湖南省邵陽市2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學試題含答案

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷

數(shù)學（副卷）

本試卷共4頁，22個小題。滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在答題

卡上“條形碼粘貼區(qū)”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息

點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定

區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準

使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，只交答題卡，試題卷自行保存。

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.已知集合“=1"=4",〃GN},B={3,4,8,9},則集合/C8的元素個數(shù)為

A.4B.3C.2D.1

2.下列各式的運算結(jié)果不是純虛數(shù)的是

1—1

A.(1+i)2B.(1-i)2C.——D.(1+i)4

1+i

3.命題“3R,x2—4x+6<0的否定為

A.3xR,x2—4x+6>0B.x2—4x+6^0

C.VxeR,X2-4X+6<0D.VXER,X2-4X+6^0

4.若拋物線犬=2處（0>0）上一點M（〃，6）到焦點的距離是4p,則P的值為

D-i

5.如圖（一）所示，四邊形/BCD是正方形，M,N分別BC,

DC的中點，若9=2而+〃麗，％,〃eR,

則24-〃的值為

6.苗族四月八日“姑娘節(jié)”是流傳于湖南省綏寧縣的民俗活動，國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一。

假設(shè)在即將舉辦的“姑娘節(jié)”活動中，組委會原排定有8個“歌舞”節(jié)目，現(xiàn)計劃增加2個

“對唱”節(jié)目.若保持原來8個節(jié)目的相對順序不變，則不同的排法種數(shù)為

A.56B.90C.110D.132

7.已知函數(shù)/(x)=2sin(3x+?在［0,?。萆蠁握{(diào)遞增，在%上單調(diào)遞減，則

實數(shù)”的取值范圍為

A.［0,—捫D力

17B小3]

8.設(shè)近，b=返,

c=—,則q,b,c的大小關(guān)系為

8756

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)

9.設(shè)點尸(x,y)為圓C：/+/=1上一點，已知點省4,0),8(5,0),則下列結(jié)論正確的有

A.x+y的最大值為后B.r2+/-4x-4y的最小值為8

C.存在點尸使戶同=內(nèi)向|D.過4點作圓。的切線，則切線長為后

10.下列說法正確的有

A.將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為(，

和S；,且事=》2，則總體方差y=g(s：+s；)

B.在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)關(guān)系越強，相關(guān)系數(shù)|川越接近于1

C.已知隨機變量X?陽〃，/),若尸(x21)+P(xN5)=l,則4=3

D.已知一組數(shù)據(jù)為50,40,39,45,32,34,42,37,則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為39

11.如圖(二)所示，已知正四棱柱/BCO—481cMi中，44i=4,AB=2,E為/小的中點，則

A.DE■〃平面41cz

B.DE_L平面AGE

C.P為棱/出i上任一點，則三棱錐C—PDE的體積為定值

D.平面。CE截此四棱柱的外接球得到的截面面積為一

8

12.已知函數(shù)/(x)與其導函數(shù)g(x)的定義域均為R,且/'(x—1)和8(緘+1)都是奇函數(shù)，

且g(0)=；，則下列說法正確的有

A.g(x)關(guān)于x=-1對稱B.7(x)關(guān)于(1,0)對稱

12

C.g(x)是周期函數(shù)D.Z/g(2i)=4

/=1

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.(-+x)(x—l)5的展開式中爐的系數(shù)為▲

14.已知數(shù)列｛6｝的首項為2,a"+a“+i=2〃+l(〃GN*),則.

15.已矢口cosOcos20cos40=-1,(匹，-),則2cos240—cos6=▲.

874

16.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點尸工，它們的離心率分別為%,%,點尸為它們的一

個交點，且cos//尸乙=—3.當說+1工取最小值時，說的值為▲.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)現(xiàn)有兩臺車床加工同一型號的零件.第1臺車床的正品率為95%,第2臺車床的正品

率為93%,將加工出來的零件混放在一起.已知第1,2臺車床加工的零件數(shù)分別為總數(shù)的

60%,40%.

(1)從混放的零件中任取1件，如果該零件是次品，求它是第2臺車床加工出來的概率；

(2)從混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互獨立.用X表示這10

次抽取的零件是次品的總件數(shù)，試估計X的數(shù)學期望E(X).

18.(12分)在△4BC中，內(nèi)角。滿足Jisin2/—cos2/=2.

(1)求角Z的大??；

--—,AD

(2)若DC=2BD,求的最大值.

BD

19.(12分)如圖(三)所示，圓臺的上、下底面圓半徑分別為2cm和3cm,,85為圓臺的

兩條不同的母線.5,。分別為圓臺的上、下底面圓的圓心，上］一

且.CMB為等邊三角形.

(1)求證：\

r'1'j1

(2)截面與下底面所成的夾角大小為60。，

求異面直線441與8101所成角的余弦值.

圖(三)

20.(12分)設(shè)數(shù)列｛4｝(”」N*)滿足:%+絲+~++=〃2.等匕微洌出“｝的首項，=1,公比為2.

2n

(1)求數(shù)列｛〃,｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛她｝的前〃項和T”.

n

21.(12分)已知橢圓C：三+三=1(。>6>0)的短軸長為3，右頂點到右焦點的距離為1.

azb12

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)如圖(四)所示，設(shè)點/是橢圓C的右頂點.過點(3,0)的直線/與橢圓C相交于不同

的兩點E,F,且都在x軸的上方.在x軸上是否存在點尸，使N4PE=NOPF,若存

在，請求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

圖(四)

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=aln(x-l)+(a+2)x+l,aW0.

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)設(shè)方(x)=/(x)+2sin(x-l)-4x,求證：當時，下(、)恰有兩個零點.

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準

數(shù)學（副卷）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

題號12345678

答案CDDADBCD

7.C解析：由2407-工乏3￡+^^2477+工,人€2,得犯一肛乏￡乏犯+工,人€2,

2623939

.?./(X)的單調(diào)增區(qū)間為9一宗,宇+/,/ceZ.

人、入「1711……八177?8IT

,."(%)在0,—a上遞增，.t0<—aW—,0<a—.

_72J72917

b-?！?p2kF7T2kF4,

由2kFH—W3%H—W2ICFH—IT，4￡Z,d寸---1—W%0----1—,kGZ,.?"（%）的單調(diào)減區(qū)

2623939

2A：ITIT2A；IT477TT17107TT10

間為亍+§，—7T，4￡Z.J.-------W-------Q<------TT,.1------WqW------7T.

39'99991717

,、,7TT8TT

綜上,—WaW—.

1717

￡

a87f*x°x(x—])

8.D解析:丁=1七=一；-,設(shè)/(彳)=一,0<?<1,/(%)=--j—

7，T

8

」./（%）在（0,1）上單調(diào)遞減.又了a<6.又Q-c=3-卜一9

設(shè)g（g）=e-ex,gz（x）=ex-e,x<l時,g'（%）<0,.\g（x）在（-8,1）單調(diào)遞減.

g（；卜g（1）=0,a>c.綜上c<a<b.

二、多選題（本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得。分）

題號9101112

答案ADBCDBCACD

11.BC解析：A錯.B.???G2，平面AA.D^D,CR1DE.又DEID^E,DE1平面

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準（數(shù)學?副卷）第1頁（共7頁）

D[C]E,B對.C./XxBj/CD,:,人當〃平面CDE./.Vp_CDE為定值，C對.D.設(shè)外接球球心

為。，即為對角線4。中點.。到平面。CE距離為4到平面OCE距離的一半,4到平面

/2

CDE距離為啦，0到平面CDE距離為了，正四棱柱外接球半徑為布，截面圓半徑r=

I1722c117T川

/6--~=—-―,/.S—Tir2=—-—.D718日.

12.ACD解析：因為為奇函數(shù)，所以4(-％-1),所以-%-1),

即g(%-l)=g(-%-1)，所以g(%)的圖象關(guān)于直線x=-l對稱.因為g(2%+l)為奇函數(shù),

所以函數(shù)g(九)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，所以8是函數(shù)g(%)的一個周期.因為g(0)=

111112

三，所以g(2)=-7，g(4)=-萬,g(6)=^",所以2kg(2k)=(-1-2+3+4-5-6+7+8-9-

j333卜=1

10+ll+12）Xy=4.故選ACD.

三、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分）

7

13.2514.915.116.一

8

.「“2sinOcosOcos2^cos46sin2^cos2^cos462sin2^cos2^cos43

15.1角翠析:cosWos為cosW=---------——-----------=--------z---------=------------------------=

2smu2smcz4sinu

2sin4^cos40sin8。1?.口..

-------7-----------；二---，所以sin89=-sin。，艮I7sin9+sin8。=0,；故89+（z一。）x=

8sin08sin38

F+2kF（k金2）或8。一（-^）=2kF（k$Z）,因為0金（5，?。?，所以故2cos24^-cos6=

,8v2vI*>77277

-

-T<IM"―cite*1

9999

772%22

16.--解析：設(shè)橢圓方程為下+2二1(01乂1>0)，雙曲線方程為：下一-

1（a2>0,62>0）.

8%々a2b2

\PFl\+\PF2\=2a1,l\PFl\=a1+a2,

不妨設(shè)點。為第一象限的交點，由題意知：

|PFX|-|PF2I=2a2?（IPF2I-ax-a2.

由余弦定理得：4（?=IP，1F+I尸/21-2IPKIT/歹2I,COS乙FiPF2n4c2=3Q：+Q；.

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學-副卷)第2頁(共7頁)

1el

當且僅當『=e：時取等號,e?=y.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）

解：（1）不難知，第1臺加工零件的次品率為5%,第2臺加工零件的次品率為7%.

記事件4表示“從混放的零件中任取一個零件，該零件是次品”，

事件Bi表示“從混放的零件中任取一個零件，該零件是第i臺車床加工的”，上1,2.

.…、P（42）0.4x0.0714八

貝n！jP（z2"4）=--------=---------------------------=——............................................................5分

2P（A）0.6x0.05+0.4x0.0729

（2）X的可能取值為0,1,2,3,…，10,且X服從二項分布.

由（1）知，尸⑷=0.6x0.05+0.4x0.07=0.058.

X~B（10,0.058）.E（X）=10x0.058=0.58......................................................10分

18.（12分）

解：（1）由已知2sin（24——j=2,sin（24——j=1..........................................................2分

TTTT11

—<24----<——f.

666

c4F"F",萬

2A--=y,.-.A=y........................................................................................................5分

——>■——>——>-1——>-1——>——>-

⑵?「DC=2BD,;.BD=—BC=—（AC-AB）.

又詬=獲+粉=2港+J_無,

33

\AD\_\2AB+AC|

8分

\BD\\AC-AB\

人b

令一=?>0,

c

\AD\_V?+2i+4_I3（力+1）_I3（7+1）

IBDIy/t2-t+lJt2-t+lJ（力+1）2-3（計1）+3

=1+-----------------W/1+——-——=d2"+4=+1.

10分

J（計1）+六372有一3

當且僅當片萬-1取等號.

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準（數(shù)學?副卷）第3頁（共7頁）

.??絲2的最大值為4+1................................................12分

\BD\

19.(12分)

(1)證明：?：圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺的母線

也就是生成這個圓臺的圓錐相應(yīng)母線的一部分.

/.母線A41與母線的延長線必交于一點，

「.4,4,邑當四點共面.................................................2分

?「圓面圓面。，且平面458141G圓面。尸4出］,平面圓面。=4A

/.AxBi//AB...............................5分

(2)解：/\ABO為等邊三角形,

TT

乙4。8=1，如圖建立空間直角坐標系。-%yz,

設(shè)I。。/="%>0).

4(3,0,0),8口,丁,0),4(2,0,)

A4j=(_1,0,i),AB=1—―,~~~,0j

設(shè)平面48gH的一個法向量"i=(允,y,z).則有：

B

—X+tz—0,

'3373令《=",則y=l,z=g,.〔=理

8分

--x+y=0.(\t.

[22)

底面的一個法向量"2=(0,0,1),

因為截面與下底面所成的夾角大小為60°,

L731

所以cos60°=Icos〈"]I=-----_____

一I.373+4/2

t?/4+—

,2

................................................................10分

???就又市=g=(T,a,0),「.Bt坐標為(1,后,:

???謂=(1,有,0),

/h7rj，°/1_]~-/13

cos〈44],。出〉=一^=^7=—^—="—?

U

IA4)\\0lBlI世.0

2

/TT

異面直線A41與0B所成角的余弦是七112分

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學?副卷)第4頁(共7頁)

20.(12分)

a,ac

角翠：(]):?1+—+?-?+——n=n2,n^l.

2n

a2an-l/|、2c

/.%"!----F….........-(n-1)，nN2.

2n-1

「.」二〃2—(〃-1)2二2八—1.即冊二”(2〃一1),〃,2..........................................................2分

n

當〃=1時,%=1，滿足上式.

2n-1

an=n(2n-l)=2n-n9bn=2........................................................................................4分

ab

(2)由(1)矢口：口二(2〃-1)-2〃T.

n

Tn=l-2°+3?21+???+(2〃-1)?2而，.....................................5分

1ra-1

2Tti=1-2+---+(2n-3)-2+(2n-l)-T.

n-1

...-Tn=1+2?2]+???+2?2-(2n-l)-T......................................................................7分

2(l-2n-1)=1+2-^1^-(2.-1).2^..........................................................................

=1+4(2"-1-1)-(2/i-l)-2"

=2?2"-(2n-l)-2"-3

=(3-2n)-2"-3....................................................................................................11分

T?=(27i-3)2"+3.............................................................................................................12分

21.(12分)

2b=-/3,

解：(1)依題意得，a-c=；,...............................................................................................2分

a2=b2+c2.

解得a=\,b=g,c=；,

2

，橢圓C的標準方程為，+4一=1...................................................................................4分

~4

(2)存在點P,使乙點P的坐標為.理由如下：..............5分

4

直線I過點(3,0)，與橢圓C：x2+—y2=l交于不同的兩點E,F.且都在冗軸上方.

廠.直線I的斜率存在且不為。，設(shè)直線I的方程為y=A：(%-3),人聲0.

y=k(x-3),

聯(lián)立方程242?消去y可得：

x+—y=1.

(3+4/)24入+36/-3=0.

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學?副卷)第5頁(共7頁)

36后-3

設(shè)磯與，)，夕(彳2,”)，則X,+x=XX=.7分

23+4/ct23+44

?「AAPE=AOPF,

%y2《(町—3)區(qū)一加)+4(％2-3)

kpE+kpF~~*=777\

xx-mx2~m(XY-m){x2-m)

72k2-6”、24k2,

c/c、/、/-----;-一(3+m)?-----+6m

2%/2一(3+m)(陽+%2)+6胴3+4*3+必

=k?-----------------------=k,-------------------------

(%1—m)(九2一加)(%1-771)(%2一加)

72后-6-72L2-24mA?+18ni+247nA：2

=k?------------------------；----=0...................

(冗i-/n)(%2-6)?(3+44)

1

/.18771-6=0,/.m-一.

3

存在P點滿足條件.

P點坐標為(；,0)....................................................12分

22.(12分)

/、4力z，、a(Q+2)(%-1)+。(Q+2)%-2

(1)角軋/(“)=—a+2=,—=-_—,%>1.

X-1X-1X-1

2

當a二一2時,/(%)=---；<0,7./(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

x-1

當-2<a<0時,/(")在(1,二)上單調(diào)遞減，(二,+8)上單調(diào)遞增.

\a+2j\a+2/

當a>0時，(0+2)%>2,(0+2)%-2>0,「./(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

當a<—2時,a+2<0,(a+2)%-2<0,「./(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當-2<Q<0