小學(xué)奧數(shù)周期性問(wèn)題試題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

新大教育點(diǎn)評(píng)：此題考查了小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法以及對(duì)循環(huán)節(jié)的掌握情況，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生尋找規(guī)律的能力．8．（3分）在一個(gè)循環(huán)小數(shù)0.1234567中，如果要使這個(gè)循環(huán)小數(shù)第100位的數(shù)字是5，那么表示循環(huán)節(jié)的兩個(gè)小圓點(diǎn)，應(yīng)分別在3和7這兩個(gè)數(shù)字上．考點(diǎn)：循環(huán)小數(shù)及其分類(lèi)．分析：表示循環(huán)小數(shù)的兩個(gè)小圓點(diǎn)中，后一個(gè)小圓點(diǎn)顯然應(yīng)加在7的上面，且數(shù)字“5”肯定包含在循環(huán)節(jié)中，然后分情況討論前一個(gè)循環(huán)節(jié)的點(diǎn)應(yīng)放在哪．解答：解：后一個(gè)小圓點(diǎn)應(yīng)加在7上；前一個(gè)小圓點(diǎn)的情況：（1）設(shè)前一個(gè)小圓點(diǎn)加在“5”的上面，這時(shí)循環(huán)周期是3，（100﹣4）÷3=32，第100位數(shù)字是7．（2）設(shè)前一個(gè)小圓點(diǎn)加在“4”的上面，這時(shí)循環(huán)周期是4，（100﹣3）÷4=24…1，第100位數(shù)字是4．（3）設(shè)前一個(gè)小圓點(diǎn)加在“3”的上面，這時(shí)的循環(huán)周期是5，（100﹣2）÷5=19…3，第100位數(shù)字正好是5．故答案為：3，7．點(diǎn)評(píng)：容易看出后一個(gè)小圓點(diǎn)應(yīng)加在7的上面，但前一個(gè)圓點(diǎn)應(yīng)加在哪個(gè)數(shù)字上，一下子難以確定，怎么辦？唯一的辦法就是“試”．因?yàn)檠h(huán)節(jié)肯定要包含5，就從數(shù)字5開(kāi)始試．逐步向前移動(dòng)，直到成功為止．這就像我們?cè)诿詫m中行走，不知道該走哪條道才能走出迷宮，唯一的辦法就是探索：先試一試這條，再試一試那條．9．（3分）1991個(gè)9與1990個(gè)8與1989個(gè)7的連乘積的個(gè)位數(shù)是2．考點(diǎn)：周期性問(wèn)題；乘積的個(gè)位數(shù)．分析：根據(jù)題干，要求它們的連乘積的個(gè)位數(shù)字，可以先求出它們各自的乘積的個(gè)位數(shù)字是幾，由特例不難歸納出：（1）9的連乘積的個(gè)位數(shù)字按9，1循環(huán)出現(xiàn)，周期為2；（2）8的連乘積的個(gè)位數(shù)字按8，4，2，6循環(huán)出現(xiàn)，周期為4；（3）7的連乘積的個(gè)位數(shù)字按7，9，3，1循環(huán)出現(xiàn)，周期為4．由此即可解決問(wèn)題．解答：解：根據(jù)上述分析可以得出1991個(gè)9的乘積個(gè)位數(shù)字、1990個(gè)8的乘積個(gè)位數(shù)字、1989個(gè)7的個(gè)位數(shù)字分別為：（1）因?yàn)?991÷2=995…1，所以1991個(gè)9的連乘積的個(gè)位數(shù)字是第996周期的第一個(gè)數(shù)，與第一周期的第一個(gè)數(shù)字相同即是9；（2）因?yàn)?990÷4=497…2，所以1990個(gè)8的連乘積的個(gè)位數(shù)字是第498周期的第二個(gè)數(shù)字，與第一周期的第一個(gè)數(shù)字相同即是4；（3）因?yàn)?989÷4=497…1，所以1989個(gè)7的連乘積的個(gè)位數(shù)字是第498周期的第一個(gè)數(shù)字，與第一周期的第一個(gè)數(shù)字相同即是7．所以，9×4×7=252，即1991個(gè)9與1990個(gè)8與1989年7的連乘積的個(gè)位數(shù)字是2．答：連乘積的個(gè)位數(shù)是2．故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：抓住題干，求出9的連乘積、8的連乘積和7的連乘積的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，是解決本題的關(guān)鍵．10．（3分）算式（367367+762762）×123123的得數(shù)的尾數(shù)是9．考點(diǎn)：周期性問(wèn)題．分析：分別找出個(gè)位數(shù)字7、2、3的連乘積的個(gè)位數(shù)的循環(huán)周期：如7的連乘積，積的尾數(shù)以7，9，3，1，循環(huán)出現(xiàn)，周期為4，因?yàn)?67÷4=913，所以，367367的尾數(shù)為3；如此類(lèi)推，…即可解決問(wèn)題．解答：解：（1）7的連乘積，尾數(shù)（個(gè)位數(shù)字）以7，9，3，1循環(huán)出現(xiàn)，周期為4；因?yàn)?67÷4=91…3，所以，367367的尾數(shù)為3．（2）2的連乘積，尾數(shù)以2，4，8，6循環(huán)出現(xiàn)，周期為4；因?yàn)?62÷4=190…2，所以，762762的尾數(shù)為4．（3）3的連乘積，尾數(shù)以3，9，7，1循環(huán)出現(xiàn)，周期為4；123÷4=30…3，所以，123123的尾數(shù)為7．（4）綜上所述，（367367+762762）×123123的尾數(shù)就是（3+4）×7的尾數(shù)，（3+4）×7=49，答：得數(shù)的尾數(shù)是9．故答案為：9．點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用個(gè)位數(shù)字為7，2，3的連乘積的積的尾數(shù)的規(guī)律進(jìn)行解決問(wèn)題的方法二、解答題（共4小題，滿(mǎn)分0分）11．乘積1×2×3×4×…×1990×1991是一個(gè)多位數(shù)，而且末尾有許多零，從右到左第一個(gè)不等于零的數(shù)是多少？考點(diǎn)：周期性問(wèn)題．分析：我們用所有數(shù)的乘積除以了495個(gè)5之后得到的個(gè)位數(shù)字是6，那還要除以495個(gè)2才可以，因?yàn)樗麄兂说揭黄鹱兂闪?95個(gè)0，再除以495個(gè)2就相當(dāng)于把末尾的0全部去掉了，那么此時(shí)的個(gè)位數(shù)字就是要求的第一個(gè)不為0的數(shù)．2的495次方的個(gè)位數(shù)字是8（2的n次方的個(gè)位數(shù)字是2，4，8，6四位一周期495÷4=123…3）那么用剛才我們除以495個(gè)5之后得到的個(gè)位數(shù)字6除以8，就會(huì)得到最終的個(gè)位數(shù)字，6÷8的個(gè)位數(shù)字是2（就是2×8個(gè)位數(shù)字是6，當(dāng)然7×8的個(gè)位數(shù)字也是6，但是注意了2的個(gè)數(shù)要遠(yuǎn)多于495個(gè)，所以最終的去掉495個(gè)0之后的數(shù)一定是個(gè)偶數(shù)，所以只能是2．解答：解：此題中是1991個(gè)數(shù)字的連乘積，根據(jù)題干分析：所有數(shù)的乘積除以了495個(gè)5之后得到的個(gè)位數(shù)字是6，那還要除以495個(gè)2才可以，因?yàn)樗麄兂说揭黄鹱兂闪?95個(gè)0，再除以495個(gè)2就相當(dāng)于把末尾的0全部去掉了，那么此時(shí)的個(gè)位數(shù)字就是要求的第一個(gè)不為0的數(shù)．2的495次方的個(gè)位數(shù)字是8；2的n次方的個(gè)位數(shù)字是2，4，8，6四位一周期，495÷4=123…3；那么用剛才我們除以495個(gè)5之后得到的個(gè)位數(shù)字6除以8，就會(huì)得到最終的個(gè)位數(shù)字，6÷8的個(gè)位數(shù)字是2（就是2×8個(gè)位數(shù)字是6，當(dāng)然7×8的個(gè)位數(shù)字也是6，但是注意了2的個(gè)數(shù)要遠(yuǎn)多于495個(gè)，所以最終的去掉495個(gè)0之后的數(shù)一定是個(gè)偶數(shù)，所以只能是2．點(diǎn)評(píng)：將原式進(jìn)行分組整合討論，根據(jù)個(gè)位數(shù)字是2、5乘積的個(gè)位數(shù)字特點(diǎn)進(jìn)行分析，得出從右邊數(shù)第一位不為0的數(shù)字規(guī)律；根據(jù)2的連乘積的末位數(shù)的出現(xiàn)周期解決問(wèn)題，是本題的關(guān)鍵所在．12．有串自然數(shù)，已知第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)互質(zhì)，而且第一個(gè)數(shù)的恰好是第二個(gè)數(shù)的，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字正好是前兩個(gè)數(shù)的和，問(wèn)這串?dāng)?shù)的第1991個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)是幾？考點(diǎn)：周期性問(wèn)題．分析：（1）因?yàn)榈谝粋€(gè)數(shù)×=第二個(gè)數(shù)×，所以第一個(gè)數(shù)：第二個(gè)數(shù)=：=3：10．又兩數(shù)互質(zhì)，所以第一個(gè)數(shù)為3，第二個(gè)數(shù)為10，從而這串?dāng)?shù)為：3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…（2）要求這串?dāng)?shù)的第1991個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)是幾，可以先推理出得出這串?dāng)?shù)字除以3的余數(shù)的規(guī)律是什么；由此即可解決問(wèn)題．解答：解：根據(jù)題干分析可得這串?dāng)?shù)字為：3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…這串?dāng)?shù)字被3除所得的余數(shù)依次為：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，所以可以看出這串?dāng)?shù)字除以3的余數(shù)按“0，1，1，2，0，2，2，1”循環(huán)，周期為8．因?yàn)?991÷8=248…7，所以第1991個(gè)數(shù)被3除所得余數(shù)應(yīng)是第249周期中的第7個(gè)數(shù)，即2．答：這串?dāng)?shù)的第1991個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)是2．點(diǎn)評(píng)：解答此題應(yīng)注意以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）由于兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，所以這兩個(gè)數(shù)只能是最簡(jiǎn)整數(shù)比的兩個(gè)數(shù)；（2）求出這串?dāng)?shù)被3除所得的余數(shù)后，找出余數(shù)變化的周期，但這并不是這串?dāng)?shù)的周期．一般來(lái)說(shuō)，一些有規(guī)律的數(shù)串，被某一個(gè)整數(shù)逐個(gè)去除，所得的余數(shù)也具有周期性．13．表中，將每列上下兩個(gè)字組成一組，例如第一組為（共社），第二組為（產(chǎn)會(huì)），那么第340組是（好，好）．考點(diǎn)：周期性問(wèn)題．分析：此題分成兩部分來(lái)看：（1）上面一部分的周期為：四字一周期，分別為：共→產(chǎn)→黨→好；那么第340個(gè)字在340÷4=85周期最后一個(gè)，與第一組中第四個(gè)字“好”相同；（2）同樣的方法可以得出下面的周期為：五字一周期：社→會(huì)→主→義→好，由此即可解決問(wèn)題．解答：解：根據(jù)題干分析：（1）上面四字一周期，分別為：共→產(chǎn)→黨→好；那么第340個(gè)字在340÷4=85周期的最后一個(gè)，與第一組中第四個(gè)字“好”相同；（2）下面五字一周期，分別為：社→會(huì)→主→義→好，那么第340個(gè)字在340÷5=68周期最后一個(gè)數(shù)字，與第一周期的最后一個(gè)字“好”相同；答：由上述推理可得：第340組的數(shù)字是（好，好），故答案為：（好，好）．點(diǎn)評(píng)：此題也可以這樣考慮：因?yàn)椤肮伯a(chǎn)黨好”四個(gè)字，“社會(huì)主義好”五個(gè)字，4與5的最小公倍數(shù)是20，所以在連續(xù)寫(xiě)完5個(gè)“共產(chǎn)黨好”與4個(gè)“社會(huì)主義好”之后，將重復(fù)從頭寫(xiě)起，出現(xiàn)周期現(xiàn)象，而且每個(gè)周期是20組數(shù)．因?yàn)?40÷20=17，所以第340組正好寫(xiě)完第17個(gè)周期，第340組是（好，好）．14．甲、乙二人對(duì)一根3米長(zhǎng)的木棍涂色．首先，甲從木棍端點(diǎn)開(kāi)始涂黑5厘米，間隔5厘米不涂色，接著再涂黑5厘米，這樣交替做到底．然后，乙從木棍同一端點(diǎn)開(kāi)始留出6厘米不涂色，接著涂黑6厘米，再間隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上沒(méi)有被涂黑部分的長(zhǎng)度總和為75厘米．考點(diǎn)：公約數(shù)與公倍數(shù)問(wèn)題．分析：根據(jù)題意甲、乙從同一端點(diǎn)開(kāi)始涂色，甲按黑、白，黑、白交替進(jìn)行；乙按白、黑，白、黑交替進(jìn)行，如圖所示．由圖可知，甲黑、乙白從同一端點(diǎn)起，到再一次甲黑、乙白同時(shí)出現(xiàn)，應(yīng)是5與6的最小公倍數(shù)的