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文檔簡介
總復習期末復習課期末復習課(四)(第四章圖形的相似)數(shù)學九年級上冊BS版知識梳理典例講練目錄CONTENTS數(shù)學九年級上冊BS版01知識梳理
等于
ad
=
bc
ad
=
bc
2.平行線分線段成比例.基本圖形:(“日”型,“A”型,“X”型)圖1圖2圖3
3.相似三角形的判定及性質(zhì).(1)相似三角形的判定.①判定一:兩角分別相等的兩個三角形相似(最常用的判定).②判定二:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.③判定三:三邊成比例的兩個三角形相似.④相似多邊形的判定:每個角對應相等,每條邊對應成比例的
多邊形相似.(2)相似三角形(多邊形)的性質(zhì).①相似三角形對應
的比、對應
?的比和對
應
的比都等于相似比.②相似三角形(多邊形)的周長比等于
,面積比等
于
?.高
角平分線
中線
相似比
相似比的平方
4.相似三角形的幾種常見模型.模型圖形“平行線”型
“斜交”型(∠1=∠2)
“垂直”型
5.圖形的位似.(1)一般地,如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點
P
,
P
'所
在的直線都經(jīng)過同一點
O
,且有
OP
'=
k
·
OP
(
k
≠0),那么這
樣的兩個多邊形叫做
?.(2)位似多邊形除具有相似多邊形的所有性質(zhì)外,還具有下列
性質(zhì):①對應頂點的連線經(jīng)過
;②對應邊平行或
在同一條直線上;③對應頂點到位似中心的距離之比等于
?
?.位似多邊形
位似中心
相
似比
數(shù)學九年級上冊BS版02典例講練類型一
成比例問題
如圖,
AD
是△
ABC
的中線,點
E
是
AD
上的一點,且3
AE
=
AD
,
CE
的延長線交
AB
于點
F
.
若
AF
=12cm,則
AB
=
?cm.60
【思路導航】過點
D
作
FC
的平行線,可由平行線分線段成比例
得到線段的比值,再結(jié)合已知條件就可求得線段
AB
的長.【解析】如圖,過點
D
作
FC
的平行線
DG
,與
AB
交于點
G
.∵
AD
是△
ABC
的中線,根據(jù)平行線等分線段定理(或中位線性質(zhì)),得
BG
=
FG
.
根據(jù)平行線分線段成比例定理,得
AF
∶
AG
=
AE
∶
AD
.
∵
AF
=12cm,3
AE
=
AD
,∴
AG
=36cm.∴
FG
=36-12=24(cm).∴
BG
=
FG
=24cm.∴
AB
=
AG
+
BG
=36+24=60(cm).故答案為60.
【點撥】遇到線段比值問題時,首先考慮構(gòu)造平行線,構(gòu)造出
“A”型、“X”型斜交型或“垂直”型,再根據(jù)平行線分線段
成比例求出線段的長.同時,一些特殊位置點,例如中點,是中
考填空題常考內(nèi)容.我們要學會聯(lián)想中點在解決幾何問題中的兩
個重要內(nèi)容:分線段長(中位線)和面積.
1.如圖,已知直線
a
,
b
被三條互相平行的直線
l1,
l2,
l3所截,
AB
=3,
BC
=2,則
DE
∶
DF
=
?.(第1題圖)3∶5
2.如圖,在等腰三角形
ABC
中,
AB
=
AC
,點
P
在
BC
邊上的高
AD
上,且2
AP
=
PD
,
BP
的延長線交
AC
于點
E
.
若
S△
ABC
=
10,則
S△
ABE
=
,
S△
DEC
=
?.(第2題圖)2
4
類型二
相似三角形的判定與性質(zhì)
如圖,在△
ABC
中,
AC
=12,
AB
=15,
BC
=18,點
D
是
BC
邊上一點,
AC2=
BC
·
CD
,連接
AD
,點
E
,
F
分別是
BC
,
AB
上的點(點
F
不與點
A
,
B
重合),∠
CFE
=∠
B
,
CF
與
AD
相交于點
G
.
(1)求
AD
,
BD
的長;(2)求證:△
BEF
∽△
AFG
.
【思路導航】(1)由
AC2=
BC
·
CD
,可求得
CD
的長,進而可
求得
BD
的長,再證明△
ABC
∽△
DAC
,由相似三角形的性質(zhì)
可求出
AD
的長;(2)由(1)可得∠
B
=∠
BAD
,再根據(jù)已知
條件證明∠
BEF
=∠
AFG
,即可證明△
BEF
∽△
AFG
.
(2)證明:由(1)可知,
AD
=
BD
=10.∴∠
B
=∠
BAD
.
∵∠
BEF
+∠
B
=∠
AFG
+∠
CFE
,∠
B
=∠
CFE
,∴∠
BEF
=∠
AFG
.
∴△
BEF
∽△
AFG
.
【點撥】在幾何解答題中,若題目中出現(xiàn)乘積式,則應該想到
的是相似三角形的性質(zhì);若又含有平方,則考慮存在共邊,即
子母型相似,再從圖形入手.
2.如圖,在Rt△
ABC
中,已知∠
A
=90°,
AB
=20cm,
AC
=
15cm,在這個直角三角形內(nèi)有一個內(nèi)接正方形,正方形的一邊
FG
在邊
BC
上,另兩個頂點
E
,
H
分別在邊
AB
,
AC
上.(1)求△
ABC
的
BC
邊上的高;
答圖(2)求正方形
EFGH
的邊長.
類型三
相似三角形的實際應用
如圖,某水平地面上建筑物的高度為
AB
,在點
D
和點
F
處
分別豎立高是2m的標桿
CD
和
EF
,兩標桿相隔8m,并且建筑
物
AB
、標桿
CD
和
EF
在同一豎直平面內(nèi).從標桿
CD
后退2m到
點
G
處,在點
G
處測得建筑物頂端
A
和標桿頂端
C
在同一條直線
上;從標桿
EF
后退4m到點
H
處,在點
H
處測得建筑物頂端
A
和標桿頂端
E
在同一條直線上.求建筑物
AB
的高度.【思路導航】由已知條件得到
AB
∥
CD
∥
EF
,于是有△
CDG
∽△
ABG
,△
EFH
∽△
ABH
,再利用相似三角形對應邊成比例
的性質(zhì)即可計算出
AB
的長度.
【點撥】構(gòu)造相似三角形,利用其性質(zhì)解決問題.
如圖,一電線桿
AB
的影子分別落在了地上和墻上.同一時刻,
小明豎起1m高的直桿
MN
,量得其影長
MF
為0.5m.量得電線桿
AB
落在地上的影子
BD
長3m,落在墻上的影子
CD
的高為2m.
你能利用小明測量的數(shù)據(jù)計算出電線桿
AB
的高嗎?解:如答圖,過點
C
作
CG
⊥
AB
于點
G
,則
GC
=
BD
=3m,
GB
=
CD
=2m.∵∠
NMF
=∠
AGC
=90°,
NF
∥
AC
,∴∠
NFM
=∠
ACG
.
∴△
NMF
∽△
AGC
.
∴
AG
=6m.∴
AB
=
AG
+
GB
=6+2=8(m).答圖故電線桿
AB
的高為8m.答圖類型四
圖形的位似
如圖,
在△
ABC
中,
已知
A
,
B
兩個頂點在
x
軸的上方,
點
C
的坐標是(1,0),以點
C
為位似中心,在
x
軸的下方作
△
ABC
的位似圖形△
A
'
B
'C
,使它與△
ABC
的相似比為2∶1.設
點
B
的橫坐標是
a
,則點
B
的對應點
B
'的橫坐標是
?.-2
a
+3
【思路導航】設點
B
'的橫坐標為
x
,表示出
BC
,
B
'
C
的水平距
離,再根據(jù)相似比列式計算即可.【解析】設點
B
'的橫坐標為
x
,則點
B
,
C
間的水平距離為
a
-
1,
點
B
',
C
間的水平距離為-
x
+1.∵△
A
'
B
'
C
與△
ABC
的相
似比為2∶1,∴2(
a
-1)=-
x
+1.解得
x
=-2
a
+3.故答案
為-2
a
+3.【點撥】在位似變換與坐標問題中,關鍵在于熟練運用數(shù)形結(jié)
合法,會在數(shù)與圖之間轉(zhuǎn)換.如此題中,將相似比為2∶1轉(zhuǎn)化為
B
'
C
=2
BC
,又轉(zhuǎn)化為點
B
',
C
的水平距離為點
B
,
C
水平距離
的2倍,最后轉(zhuǎn)化為坐標之間的關系(等式).
如圖,在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格圖中,已
知點
O
及△
ABC
的頂點均為網(wǎng)格線的交點.(1)在給定網(wǎng)格中,以點
O
為位似中心,將△
ABC
放大,得到
△
A
'
B
'
C
',使
A
'
C
'=3
AC
.
請畫出△
A
'
B
'
C
';(1)
解:如圖,△
A
'
B
'
C
'即為
所求.(2)
B
'
C
'的長度為
,△
A
'
B
'
C
'的面積為
?.
9
類型五
相似三角形中的等積式
如圖,已知四邊形
ABCD
是平行四邊形,
AE
⊥
BC
于點
E
,
AF
⊥
CD
于點
F
.
求證:(1)△
ABE
∽△
ADF
;(2)
CD
·
EF
=
AC
·
AE
.
證明:(1)∵四邊形
ABCD
是平行四邊形,∴∠
B
=∠
D
.
∵
AE
⊥
BC
,
AF
⊥
CD
,∴∠
AEB
=∠
AFD
=90°.∴△
ABE
∽△
ADF
.
【點撥】證明等積式時,先將等積式化為比例式,再根據(jù)比例
式“橫看”或“豎看”找到要證明的兩個相似三角形.有時根據(jù)
比例式不能直接找到相似三角形,可能需要等線段替換或等比
替換,這需要多次嘗試.
如圖,在?
ABCD
中,已知對角線
AC
與
BD
相交于點
O
,點
E
是
DB
延長線上的一點,且
EA
=
EC
,分別延長
AD
,
EC
交于點
F
.
(1)求證:四邊形
ABCD
是菱形;證明:(1)∵四邊形
ABCD
是平行四邊
形,∴
OA
=
OC
.
又∵
EA
=
EC
,∴
EO
⊥
AC
,即
BD
⊥
AC
.
∴?
ABCD
是菱形.(2)若∠
AEC
=2∠
BAC
,求證:
CE
·
CF
=
AF
·
AD
.
類型六
相似三角形中的動點問題
如圖,已知正方形
ABCD
的邊長是1,點
P
是
CD
的中點,點
Q
是線段
BC
上一動點.當
BQ
的長度為多少時,以點
A
,
D
,
P
為頂
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