數(shù)學（人教版選修22）課件17定積分的簡單應(yīng)用

第一章導數(shù)及其應(yīng)用1.7定積分的簡單應(yīng)用1．會用定積分求平面圖形的面積．(重點、易混點)2．會求變速直線運動的路程和變力做功．(重點、難點)1．用定積分求平面圖形的面積(1)一般地，設(shè)由曲線y＝f(x)，y＝g(x)以及直線x＝a，x＝b所圍成的平面圖形(如圖所示)的面積為S，則S＝___________________.曲邊梯形上、下兩個邊界所表示函數(shù)的差3．如果用1N的力能拉長彈簧1cm，那么為了將彈簧拉長6cm需作功______J.4．由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為________．定積分與各個小曲邊梯形面積的關(guān)系定積分只能用于求曲邊梯形的面積，對于非規(guī)則的曲邊梯形，一般要將其分割或補形為規(guī)則的曲邊梯形，再利用定積分的和與差求面積．對于分割或補形中的多邊形的面積，可直接利用相關(guān)面積公式求解.

對于不規(guī)則平面圖形面積的求法求變速直線運動物體的路程的方法求變力做功的方法【想一想】

1.如何利用定積分表示圖中平面圖形ABCD的面積？2．定積分的幾何意義指出了定積分可以表示某一個曲邊梯形的面積，那么對于一些不規(guī)則的圖形面積，我們能不能用定積分求出相應(yīng)的面積呢？提示：能．可以把不規(guī)則的圖形，通過分割轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形求解．

(1)計算由直線y＝x＋3，曲線y＝x2－6x＋13所圍圖形的面積S.(2)求由曲線y＝x2，直線y＝2x和y＝x圍成的圖形的面積．[思路探究]

(1)作出兩函數(shù)的圖象，并求其交點坐標．確定積分區(qū)間，利用定積分求面積S.(2)求出三條曲線的不同的交點橫坐標，將積分區(qū)間細化，分別求出相應(yīng)區(qū)間曲邊梯形的面積再求和，注意在每個區(qū)間上被積函數(shù)均是由上減下．利用定積分求平面圖形的面積[自主解答]

(1)作出直線y＝x＋3，曲線y＝x2－6x＋13的草圖，如圖①所求面積為圖中陰影部分的面積．圖①圖②1．本題(1)為簡單圖形面積的求解，直接運用定積分的幾何意義即可．本題(2)為較復雜圖形面積的求解．注意按曲線交點的橫坐標將積分區(qū)間細化．將圍成的圖形分割．2．利用定積分求平面圖形面積的步驟(1)畫圖形．(2)確定積分區(qū)間和上、下邊界表示的函數(shù)解析式：通過解方程組求出交點的橫坐標，從而確定積分區(qū)間，觀察圖形上、下邊界是否是同一函數(shù)的圖象，確定邊界表示的函數(shù)解析式．(3)面積表示：在每一個積分區(qū)間上，被積函數(shù)是圖形上邊界與下邊界所表示函數(shù)解析式的差，從而寫出平面圖形的面積的定積分表達式．(4)求面積：求定積分進而得圖形的面積．

有一動點P沿x軸運動，在時間t時的速度為v(t)＝8t－2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)．求：點P從原點出發(fā)，當t＝6時，點P離開原點的路程和位移．求變速直線運動的路程、位移1．路程是位移的絕對值之和，因此在求路程時，要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正，若符號不定，應(yīng)求出使速度恒正或恒負的區(qū)間，然后分別計算，否則會出現(xiàn)計算失誤．2．務(wù)必把握位移和路程的區(qū)別，切勿因亂套公式，導致錯誤．2．在題設(shè)條件中不變的情況下，求P從原點出發(fā)，經(jīng)過時間t后又返回原點時的t值．變力做功問題[思路探究]

物體由A到B，再由B到C，再由C到D運動，物體運動的方向與力F的方向一致嗎？若不一致，那在其運動方向上的力如何表示？[自主解答]

在AB段運動時F在運動方向上的分力F1＝Fcos30°.在BC段運動時F在運動方向上的分力F2＝Fcos45°.3．設(shè)有一長25cm