【初中數(shù)學】期末復習課（四）+第四章　圖形的相似+課件+北師大版數(shù)學九年級上冊+

總復習期末復習課期末復習課（四）（第四章圖形的相似）數(shù)學九年級上冊BS版知識梳理典例講練目錄CONTENTS數(shù)學九年級上冊BS版01知識梳理

等于

ad

＝

bc

ad

＝

bc

2.平行線分線段成比例.基本圖形：（“日”型，“A”型，“X”型）圖1圖2圖3

3.相似三角形的判定及性質(zhì).（1）相似三角形的判定.①判定一：兩角分別相等的兩個三角形相似（最常用的判定）.②判定二：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.③判定三：三邊成比例的兩個三角形相似.④相似多邊形的判定：每個角對應相等，每條邊對應成比例的

多邊形相似.（2）相似三角形（多邊形）的性質(zhì).①相似三角形對應

的比、對應

?的比和對

應

的比都等于相似比.②相似三角形（多邊形）的周長比等于

，面積比等

于

?.高

角平分線

中線

相似比

相似比的平方

4.相似三角形的幾種常見模型.模型圖形“平行線”型

“斜交”型（∠1＝∠2）

“垂直”型

5.圖形的位似.（1）一般地，如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點

P

，

P

'所

在的直線都經(jīng)過同一點

O

，且有

OP

'＝

k

·

OP

（

k

≠0），那么這

樣的兩個多邊形叫做

?.（2）位似多邊形除具有相似多邊形的所有性質(zhì)外，還具有下列

性質(zhì)：①對應頂點的連線經(jīng)過

；②對應邊平行或

在同一條直線上；③對應頂點到位似中心的距離之比等于

?

?.位似多邊形

位似中心

相

似比

數(shù)學九年級上冊BS版02典例講練類型一

成比例問題

如圖，

AD

是△

ABC

的中線，點

E

是

AD

上的一點，且3

AE

＝

AD

，

CE

的延長線交

AB

于點

F

.

若

AF

＝12cm，則

AB

＝

?cm.60

【思路導航】過點

D

作

FC

的平行線，可由平行線分線段成比例

得到線段的比值，再結(jié)合已知條件就可求得線段

AB

的長.【解析】如圖，過點

D

作

FC

的平行線

DG

，與

AB

交于點

G

.∵

AD

是△

ABC

的中線，根據(jù)平行線等分線段定理（或中位線性質(zhì)），得

BG

＝

FG

.

根據(jù)平行線分線段成比例定理，得

AF

∶

AG

＝

AE

∶

AD

.

∵

AF

＝12cm，3

AE

＝

AD

，∴

AG

＝36cm.∴

FG

＝36－12＝24（cm）.∴

BG

＝

FG

＝24cm.∴

AB

＝

AG

＋

BG

＝36＋24＝60（cm）.故答案為60.

【點撥】遇到線段比值問題時，首先考慮構(gòu)造平行線，構(gòu)造出

“A”型、“X”型斜交型或“垂直”型，再根據(jù)平行線分線段

成比例求出線段的長.同時，一些特殊位置點，例如中點，是中

考填空題常考內(nèi)容.我們要學會聯(lián)想中點在解決幾何問題中的兩

個重要內(nèi)容：分線段長（中位線）和面積.

1.如圖，已知直線

a

，

b

被三條互相平行的直線

l1，

l2，

l3所截，

AB

＝3，

BC

＝2，則

DE

∶

DF

＝

?.（第1題圖）3∶5

2.如圖，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，點

P

在

BC

邊上的高

AD

上，且2

AP

＝

PD

，

BP

的延長線交

AC

于點

E

.

若

S△

ABC

＝

10，則

S△

ABE

＝

，

S△

DEC

＝

?.（第2題圖）2

4

類型二

相似三角形的判定與性質(zhì)

如圖，在△

ABC

中，

AC

＝12，

AB

＝15，

BC

＝18，點

D

是

BC

邊上一點，

AC2＝

BC

·

CD

，連接

AD

，點

E

，

F

分別是

BC

，

AB

上的點（點

F

不與點

A

，

B

重合），∠

CFE

＝∠

B

，

CF

與

AD

相交于點

G

.

（1）求

AD

，

BD

的長；（2）求證：△

BEF

∽△

AFG

.

【思路導航】（1）由

AC2＝

BC

·

CD

，可求得

CD

的長，進而可

求得

BD

的長，再證明△

ABC

∽△

DAC

，由相似三角形的性質(zhì)

可求出

AD

的長；（2）由（1）可得∠

B

＝∠

BAD

，再根據(jù)已知

條件證明∠

BEF

＝∠

AFG

，即可證明△

BEF

∽△

AFG

.

（2）證明：由（1）可知，

AD

＝

BD

＝10.∴∠

B

＝∠

BAD

.

∵∠

BEF

＋∠

B

＝∠

AFG

＋∠

CFE

，∠

B

＝∠

CFE

，∴∠

BEF

＝∠

AFG

.

∴△

BEF

∽△

AFG

.

【點撥】在幾何解答題中，若題目中出現(xiàn)乘積式，則應該想到

的是相似三角形的性質(zhì)；若又含有平方，則考慮存在共邊，即

子母型相似，再從圖形入手.

2.如圖，在Rt△

ABC

中，已知∠

A

＝90°，

AB

＝20cm，

AC

＝

15cm，在這個直角三角形內(nèi)有一個內(nèi)接正方形，正方形的一邊

FG

在邊

BC

上，另兩個頂點

E

，

H

分別在邊

AB

，

AC

上.（1）求△

ABC

的

BC

邊上的高；

答圖（2）求正方形

EFGH

的邊長.

類型三

相似三角形的實際應用

如圖，某水平地面上建筑物的高度為

AB

，在點

D

和點

F

處

分別豎立高是2m的標桿

CD

和

EF

，兩標桿相隔8m，并且建筑

物

AB

、標桿

CD

和

EF

在同一豎直平面內(nèi).從標桿

CD

后退2m到

點

G

處，在點

G

處測得建筑物頂端

A

和標桿頂端

C

在同一條直線

上；從標桿

EF

后退4m到點

H

處，在點

H

處測得建筑物頂端

A

和標桿頂端

E

在同一條直線上.求建筑物

AB

的高度.【思路導航】由已知條件得到

AB

∥

CD

∥

EF

，于是有△

CDG

∽△

ABG

，△

EFH

∽△

ABH

，再利用相似三角形對應邊成比例

的性質(zhì)即可計算出

AB

的長度.

【點撥】構(gòu)造相似三角形，利用其性質(zhì)解決問題.

如圖，一電線桿

AB

的影子分別落在了地上和墻上.同一時刻，

小明豎起1m高的直桿

MN

，量得其影長

MF

為0.5m.量得電線桿

AB

落在地上的影子

BD

長3m，落在墻上的影子

CD

的高為2m.

你能利用小明測量的數(shù)據(jù)計算出電線桿

AB

的高嗎？解：如答圖，過點

C

作

CG

⊥

AB

于點

G

，則

GC

＝

BD

＝3m，

GB

＝

CD

＝2m.∵∠

NMF

＝∠

AGC

＝90°，

NF

∥

AC

，∴∠

NFM

＝∠

ACG

.

∴△

NMF

∽△

AGC

.

∴

AG

＝6m.∴

AB

＝

AG

＋

GB

＝6＋2＝8（m）.答圖故電線桿

AB

的高為8m.答圖類型四

圖形的位似

如圖，

在△

ABC

中，

已知

A

，

B

兩個頂點在

x

軸的上方，

點

C

的坐標是（1，0），以點

C

為位似中心，在

x

軸的下方作

△

ABC

的位似圖形△

A

'

B

'C

，使它與△

ABC

的相似比為2∶1.設

點

B

的橫坐標是

a

，則點

B

的對應點

B

'的橫坐標是

?.－2

a

＋3

【思路導航】設點

B

'的橫坐標為

x

，表示出

BC

，

B

'

C

的水平距

離，再根據(jù)相似比列式計算即可.【解析】設點

B

'的橫坐標為

x

，則點

B

，

C

間的水平距離為

a

－

1，

點

B

'，

C

間的水平距離為－

x

＋1.∵△

A

'

B

'

C

與△

ABC

的相

似比為2∶1，∴2（

a

－1）＝－

x

＋1.解得

x

＝－2

a

＋3.故答案

為－2

a

＋3.【點撥】在位似變換與坐標問題中，關鍵在于熟練運用數(shù)形結(jié)

合法，會在數(shù)與圖之間轉(zhuǎn)換.如此題中，將相似比為2∶1轉(zhuǎn)化為

B

'

C

＝2

BC

，又轉(zhuǎn)化為點

B

'，

C

的水平距離為點

B

，

C

水平距離

的2倍，最后轉(zhuǎn)化為坐標之間的關系（等式）.

如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，已

知點

O

及△

ABC

的頂點均為網(wǎng)格線的交點.（1）在給定網(wǎng)格中，以點

O

為位似中心，將△

ABC

放大，得到

△

A

'

B

'

C

'，使

A

'

C

'＝3

AC

.

請畫出△

A

'

B

'

C

'；（1）

解：如圖，△

A

'

B

'

C

'即為

所求.（2）

B

'

C

'的長度為

，△

A

'

B

'

C

'的面積為

?.

9

類型五

相似三角形中的等積式

如圖，已知四邊形

ABCD

是平行四邊形，

AE

⊥

BC

于點

E

，

AF

⊥

CD

于點

F

.

求證：（1）△

ABE

∽△

ADF

；（2）

CD

·

EF

＝

AC

·

AE

.

證明：（1）∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴∠

B

＝∠

D

.

∵

AE

⊥

BC

，

AF

⊥

CD

，∴∠

AEB

＝∠

AFD

＝90°.∴△

ABE

∽△

ADF

.

【點撥】證明等積式時，先將等積式化為比例式，再根據(jù)比例

式“橫看”或“豎看”找到要證明的兩個相似三角形.有時根據(jù)

比例式不能直接找到相似三角形，可能需要等線段替換或等比

替換，這需要多次嘗試.

如圖，在?

ABCD

中，已知對角線

AC

與

BD

相交于點

O

，點

E

是

DB

延長線上的一點，且

EA

＝

EC

，分別延長

AD

，

EC

交于點

F

.

（1）求證：四邊形

ABCD

是菱形；證明：（1）∵四邊形

ABCD

是平行四邊

形，∴

OA

＝

OC

.

又∵

EA

＝

EC

，∴

EO

⊥

AC

，即

BD

⊥

AC

.

∴?

ABCD

是菱形.（2）若∠

AEC

＝2∠

BAC

，求證：

CE

·

CF

＝

AF

·

AD

.

類型六

相似三角形中的動點問題

如圖，已知正方形

ABCD

的邊長是1，點

P

是

CD

的中點，點

Q

是線段

BC

上一動點.當

BQ

的長度為多少時，以點

A

，

D

，

P

為頂