河南省鄭州市鄭州經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

河南省鄭州市鄭州經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（共10小題）1．（3分）下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．笛卡爾心形線 B．阿基米德螺旋線 C．科克曲線 D．趙爽弦圖2．（3分）已知x＜y，則下列不等式成立的是（）A．x﹣2＞y﹣2 B．2x＞2y C．﹣2x+3＞﹣2y+3 D．﹣2x＜﹣2y3．（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x2+2x+4＝（x+1）2+34．（3分）已知點P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為（）A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm6．（3分）今年2月，某種口罩單價，上漲3元，同樣花費120元買這種口罩，漲價前可以比漲價后多買2個，設(shè)漲價后每個口罩x元，可列出的正確的方程是（）A．＝2 B．＝2 C．＝3 D．＝37．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB的中點，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（）A．10 B．12 C．9 D．68．（3分）如果不等式組無解，那么m的取值范圍是（）A．m＞8 B．m≥8 C．m＜8 D．m≤89．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，此時點A'恰好在AB邊上，則點B'與點B之間的距離為（）A．12 B．6 C． D．10．（3分）等邊三角形ABC的邊長為6，點O是三邊垂直平分線的交點，∠FOG＝120°，∠FOG的兩邊OF，OG與AB，BC分別相交于D，E，∠FOG繞O點順時針旋轉(zhuǎn)時，下列四個結(jié)論正確個數(shù)是（）①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四邊形ODBE＝；④△BDE周長最小值是9A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二.填空題（共5小題）11．（3分）如果分式的值為0，那么x的值為．12．（3分）如圖，∠C＝90°，將直角△ABC沿著射線BC方向平移5cm，得△A'B'C'，若BC＝3cm，AC＝4cm，則陰影部分的周長為．13．（3分）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線都經(jīng)過點A（3，1），當(dāng)時，x的取值范圍是．14．（3分）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的三等分角儀能三等分任意一個角，這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞點O轉(zhuǎn)動，C點固定，OC＝CD＝DE，點D，E可在槽中滑動，若∠BDE＝75°，則∠DCE的度數(shù)是°．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，AB的垂直平分線MN交AB于E，交AC于點D，將線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），點C的對應(yīng)點為點F，連接BF，BD．當(dāng)△BDF為直角三角形時，BF的長為．三.解答題（共7小題）16．（6分）先化簡，再求值：，其中a＝．17．（7分）在正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為“格點”，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點均在“格點”處．（1）在給定方格紙中，點B與點B'對應(yīng)，請畫出平移后的△A'B'C'；（2）線段AA'與線段CC'的關(guān)系是；（3）求平移過程中，線段BC掃過的面積．18．（7分）某實踐探究小組想測得湖邊兩處的距離，數(shù)據(jù)勘測組通過勘測，得到了如下記錄表：實踐探究活動記錄表活動內(nèi)容測量湖邊A、B兩處的距離成員??組長：××??組員：××××××××××××工具測角儀，皮尺等測量示意圖說明：因為湖邊A、B兩處的距離無法直接測量，數(shù)據(jù)勘測組在湖邊找了一處位置C，可測量C處到A、B兩處的距離，通過測角儀可測得∠A、∠B、∠C的度數(shù)．測量數(shù)據(jù)角的度數(shù)∠A＝30°∠B＝45°∠C＝105°邊的長度BC＝40.0米AC＝56.4米數(shù)據(jù)處理組得到上面數(shù)據(jù)以后做了認(rèn)真分析，他們發(fā)現(xiàn)不需要勘測組的全部數(shù)據(jù)就可以計算出A、B之間的距離．于是數(shù)據(jù)處理組寫出了以下過程，請補全內(nèi)容．已知：如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，．（從記錄表中再選一個條件填入橫線）求：線段AB的長（為減小結(jié)果的誤差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45進行計算，最后結(jié)果保留整數(shù)．）19．（8分）仔細閱讀下面例題：例題：已知二次三項式x2+5x+m有一個因式是x+2，求另一個因式以及m的值．解：設(shè)另一個因式為px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n），對比等式左右兩邊x的二次項系數(shù)，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）．則x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，∴n+2＝5，m＝2n，解得n＝3，m＝6，∴另一個因式為x+3，m的值為6．依照以上方法解答下面問題：（1）若二次三項式x2﹣7x+12可分解為（x﹣3）（x+a），則a＝；（2）若二次三項式2x2+bx﹣6可分解為（2x+3）（x﹣2），則b＝；（3）已知代數(shù)式2x3+x2+kx﹣3有一個因式是2x﹣1，求另一個因式以及k的值．20．（8分）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，任務(wù)取得圓滿成功．航模店看準(zhǔn)商機，推出了“神舟”和“天宮”模型．已知每個“天宮”模型的成本比“神舟”模型低20%，同樣花費320元，購進“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多4個．（1）“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？（2）該航模店計劃購買兩種模型共100個，且每個“神舟”模型的售價為35元，“天宮”模型的售價為25元．設(shè)購買“神舟”模型a個，銷售這批模型的利潤為w元．①求w與a的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出a的取值范圍）；②若購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的一半，則購進“神舟”模型多少個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？21．（9分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點P在AC上運動，點D在AB上運動，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．（1）判斷DE與PD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，求線段DE的長．22．（10分）綜合與實踐﹣﹣探究特殊三角形中的相關(guān)問題問題情境：某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖2，AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，BC與EF交于點P．（1）初步探究：勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝時，△AMC是等腰三角形；（2）深入探究：敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過程中．如果連接AP，CE，那么AP所在的直線是線段CE的垂直平分線，請幫他們證明；（3）再探究：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝30°時，求△ABC與△AFE重疊的面積；（4）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不能，說明理由．參考答案與試題解析一.選擇題（共10小題）1．（3分）下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．笛卡爾心形線 B．阿基米德螺旋線 C．科克曲線 D．趙爽弦圖【解答】解：A．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B．既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：C．2．（3分）已知x＜y，則下列不等式成立的是（）A．x﹣2＞y﹣2 B．2x＞2y C．﹣2x+3＞﹣2y+3 D．﹣2x＜﹣2y【解答】解：A、在不等式x＜y的兩邊同時減去2，不等式仍成立，即x﹣2＜y﹣2，原變形錯誤，故本選項不符合題意；B、在不等式x＜y的兩邊同時乘以2，不等式仍成立，即2x＜2y，原變形錯誤，故本選不項符合題意；C、在不等式x＜y的兩邊同時乘以﹣2，不等式的符號方向改變，即﹣2x＞﹣2y，在不等式﹣2x＞﹣2y的兩邊同時加上3，不等式仍成立，即﹣2x+3＞﹣2y+3，原變形正確，故本選項符合題意；D、在不等式x＜y的兩邊同時乘以﹣2，不等式的符號方向改變，即﹣2x＞﹣2y，原變形錯誤，故本選項不符合題意；故選：C．3．（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x2+2x+4＝（x+1）2+3【解答】解：A．從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；B．從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；C．從左至右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；D．從左至右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；故選：C．4．（3分）已知點P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：已知點P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，3﹣m＜0且m﹣1＞0，解得m＞3，m＞1，故選：A．5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為（）A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm【解答】解：連接AM、AN、過A作AD⊥BC于D，∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，∴AB＝＝2cm＝AC，∵AB的垂直平分線EM，∴BE＝AB＝cm同理CF＝cm，∴BM＝＝2cm，同理CN＝2cm，∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，故選：B．6．（3分）今年2月，某種口罩單價，上漲3元，同樣花費120元買這種口罩，漲價前可以比漲價后多買2個，設(shè)漲價后每個口罩x元，可列出的正確的方程是（）A．＝2 B．＝2 C．＝3 D．＝3【解答】解：設(shè)漲價后每個口罩x元，可列出方程為：＝2．故選：B．7．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB的中點，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（）A．10 B．12 C．9 D．6【解答】解：過D作DF⊥AB于F，∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD＝3，∴DF＝CD＝3，∵點E為AB的中點，AB＝12，∴BE＝6，∴△DBE的面積＝BE?DF＝×6×3＝9，故選：C．8．（3分）如果不等式組無解，那么m的取值范圍是（）A．m＞8 B．m≥8 C．m＜8 D．m≤8【解答】解：因為不等式組無解，即x＜8與x＞m無公共解集，利用數(shù)軸可知m≥8．故選：B．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，此時點A'恰好在AB邊上，則點B'與點B之間的距離為（）A．12 B．6 C． D．【解答】解：連接B'B，∵將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，∴AC＝A'C，AB＝A'B'，∠A＝∠CA'B'＝60°，∴△AA'C是等邊三角形，∴∠AA'C＝60°，∴∠B'A'B＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，∴∠ACA'＝∠BCB'＝60°，BC＝B'C，∠CB'A'＝∠CBA＝90°﹣60°＝30°，∴△BCB'是等邊三角形，∴∠CB'B＝60°，∵∠CB'A'＝30°，∴∠A'B'B＝30°，∴∠B'BA'＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，∴AB＝12，∴A'B＝AB﹣AA'＝AB﹣AC＝6，∴B'B＝6，故選：D．10．（3分）等邊三角形ABC的邊長為6，點O是三邊垂直平分線的交點，∠FOG＝120°，∠FOG的兩邊OF，OG與AB，BC分別相交于D，E，∠FOG繞O點順時針旋轉(zhuǎn)時，下列四個結(jié)論正確個數(shù)是（）①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四邊形ODBE＝；④△BDE周長最小值是9A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：連接OB、OC，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵點O是等邊△ABC的內(nèi)心和外心，∴OB＝OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，①正確；∴S△BOD＝S△COE，∴四邊形ODBE的面積＝S△OBC＝S△ABC＝××62＝3，③錯誤；作OH⊥DE，如圖，則DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∴S△ODE＝?OE?OE＝OE2，即S△ODE隨OE的變化而變化，而四邊形ODBE的面積為定值，∴S△ODE≠S△BDE；②錯誤；∵BD＝CE，∴△BDE的周長＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝6+DE＝6+OE，當(dāng)OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，此時OE＝，∴△BDE周長的最小值＝6+3＝9，④正確．故選：B．二.填空題（共5小題）11．（3分）如果分式的值為0，那么x的值為2．【解答】解：由題意得：x2﹣4＝0，且x+2≠0，解得：x＝2，故答案為：2．12．（3分）如圖，∠C＝90°，將直角△ABC沿著射線BC方向平移5cm，得△A'B'C'，若BC＝3cm，AC＝4cm，則陰影部分的周長為16cm．【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝5（cm），∵AA′＝BB′＝5cm，∴CB′＝BB′﹣BC＝5﹣3＝2（cm），∴陰影部分的周長＝AC+CB′+A′B′+AA′＝4+2+5+5＝16（cm）．故答案為：16cm．13．（3分）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線都經(jīng)過點A（3，1），當(dāng)時，x的取值范圍是0≤x＜3．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過點A（3，1），由圖象可知，當(dāng)kx+b＞x≥0時，x的取值范圍是0≤x＜3，故答案為：0≤x＜3．14．（3分）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的三等分角儀能三等分任意一個角，這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞點O轉(zhuǎn)動，C點固定，OC＝CD＝DE，點D，E可在槽中滑動，若∠BDE＝75°，則∠DCE的度數(shù)是50°．【解答】解：設(shè)∠O＝x°，∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO＝x°，∴∠DEC＝∠DCE＝∠O+∠CDO＝2x°，∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝x°+2x°＝3x°＝75°，∴x°＝25°，∴∠DCE＝2x°＝50°，故答案為：50．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，AB的垂直平分線MN交AB于E，交AC于點D，將線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），點C的對應(yīng)點為點F，連接BF，BD．當(dāng)△BDF為直角三角形時，BF的長為2或．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴，∵AB的垂直平分線MN交AB于E，交AC于點D，∴MN⊥AB，EA＝EB＝AB＝2，DB＝DA，在Rt△AMD中，MN⊥AB，∠A＝30°，∴DE＝＝，，∴，，∵DF由線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，在Rt△BDF中，，，當(dāng)BF為直角邊時，，當(dāng)BF為斜邊時，，故答案為：2或．三.解答題（共7小題）16．（6分）先化簡，再求值：，其中a＝．【解答】解：原式＝1﹣÷＝1﹣?＝1﹣＝＝﹣，當(dāng)a＝﹣1時，原式＝﹣＝﹣．17．（7分）在正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為“格點”，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點均在“格點”處．（1）在給定方格紙中，點B與點B'對應(yīng)，請畫出平移后的△A'B'C'；（2）線段AA'與線段CC'的關(guān)系是平行且相等；（3）求平移過程中，線段BC掃過的面積．【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求；（2）由平移可知：線段AA'與線段CC'的關(guān)系是平行且相等；（3）由圖可知：線段BC掃過的部分為平行四邊形BCC′B′，∴面積為5×3＝15．18．（7分）某實踐探究小組想測得湖邊兩處的距離，數(shù)據(jù)勘測組通過勘測，得到了如下記錄表：實踐探究活動記錄表活動內(nèi)容測量湖邊A、B兩處的距離成員??組長：××??組員：××××××××××××工具測角儀，皮尺等測量示意圖說明：因為湖邊A、B兩處的距離無法直接測量，數(shù)據(jù)勘測組在湖邊找了一處位置C，可測量C處到A、B兩處的距離，通過測角儀可測得∠A、∠B、∠C的度數(shù)．測量數(shù)據(jù)角的度數(shù)∠A＝30°∠B＝45°∠C＝105°邊的長度BC＝40.0米AC＝56.4米數(shù)據(jù)處理組得到上面數(shù)據(jù)以后做了認(rèn)真分析，他們發(fā)現(xiàn)不需要勘測組的全部數(shù)據(jù)就可以計算出A、B之間的距離．于是數(shù)據(jù)處理組寫出了以下過程，請補全內(nèi)容．已知：如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝40.0米（答案不唯一）．（從記錄表中再選一個條件填入橫線）求：線段AB的長（為減小結(jié)果的誤差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45進行計算，最后結(jié)果保留整數(shù)．）【解答】解：若選擇的條件是：BC＝40.0米，過點C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△BCD中，∠B＝45°，BC＝40米，∴BD＝BC?cos45°＝40×＝20（米），CD＝BC?sin45°＝40×＝20（米），在Rt△ADC中，∠A＝30°，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD+BD＝20+20≈77（米），∴線段AB的長約為77米；若選擇的條件是：AC＝56.4米，過點C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝56.4米，∴CD＝AC＝28.2（米），AD＝CD＝28.2（米），在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝＝28.2（米），∴AB＝AD+BD＝28.2+28.2≈77（米），∴線段AB的長約為77米．19．（8分）仔細閱讀下面例題：例題：已知二次三項式x2+5x+m有一個因式是x+2，求另一個因式以及m的值．解：設(shè)另一個因式為px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n），對比等式左右兩邊x的二次項系數(shù)，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）．則x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，∴n+2＝5，m＝2n，解得n＝3，m＝6，∴另一個因式為x+3，m的值為6．依照以上方法解答下面問題：（1）若二次三項式x2﹣7x+12可分解為（x﹣3）（x+a），則a＝﹣4；（2）若二次三項式2x2+bx﹣6可分解為（2x+3）（x﹣2），則b＝﹣1；（3）已知代數(shù)式2x3+x2+kx﹣3有一個因式是2x﹣1，求另一個因式以及k的值．【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+a）＝x2﹣3x+ax﹣3a＝x2+（a﹣3）x﹣3a＝x2﹣7x+12．∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，解得：a＝﹣4．（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2+3x﹣4x﹣6＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6．∴b＝﹣1．（3）設(shè)另一個因式為（ax2+bx+c），得2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（ax2+bx+c）．對比左右兩邊三次項系數(shù)可得：a＝1．于是2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（x2+bx+c）．則2x3+x2+kx﹣3＝2x3﹣x2+2bx2﹣bx+2cx﹣c＝2x3+（2b﹣1）x2+（2c﹣b）x﹣c．∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．解得：c＝3，b＝1，k＝5．故另一個因式為x2+x+3，k的值為5．20．（8分）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，任務(wù)取得圓滿成功．航模店看準(zhǔn)商機，推出了“神舟”和“天宮”模型．已知每個“天宮”模型的成本比“神舟”模型低20%，同樣花費320元，購進“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多4個．（1）“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？（2）該航模店計劃購買兩種模型共100個，且每個“神舟”模型的售價為35元，“天宮”模型的售價為25元．設(shè)購買“神舟”模型a個，銷售這批模型的利潤為w元．①求w與a的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出a的取值范圍）；②若購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的一半，則購進“神舟”模型多少個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？【解答】解：（1）設(shè)“神舟”模型成本為每個x元，則“天宮”模型成本為每個（1﹣20%）x＝0.8x（元），根據(jù)題意得：＝﹣4，解得x＝20，經(jīng)檢驗，x＝20是原方程的解，且符合實際意義，0.8x＝16（元），答：“神舟”模型成本為每個20元，“天宮”模型成本為每個16元；（2）①設(shè)購買“神舟”模型a個，則購買“天宮”模型（100﹣a）個，則w＝（35﹣20）a+（25﹣16）（100﹣a）＝6a+900，∴w與a的函數(shù)關(guān)系式為w＝6a+900；②∵購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天官”模型數(shù)量的一半，∴a≤（100﹣a），解得a≤，∵w＝6a+900，6＞0，a是正整數(shù)，∴當(dāng)a＝33時，w最大，最大值為1098，答：購進“神舟”模型33個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤是1098元．21．（9分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點P在AC上運動，點D在AB上運動，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．（1）判斷DE與PD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，求線段DE的長．【解答】解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分線，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）連接PE，設(shè)DE＝x，則EB＝ED＝x，CE＝4﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴22+（4﹣x）2＝12+x2，解得：x＝，則DE＝．22．（10分）綜合與實踐﹣﹣探究特殊三角形中的相關(guān)問題問題情境：某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°