新高考專用備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)易錯題專題02函數(shù)及其應(yīng)用指對冪函數(shù)教師版

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題02函數(shù)及其應(yīng)用、指對冪函數(shù)易錯點(diǎn)一：對函數(shù)定義域、值域及解析式理解存在偏差（定義域、值域及解析式的求算）已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法法1：若是由一些基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算構(gòu)成的，則它的定義域?yàn)楦骰境醯群瘮?shù)的定義域的交集.法2：復(fù)合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可.函數(shù)解析式的常見求法法1：配湊法：已知，求的問題，往往把右邊的整理或配湊成只含的式子，然后用將代換.法2：待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法，比如二次函數(shù)可設(shè)為，其中是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出即可.法3：換元法：已知，求時，往往可設(shè)，從中解出，代入進(jìn)行換元.應(yīng)用換元法時要注意新元的取值范圍.法4：解方程組法：已知滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如(或)等，可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出．分段函數(shù)第一步：求分段函數(shù)的函數(shù)值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應(yīng)的解析式求值．第二步：當(dāng)出現(xiàn)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．第三步：當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的端點(diǎn)。結(jié)論：復(fù)合函數(shù)：一般地，對于兩個函數(shù)和，如果通過變量可以表示成的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，記作，其中叫做復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)，叫做的內(nèi)層函數(shù).抽象函數(shù)的定義域的求法：(1)若已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則復(fù)合函數(shù)的家義域由求出.(2)若已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)樵跁r的值域.易錯提醒：函數(shù)的概念①一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個對應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應(yīng)，那么從集合到集合的這個對應(yīng)，叫做從集合到集合的一個函數(shù).記作：，.集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合叫做值域，記為.②函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.③函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為，④函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則.⑤同一函數(shù)：兩個函數(shù)只有在定義域和對應(yīng)法則都相等時，兩個函數(shù)才相同.基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：①分式的分母不為零；②偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：③對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；④零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；⑤三角函數(shù)中的正切的定義域是且；⑥已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應(yīng)法則∫下，括號內(nèi)式子的范圍相同；⑦對于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域.基本初等函數(shù)的值域①的值域是.②的值域是：當(dāng)時，值域?yàn)椋划?dāng)時，值域?yàn)椋鄣闹涤蚴?④且的值域是.⑤且的值域是.分段函數(shù)的應(yīng)用分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．例1．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，解得，則定義域?yàn)椋蔬x：C.變式1：設(shè)，若，則（

）A．14 B．16 C．2 D．6【答案】A【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則，解得，若，則，可得，不合題意；若，則，可得，解得；綜上所述：.所以.故選：A.變式2：已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，所以．故選:C.變式3：已知函數(shù)，則下列正確的是（

）A． B． C． D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緽【詳解】對選項(xiàng)A，，故A錯誤；對選項(xiàng)B，，故B正確．對選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，，故C錯誤；對選項(xiàng)D，當(dāng)時，，函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時，，函數(shù)的值域?yàn)椋忠驗(yàn)闀r，，所以當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)椋C上，函數(shù)的值域?yàn)椋蔇錯誤．故選：B1．已知函數(shù)，則（

）A． B．3 C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則,令，則，又因?yàn)?，所以，所以，故選：B.2．給出下列個函數(shù)，其中對于任意均成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，當(dāng)時，；當(dāng)時，，與函數(shù)定義矛盾，不符合；對于B，當(dāng)時，；當(dāng)時，，與函數(shù)定義矛盾，不符合；對于C，當(dāng)時，；當(dāng)時，，與函數(shù)定義矛盾，不符合；對于D，令，則，所以，令，所以，所以，所以，符合.故選：D.3．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，則，且，則，可得，所以.故選：B.4．已知函數(shù)滿足，則可能是（

）．A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，，則，，不滿足；對于B，，則，，不滿足；對于C，，則，，不滿足；對于D，，當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故，即此時滿足，D正確，故選：D5．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，即，解得，所以，由，所以，所以，所以．故選：D．6．集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：，，所以.故選：B.易錯點(diǎn)二：忽視單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的主次（函數(shù)的單調(diào)性與最值）1.函數(shù)的單調(diào)性是對函數(shù)定義內(nèi)的某個區(qū)間而言的。2.函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性是函數(shù)在該區(qū)間上的整體性質(zhì)。3.函數(shù)的單調(diào)定義中的、有三個特征：（1）任意性（2）有大小（3）屬于同一個單調(diào)區(qū)間。4.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先求定義域。5.判斷函數(shù)單調(diào)性常用以下幾種方法：方法1：定義法：一般步驟為設(shè)元作差變形判斷符號→得出結(jié)論.方法2：圖象法：如果是以圖象形式給出的，或者的圖象易作出，則可由圖象的上升或下?確定單調(diào)性.方法3：導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.方法4：性質(zhì)法：（1）對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及增減性質(zhì)進(jìn)行判斷；6.求函數(shù)最值（值域）的常用方法方法1：單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.方法2：圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.方法3：基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.方法4：導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.結(jié)論：1.單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；③定號：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：結(jié)論1：若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；結(jié)論2：若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；結(jié)論3：若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；結(jié)論4：若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．易錯提醒：1.函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間：如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，符號一致那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，，當(dāng)時，都有，符號相反那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．①屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；②任意兩個自變量，且；③都有或；④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象上坡路，減函數(shù)的圖象下坡路．（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).2．函數(shù)的最值前提：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足條件：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得結(jié)論為最大值（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得結(jié)論為最小值例．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)函數(shù)，則函數(shù)是由二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的.當(dāng)時，由于函數(shù)單調(diào)遞減，而二次函數(shù)的圖象開口向上，在區(qū)間上不可能單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，故不滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又其對稱軸為，故，所以.故選：C.變式1．下列函數(shù)中，滿足“對任意的，使得”成立的是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，“對任意的，使得”，則函數(shù)在上為減函數(shù).對于選項(xiàng)A，，為二次函數(shù)，其對稱軸為x＝－1，在上遞減，符合題意；對于選項(xiàng)B，，其導(dǎo)數(shù)，所以在上遞增，不符合題意；對于選項(xiàng)C，為一次函數(shù)，所以在上遞增，不符合題意；對于選項(xiàng)D，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”知，在上單調(diào)遞增，不符合題意.故選：A.變式2．若定義在上的函數(shù)同時滿足：①為奇函數(shù)；②對任意的，且，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)閷θ我獾?，且，都有，即對任意兩個不相等的正實(shí)數(shù)不妨設(shè)，都有，所以有，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，即有，有，所以有，所以為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)，即時，有,由，得，所以，解得，此時無解；當(dāng)，即時，由，得，所以，解得或．綜上所述，不等式的解集為．故選：C.變式3．定義在上的函數(shù)滿足：對，且都有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意：當(dāng)時，，當(dāng)時,可得函數(shù)在單調(diào)遞增.則，在同一坐標(biāo)系中畫出與圖象.得，則不等式的解集為，故選：B.

1．已知函數(shù)，若對于一切的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，則，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋?，即恒成立，故函?shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)椋?，即，?dāng)時，左邊成立，故符合題意；當(dāng)時，有，解得：，綜上所述：的取值范圍為：.故選：D.2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閷θ我獾?，都有，此時，則，所以在單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，，所以當(dāng)和時，；當(dāng)和時，.由，即，所以或或或，所以或或或無解，所以原不等式解集為故選：D3．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)，則，即，解得，所以的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，所以不等式，即，等價于，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，且對任意的，，滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，是定義在上的奇函數(shù)，對任意的，，，滿足，在上單調(diào)遞減，所以在上也單調(diào)遞減，又所以，且，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以由可得或或，解得或，即不等式的解集為．故選：C.5．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得．因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，，所以為奇函數(shù)，因此．又，所以．當(dāng)時，單調(diào)遞增，而為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得，故的取值范圍為．故選：D.6．為定義在上的偶函數(shù)，對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對任意的，都有，則，令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，所以，即為偶函數(shù)，又，由，可得，即，所以，所以的解集為，故選：A.7．函數(shù)，其中，則滿足的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)時，，顯然函數(shù)在上為減函數(shù)，此時，.因?yàn)?，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，綜上可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，等價于，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，故原不等式的解集為.故選：A.8．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時，，則，同理，當(dāng)時，，則，且，可知函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時，，則，令，則，所以在單調(diào)遞增，即，即，所以在單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.則，即，即，可得，且，所以，解得，所以解集為.故選:A9．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念．在研究切線時認(rèn)識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，對，，且，總有，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)可得，在R上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，且，總有，所以函?shù)圖象上凸，畫出函數(shù)圖象，由幾何意義可知，表示函數(shù)圖象上的各點(diǎn)處的切線斜率，顯然隨著的增大，切線斜率變小，且恒為正，因?yàn)?，所以，B正確；C選項(xiàng)，，結(jié)合函數(shù)圖象可知，C錯誤，D正確.

故選：ABD10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．的一個周期為 B．在上單調(diào)遞增C．在上有最大值 D．圖象的一條對稱軸為直線【答案】BD【詳解】對A：，故不是的周期，A錯誤；對B：令，則，則，∵，則，∴在上單調(diào)遞增，且，又∵在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，B正確；對C：∵，則，∴，則，又∵在上單調(diào)遞增，且，∴在上最大值為，即在上有最大值，C錯誤；對D：，故圖象的一條對稱軸為直線，D正確.故選：BD.11．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．當(dāng)時，或1C．若函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【詳解】對于選項(xiàng)，由，可知函數(shù)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，由，解得或，故B選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，由，有，當(dāng)時，函數(shù)僅有一個零點(diǎn)0，當(dāng)時，必有，有，可得，故C選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)D，由，可知滿足題意只需當(dāng)時，，有，即，所以，由，有，則，可知當(dāng)時，和恒成立，，有.故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.易錯點(diǎn)三：奇偶性的前提及兩個函數(shù)與一個函數(shù)的區(qū)別（函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性）1.奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記，，則.(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如.對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原則：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：①函數(shù)或函數(shù)．②函數(shù)．③函數(shù)或函數(shù)④函數(shù)或函數(shù)．注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：①函數(shù)．②函數(shù)．③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)2.周期性技巧結(jié)論1：若對于非零常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式恒成立，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期.證明：也可理解為：平移個單位到谷底，再平移一個單位到巔峰，再平移一個單位又到谷底，則谷底與谷底的距離為，結(jié)論2：定義在上的函數(shù)，對任意的，若有(其中為常數(shù)，)，則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個周期.證明：口訣：同號差（周期）異號加（對稱軸）只研究前的正負(fù).結(jié)論3：定義在上的函數(shù)，對任意的，若有(其中為常數(shù)，)，則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個周期.證明：先向左平移個單位得令如同結(jié)論1結(jié)論4：定義在上的函數(shù)，對任意的，若有，(或)(其中為常數(shù)，)，則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個周期.證明：，結(jié)論5:定義在上的函數(shù)，對任意的，有且，(其中是常數(shù)，)則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個周期.另一種題干出現(xiàn)的信息：①若的圖象關(guān)于直線都對稱，則等價于且，則為周期函數(shù)且.②若為偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線對稱，則為周期函數(shù)且證明：向左平移個單位，得，同理，利用口訣：同號差（周期）異號加（對稱軸）只研究前的正負(fù).秒出周期結(jié)論6:若定義在上的函數(shù)對任意實(shí)數(shù)，恒有成立()，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期.證明：由函數(shù)，向右平移個單位得口訣：內(nèi)同號，外異號，內(nèi)部只差需2倍，出現(xiàn)周期很.結(jié)論7:若對于非零常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式成立，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期.證明：如同結(jié)論4，結(jié)論8:若對于非零常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式成立，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期.證明：結(jié)論9:若對于非零常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式成立，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期.證明：得結(jié)論10:①若定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)都對稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期.②若奇函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期.證明：函數(shù)滿足且，則利用口訣：同號差（周期）異號加（對稱軸）只研究前的正負(fù).秒出周期結(jié)論11:①若定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和直線都對稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期.②若奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個周期.證明：函數(shù)滿足且，則3.對稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對稱．結(jié)論：1.(1)如果一個奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，即有意義，那么一定有.(2)如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對定義域內(nèi)任一自變量的值:(1)若，則.(2)若，則.(3)若，則.3.對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.(2)若對于上的任意都有或，則的圖象關(guān)于直線對稱.(3)若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱.易錯提醒：奇偶性的前提及兩個函數(shù)與一個函數(shù)的區(qū)別1．函數(shù)的奇偶性由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)．2．函數(shù)的對稱性(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱．(3)若，則函數(shù)關(guān)于對稱．(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱．例．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則．又是偶函數(shù)，所以，所以．故選：C.變式1．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．是以4為周期的函數(shù) D．的圖象關(guān)于對稱【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，將換成，則有，A：令，所以，因此本選項(xiàng)正確；B：因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，由，可得，的值不確定，因此不能確定的值，所以本選項(xiàng)不正確；C：因?yàn)?，所以，所以，因此是?為周期的函數(shù)，因此本選項(xiàng)正確；D：因?yàn)?，所以，因此有，所以函?shù)的圖象關(guān)于對稱，由上可知是以4為周期的函數(shù)，所以的圖象也關(guān)于對稱，因此本選項(xiàng)正確，故選：B.變式2．已知函數(shù)，下列結(jié)論中：①當(dāng)時，的最小值為3；②函數(shù)是奇函數(shù)；③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；④是圖象的一條切線，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】①當(dāng)時，,,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以最小值是3，正確；②函數(shù)，記，其定義域是，，因此是奇函數(shù)，正確；③的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，把它向右平移一個單位，再向上平移一個單位得的圖象，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，正確；④，由得或，，，因此直線和都是函數(shù)圖象的切線，④正確，故選：D．變式3．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，當(dāng)時，，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所?為函數(shù)的周期，所以．故選：C．1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時，，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】由可得函數(shù)為奇函數(shù)，又可知，所以，可得，即，因此是周期為的奇函數(shù)，則，代入計(jì)算可得.故選：B2．定義在R上的奇函數(shù)滿足是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，且，又函數(shù)是偶函數(shù)，則，變形可得，則有，進(jìn)而可得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則.故選：C.3．已知函數(shù)與的定義域均為，，，且，為偶函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的周期為4 B．C． D．【答案】ACD【詳解】由于為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，所以圖象關(guān)于對稱，所以，所以①，而②，兩式相加得，則③，所以，所以是的一個周期，A選項(xiàng)正確.由③令得，由①令得，由②令得，則，所以，所以，C選項(xiàng)正確.由①令得，由，得，兩式相減得，即，且關(guān)于對稱，，所以④，所以，所以是周期為的周期函數(shù)，所以，所以B選項(xiàng)錯誤.由④令得，所以，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD.4．已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（

）A．B．關(guān)于點(diǎn)對稱C．D．【答案】BD【詳解】假設(shè)，則，都為偶函數(shù)，則所設(shè)函數(shù)符合題意，此時，所以A錯誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，令，則，所以關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；因?yàn)榫鶠榕己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即，因?yàn)椋?，所以，所以，，又，，所以，所以無法確定的值，所以C錯誤；又，，所以，又，所以，由知函數(shù)周期為4，則的周期也為4，則

，所以D正確.故選：BD5．已知非常數(shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】因?yàn)榉浅?shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，則，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，故A錯誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，則，又，所以，所以，即，所以，故的周期為8，所以，，在中，令，得，所以，故B正確；對兩邊同時求導(dǎo)，得，所以導(dǎo)函數(shù)的周期為8，所以，故C正確；由周期，得，，對兩邊同時求導(dǎo)，得，令，得，所以，故D正確.故選：BCD.6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，并且對，都有，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于對稱B．函數(shù)為偶函數(shù)C．D．若時，，則時，【答案】ACD【詳解】由可知函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，故A正確；由可得，又，所以，故函數(shù)為奇函數(shù)，故B錯誤；因?yàn)?，所以，故為函?shù)周期，又，所以，故C正確；由知函數(shù)關(guān)于成中心對稱，當(dāng)時，設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則在函數(shù)圖象上，且，所以，即，故D正確.故選：ACD7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C．函數(shù)是最小正周期為2的周期函數(shù)D．若函數(shù)滿足，則【答案】ABD【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，所以為偶函?shù).故B正確；因?yàn)?，所以是最小正周期?的周期函數(shù)，故C錯誤；因?yàn)?，所以，那么，所以也是周期?的函數(shù)，，因?yàn)椋?，，所以，所以，故D正確.故選：ABD.8．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，是減函數(shù)，則下列四個命題中正確的是（

）A．B．直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸C．函數(shù)在區(qū)間上存在3個零點(diǎn)D．若在區(qū)間上的根為，則【答案】AB【詳解】對于A，因?yàn)?，所以周期，故A正確；對于B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，若當(dāng)時，無零點(diǎn)，則根據(jù)周期性和對稱性可推出無零點(diǎn)，故C錯誤；對于D，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，且的周期，又在區(qū)間上的根為，所以，故D錯誤.故選：AB.易錯點(diǎn)四：遺漏冪函數(shù)的特征及二次函數(shù)弦長公式（冪函數(shù)與二次函數(shù)）1、根據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小的方法冪函數(shù)的冪指數(shù)的大小，大都可通過冪函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小反映.一般地，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近軸(簡記為“指大、圖低”)，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，圖象越遠(yuǎn)離軸(不包括冪函數(shù)，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近軸(簡記為“指大圖低")，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離軸.2、對于函數(shù)，若是二次函數(shù)，就隱含，當(dāng)題目未說明是二次函數(shù)時，就要分和兩種情況討論.在二次函數(shù)中，的正負(fù)決定拋物線開口的方向的大小決定開口大小)確定拋物線在軸上的截距，與確定頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸的位置).3、根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的對稱軸與單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系，若二次函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，則該區(qū)間在對稱軸的一側(cè)，若二次函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)，則對稱軸在該區(qū)間內(nèi)（非端點(diǎn)），4、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得，可分別求值再比較大小，最后確定最值.結(jié)論：1.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時，其圖象可類似畫出．2．實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個不等正根（2）方程有兩個不等負(fù)根（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為3.一元二次方程的根的分布問題一般情況下需要從以下4個方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如下所示.①，限定條件②限定條件③限定條件在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)根限定條件限定條件限定條件限定條件限定條件在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實(shí)根限定條件限定條件在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實(shí)根限定條件4.有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.（2）對于二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).易錯提醒：冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).掌握二次函數(shù)解析式的三種形式（不能忘記最后一種）（1）一般式：；（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對稱軸方程.（3）兩點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).與軸相交的弦長當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點(diǎn)和，.例1若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)函數(shù)，則函數(shù)是由二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的.當(dāng)時，由于函數(shù)單調(diào)遞減，而二次函數(shù)的圖象開口向上，在區(qū)間上不可能單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，故不滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又其對稱軸為，故，所以.故選：C.變式1．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】為開口方向向上，對稱軸為的拋物線，又在上單調(diào)遞減，，解得：.故選：B.變式2．已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在上單調(diào)遞增；∴，解得；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：A．變式3．已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題可得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，聯(lián)立解得，又因?yàn)閷θ我獾?，都有成立，所以，所以成立，?gòu)造，所以由上述過程可得在單調(diào)遞增，(i)若，則對稱軸，解得；(ii)若，在單調(diào)遞增，滿足題意；(iii)若，則對稱軸恒成立；綜上，，故選：B.1．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)殚_口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是。故選：D2．若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（

）A．2 B． C． D．-2【答案】C【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，，即，解得或.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不合題意;當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，符合題意，故.故選：C.3．已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，則不等式的解集滿足（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù),所以，解得，又，，解得，解得，所以，，由與在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，則不等式，即，等價于，所以，解得，即不等式的解集為.故選：C4．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楫?dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，則所以.

故選：A5．已知的解集是，則下列說法正確的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，則m的取值范圍是或D．當(dāng)時，，的值域是，則的取值范圍是【答案】ABD【詳解】因的解集是，則是關(guān)于x的方程的二根，且，于是得，即，對于A，不等式化為：，解得，A正確；對于B，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，B正確；對于C，，令，則在上單調(diào)遞增，即有，因有解，則，解得或，C不正確；對于D，當(dāng)時，，則，，依題意，，由得，或，因在上的最小值為-3，從而得或，因此，D正確.故選：ABD6．已知函數(shù)，函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若有3個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是B．若有4個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是C．若有4個不同的零點(diǎn)，則D．若有4個不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】BCD【詳解】解：令得，即所以零點(diǎn)個數(shù)為函數(shù)與圖像交點(diǎn)個數(shù)，故，作出函數(shù)圖像如圖，由圖可知，有3個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是，故A選項(xiàng)錯誤；有4個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是，故B選項(xiàng)正確；有4個不同的零點(diǎn)，此時關(guān)于直線對稱，所以，故C選項(xiàng)正確；由C選項(xiàng)可知，所以，由于有4個不同的零點(diǎn)，a的取值范圍是，故，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD7．已知函數(shù)(即，)則（

）A．當(dāng)時，是偶函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．設(shè)最小值為，則 D．方程可能有2個解【答案】ABD【詳解】：當(dāng)時，，即，所以，所以是偶函數(shù)，故正確；：當(dāng)時，，的對稱軸為，開口向上，此時在上是增函數(shù)，當(dāng)時，，的對稱軸為，開口向上，此時在上是增函數(shù)，綜上，在上是增函數(shù)，故正確；：當(dāng)時，，當(dāng)時，，因?yàn)椴荒艽_定的大小，所以最小值無法判斷，故錯誤；：令，當(dāng)時，，有2個解，故正確.故選：ABD8．已知函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【詳解】當(dāng),，當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立，當(dāng)時,為二次函數(shù)，要想在處取最小，則對稱軸要滿足,且,即，解得,故選：BCD.9．設(shè)，函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】由題意，函數(shù)，令，可得拋物線的開口向上，對稱軸的方程為，當(dāng)時，即時，可得，此時函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且可得在遞減，在上遞增，且；當(dāng)時，即時，可得，此時函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得在遞減，在上遞增，且，此時選項(xiàng)B符合題意；當(dāng)當(dāng)時，即時，此時函數(shù)有兩個零點(diǎn)，不妨設(shè)另個零點(diǎn)分別為且，此時函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得在遞減，在上遞增，且，則在遞減，在上遞增，且，此時選項(xiàng)D符合題意.綜上可得，函數(shù)的圖象可能是選項(xiàng)BD.故選：BD.10．關(guān)于的方程，下列命題正確的有（

）A．存在實(shí)數(shù)，使得方程無實(shí)根B．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個不同的實(shí)根C．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有3個不同的實(shí)根D．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個不同的實(shí)根【答案】AB方程化為關(guān)于的二次方程.當(dāng)時，方程無實(shí)根，故原方程無實(shí)根.當(dāng)時，可得，則，原方程有兩個相等的實(shí)根.當(dāng)時，方程有兩個實(shí)根，由可知，，.因?yàn)椋詿o實(shí)根，有兩個不同的實(shí)根.綜上可知：A，B項(xiàng)正確，C，D項(xiàng)錯誤.故選：AB易錯點(diǎn)五：根式奇偶討論（指對數(shù)函數(shù)考點(diǎn)）指數(shù)1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).3.運(yùn)算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).4.有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除．(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．(4)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷．5.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較冪值的大小，先看能否化成同底數(shù)，能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小；6.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解簡單的指數(shù)方程或不等式，先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；7.解答指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解。對數(shù)：1.在對數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.|3.，且是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.4.識別對數(shù)函數(shù)圖象時，要注意底數(shù)以1為分界：當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù).注意對數(shù)函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)，且以軸為漸近線.5.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.6.比較對數(shù)值的大小(1)若對數(shù)值同底數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較(2)若對數(shù)值同真數(shù)，利用圖象法或轉(zhuǎn)化為同底數(shù)進(jìn)行比較(3)若底數(shù)、真數(shù)均不同，引入中間量進(jìn)行比較解決對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用有以下三個步驟:第一步：求出函數(shù)的定義域；第二步：判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個字母)時，若涉及其單調(diào)性，就必須對底數(shù)進(jìn)行分類討論；第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論：1.畫指數(shù)函數(shù)，且的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(diǎn):2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)且的圖象越高，底數(shù)越大.3.有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域與值域形如的函數(shù)的定義域就是的定義域.求形如的函數(shù)的值域，應(yīng)先求出的值域，再由單調(diào)性求出的值域.若的范圍不確定，則需對進(jìn)行討論.求形如的函數(shù)的值域，要先求出的值域，再結(jié)合的性質(zhì)確定出的值域.(2)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性令，如果復(fù)合的兩個函數(shù)與的單調(diào)性相同，那么復(fù)合后的函數(shù)在上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相異(即一增一減)，那么復(fù)合函數(shù)在上是減函數(shù).換底公式的兩個重要結(jié)論(1)(2).其中，且，且.對數(shù)函數(shù)，且的圖象過定點(diǎn)，且過點(diǎn)，函數(shù)圖象只在第一、四象限.易錯提醒：根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，它們互為相反數(shù).例．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象關(guān)于直線對稱，且.當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AC【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，所以，所以函?shù)是以為周期的周期函數(shù)，又因函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，又，所以，所以，所以為偶函數(shù)，故A正確；當(dāng)時，，，故B錯誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)且的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；因?yàn)楫?dāng)時，，而函數(shù)在都是減函數(shù)，所以函數(shù)在是減函數(shù)，又因?yàn)榕己瘮?shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：AC.變式1、設(shè)偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以；又因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，，且由函數(shù)為偶函數(shù)知在上單調(diào)遞減，故對于選項(xiàng)A和B，∵，在上單調(diào)遞減，∴，故A錯誤，B正確；對于選項(xiàng)C和D，∵，，函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，∴，故C正確，D錯誤.故選：BC.變式2、已知函數(shù)，則（

）A．的最小值為1 B．，C． D．【答案】ACD【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值1，A正確．因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，且最小值為1，所以，所以，B錯誤．因?yàn)椋?，又，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，C正確．因?yàn)?，所以，所以，D正確．故選：ACD變式3、已知，則下列不等關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】由可知，若，則，則不成立，又時，，故，又，則可看作的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出與的圖象如圖，

結(jié)合圖象可知，故A錯誤，B正確；由，，得，故，C正確；令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，由于，故，即，故，D正確，故選：BCD1．下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)B．“”的必要不充分條件是“”C．函數(shù)的最小正周期為2D．函數(shù)的最小值為2【答案】AB【詳解】對于A，令，則，即，所以函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，故A正確；對于B，不能推出，而能推出，