2023-2024學年江蘇省南通市如皋市八年級（上）期末數(shù)學試卷（含詳細答案解析）

2023-2024學年江蘇省南通市如皋市八年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.漢字是世界上最美的文字，形美如畫、有的漢字是軸對稱圖形，下面四個漢字中是軸對稱圖形的是（）

感B動C中D國

2.隨著北斗系統(tǒng)全球組網(wǎng)的步伐，北斗芯片的研發(fā)生產(chǎn)技術也在逐步成熟，國產(chǎn)北斗芯片可支持接收多系

統(tǒng)的導航信號，應用于自動駕駛、無人機、機器人等高精度定位需求領域，將為中國北斗導航產(chǎn)業(yè)發(fā)展提

供有力支持.目前，該芯片工藝已達22納米（即0.000000022米）.則數(shù)據(jù)0.000000022用科學記數(shù)法表示為

()

A.0.22x10-7B.2.2X10~8C.22X10~9D.22x1O-10

3.如圖，將沿8C向右平移得到若BC=5,BE=2,則b的長是

()

A.2

B.2.5

C.3

D.5

4.以下列各組數(shù)為邊長，能構成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.6,8,10C.3,4,8D.4,5,6

5.下列各式中是最簡二次根式的是（）

A.<3B.72?5D./4

6.下列運算正確的是（）

A.a3—a2=aB.a2-a=a3C.(a2)3=a5D.a6+a2

7.如圖所示，小明試卷上的三角形被墨跡污染了一部分，很快他就根據(jù)所學

知識畫出一個與試卷原圖完全一樣的三角形，那么兩個三角形完全一樣的依

據(jù)是（）

A.ASAB.SASC.AASD.SSS

8.如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.若4c=2,

BC=1,將四個直角三角形中邊長為2的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，則這

個風車的外圍周長是（）

圖1圖2

A.4+4/15B.8+4717C.4+4/17D,8+4/15

9.在下面的正方形分割方案中，可以驗證(a+b)2=(a-6)2+4ab的圖形是()

10.我們把形如x+?=a+6（a,6不為零），且兩個解分別為/=a,冷=b的方程稱為“十字分式方程”.

如，x+：=4為"十字分式方程”，其可轉化為x+=1+3,則Xi=1,4=3.若人>2時，關于尤的

“十字分式方程”％+1-密=2k的兩個解分別為無1，%2,且%<%2,則吠3的值為（）

11

A.2-4-C.-2D.2

二、填空題：本題共8小題，共30分。

11.若而不在實數(shù)范圍內有意義，則尤的取值范圍是.

12.分解因式：a3—ab2=.

13.已知尸I，哨的值為—

14.如圖，在△ABC中，乙4cB=90。，=58。，將乙4折疊，使點A落在邊BC上的

A處，折痕為8,則NBDC=

15.如圖，在△ABC中，乙4cB=90。，C￡）是高，AB=4,AC=2,則CD的長為.

16.如圖，在RtAABC中，以點A為圓心，適當長為半徑作弧，分別交AB,AC于點

E,F,再分別以點E,尸為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧在Nb4c的內部交于點

G,作射線AG交BC于點。,若47=3,BC=4,則CD的長為.

17.一項工作由甲單獨做，需a天完成；若由甲、乙兩人合作，則可提前1天完成，則乙單獨完成該項工

作需要的天數(shù)為

18.如圖，在四邊形A8CZ)中，NB=AD=90。，AB=2,力。=3,點

M,N分別在邊3C,CD上，當乙4MN+乙4NM=120。時，AAMN的

周長最小，則它的周長的最小值為.

三、解答題：本題共8小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.(本小題10分)

計算：

(1)|-2023|+兀。一(i)-1+/16；

(2)A<3(73-2)-7124-73+2-73.

20.(本小題10分)

計算：

(l)d(2—CL)+(Q+1)(?！?)；

第21

(2)-5o---T+(1---------:-

-%2+2%+1'%+1?

21.(本小題11分)

如圖，在平面直角坐標系中，已知4(0,1),B(2,0),C(4,3).

(1)在平面直角坐標系中畫出△ABC；

(2)若點。與點C關于y軸對稱，則點。的坐標為.

(3)己知尸為x軸上一點，若AABP的面積為1,求點尸的坐標.

22.(本小題10分)

張師傅近期準備換車，他看中了價格相同的兩款國產(chǎn)車.

燃油車新能源車

油箱容積：40升電池電量：60千瓦時

油價：9元/升電價：0.6元/千瓦時

續(xù)航里程：。千米續(xù)航里程：。千米

每千米行駛費用：也兀每千米行駛費用：一—元

a

(1)新能源車每千米行駛費用為元(用含a的代數(shù)式表示);

(2)若燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元，分別求出這兩款車的每千米行駛費用.

23.(本小題10分)

如圖，AB=AE,BC=ED,NB=NE.

(1)求證：AC=AD-,

(2)請用無刻度的直尺作出8邊的中點F(不寫作法，保留作圖痕跡).

24.（本小題12分）

認真觀察下面這些算式:

①32一M=8=8X1,

②52—32=16=8x2,

③72-52=24=8x3,

@92-72=32=8x4,

完成下列問題：

(1)照上面的規(guī)律，算式⑤為；

(2)上述算式的規(guī)律可以用文字概括為：”兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除”，若記算式中的前一個奇數(shù)

為2幾+1,請用含”的式子表示這個規(guī)律，并證明；

(3)請直接判斷“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被8整除”是否正確.

25.(本小題13分)

某興趣小組在學習了三角形相關知識后，對等邊三角形進行了再探究.

如圖，在等邊三角形A8C中，過點8作射線在射線CB上取一點P(不與點8,C重合)，作

乙APE=60",N&PE的邊PE交射線BM于點E.

(1)【動手操作】

如圖1,若點P在線段上，圖中與NEPB相等的角為；

(2)【問題探究】

在(1)的基礎上，探究線段PA與PE的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)【拓展延伸】

當點P在射線CB上移動時，用等式表示線段BC,BP,8E之間的數(shù)量關系，并說明理由.

26.(本小題14分)

如圖，在AABC中，AB=AC,點。為A4BC所在平面內一點，連接A。，BD.

(1)作AADE(點A,D,E按逆時針排列)，HAD=AE,Z.DAE=ABAC.

①如圖1,若點。為AABC內一點，連接CE.請找出圖中的一對全等三角形，并給出證明；

②如圖2,若NBAC=90。，點。為線段BC上一點，判斷BO,DC,A。之間的數(shù)量關系并證明;

(2)若NBAC=90°,/.ADB=90。，AD=2,BD=4,求C￡)的長.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

8、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

C、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

。、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：C.

根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

2.【答案】B

【解析】解:0.000000022=2.2x10-8.

故選：B.

科學記數(shù)法的表示形式為ax的形式，其中l(wèi)W|a|<10,力為整數(shù).確定力的值時，要看把原數(shù)變成a

時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

此題考查了科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX10兀的形式，其中"為整

數(shù)，表示時關鍵要確定a的值以及"的值.

3.【答案】A

【解析】解：由平移的性質可知：CF=BE=2,

故選：A.

根據(jù)經(jīng)過平移，對應點所連的線段相等解答即可.

本題考查的是平移的性質，掌握經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等是解題的關鍵.

4.【答案】B

【解析】解：412+22^32,不能構成直角三角形，故此選項不符合題意；

8.62+82=102,能構成直角三角形，故此選項符合題意；

C.32+42^82,不能構成直角三角形，故此選項不符合題意；

042+52力62,不能構成直角三角形，故此選項不符合題意.

故選：B.

根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角

形.如果沒有這種關系，這個就不是直角三角形，逐一判定即可.

本題考查勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊

后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，然后進行判斷.掌握勾股定理的逆定理是解

題的關鍵.

5.【答案】A

【解析】解:A、后是最簡二次根式，符合題意；

B、/Z5=店=邸，不是最簡二次根式，不符合題意；

C、79=3,不是最簡二次根式，不符合題意；

D、74=2,不是最簡二次根式，不符合題意.

故選：A.

根據(jù)最簡二次根式的定義解答即可.

本題考查的是最簡二次根式，熟知(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式是解題的關鍵.

6.【答案】B

【解析】解：A.a3-a2,無法合并，故此選項不合題意；

B.a2-a=a3,故此選項符合題意；

C.(a2)3=a6,故此選項不合題意；

D.a64-a2=a4,故此選項不合題意.

故選：B.

直接利用同底數(shù)塞的乘除運算法則以及幕的乘方運算法則、合并同類項法則分別判斷得出答案.

此題主要考查了同底數(shù)幕的乘除運算以及幕的乘方運算、合并同類項，正確掌握相關運算法則是解題關

鍵.

7.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一

樣的三角形.

故選4

根據(jù)圖示，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“角邊角”畫出.

本題考查了三角形全等的判定的實際運用，熟練掌握判定定理并靈活運用是解題的關鍵.

8.【答案】B

【解析】解：如圖，標上必要的字母，

???AC=2,BC=1,將四個直角三角形中邊長為2的直角邊分別向外延長一倍,

在Rt△BCD中，

由勾股定理，得BD2=BC2+CD2=I?+42=17,

所以BD=，方，

所以“數(shù)學風車”的外圍周長是：(2+\^17)x4=8+4/17.

故選：B.

由題意乙4cB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延長一倍，從而求得風車的一個輪子兩邊

長的和，進一步求得四個即得到這個風車的外圍周長.

本題是勾股定理在實際情況中應用，理解題意，注意隱含條件的使用是解題的關鍵.

9.【答案】D

【解析】【分析】

此題考查了乘法公式幾何意義，關鍵是能根據(jù)圖形準確列出整式.根據(jù)圖形進行列式表示圖形的面積即

可.

【解答】

解：???由選項A可得。2-爐=9+6)(￡1-6),

.??選項A不符合題意；

:由選項8可得(a+b)2=a2+2ab+b2,

???選項B不符合題意；

,?,由選項C可得(a-b)2=a2-2ab+b2.

選項C不符合題意；

：由選項?？傻?a+bp=(a—b)2+4ab,

.,?選項。符合題意；

故選。.

10.【答案】A

【解析】解：原方程變?yōu)閤+1+"+廿7)=(/c+l)+(fc-l),

???%i+l=k—1,%2+1=k+1，

,*?X]—k—2,%2=k,

%2k1

A2%TT4=2k=2'

故選：A.

類比題目中“十字分式方程”的答題方法即可求解.

本題考查分式方程的解，理解''十字分式方程”的定義以及題目中的答題方法是解題的關鍵.

11.【答案】%>5

【解析】解:由題意得：%-5>0,

解得：%>5,

故答案為：x>5.

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式，解不等式得到答案.

本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵.

12.【答案】a(a+b)(cz—b)

【解析】解:a3-ab2

=a(ct2—b2)

—a(a+b)(a—b).

故答案為：a(a+b)(a-6).

首先提取公因式m進而利用平方差公式分解因式得出答案.

此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用平方差公式是解題關鍵.

13.【答案】5

【解析】解：門",

y2

?,?設第=3k,貝!Jy=2fc,

.x+y_3k+2k_-

J百=3k—2k=b，

故答案為：5.

利用設左法進行計算，即可解答.

本題考查了比例的性質，熟練掌握設人法是解題的關鍵.

14.【答案】103

【解析】解：?；乙4cB=90°,

由折疊可知，

1

乙4CD=產(chǎn)4CB=45°.

又?:乙4=58。，

???乙BDC=ZX+AACD=103".

故答案為：103.

根據(jù)折疊先求出乙4CD的度數(shù)，再利用外角定理即可解決問題.

本題考查軸對稱的性質，熟知軸對稱的性質是解題的關鍵.

15.【答案】73

【解析】解：???N4CB=90。，AB=4,AC=2,

BC=y/AB2-AC2=V42-22=2M

???CD是△ABC的高，

11

???SLABC=-AB^CD=-AC-BC,

AC-BC2x2/3

CD=

AB4

即CD的長為，耳,

故答案為：73.

由勾股定理求出BC的長，再由三角形面積求出CD的長即可.

本題考查了勾股定理以及三角形面積等知識，熟練掌握勾股定理和三角形面積公式是解題的關鍵.

16.【答案】|

【解析】解：如圖，過點。作DT1AB于點「

???4。平分"48,DT1AB,DC1AC,

DT=DC,

在中，AB=AC2+BC2=V32+42=5,

111

vSLABC=^AC-BC=^AB-DT+^AC-DC,

故答案為：I

如圖，過點。作DTI48于點「證明DT=DC,利用面積法求解.

本題考查作圖-基本作圖，角平分線的性質等知識，解題的關鍵是掌握角平分線的性質定理，學會利用面積

法解決問題.

17.【答案】a2-a

【解析】解:假設工作總量為“1”，則甲的工作效率為L

a

乙的工作效率為二=

a—1aaz—a

乙單獨完成該項工作需要天數(shù)為（。2-a）天.

先假設工作總量為單位1,即可推出甲的工作效率，利用總的工作效率減去甲的工作效率即可推出乙的工

作效率，最后可得乙的工作時間.

本題主要考查了工程問題的相關知識點，熟練利用工程問題的相關公式是解題的關鍵.

18.［答案］2^19

【解析】解：作A關于BC和的對稱點A,A",連接AA',交BC于M',交CD于M,則44'即為△

4MN的周長最小值，作AH1口4交D4的延長線于

,當/力MN+Z.ANM=120。時，A4MN的周長最小，

???乙AM'N'+AAN'M'=120°,

2^A'AM'+2zJV'M=120°,

^^A'AM'+AN'AA"=60°,

^A'AA"=120°,

.-?^HAA'=60°,

???A'H1HA,

：./.AA'H=30。，

由對稱性，知44'=2AB=4,AA"=2AD=6,

在中，

1

AH=^AA'=2,

由勾股定理，得AH=V42-22=24，

在中，

A"H=AA"+AH=6+2=8,

由勾股定理，得44〃=y/A'H2+A"H2=J(2/3)2+82=2/19.

故答案為：2門豆

根據(jù)要使△力MN的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于8C和即的

對稱點4,4',即可得出最短路線，再利用勾股定理，求出即可.

本題考查軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的

性質等知識，根據(jù)已知得出M,N的位置是解題關鍵.

19.【答案】解：(1)原式=2023+1-6+4

=2022；

(2)原式=3一2<3-,12+3+2-<3

=3——2+2-V-3

=3-3A/-3.

【解析】(1)先利用絕對值、零指數(shù)累和負整數(shù)指數(shù)幕的意義計算，然后把，去化簡后進行有理數(shù)的加減運

算；

(2)先進行二次根式的乘法和除法運算，然后合并即可.

本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法和除法法則、零指數(shù)塞和負

整數(shù)指數(shù)幕是解決問題的關鍵.

20.【答案】解：(1)原式=2a-a2+a2-1

=2a—1；

⑵原式=備+(柒一擊)

X2X2+x—1

(x+I)2%+1

X2X+1

-------------7X-^5-------------

(x+1)2x2+x-l

(%+l)(x2+x—1),

【解析】(1)去括號合并同類項即可；

(2)先計算括號，再計算乘除.

本題考查分式的混合運算，整式的混合運算等知識，解題的關鍵是志趣網(wǎng)分式的混合運算法則，整式的混

合運算法則.

21.【答案】(-4,3)

(2)???點。與點C關于y軸對稱，C(4,3),

D點的坐標與C點的坐標橫坐標相反，縱坐標相同，即為(-4,3).

(3)???P為x軸上一點，且A4BP的面積為1,

嗚=1,

1

^BPx1=1,

BP=2,

???B(2,0),

.??點P的橫坐標為：2+2=4或2-2=0,

.??點P的坐標為(4,0)或(0,0).

(1)先在坐標系內描點A,B,C,再順次連接即可得到三角形

(2)根據(jù)關于y軸對稱的點的坐標關系：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變可得答案

⑶由P為x軸上一點，的面積為1,可得舞2以=1,從而可得答案.

本題主要考查的是坐標系內描點，網(wǎng)格三角形的面積計算，軸對稱的性質，

22.【答案】a-a-

【解析】解:(1)由圖可得，

新能源車每千米行駛費用為隨竺=生(元)，

故答案為：

a

(2)由題意可得，

40x936n.

—=T+°-54J

解得a=600,

經(jīng)檢驗，a=600是原分式方程的根，

40x936八八(

..?詞=06而=006,

答：燃油車每千米行駛費用是0.6元，新能源車每千米行駛費用是0.06元.

(1)根據(jù)圖中的信息，可以用含。的代數(shù)式表示出新能源車每千米行駛費用；

(2)根據(jù)燃油車的每千米行駛費用比新能源車每千米行駛費用多0.54元，可以列出相應的分式方程，然后求

解，注意分式方程要檢驗.

本題考查列代數(shù)式、分式方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程.

23.【答案】(1)證明：在△4C8和AZDE中，

AB=AE

乙ABC=^AED,

、BC=ED

ACB名△ADE(SZS)；

A

(2)解：如圖，點尸即為所求.

【解析】(1)根據(jù)SAS證明三角形全等即可；

(2)連接3D,CE交于點0,連接A。，延長49交于點P,點P即為所求(可以證明。C=?！?gt;,結合

AC=AD,推出A。垂直平分線段CD).

本題考查作圖-復雜作圖，全等三角形的判定和性質，

24.【答案】1/-92=40=8x5

【解析】解：(1)32—/=8=8X1,

②52-32=16=8X2,

③72-52=24=8x3,

④92-72=32=8x4,

.??⑤11?-92=40=8x5,

故答案為：112—92=40=8x5；

(2)這個規(guī)律為:(2n+I)2-(2n-I)2=8n,

證明:(2n+l)2—(2n—l)2

=(2n+1+2n—l)(2n+1—2n+1)

=4展2

=8n；

(3)“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被8整除”的說法不正確，理由如下：

設兩個連續(xù)偶數(shù)為2w,2n+2,

(2n+2)2—(2n)2

=4n2+8n+4—4n2

=8n+4

=4(2n+1),

二兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差是4的倍數(shù)，而不是8的倍數(shù)，

???“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被8整除”的說法不正確.

(1)根據(jù)已知條件中的等式，找出規(guī)律進行解答即可；

(2)根據(jù)已知條件中的規(guī)律，進行證明即可；

(3)設設兩個連續(xù)偶數(shù)為2”，2n+2,求出它們的平方差，進行判斷即可.

本題主要考查了列代數(shù)式，解題關鍵是找出規(guī)律，列出算式.

25.【答案】APAC

【解析】解：(1)/-APB=z^BCA+^PAC=AAPE+乙BEP,/.APE=4ACB=60",

???乙EPB=/.PAC,

故答案為：NP力C;

(2)PX=PE,理由如下：

如圖，延長MB至H,使BH=BP,連接PH,

AABC是等邊二角形，

AB=BC,乙4cB=乙ABC=60°,

???BM//AC,

：.NACB=乙CBH=60",

又：BP=BH,

是等邊三角形，

PH=BP=BH,NH=60°=/.ABC=/.APE=乙BPH,

：./.APB=乙EPH,

.-.AAPB^AEPHQASA),

：.AP=AE；

(3)當點尸在BC上時，BC=BP+BE,當點尸在線段CB的延長線上時，BE=BP+BC,理由如下:

當點P在8C上時，由(1)可知：△APBQAEPH,

：.AB=EH,

BC=EH=EB+BH=BE+BP；

當點尸在線段CB的延長線上時，如圖2,在BE上截取2H=8P,連接尸打,

E

A

圖2

1.■△ZBC是等邊三角形，

??.AB=BC,/-ACB=/.ABC=60°,

???BM//AC,

???乙ACB=乙PBH=60°,

又???BP=BH,

???△8產(chǎn)”是等邊三角形，

PH=BP=BH,(BHP=60°=乙ABC=^APE=