專題04 動點相切與最值（解析版）

專題04動點相切與最值典例分析典例分析：典例1如圖，∠ABC＝70°，O為射線BC上一點，以點O為圓心，12OB長為半徑做⊙O，要使射線BA與⊙O相切，應(yīng)將射線繞點典例1A．35°或70° B．40°或100° C．40°或90° D．50°或110°試題分析：設(shè)旋轉(zhuǎn)后與⊙O相切于點D，連接OD，則可求得∠DBO＝30°，再利用角的和差可求得∠ABD的度數(shù)．答案詳解：解：如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)后與⊙O相切于點D，連接OD，∵OD=12∴∠OBD＝30°，∴當(dāng)點D在射線BC上方時，∠ABD＝∠ABC﹣∠OBD＝70°﹣30°＝40°，當(dāng)點D在射線BC下方時，∠ABD＝∠ABC+∠OBD＝70°+30°＝100°，所以選：B．典例2如圖，已知線段OP交⊙O于點B，且OB＝PB＝4，點A是⊙O上的一個動點，那么點B到直線AP距離的最大值為2典例2試題分析：如圖，過點B作BH⊥AP于H，過點O作OT⊥AP于T．利用三角形中位線定理證明BH=12OT，求出答案詳解：解：如圖，過點B作BH⊥AP于H，過點O作OT⊥AP于T．∵∠BHP＝∠OTB＝90°，∴BH∥OT，∵BP＝OB，∴TH＝HP，∴BH=12當(dāng)PA與⊙O相切時，OT＝4，此時BH的值最大，最大值為2，所以答案是：2．實戰(zhàn)訓(xùn)練實戰(zhàn)訓(xùn)練一．動點與相切1．如圖，半圓O的直徑DE＝10cm，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝10cm，半圓O以1cm/s的速度從右到左運動，在運動過程中，D、E點始終在直線BC上，設(shè)運動時間為t（s），當(dāng)t＝0（s）時，半圓O在△ABC的右側(cè)，OC＝6cm，那么，當(dāng)t為1或6或11或26s時，△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切．試題分析：分四種情形分別求解即可解決問題．答案詳解：解：如圖，∵OC＝6，DE＝10，∴OD＝OE＝5，CD＝1，EC＝11，∴t＝1或11s時，⊙O與直線AC相切；當(dāng)⊙O′與AB相切時，設(shè)切點為M，連接O′M，在Rt△BMO′中，BO′＝2MO′＝10，∴OO′＝6，當(dāng)⊙O″與AB相切時，設(shè)切點為N，連接O′N，同法可得BO″＝10，OO″＝26，∴當(dāng)t＝6或26s時，⊙O與AB相切．所以答案是1或6或11或262．如圖，在矩形ABCD中，AB＝43cm，AD＝12cm，動點P以每秒1cm的速度從點C沿折線C﹣D﹣A勻速運動，到點A運動停止．以P為圓心作半徑為3cm的⊙P，當(dāng)⊙P與對角線BD相切時，點P的運動時間為43-2或63s試題分析：由矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)得出∠ADB＝30°，∠BDC＝60°，分兩種情況①當(dāng)⊙P與對角線BD相切，點P在CD上時；②當(dāng)⊙P與對角線BD相切，點P在AD上時；由直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．答案詳解：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠A＝90°，CD＝AB＝43，∴BD=AB2+AD∴∠ADB＝30°，∠BDC＝60°，①當(dāng)⊙P與對角線BD相切，點P在CD上時，如圖1所示：設(shè)QD為E，連接PE，則PE⊥BD，∴∠DPE＝30°，∴DE=33PE＝∴PD＝2DE＝2，∴CP＝43-2∵動點P以每秒1cm的速度從點C沿折線C﹣D﹣A勻速運動，∴點P的運動時間為43-2②當(dāng)⊙P與對角線BD相切，點P在AD上時，如圖2所示：設(shè)QD為F，連接PF，則PF⊥BD，∵∠ADB＝30°，∴PD＝2PF＝23，∴CD+PD＝63，∵動點P以每秒1cm的速度從點C沿折線C﹣D﹣A勻速運動，∴點P的運動時間為63秒；綜上所述，⊙P與對角線BD相切時，點P的運動時間為43-2（秒）或63所以答案是：43-2或633．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交于點B、C，半徑為1的⊙P的圓心P從點A（4，m）出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿射線AC的方向運動，設(shè)點P運動的時間為t秒，則當(dāng)t＝1或3或5秒時，⊙P與坐標(biāo)軸相切．試題分析：設(shè)⊙P與坐標(biāo)軸的切點為D，根據(jù)已知條件得到A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），求得AB＝22，AC＝22，OB＝OC＝2，推出△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①當(dāng)⊙P與x軸相切時，②如圖，⊙P與x軸和y軸都相切時，③當(dāng)點P只與y軸相切時，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．答案詳解：解：設(shè)⊙P與坐標(biāo)軸的切點為D，∵直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交于點B、C，點A（4，m），∴x＝0時，y＝﹣2，y＝0時，x＝2，x＝4時，y＝2，∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），∴AB＝22，AC＝42，OB＝OC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①當(dāng)⊙P與x軸相切時，∵點D是切點，⊙P的半徑是1，∴PD⊥x軸，PD＝1，∴△BDP是等腰直角三角形，∴BD＝PD＝1，PB=2∴AP＝AB﹣PB=2∵點P的速度為每秒2個單位長度，∴t＝1；②如圖，⊙P與x軸和y軸都相切時，∵PB=2∴AP＝AB+PB＝32，∵點P的速度為每秒2個單位長度，∴t＝3；③當(dāng)點P只與y軸相切時，∵PC=2∴AP＝AC+PC＝52，∵點P的速度為每秒2個單位長度，∴t＝5．綜上所述，則當(dāng)t＝1或3或5秒時，⊙P與坐標(biāo)軸相切，所以答案是：1或3或5．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，23），動點B、C從原點O同時出發(fā)，分別以每秒1個單位和每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運動，以點A為圓心，OB的長為半徑畫圓；以BC為一邊，在x軸上方作等邊△BCD．設(shè)運動的時間為t秒，當(dāng)⊙A與△BCD的邊BD所在直線相切時，t的值為43+6試題分析：作AH⊥BD于H，延長DB交y軸于E，如圖，利用切線的性質(zhì)得AH＝OB＝t，再利用等邊三角形的性質(zhì)得∠DBC＝60°，則∠OBE＝60°，所以O(shè)E=3OB=3t，AE＝2AH＝2t，從而得到23+3t＝2t答案詳解：解：作AH⊥BD于H，延長DB交y軸于E，如圖，∵⊙A與△BCD的邊BD所在直線相切，∴AH＝OB＝t，∵△BCD為等邊三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠OBE＝60°，∴∠OEB＝30°，在Rt△OBE中，OE=3OB=3在Rt△AHE中，AE＝2AH＝2t，∵A（0，23），∴OA＝23，∴23+3t＝2∴t＝43+6所以答案是：43+65．如圖，正方形ABCD的邊長為8．M是AB的中點，P是BC邊上的動點，連接PM，以點P為圓心，PM長為半徑作⊙P．當(dāng)⊙P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為（）A．3 B．43 C．3或43 D．不確定試題分析：分兩種情形分別求解：如圖1中，當(dāng)⊙P與直線CD相切時；如圖2中當(dāng)⊙P與直線AD相切時．設(shè)切點為K，連接PK，則PK⊥AD，四邊形PKDC是矩形；答案詳解：解：如圖1中，當(dāng)⊙P與直線CD相切時，設(shè)PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．如圖2中當(dāng)⊙P與直線AD相切時．設(shè)切點為K，連接PK，則PK⊥AD，四邊形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB=82-綜上所述，BP的長為3或43．所以選：C．二．圓中最值與相切6．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一過點C的動圓O與斜邊AB相切于動點P，連接CP．隨著切點P的位置不同，則圓O的半徑最小值為（）A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．1.2試題分析：如圖，作CP⊥AB于點P，當(dāng)C、O、P在同一條直線上時半徑最小，利用圓的切線性質(zhì)得出⊙O的半徑r的最小值，進而得出答案．答案詳解：解：如圖，作CP⊥AB于點P，當(dāng)C、O、P在同一條直線上時半徑最小，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=AC∵S△ABC=12AB?CP=12即5CP＝3×4，解得：CP=12即半徑最小值為：1.2，所以選：D．7．如圖，已知P是⊙O外一點，Q是⊙O上的動點，線段PQ的中點為M，連接OP，OM．若⊙O的半徑為2，OP＝4，則線段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3試題分析：取OP的中點N，連接MN，OQ，如圖可判斷MN為△POQ的中位線，則MN=12OQ＝1，則點M在以N為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)點M在ON上時，OM最小，最小值為答案詳解：解：設(shè)OP與⊙O交于點N，連接MN，OQ，如圖，∵OP＝4，ON＝2，∴N是OP的中點，∵M為PQ的中點，∴MN為△POQ的中位線，∴MN=12OQ=12∴點M在以N為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)點M在ON上時，OM最小，最小值為1，∴線段OM的最小值為1．所以選：B．8．如圖，已知⊙O的半徑為1，點P是⊙O外一點，且OP＝2．若PT是⊙O的切線，T為切點，連結(jié)OT，則PT＝3．試題分析：根據(jù)圓的切線性質(zhì)可得出△OPT為直角三角形，再利用勾股定理求得PT長度．答案詳解：解：∵PT是⊙O的切線，T為切點，∴OT⊥PT，在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，∴PT=OP故：PT=39．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C（6，8），以點C為圓心的圓與y軸相切．點A、B在x軸上，且OA＝OB．點P為⊙C上的動點，∠APB＝90°，則AB長度的最大值為32．試題分析：連接OC并延長，交⊙C上一點P，以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑作⊙O，交x軸于A、B，此時AB的長度最大，根據(jù)勾股定理和題意求得OP＝16，則AB的最大長度為32．答案詳解：解：連接OC并延長，交⊙C上一點P，以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑作⊙O，交x軸于A、B，此時AB的長度最大，∵C（6，8），∴OC=62∵以點C為圓心的圓與y軸相切．∴⊙C的半徑為6，∴OP＝OA＝OB＝16，∵AB是直徑，∴∠APB＝90°，∴AB長度的最大值為32，所以答案是32．10．如圖，半徑為1的⊙O與直線l相切于點A，C為⊙O上的一點，CB⊥l于點B，則AB+BC的最大值是（）A．2 B．12+3 C．2+1試題分析：延長AB到點D，使BD＝BC，則AB+BC＝AD，當(dāng)DC與⊙O相切于點C時，AD最大，則此時連接AO并延長交DC延長線于點E，則AE⊥AD，根據(jù)∠CDB＝45°，可得OC＝CE＝1，根據(jù)勾股定理可得OE的長，進而可得結(jié)論．答案詳解：解：如圖，延長AB到點D，使BD＝BC，則AB+BC＝AD，當(dāng)DC與⊙O相切于點C時，AD最大，則此時連接AO并延長交DC延長線于點E，則AE⊥AD，∵CB⊥l，∴∠DBC＝90°，∵BD＝BC，∴∠CDB＝45°，∵⊙O與直線l相切于點A，∴OA⊥l，∴∠OAD＝90°，∴∠AED＝45°，連接OC，則OC⊥DE，在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根據(jù)勾股定理，得OE=O∴AD＝AE＝AO+OE＝1+2則AB+BC的最大值是2+1所以選：C．11．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，⊙C的半徑為3，P為AB邊上一動點，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為3．試題分析：連接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝CB＝4，∠BCH=12∠ACB=12×60°＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BH=12AB＝2，CH=32BC=32×4＝23，由切線的性質(zhì)得到答案詳解：解：連接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如圖，∵等邊三角形ABC的邊長為4，∴AB＝CB＝4，∠BCH=12∠ACB=1∴BH=12AB＝2，CH=32BC=3∵PQ為⊙C的切線，∴CQ⊥PQ，在Rt△CPQ中，PQ=C∵點P是AB邊上一動點，∴當(dāng)點P運動到H點時，CP最小，即CP的最小值為23，∴PQ的最小值為12-3所以答案是：3．12．如圖①，半徑為2的圓O外有一點P，且OP＝6，點A是⊙O上一點，則線段PA長的最大值為8，最小值為4；問題解決（2）如圖②，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，求線段PB的距離的最小值；（3）如圖③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F為邊AC上的動點，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，求線段PB的距離的最小值．試題分析：（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得；（2）由PF＝CF＝2得，點P在以F為圓心，半徑為2的圓上運動，由（1）結(jié)論可得；（3）設(shè)CF＝x，對應(yīng)PB的最小值