2024年高考二輪復習測數學試卷（新高考Ⅰ卷專用）（解析版）

2024年高考數學二輪復習測試卷(新高考I卷專用)

第一部分(選擇題)

一、選擇題

1.已如集合4=1,2,3,4},集合8={#2_2尤一3<0卜則AB=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1}

C.{0,1,2}D.{-1,0}

K答案XA

k解析』由題意集合8=H(x-3)(x+l)40}={HTW無43},AcB={-l,0』,2,3}.

故選：A.

2.若z是方程尤2+尤+1=0的一個虛數根，則z2_^=()

A.0B.-1C.V3iD.-1或8i

k答案XA

i3

(解析X方程/+%+i=0化為：(x+-)2=-|,

24

依題意，z=」+且i或z=」_立i,

2222

顯然z+z=—1，又z?+z+l=0,z2=-z—1?

所以z?-z=-z-l-z=-(z+z)-l=0.故選：A.

3.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一個“重卦”由從下到上排列的6個爻組

成，爻分為陽爻“

”和陰爻“

”，如圖就是一個重卦.在所有重卦中隨機取一個重卦，則該重卦恰有2個陰爻的概率是()

A.—B.—C.—D.—

6464168

K答案UB

k解析X所有“重卦”共有2$種，恰有2個陰爻的情況有C；種，

C215

所以該重卦恰有2個陰爻的概率為p=,=?

故選：B.

4.設a=ln2,匕=耳，則b,。的大小關系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

K答案1B

K解析X設〃x)=,，/'(尤)=^^令得0<x<e,

所以函數/(x)在區(qū)間(O,e)單調遞增，因為6<2<e,

所以"卜〃2)<〃e),即喘―黑號T

不等式兩邊同乘2得，<ln2<j,

即》<a<c.

故選：B.

5.己知S“為等比數列㈤｝的前,項和，若寸=3,則尚=()

A.3B.6C.9D.12

K答案1C

k解析工因為S“為等比數列｛4｝的前〃項和,

所以邑,邑一邑，Sg_4，&一跖，九一&,九一&成等比數列,

由苓=3,得$6=3S3,則鋁邑=2,

所以風一$6=4$3,所以員=7邑,

S12-S9=853,所以％=15S3,

九一&=16邑，所以幾=3埼,

又一九=32邑，所以%=63$3,

S.o63Sc

所以肅=方骨3=9

故選：c.

6.拋物線C:9=2PMp>0）的準線與x軸交于點M,過C的焦點F作斜率為2的直線交C

于A、B兩點,貝!!tanNAMB=（）

A.與B.275C.4君D.不存在

k答案1C

K解析I拋物線C：V=2px的焦點尸仁,0）,加,多0）,可知"方程y=21-，，

y=2$22（3土灼。

與拋物線方程聯立I2jn4Y-6px+p2=0nx=^—屋匚，

y'=2Px

1+遙1-75_

.,__275_I__2A/5

AM

'-3+7511-3-75ir丁

424+2

tanNAMB=%一腦=，非

1+3小

7.已知點P（fJ-l）,feR,點E是圓元2+丁=；上的動點，點廠是圓（無一4y+（y+］）2=:上

的動點，則|尸尸|-|尸耳的最大值為（）

9

A.3B.4C.5D.-

2

K答案1c

K解析』如圖，依題意得點尸“J—l）/eR,在直線廣犬-1上，

點E關于直線y="i對稱的點E',

點￡在圓/+/關于直線y=X-1對稱的圓。|上,

4

。+01Z?+0

------1二----

設q(a,b),則廣02,

所以圓Oi：(x—l)2+(y+l)2=；,

■回=即,

9

設圓。-4)2+(〉+1)2=二的圓心為。2,

因為陛3尸0卜怪縱|尸尸閆尸勾+|尸0,

所以|尸尸卜|尸目=|尸耳—怛同

<(|PO2|+|FO2|)-(|POI|-|^O,|)

=|PO2|TPQj+2w|aQ|+2=5,

當尸，氏P,a,a五點共線，

E'在線段P。上，2在線段尸尸上時“=”成立.

因止匕|P^-|P國的最大值為5.

故選：C

sm卻［Vx”，若存在實數*(，=1,2,3,4,5),當七<%(i=l,2,3,4)

8.已知〃幻=

時,滿足〃石)=/(%)=〃W)=〃％)=〃尤5)，則！>/(%)的取值范圍為()

C.(-8,4]D.T，4

k答案UD

(解析X作出=的圖象如圖，

e,%<0

所以§x1f(%)=(%+%+泡+匕+%)/(為)=(%+4)/(元1)=(玉+4)9,

令g(x)=(x+4)e*(x<0),則當x<—4時，g(尤)<0；當T<x<0時,g(x)>0.

g'(x)=(x+5)e*,當x<-5時，g'(x)<0,g(無)在(-8,-5)上單調遞減;

當—5<x<。時，g'(x)>0,g(元)在(—5,0)上單調遞增.

所以gOOmin=g(-5)=-J，且g(X)<g(0)=4,

所以9"看)的取值范圍為一歹4.

故選：D.

二、選擇題

9.第一組樣本數據國,々，，斗，第二組樣本數據%,為，…,%,其中%=2%-1(/=1,2,,〃),

則()

A.第二組樣本數據的樣本平均數是第一組樣本數據的樣本平均數的2倍

B.第二組樣本數據的中位數是第一組樣本數據的中位數的2倍

C.第二組樣本數據的樣本標準差是第一組樣本數據的樣本標準差的2倍

D.第二組樣本數據的樣本極差是第一組樣本數據的樣本極差的2倍

[答案XCD

k解析》設樣本數據%，%，，%,的樣本平均數為"樣本中位數為加，樣本標準差為s,

極差為Xmax-尤min，

對于A,C選項：由y=2%-1,根據平均數和標準差的性質可知，

樣本數據H，%％的樣本平均數為或-1，故A錯誤；

樣本數據H，的樣本方差為/S2=4S2,所以第二組數據的樣本標準差2S,故C

正確；

對于B選項：根據中位數的概念可知，樣本數據%,%，…,%的中位數為2加-1,故B錯

誤；

對于D選項：根據極差的概念可知，樣本數據%，為，…，y”的極差為

D

?Vmax-gin=(2--1)一(2%,T)=2(X1mx-%)故正確.

故選：CD.

10.已知函數/(x)=cos4x+2j^sinxcosx-sin4x,則下列說法正確的是()

A.最小正周期為兀

B.函數/(x)在區(qū)間(-兀,兀)內有6個零點

C./⑺的圖象關于點］|可對稱

D.將“X)的圖象向左平移;個單位，得到函數g(x)的圖象，若g(x)在［0刃上的最大值為

g(0),則f的最大值為g

［答案XAD

［解析』/(x)=cos4x+273sinxcosx-sin4x

=(cos2x—sin2%)(cos？x+sin2%)+2近sinxcosx

=cos2x+^3sin2x

=2sin(2x+S),

27r

對于A：T=—=TI,A正確；

1Ijr7rl37rIT

對于B：當一兀＜X＜兀時，—乙竺＜2%+2＜空，則2x+V分別取—兀,0,兀,2兀時對于的X的值

6666

為函數/（X）在區(qū)間（-兀㈤上的零點，只有4個，B錯誤；

對于C：d3|=2sin［2xA+￡］=2sing=石*0,故點信,o］不是/⑺的對稱中心，C

錯誤；

對于D：由已知g（x）=2sin^2=2cos^2x+—,

jrjr冗

當OWxK/時，一42xH—K2/H—J>0,

666

因為g（x）在［o,r］上的最大值為g（o）=2cosm,

o

TT

所以2f+B41I￥jT，解得。SjTD正確.故選：AD.

666

11.正方體ABCD-AgGA中，E為AB的中點，P為正方體表面上一個動點，則（）

A.當P在線段BG上運動時，4尸與A2所成角的最大值是三

B.當P在棱與G上運動時，存在點尸使尸石=尸￡>

C.當尸在面BBCC上運動時，四面體尸-A4t。的體積為定值

D.若「在上底面A4GR上運動，且正方體棱長為1,A尸與他所成角為:，則點尸的軌跡

長度是兀

K答案UBC

K解析》對于A,在正方體中，易知AR//BG，

所以4尸與AD,所成角等價于4P與BG所成的角，

當尸為8G中點時，A.P1BC,,此時所成角最大，為故A錯誤.

對于B,以A為原點，ARA2,AA為MV/軸建立空間直角坐標系，

設正方體棱長為1,P（/U,O）,

因為PE=PD,

對于C,因為尸在面BBCC內，面BBgC到平面AAQ的距離等于G2，

而三角形肌。面積不變，故體積為定值，故C正確.

對于D,因為棱9垂直于上底面，且AP與A4所成角為:，

4

JT

所以在RtZXAAJ中，ZAiAP=ZAlPA=~,

jr

由圓錐的構成可知P所在的軌跡是以A為圓心1為半徑的弧BR,軌跡長度是］，故D錯誤.

故選：BC.

12.己知定義域為R的函數/⑴滿足〃工+丫)=〃x)+〃丫)+移(了+丫),/3為/(尤)的

導函數，且r⑴=2,貝u()

A./(X)為奇函數

B.“X)在％=-2處的切線斜率為7

C.43)=12

D.對\/七,/6(0,+co),%1豐x?"J

(答案1ACD

(解析X由題意定義域為R的函數/⑴滿足/(x+y)=/(x)+/(y)+孫(x+y)

令x=y=O,貝"(。)=/(。)+/(0),，/(。)=。，

令尸T,則/(O)=/(X)+/(T),即o=〃x)+〃f),...〃_x)=—〃x),

故為奇函數，A正確；

由于〃T)=-〃X)，故3,即廣C，

則/'(X)為偶函數，由廣⑴=2可得/'(一1)=2,

由/(x+y)=/(x)+/(y)+移(x+y)，令y=i得〃x+i)=〃x)+/((+x(%+i),

故r(x+l)=J'(x)+2x+l,令X=—2,則2)—3,2)=5,B錯誤;

又/(x+y)=〃x)+/(y)+孫0+y)，

則/(x+y)一(x；y)+

令g(x)=〃x)-貝Ug(x+y)=g(x)+g(y),

33

由柯西方程知，g(%)=g(l>%,故/>(X)=g(x)+q~=：1~+g6?x，

貝!J/'(x)=x2+g(l),由于/，⑴=2,故l+g(l)=2,「.g⑴=1,

即/(x)=；+x,則"3)=12,C正確；

對Vx,,x2e(0,+oo),X1^x2,f[%；?]_

司+%)3

2'石+九2|(y+^i+y+^)

32

=一(_-+%；%2+再%；)—...(X]-9產(%]+々)<0，

故D正確,

故選：ACD

第二部分（非選擇題）

填空題

sina=-^-,貝l」tan[cz+[

13.已知兀

K答案》|

K解析U.sina=^-,ae

cosa-—y/1—sin^ex---------,

5

sina1

tancc--------——,

cos。2

(、1-1

)

.」呵\。+力7i=匚1+t高an6石Z=不口7=71故K答案X為：ji

14.(3》--］(1-％)1°展開式中，含V的項的系數為

K答案H-75

(解析H由二項式(17尸展開式的通項小=C；。(-針=(-

則在13x-1J(1-X)10展開式中，含/項的系數為3C；。一C：。=135-210=-75.

故［［答案》為：-75.

15.若。為坐標原點，過點P?！?的直線/與函數/(%)=與二的圖象交于A8兩點，則

2-2

(OA+OB^OP=.

R答案H4

23—x2左+142X+12X+1-4

k解析》因為y(2-%)+/(x)=-O-------1----------------------1------------

22-J-22'-22-2x2x-22-2

所以P(l,1)是函數〃X)圖象的對稱中心，則P為線段A3的中點,

可得。4+03=28=(2,2),則(OA+O孫OP=2+2=4.故(答案』為：4.

16.如圖，正方形4片G2與正方形ABC。的中心重合，邊長分別為3和1,片，p2,p3,

P4分別為44，A耳，耳。，CA的中點，把陰影部分剪掉后，將四個三角形分別沿AD,

AB,BC,CD折起，使片，P2,P3,且重合于尸點，則四棱錐尸—ABCD的高為,

若直四棱柱432c23-4居c3A內接于該四棱錐，其上底面四個頂點在四棱錐側棱上，下底

面四個頂點在面ABCD內，則該直四棱柱AB2C2D2-423c3A體積的最大值為

2#>

k答案H

2~zf

k解析X由題意可知，四棱錐P-ABCD為正四棱錐，25邊A5上的高為PE=1,如下

圖所示：

p

取AB的中點E,連接AC、BD交于點F,連接PE、EF、PF,

則F為AC、3。的中點，由正四棱錐的幾何性質可知，尸尸_1_平面ABC。，

因為E、尸分別為A3、AC的中點，則EF〃BC且"=；2C=：,

因為EFu平面ABCD,則尸產_LEF,所以，PF=y/PE2-EF2=

在APEB中，得PB=yJPE2+EB2=^-,BF=-BD=-4BC?+CD2=—

2222

作出四棱柱A,B2C2D2-A3B3C3D3內接于該四棱錐在平面PBD上的平面圖如圖所示:

因為BB2B3~BPF,所以鬻=2,解得3也=立-漁龍，

23

BB2BF22

1l「

所以直四棱柱&B2cB-A323c3A的體積V(x)=54c2超2g星=一向3+氐2,

所以?、?一3弧2+2mx,

當時V")>0,當#卜寸V")<0,

所以函數V(x)在，，*］上單調遞增，［日,孝J上單調遞減，

所以當彳=當時體積最大，最大為

故K答案X為：昱,正.

227

四、解答題

17.在ABC中，角4民。的對邊分別為a,b,c,已知AS。的面積為之紅

(1)求sinC；

(2)若sin(8-,求tanA.

解：（）結合題意：的面積為工次?

1―ABC5=sinC=a2+b2-c2

2

sinC=3V7+Z，2~C-

lab

結合余弦定理可得：sinC=36cosC>0,

.「3不

sinC=-----

sinC=3A/7COSC8

所以22，解得V

sin2C+cos2C=1「1

cosC=—

8

所以sinC=

8

（2）因為sin（B-A）=笠>0,所以3>A,易得A為銳角,

所以cos(B-A)=Jl-sin2(3_A)=!|,所以tan(B-A)=二興，

D/1Dz*IJJ.

3、萬'1

由上問可知sinC=sin(A+B)=―-—,cos(A+=—cosC=——,

所以tan（/A+2、）=避sin（高A+B=）一3旨,

tan(A+B)-tan(B-A)

tan2A=tan[(A+5)-(3-A)]=________31_=3A/7,

1+tan(A+B)tan(B-A)1-3出義近

31

所以tan2A，整理得3，"tan2A+2tanA-3s'=（）,

1-tanA

BP（V7tanA+3）（3tanA-V7）=0,解得tanA=-乎（舍去），或tanA=1.

18.某平臺為了解當代大學生對“網絡公序良俗”的認知情況，設計了一份調查表，題目分為

必答題和選答題.其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、

⑩共七道題，被調查者在選答題中自主選擇其中4道題目回答即可.為了調查當代大學生對

④、⑥、⑧、⑩四道選答題的答題情況，從同濟大學在④、⑥、⑧、⑩四個題目中至少選答

一道的學生中隨機抽取100名學生進行調查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數及人數統(tǒng)計

如表：

選答④、⑥、⑧、⑩的題目數1道2道3道4道

人數20303020

（1）學校還調查了這100位學生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達人的大概比例,

得到的數據如下表：（規(guī)定同時選答④、⑥、⑧、⑩的學生為“公序良俗”達人）

性別“公序良俗”達人非“公序良俗”達人總計

男性30

女性7

總計100

請完成上述2X2列聯表，并根據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分析“公序良俗”達人與性

別是否有關.

（2）從這100名學生中任選2名，記X表示這2名學生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數之差

的絕對值，求隨機變量X的數學期望；

n^ad-bcy

參考公式：力2=其中“=a+6+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

附表:

a0.100.050.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

解：（1）這100位學生中，“公序良俗”達人有20人,

由此補全2x2列聯表如下:

性別“公序良俗''達人非“公序良俗”達人總計

男性133043

女性75057

總計2080100

100(13x50-7x30)\4937>384b

20x80x57x57

所以“公序良俗”達人與性別有關.

（2）X的可能有（M23,

C20+C30+C30+C201250

尸(X=0)=

4950

C20c30+C30c30+C30c20_210°

P(X=1)=

4950

p(Y—O\C20c30+C30c20_12°°

(■)=一一礪

尸(X=3)=普400

Joo4950

所以X的分布列如下:

X0123

125021001200400

P

4950495049504950

眼+幽+也+40038

所以數學期望為E（X）=0x1X2X3X

495049504950495033

7T

19.在平行六面體ABC。-AB1GA中，底面A3CD為正方形，AB=AAi=2,AA.AB^,

側面CDD￡，底面ABCD.

（1）求證：平面ABC,平面CDDC；

（2）求直線A4和平面ABG所成角的正弦值.

（1）證明：因為底面ABCD為正方形，

所以8C，CD,又側面CDDG1底面ABCD,

側面CDDg1底面ABCD=CD,且3Cu平面ABCD,

所以3CL平面C￡)2G，

又因為3Cu平面ABC,所以平面ABC,平面COAG.

jr

(2)解：因為AB=AA=2,ZA,AB=^,連接Cj,

則CO?為正三角形，取8中點。，則A。LCD,

由BC1平面CDD?及DtOu平面CDD?,得DQ1BC,

又CDcBC=C,所以2。，底面ABCD,

過點0作OMHBC交AB于M,

如圖以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系o-邙,

則4(2,-1,0),4(2,0,73),8(2,1,0),4(2,2,用,C,(0,2,73),

所以43=(。/,-百)，4G=(_2,2,0),A8=(0,3,g).

設平面A^G的法向量〃=(%y,z),

n-A,B=y-A/3Z=0,

所以A

n-AG——2x+2y=0.

令z=l,則x=y=G可得平面45G的法向量〃=(6,6,1)

所以如陰小心L,嗜2,

1」A4MV12-V3T37T7

故直線4耳和平面ABG所成角的正弦值為2互.

7

20.已知｛為｝是等差數列，a3+a6=0,a4-a2=4

30

(1)求｛%｝的通項公式和WKI；

2=1

⑵已知加為正整數，記集合｛〃?＜%+11｝的元素個數為數列也｝.若也｝的前〃項和為乂,

設數列匕｝滿足q=1,(c?+*)S“=(3〃一2)?2〃(〃eN*),求匕｝的前2”+1項的和7；?+1.

解：（1）由題意/+%=0=2q+7d,a4-a2=4=2d（q,d分別是首項，公差），解得

%二—7,<7=2,

所以｛%｝的通項公式為a“=-7+2(〃-l)=2〃—9,〃eN*,

~/、/、26x(1+51)

所以2|4|=(7+5+3+1)+(1+3+5++51)=16+——-------'-=692.

*=i2

（2）由題意加＜%+11且為正整數，即加＜2〃+2,所以4=2”+1,

所以S,/”*=〃(3+；〃+1)=9+2),

(3~2)2(3〃一2)2_2"+2蘭*

所以g+c.+i

Sn“(”+2)n+2n'

所以匕｝的前2〃+1項的和為以1=9+仁+。3）+&+。5）++（。2.+。2,+1）

2〃+2.

21.已知函數/(x)=x—V.

（1）求/（X）的極值；

，兀、兀3

（2）已知a外。,］｝〃礦（sina）+W（coscz）=tank,證明：m+n＞~.

（1）解：f（x）=x-x3,f'（x）=l-3x2,令廣（x）=0,可得人土孝.

令/彳》）＞0,可得一日＜X＜,

令/'（x）＜0,可得x＞#,或x—當

所以/（X）在卜亭,1；上單調遞增，在卜③-?［和］亭，+8上單調遞減.

=￥，〃x）的極小值為了2百

所以的極大值為7%

~9~

\7

（2）證明：由可*（5111。）+棚（€05。）=1@11至，

可得根cos2asina+nsin2crcoscr=——，

3

、

所以mcoscr+nsina=-；--V--3------.

3sinacosa

由對稱性，不妨設ae］。,：,

百

貝1Jmcosa+〃sina=--------------<(m+n)coscr，

3sinacosa

當且僅當sin