專題04 幾何證明（解析版）

專題04幾何證明一、單選題1．下列命題的逆命題是假命題的是A．等腰三角形的兩個底角相等 B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．全等三角形三條對應邊相等 D．全等三角形的周長相等【答案】D【分析】根據(jù)真命題和假命題的定義以及逆命題與逆定理的定義分別判斷得出即可．【解析】A、等腰三角形的兩個底角相等的逆命題是：兩個角相等的三角形是等腰三角形，說法正確，是真命題；B、兩直線平行，內(nèi)錯角相等的逆命題為“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，逆命題為真命題，說法正確，是真命題；C、全等三角形三條對應邊相等的逆命題是：三條對應邊相等的是全等三角形，說法正確，是真命題；D、全等三角形的周長相等的逆命題是：周長相等的三角形是全等三角形，說法錯誤，是假命題；故選D．【點睛】此題主要考查了命題與定理，正確根據(jù)定義得出是解題關鍵．2．在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．，， D．1，，【答案】B【分析】利用勾股數(shù)的定義進行分析．【解析】、，0.4，0.5都不是正整數(shù)，，0.4，0.5不是勾股數(shù)，不符合題意；、，，24，25是勾股數(shù)，符合題意；、，，都不是正整數(shù)，，，不是勾股數(shù)，不符合題意；、，，都不是正整數(shù)，，，不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：．【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)，關鍵是掌握勾股數(shù)的定義：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．3．如圖，在中，，，，，則的長為（

）A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，然后根據(jù)角所對的直角邊等于斜邊的一半求出，再求出，然后求出，從而得到，根據(jù)等角對等邊可得，從而得解．【解析】解：，，，，，，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相應的性質(zhì)定理．4．在直角坐標系中，已知點、，則線段的長度是（

）．A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】本題考查的是兩點之間的距離公式，根據(jù)直角坐標系中兩點間的距離等于橫坐標差的平方加上縱坐標差的平方，再開算術平方根解答即可【解析】解：將A、B兩點坐標代入帶距離公式中有，所以答案選B【點睛】本題的關鍵是掌握兩點間距離公式5．如圖，在中，，是的中線，，，則的長等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，計算即可得出結果．【解析】解：∵，∴是直角三角形，∵是的中線，∴，∵，∴．故選：D【點睛】本題考查了直角三角形的特征，解本題的關鍵在熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半．6．如圖，點D在的邊BC上，點P在射線上（不與點A，D重合），連接，．下列命題中，假命題是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)逐項判斷即可．【解析】解：若，，則D是中點，∴是的垂直平分線，∴，∴故選項A是真命題，不符合題意；，即，又，∴是的垂直平分線，∴，∴故選項B是真命題，不符合題意；若，，則，D是中點，∴是的垂直平分線，∴，∴故選項C是真命題，不符合題意；若，，不能得到，故選項D是假命題，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查命題與定理，解題的關鍵是掌握等腰三角形的“三線合一”定理以及“垂直平分線上的任意一點到線段兩端點的距離相等”．7．如圖，在中，，的平分線交于點，于點，若的周長為，則的周長為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的周長公式即可求解．【解析】解：在中，，的平分線交于點，于點，，的周長為，，，的周長為，，在和中，∵，≌，．故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、三角形的周長公式、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．8．一艘漁船從港口沿北偏東60°方向航行60海里到達處時突然發(fā)生故障，位于港口正東方向的處的救援艇接到信號后，立即沿北偏東45°方向以40海里/小時的速度前去救援，救援艇到達處所用的時間為（

）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時【答案】D【分析】過點C作，垂足為點D，先求出的長度，再根據(jù)勾股定理求出的長度即可．【解析】解：過點C作，垂足為點D，∵，海里，∴海里，∵，∴，根據(jù)勾股定理得：海里，∴救援艇到達處所用的時間為：．故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理、含有角的直角三角形，以及等腰直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握含有角的直角三角形，所對的邊等于斜邊的一半．9．如圖所示的圖形中,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的邊長為8cm,則正方形a、b、c、d、e、f、g面積的和是(

)cm2.A．64 B．81 C．128 D．192【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理可知，Sg=Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd，求出最大正方形的面積即可求解.【解析】解：根據(jù)勾股定理知,Sg=Se+Sf，Se=Sa+Sb，Sf=Sc+Sd，∴Sg=Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd，∵最大的正方形的面積為Sg=（8×8）cm2=64cm2，∴正方形a、b、c、d、e、f、g面積的和是64×3=192cm2，故選D．【點睛】本題考查了勾股定理，一個直角三角形的斜邊的平方等于另外兩邊的平方和，這里邊的平方的幾何意義就是以該邊為邊的正方形的面積．10．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，過點A作AD⊥BA交BC于點D，過點D作DE⊥BC交AC于點E，則AE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得的長，再求出的長，即可確定的長．【解析】解：，，，，，設，則，根據(jù)勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，設，則，根據(jù)勾股定理，得，或（舍去），，，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關鍵．二、填空題11．將命題關于某直線對稱的兩個三角形全等”，改寫成“如果…，那么…”的形式：如果___________________________，那么________________________．【答案】

兩個三角形關于某直線對稱；

這兩個三角形全等．【分析】任何一個命題都可以寫成“如果…那么…”的形式，如果是條件，那么是結論．【解析】解：關于某直線對稱的兩個三角形全等，改寫成“如果…，那么…”的形式：如果兩個三角形關于某直線對稱，那么這兩個三角形全等故答案為：兩個三角形關于某直線對稱；這兩個三角形全等【點睛】本題考查了命題與定理，命題是有題設和結論構成．命題都能寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面是題設，“那么”后面是結論．12．以線段MN為斜邊的直角三角形直角頂點的軌跡是________．【答案】以MN為直徑圓（除M、N兩點外）【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，斜邊即為外接圓的直徑，故可確定答案．【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，斜邊即為外接圓的直徑，故以線段MN為斜邊的直角三角形直角頂點的軌跡是以線段MN中點為圓心，MN為直徑的圓（不包含M、N兩點）．故答案為：以MN為直徑圓（除M、N兩點外）．【點睛】本題考查了直角三角形的外接圓，確定直角三角形外接圓的圓心位置是解題的關鍵．13．若A(8，4)和點B(5，)間的距離是5，則＝____．【答案】8或0【分析】根據(jù)兩點的距離公式解答即可.【解析】根據(jù)兩點的距離公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0，故答案為：8或0.【點睛】此題考查直角坐標系中點與點間距離的計算公式，勾股定理，正確掌握計算公式是解題的關鍵.14．如圖，，請?zhí)砑右粋€條件，使．（1）添加________________，根據(jù)是________________；（2）添加________________，根據(jù)是________________；【答案】

【分析】（1）添加條件，再由條件：，可根據(jù)定理證明；（2）添加，同理由條件可以推導．【解析】解：（1）添加．理由：，，，，（2）添加．理由：，，，，故答案為：，；，（答案不唯一）．【點睛】此題主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．15．如圖，在中，是的垂直平分線，垂足為，交于點．若，的周長為15，則___________．【答案】9【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式即可得到答案．【解析】解：∵是的垂直平分線，∴，∴的周長，∵，∴故答案為：9．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．16．如圖，在中，，，，，平分，則______．【答案】【分析】過點作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解析】解：過點作于，∵平分，，，∴，∴：，故答案為：．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、三角形的面積計算，掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．17．如圖，在等腰直角中，，，為邊中點，，若，則四邊形AEDF的面積為___________．【答案】【分析】先連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求得，，，進而判定，得出即可．【解析】解：連接，如下圖由題意可得：，，∴∴∴∴故答案為：【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為的面積．18．如圖，點是的邊的中點，將沿直線翻折能與重合，若，，，則點到直線的距離為________【答案】【分析】連接，延長交于點，作于點，如圖所示，由折疊的性質(zhì)及中點性質(zhì)可得三角形為直角三角形，且為中點，從而，由勾股定理可得的長，再根據(jù)，即，從而可求得的長．【解析】連接，延長交于點，作于點，如圖所示，由折疊的性質(zhì)可得：，，則為的中垂線，，為中點，，，，，，，即，，即，在直角三角形中，由勾股定理可得：，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，點到直線的距離，直角三角形的判定、勾股定理、線段中垂線的判定，解決本題的關鍵是利用面積相等求相應線段的長．三、解答題19．已知命題“等腰三角形底邊上的高線與頂角的平分線重合”．（1）請寫出它的逆命題；（2）判斷該逆命題的真假，若為假命題，請說明理由，若為真命題，請證明．【答案】（1）底邊上的高線和頂角的角平分線重合的三角形是等腰三角形；（2）該逆命題是真命題，證明見解析．【分析】（1）兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題；據(jù)此寫出逆命題即可；（2）由（1）中寫出的逆命題判斷其真假，根據(jù)證明的步驟，先寫出已知、求證，再寫出證明過程即可．【解析】（1）原命題的條件是：三角形是等腰三角形；結論是：底邊上的高線和頂角的角平分線重合，∴逆命題是：底邊上的高線和頂角的角平分線重合的三角形是等腰三角形．（2）該逆命題是真命題，證明如下：如圖，已知：△ABC中，AD是BC邊的高線也是頂角∠BAC的角平分線．求證：AB=AC．∵AD是BC邊的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，在△BAD和△CAD中，，∴AB=AC．【點睛】本題考查了命題與定理，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．20．在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜邊AB，分別交AB、BC于D、E．若∠CAB=∠B+30°，CE=2cm．求∶（1）∠AEB度數(shù)．（2）BC的長．【答案】（1）120°；（2）6cm【分析】（1）根據(jù)DE垂直平分斜邊AB，可得EA=EB，從而∠EAB=∠B，結合條件可求出∠CAE=30°，然后可求∠AEB度數(shù)；（2）在△ACE中，∠C=90°，∠CAE=30°，所以AE=2CE=4，而AE=BE，BC=CE+BE=6．【解析】（1）解：∵DE垂直平分斜邊AB∴EA=EB∴∠EAB=∠B∵∠CAB=∠B+30°且∠CAB=∠CAE+∠EAB∴∠CAE=30°∴∠AEB=∠CAE+∠C=30°+90°=120°（2）在△ACE中，∵∠C=90°，∠CAE=30°，∴AE=2CE=4，又∵AE=BE，∴BC=CE+BE=6cm．21．如圖，已知四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=15，BC=20，AD=24，CD=7，求四邊形ABCD的面積．【答案】234【分析】連接AC，根據(jù)已知條件運用勾股定理逆定理可證△ABC和△ACD為直角三角形，然后代入三角形面積公式將兩直角三角形的面積求出來，兩者面積相加即為四邊形ABCD的面積．【解析】解：連接AC，如圖，∵，∴，∵AD2+CD2=242+72=625，AC2=252=625，∴AD2+CD2=AC2，∴∠D=90°，∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．22．如圖，在中，(1)用直尺和圓規(guī)作的平分線，交邊于點（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標注點）；(2)如果在（1）條件下點是的中點，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作已知角的角平分線的作圖方法進行作圖即可；（2）作交于點；作交于點；構造；即可得出結論；【解析】（1）解：作圖如下：（2）證明：如圖，作交于點；作交于點；由（1）可知：平分∴∵點是的中點∴在和中∴∴【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關鍵．23．如圖：已知BAC=30°，AT平分BAC，TE∥AC．（1）求證：是等腰三角形；（2）若，垂足為點D，AE=4cm，求TD的長．【答案】（1）見解析；（2）2cm【分析】（1）根據(jù)角平分線可得∠EAT=∠TAD,利用平行可得∠TAD=∠ETA,再利用等量代換即可得到∠EAT=∠ETA,進而證得是等腰三角形．（2）AT平分BAC,依據(jù)角平分線定理可得DT=TF在RT△TFE中,ET=4cm,∠FET=30°,則TF=2cm,則TD=2cm．【解析】解：（1）∵AT平分BAC．∴∠EAT=∠TAD．∵TE∥AC．∴∠TAD=∠ETA．∴∠EAT=∠ETA．∴是等腰三角形．（2）過點T作TFAB，垂足點F,∵AT平分BAC，TFAB，．∴據(jù)角平分線定理可得DT=TF．∵在RT△TFE中，ET=4cm，∠FET=30°，則TF=2cm,∴TD=2cm．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定,如何利用角平分線性質(zhì)作出輔助線是解決此問題的關鍵．24．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將這個三角形繞點A旋轉(zhuǎn)，使點B落在邊BC延長線上的點D處，點C落在點E處．求證：AD垂直平分線段CE．【答案】詳見解析.【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，進而利用等邊對等角和垂直平分線的判定證明即可．【解析】∵△ADE是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到，∴AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，∵AD=AB，∴∠ADC=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵AE=AC，∴AD垂直平分線段CE．【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC．25．如圖，在中，，把繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，點E在上，若，求及的長．【答案】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，則有，然后根據(jù)勾股定理可求解．【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：．【點睛】本題主要考查勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵．26．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AB中點，ED∥BC，且與∠ABC的平分線BD交于點D，聯(lián)結AD．(1)求證：AD⊥BD；(2)記BD與AC的交點為F，求證：BF＝2AD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，可證；（2）由“”可證，可得，由“”可證，可得．（1）解：證明：為中點，，平分，，，，，，，，，，，；（2）解：延長，交于點，在和中，，，，，，，，在和中，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是添加恰當輔助線構造全等三角形．27．如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，DB＝DC．（1）求證：BE＝CF；（2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求證：AB＝2DF．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）證明，；進而證明，即可解決問題；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和含的直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解析】證明：（1）平分，，，，；在和中，，，；（2）平分，，，，，，，，，在中，，，，平分，，，，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)及其應用等幾何知識點，熟悉相關性質(zhì)是解題的關鍵．28．在平面直角坐標系中有一等腰三角形，點A在y軸正半軸上，點B在x軸負半軸上．(1)如圖1，點C在第一象限，若，A、B兩點的坐標分別是，，求C點的坐標；(2)如圖2，點C在x正半軸上，點E、F分別是邊、上的點，若．求證：；(3)如圖3，點C與點O重合時點E在第三象限，，連接，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)見解析；(3)．【分析】（1）過點C作，垂足為M，則，求出，證明，得出，，則可得出答案；（2）證明，，可得，利用證明，