan5=行D.cosB=—

【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力；模型思想.

【答案】c

【分析】根據(jù)勾股定理求出NC,再根據(jù)銳角三角函數(shù)得出答案.

【解答】解：在RtZk/BC中，NC=90°,/B=13,BC=12,由勾股定理得,

AC=7AB2-BC2=V132-122=5,

所以sin8=親=/，AC__5_AC__^_BC_12

cos/=AB=13'tan8=品=討cos5=XB=13'

故選：C.

【點評】本題考查勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是正

確解答的前提.

7.如圖為東西流向且河岸平行的一段河道，點/,8分別為兩岸上一點，且點8在點4正

北方向，由點/向正東方向走。米到達點C,此時測得點2在點C的北偏西550方向上,

則河寬的長為（）

北

河岸B十

a,aa

A.〃tan550米B.—二一米,tan35°D.tan550'

cos55°

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】D

第9頁（共23頁）

【分析】連接/瓦2C,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接48,BC,

由題意得，/B4C=90°,NABC=55°,NC=°米，

AC

tanZABC=tan55°=近,

.AC_a

??A。―tan55°~tan55°f

故選：D.

北

十東

河岸A

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解

題的關鍵.

8.如圖，沿N2方向架橋AD,以橋兩端2、。出發(fā)，修公路和DC,測得N48C=150°,

BC=lSQOm,ZBCD=105°,則公路DC的長為（）

A.900mB.900V2mC.900yf3mD.1SQOm

【考點】解直角三角形的應用.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出NC2E,的度數(shù)，進而求出NOCE的度數(shù),

在直角三角形中，由特殊銳角三角函數(shù)以及直角三角形的邊角關系可得答案.

【解答】解：如圖，過點C作CELAD,垂足為E,

VZABC=150°,

：.ZCBE=1SO0-150°=30°,/BCE=150°-90°=60°,

又：/BCD=105

第10頁（共23頁）

AZDCE=105°-60°=45°，

在△△BCE中，ZC5￡=30°，BC=1S00m,

：.CE=^BC=9QQ(m),

在Rt/XCDE中，ZDCE=45°,

：.CD=V2CE=90042(m),

【點評】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提.

9.如圖，在R1A48C中，ZC=90°,/C=2,BC=l,則sing的值為（）

【考點】銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】C

【分析】直接利用勾股定理求出的長，再利用銳角三角函數(shù)關系得出答案.

【解答】解：?.?在RtZ\N8C中，ZC=90°,AC=2BC,

.?.設8C=1,則/C=2,故/2=逐，

m，,.AC2V5

則smo5=禰=可-

故選：C.

【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關系，正確掌握邊角之間的關系是解題關鍵.

10.如圖，已知△/BC的三個頂點均在正方形格點上，則下列結(jié)論錯誤的為（）

第11頁（共23頁）

A

A.cosC=唱B.tan8,tanC=1

1

C.sin2?=sinCD.tanB-

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應用；幾何直觀；運算能力.

【答案】C

【分析】先設小正方形的邊長為1,利用勾股定理分別求出AC=^2,AB=2<2,BC=V10,

進而可得△NBC為直角三角形，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義分別求出cosC,tanS,tanC,

sin5,sinC,進而可對題目中的四個選項進行判斷，從而可得出答案.

【解答】解：設小正方形的邊長為1,

由勾股定理得：AC=Vl2+I2=V2,AB=V22+22=2V2,BC=Vl2+32=V10,

■：AC2=2,AB2=8,SC2=10,

:.AC2+AB2^BC2,

...△A8C為直角三角形，即N/=90°,

故選項/正確；

...0ACV21,「482V2.

?ta達=市=運=2,tanC=m=正=2,

,

.,.tanJ8tanC=$x2=1,

故選項B正確；

?AC42V5.AB2以2V5

?SI?品=而=虧，sm0F=*=丁

sin5WsinC,

故選項C不正確;

第12頁（共23頁）

1

*.*tan5=2，

?，?選項D正確.

故選：C.

【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決問

題的關鍵.

二.填空題（共5小題）

11.攔水壩的橫斷面如圖所示，迎水坡48的坡比是1：V3,壩高3C=8〃z,則坡面43的

長度是16m.

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】16.

【分析】利用坡比的定義得出/C的長，進而利用勾股定理求出的長.

【解答】解：：迎水坡的坡比是1：V3,壩高3。=8加，

,BC81

',AC=而=后

解得/。=8小，

則AB=VBC2+AC2=16（m）.

故答案為：16.

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確利用坡比的定義求出/C的長是解

題關鍵.

12.如圖，在中，NACB=90°,AC=12,BC=5,CO_L48于點D,那么sin/

BCD的值是

第13頁（共23頁）

DB

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應用；推理能力.

【答案】總

【分析】首先在中利用勾股定理求出43,再根據(jù)同角的余角相等得出//=/

BCD,進而利用銳角三角函數(shù)關系即可求出sinZBCD的值.

【解答】解：在中，VZACB^9Q°,AC^12,BC=5,

：.AB=y/AC2+BC2=13,

VZACB=9Q°,CDLAB,

：.ZBCD+ZB=90°,ZA+ZB=90°,

ZA^ZBCD,

sinZBCD=sirU=彳^=百.

故答案為：得.

【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關系的定義，得出sinN5CO=siib4是解題關鍵.

13.我國是最早了解勾股定理的國家之一，東漢末年數(shù)學家劉徽在為《九章算術(shù)》作注中依

據(jù)割補術(shù)而創(chuàng)造了勾股定理的無字證明“青朱出入圖”，移動幾個圖形就直觀地證明了勾

3

股定理.如圖，若C"9'CG=12,則tan/FE/=—

H

第14頁（共23頁）

【考點】解直角三角形的應用；勾股定理的證明.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

3

【答案】--

4

【分析】根據(jù)題意可得：四邊形ECG尸和四邊形防印都是正方形，從而可得CG=CE

=12,ZBEI=ZCEF=90°,再利用等式的性質(zhì)可得NFE7,然后在RtABCE

中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出tan/3EC的值，即可解答.

【解答】解：由題意得：四邊形ECGF和四邊形即印都是正方形，

；.CG=CE=12,ZBEI^ZCEF=90°,

：.ZBEI-ZCEI=ZCEF-ZCEI,

：.NBEC=ZFEI,

在RtZXBCE中，BC=9,CE=12,

?,BC93

??tanN8￡C==衰*=彳，

3

tanZFEI=tanZBEC=3，

q

3

故答案為：

4

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，勾股定理的證明，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)

合圖形進行分析是解題的關鍵.

14.如圖，在5X4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,△/2C的頂點都在這些

小正方形的頂點上，貝ijsinN/8C的值為一絲Z_.

【考點】解直角三角形.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；解直角三角形及其應用；運算能力.

4V17

【答案］十

【分析】過點。作CC/8于點。，則在RtZXN。。中，先由勾股定理得出/C的長，再

第15頁（共23頁）

按照正弦函數(shù)的定義計算即可.

【解答】解：如圖，過點C作于點D,

則/ADC=90°,由勾股定理得：

BC=V42+I2=V17,

...?CD44717

..51山Z8D0=福=歷=v

-4V17

故答案為：.

17

【點評】本題屬于解直角三角形基礎知識的考查，明確勾股定理及正弦函數(shù)的定義是解

題的關鍵.

15.某水庫堤壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡度是1：V3,堤壩高2。=50機，則48

=100m.

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】100.

【分析】根據(jù)坡比可得：BC-.AC=1：V3,然后根據(jù)8C=50加，求出NC的長度，最后

利用勾股定理求出AB的長度.

【解答】解：由圖可得，BC-.AC=1：V3,

'：BC^50m,

.'.AC=50V3m,

：.AB=7AC2+BC2=100(m).

故答案為：100.

第16頁（共23頁）

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據(jù)坡度構(gòu)造直角三角形,

利用勾股定理求解.

三.解答題（共5小題）

16.計算：2cos30°-tan60°+sin450cos45°.

【考點】特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

1

【答案】--

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可.

【解答】解：2cos30°-tan60°+sin45°cos45°

=2x字一百+孝x孝

=V3—Vs+2

1

=2-

【點評】本題考查的是特殊角是三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵.

17.如圖，已知?△ZbBCi,ZC=40°,/Bi=55°,AC=6,BC=1,/Ci=8,

求x的值和//的度數(shù).

【考點】解直角三角形.

【專題】圖形的相似；幾何直觀；運算能力.

28

【答案】石；85°.

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得ZC：AiCi=BC：B\C\,NB=/Bi=55°,進而得6：

8=7：x,由此解出x即可，然后再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出//的度數(shù)

【解答】解：:△/BCS/X/IBICI,ZBi=55°,

：.AC-.AiCi=BC：BiCi,ZB=ZBi=55°,

即6：8=7：x,

解得：x=孕，

第17頁（共23頁）

VZC=40°,NB=/B1=55

：.Z^=180°-(Z5+ZC)=180°-(55°+40°)=85

【點評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，理解相似三角形的對應邊成比例，對應角

相等是解決問題的關鍵.

一4

18.已知：如圖，在中，AB=AC=15,XanA^

求：(1)S"BC；

(2)N3的余弦值.

【考點】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】(1)90；

【分析】(1)過點C作垂足為。，在RtAASC中，利用銳角三角函數(shù)的定義

設CO=4左，則AD=3上從而利用勾股定理求出NC=5七進而可得左=3,然后可得4D

=9,CD=n,最后利用三角形的面積公式，進行計算即可解答；

(2)在中，利用勾股定理求出3c的長，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義進行

計算即可解答.

第18頁(共23頁)

rr)4

在中，taih4==J

???設CZ)=4左，則4D=3左，

：.AC=7AD2+CD2=J(3/C)2+(4/C)2=5k,

9：AC=15,

5左=15,

???左=3,

：.AD=9,CD=12,

**-S“BC=，CD

1

=Jxl5X12

=90,

?,?5AJBC=90；

(2)在Rt45CZ)中，BD=AB-AD=15-9=6,CD=12,

：.BC=>JCD2+BD2=V122+62=6瓜

.□BD6后

.3=謔=宿=可’

V5

.1?NB的余弦值為

【點評】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖

形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵.

19.如圖，燈塔/周圍12海里內(nèi)有暗礁.一漁船由東向西航行至2處，測得燈塔/在北偏

西58°方向上，繼續(xù)航行8海里后到達。處，測得燈塔/在西北方向上.如果漁船不改

變航線繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險？(參考數(shù)據(jù)：sin32°?0.530,cos32°?0.848,

tan32°七0.625,sin58°處0.848,cos58°七0.530,tan58°七1.6)

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北

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】沒有觸礁危險.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，作NC_L3C,設NC=x,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用x

表示出3C,根據(jù)正切的定義用x表示出CD,結(jié)合圖形列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：如圖，過點/作