螺旋線(xiàn)與平面的交點(diǎn)

螺旋線(xiàn)與平面的交點(diǎn)東南大學(xué)朱道元問(wèn)題（1994年美國(guó)數(shù)模競(jìng)賽題）幫助一家生物技術(shù)公司就位于空間中一般位置的一條螺旋線(xiàn)和一個(gè)平面交點(diǎn)的“實(shí)時(shí)”定位設(shè)計(jì)、證明、編程、并測(cè)試檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)學(xué)方法。螺旋線(xiàn)和平面交點(diǎn)示意圖螺旋線(xiàn)的一段可以表示，例如一段螺旋狀的彈簧或化學(xué)儀器或醫(yī)療儀器中的一段管狀物，如圖。其他實(shí)際用途類(lèi)似的計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（CAGD）程序可以讓這種平截面迅速掃過(guò)整個(gè)物體來(lái)得到物體的三維成像。為取得這樣的效果，計(jì)算機(jī)程序必須能以足夠的速度和精度來(lái)定位所設(shè)計(jì)物體的每一部分和所觀(guān)察平面的全部交點(diǎn)。理論與實(shí)際問(wèn)題之間的差別該問(wèn)題本質(zhì)上是解方程組。一般通過(guò)方程求解器（equationsolvers），就能計(jì)算出交點(diǎn)。但是實(shí)際問(wèn)題，要求計(jì)算速度快，可以用于實(shí)時(shí)控制；而且螺旋線(xiàn)和平面可處于任意位置，并求出螺旋線(xiàn)和平面的全部交點(diǎn)；還要和生產(chǎn)裝置相協(xié)調(diào)，算法要比較簡(jiǎn)單。對(duì)此，必須具體問(wèn)題具體分析，這是數(shù)學(xué)建模的靈魂。本題的難點(diǎn)(書(shū)本上回避的）

難點(diǎn)之一要求出全部交點(diǎn)，這實(shí)際上隱含了的算出交點(diǎn)的準(zhǔn)確個(gè)數(shù)，否則無(wú)法說(shuō)明求出了全部的交點(diǎn)；也隱含要知道交點(diǎn)的性質(zhì)，如是否存在重根等。而關(guān)于方程組的解的個(gè)數(shù),是數(shù)學(xué)上沒(méi)有解決的理論問(wèn)題。難點(diǎn)之二由于要用于實(shí)時(shí)控制，因此要求計(jì)算交點(diǎn)的算法非?？?，特別在交點(diǎn)很多，甚至有成萬(wàn)上億個(gè)交點(diǎn)的情況下，怎么能夠在幾秒鐘之內(nèi)把全部交點(diǎn)計(jì)算出來(lái)。難點(diǎn)之三由于題目中平面和螺旋線(xiàn)所處的相對(duì)位置是任意的，因此這不是在解一個(gè)特定的方程組,實(shí)際上是求解一大類(lèi)的無(wú)窮多個(gè)方程組，希望找到通用的簡(jiǎn)便方法。首先選擇坐標(biāo)系顯然選擇螺旋線(xiàn)的軸作為Z軸則螺旋的參數(shù)方程最簡(jiǎn)單，至于平面處于任意位置表達(dá)都不困難。其中r,2πh為螺旋線(xiàn)的半徑和螺距，θ為參數(shù)。選擇突破口對(duì)四個(gè)非線(xiàn)性方程的方程組即使不是去求解，而僅僅回答解的個(gè)數(shù)也是極其困難的。但這又是實(shí)際問(wèn)題中無(wú)法回避的，是首先必須被解決的問(wèn)題。我們應(yīng)該清醒認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問(wèn)題之間的差別，數(shù)學(xué)上非線(xiàn)性方程組的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題沒(méi)有解決，并不表示某些實(shí)際問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的一小類(lèi)特殊的非線(xiàn)性方程組的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題也無(wú)法解決，由于范圍小，共性多，是可能獲得理想的結(jié)果的。突破口在“等價(jià)簡(jiǎn)化問(wèn)題”簡(jiǎn)化才能暴露問(wèn)題的本質(zhì)，簡(jiǎn)單情況下才容易發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，因此簡(jiǎn)化是解決復(fù)雜問(wèn)題的正確方向。但必須注意簡(jiǎn)化前后問(wèn)題之間的等價(jià)性，否則簡(jiǎn)化就失去了意義?！暗葍r(jià)簡(jiǎn)化”是數(shù)學(xué)建?！八囆g(shù)”的精髓，是重要的研究能力，是數(shù)學(xué)建模追求的目標(biāo)。創(chuàng)造性發(fā)源于猜測(cè)怎么突破？首先是猜測(cè)，而且要大膽地去猜測(cè)。沒(méi)有“異想天開(kāi)”，就不會(huì)有“絕處逢生”。螺旋線(xiàn)和平面的交點(diǎn)問(wèn)題能否等價(jià)簡(jiǎn)化為求平面上兩條線(xiàn)的交點(diǎn)的問(wèn)題，能否從四個(gè)非線(xiàn)性方程的方程組求解等價(jià)簡(jiǎn)化為一個(gè)未知數(shù)一個(gè)方程的求解問(wèn)題？投影可以降維，對(duì)本問(wèn)題有沒(méi)有幫助？恰當(dāng)選擇投影面去做投影取平行于螺旋線(xiàn)的軸，且垂直于指定平面的平面為投影面作投影，則指定平面被投影為一條直線(xiàn)，螺旋線(xiàn)被投影為平面內(nèi)一條曲線(xiàn)。由于z軸平行于投影面，所以空間各點(diǎn)投影之后的z坐標(biāo)均保持不變，而螺旋線(xiàn)上各點(diǎn)由于在“螺旋式上升”，z坐標(biāo)均不相同。因此不同的交點(diǎn)，z坐標(biāo)均不相同，投影之后仍然互不相同，空間中的交點(diǎn)和平面上的交點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)。

投影就是等價(jià)簡(jiǎn)化由于空間中的交點(diǎn)和平面上的交點(diǎn)之間是一一對(duì)應(yīng)的，既沒(méi)有重迭，也不會(huì)分叉。故知道平面內(nèi)的交點(diǎn)總數(shù)，就知道空間中的交點(diǎn)總數(shù)，而且,幾乎不要再做什么工作，就完全確定了空間全部交點(diǎn)的坐標(biāo)。因此對(duì)這個(gè)問(wèn)題投影就是等價(jià)簡(jiǎn)化。

代入可以代替投影

再簡(jiǎn)化令

則

令

則簡(jiǎn)化為

最終的簡(jiǎn)化結(jié)果由于

是偶函數(shù)，為后面討論方便，在中不妨設(shè)。到此為止，我們看到解決這個(gè)問(wèn)題的曙光。交點(diǎn)個(gè)數(shù)重根的重?cái)?shù)及重根的位置由高等數(shù)學(xué)可知，三重根及更高重?cái)?shù)的重根的必要條件是即一般無(wú)解，一般為二重根，從重根的幾何意義可知，重根是交點(diǎn)，而且在該點(diǎn)兩條曲線(xiàn)有公切線(xiàn)，現(xiàn)在其中一條是直線(xiàn)，即直線(xiàn)是余弦線(xiàn)的切線(xiàn)。從幾何可知，重根一定是最大或是最小的交點(diǎn)。如圖，切點(diǎn)是最大的交點(diǎn)。因?yàn)橛嘞揖€(xiàn)在第四、一象限是凹函數(shù)，位于切線(xiàn)的下方，而直線(xiàn)單調(diào)上升越過(guò)這個(gè)區(qū)域后始終大于1，與余弦線(xiàn)再無(wú)交點(diǎn)，因此該切點(diǎn)是最大的交點(diǎn)。切點(diǎn)是最小的交點(diǎn)類(lèi)似可證。

a是決定交點(diǎn)個(gè)數(shù)的主要矛盾。初步分析，絕大多數(shù)情況下，曲線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)并不多，類(lèi)似于高等數(shù)學(xué)習(xí)題，可以容易得到解決。當(dāng)時(shí)是周期函數(shù)，解的問(wèn)題，高中三角課程中早已解決。困難在于交點(diǎn)個(gè)數(shù)急驟增加，如果有成萬(wàn)上億個(gè)，要決定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)似乎非常困難。但由此我們也發(fā)現(xiàn)是決定交點(diǎn)個(gè)數(shù)的主要矛盾。準(zhǔn)周期函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵當(dāng)時(shí)，是準(zhǔn)周期函數(shù)（與周期函數(shù)相差非常少，或周期幾乎就是常數(shù)2π）。在這種情況下，我們應(yīng)該懷疑什么環(huán)節(jié)上出了問(wèn)題？為什么比較大或者為0，求交點(diǎn)個(gè)數(shù)都沒(méi)有問(wèn)題。當(dāng)時(shí)就有困難了，經(jīng)仔細(xì)分析有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn),問(wèn)題容易解決是由于這時(shí)是周期函數(shù)，周期2π。借用周期函數(shù)決定交點(diǎn)個(gè)數(shù)直觀(guān)看

極小時(shí)與

圖形幾乎重疊，因此是準(zhǔn)周期函數(shù)，兩類(lèi)交點(diǎn)幾乎區(qū)分不開(kāi)來(lái)，當(dāng)然交點(diǎn)個(gè)數(shù)在一定范圍內(nèi)肯定是相同的。既然如此，我們是否可以借周期函數(shù)來(lái)討論

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題？Sinφ=-a就是周期函數(shù)

即是周期函數(shù)，

的根與的根在一定范圍內(nèi)是相間的。由此便可決定

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)檎液瘮?shù)周期為2π，

2π之間有2個(gè)根，只要知道范圍長(zhǎng)度就有根的個(gè)數(shù)。而由就可以決定

這個(gè)范圍的長(zhǎng)度是兩個(gè)函數(shù)的根是相間的證明：兩個(gè)不同的根中一定有

的根。設(shè)是

兩個(gè)不同的根，則

由微分中值定理，有其中，。因?yàn)椋?/p>

故一定有。兩函數(shù)在一定范圍內(nèi)根是相間的在一定范圍內(nèi)兩個(gè)根內(nèi)一定有的根。設(shè)，即在相鄰與之間劣(優(yōu))弧上是同為正(負(fù))的，故在與之間的劣（優(yōu)）弧上是單調(diào)上升（下降）的，且連續(xù)。

因此，當(dāng)異號(hào)時(shí)，其中一定有一點(diǎn)，使交點(diǎn)個(gè)數(shù)大致可確定了

的根的個(gè)數(shù)是

五個(gè)連續(xù)自然數(shù)中的一個(gè)。因?yàn)樵赱-1,1]中，在其中的范圍為，因?yàn)?π之內(nèi)2個(gè)根，周期函數(shù)根的個(gè)數(shù)為，其中取整數(shù)，是因?yàn)閭€(gè)數(shù)一定是整數(shù)，且由于根不是均勻分布，可能四舍五入產(chǎn)生誤差。由于的根相間，還有可能產(chǎn)生一個(gè)誤差，所以可以得出結(jié)論：根是附近五個(gè)連續(xù)自然數(shù)中的一個(gè)。交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)上述結(jié)果還不太精確。實(shí)際上，重根按重?cái)?shù)計(jì)，則交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)。證：因?yàn)橹芷诤瘮?shù)無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題已解決。余弦線(xiàn)分平面為上下兩部分，所以當(dāng)

時(shí)，，即直線(xiàn)一定位于余弦線(xiàn)的下方，而當(dāng)

時(shí)，，即直線(xiàn)此時(shí)一定在余弦線(xiàn)上方，因此直線(xiàn)一定從下方到上方至少穿過(guò)余弦線(xiàn)一次。因此一定產(chǎn)生一個(gè)交點(diǎn)，個(gè)數(shù)是奇數(shù)，若又回到余弦線(xiàn)的下方，則仍應(yīng)回到上方，穿過(guò)余弦線(xiàn)兩次，產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)仍是奇數(shù)，類(lèi)推一定是奇數(shù)。若相切，則從上方還到上方，切點(diǎn)算兩個(gè)交點(diǎn)，因此交點(diǎn)數(shù)一定是奇數(shù)。交點(diǎn)個(gè)數(shù)不應(yīng)該有三種可能若為奇數(shù)，則交點(diǎn)數(shù)為3種可能，這與實(shí)際不符，可以再去掉一個(gè)?？紤]交點(diǎn)個(gè)數(shù)隨下降而變動(dòng)的情況，即旋轉(zhuǎn)直線(xiàn)，不難發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)數(shù)跳躍發(fā)生在直線(xiàn)與余弦線(xiàn)有兩個(gè)切點(diǎn)的情況，這時(shí)或增加4個(gè)，至少增加2個(gè)交點(diǎn)（一個(gè)切點(diǎn)算2個(gè)交點(diǎn)）。跳躍點(diǎn)的推導(dǎo)兩個(gè)切點(diǎn)根據(jù)重根公式，應(yīng)滿(mǎn)足

，由韋達(dá)定理，兩切點(diǎn)連線(xiàn)中點(diǎn)坐標(biāo)為，

即，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在坐標(biāo)軸上，是坐標(biāo)軸與直線(xiàn)的交點(diǎn)。

由兩個(gè)全等的直角三角形可知，兩切點(diǎn)的縱坐標(biāo)相差一個(gè)符號(hào)。(切點(diǎn)也在余弦線(xiàn)上)再由單位圓可知，切點(diǎn)連線(xiàn)中點(diǎn)橫坐標(biāo)一定，故，交點(diǎn)相差

肯定無(wú)法同時(shí)相切，因分別在極大、極小值點(diǎn)的同一邊，因此余弦線(xiàn)及其軸和直線(xiàn)三線(xiàn)共點(diǎn)求的跳躍點(diǎn)可分兩種情況：1，在中點(diǎn)處下降，平移豎軸至，則直線(xiàn)變?yōu)?，余弦線(xiàn)變?yōu)?，則在切點(diǎn)有2，在中點(diǎn)處上升，類(lèi)似有由可求

即，,最大的，后

，一個(gè)交點(diǎn)；，一個(gè)

或三個(gè)交點(diǎn)；，三個(gè)或五個(gè)交點(diǎn)；

，五個(gè)或七個(gè)交點(diǎn)。最后再由確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)是兩個(gè)數(shù)中的哪一個(gè)。因?yàn)槠揭茣?huì)使交點(diǎn)個(gè)數(shù)增加或減少2個(gè)。關(guān)于的求解首先應(yīng)該充分利用已經(jīng)得到的結(jié)論，提高效率：1，交點(diǎn)的范圍2，把上述范圍又分成若干個(gè)區(qū)間。在每個(gè)區(qū)間內(nèi)有一個(gè)且只有一個(gè)交點(diǎn)，可以防止遺漏交點(diǎn)和無(wú)效勞動(dòng)。3，每個(gè)子區(qū)間內(nèi)是連續(xù)單調(diào)的，有利于求解。二分法求交點(diǎn)由于在每個(gè)子區(qū)間是連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)的，求交點(diǎn)的方法很多。最簡(jiǎn)單的方法是二分法。每次將區(qū)間一分為二，求出中點(diǎn)的函數(shù)值，保留兩端函數(shù)值異號(hào)的子區(qū)間，繼續(xù)均分，直至區(qū)間長(zhǎng)度小于精度要求，停止。牛頓迭代法比較通用的另一種方法是牛頓迭代法，公式為，思想是以直代曲，用切線(xiàn)來(lái)代替割線(xiàn)。已經(jīng)證明牛頓迭代法具有二階收斂速度，效率很高，牛頓法的缺點(diǎn)是當(dāng)初始解離真實(shí)解較遠(yuǎn)時(shí)會(huì)偏離方向，可用混合法，先用二分法保證逼近真實(shí)交點(diǎn)，后用牛頓法加快收斂速度，做到取長(zhǎng)補(bǔ)短。僅適合本問(wèn)題的好的初始解還有一個(gè)好算法?，F(xiàn)在已有極大，極小值點(diǎn)，二點(diǎn)連線(xiàn)與水平軸的交點(diǎn)就是非常好的近似。求交點(diǎn)的工作量和所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)成正比？將無(wú)法用于實(shí)時(shí)控制？求交點(diǎn)的工作量和所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)成正比，如果有成萬(wàn)上億個(gè)交點(diǎn)，時(shí)間太長(zhǎng)，怎么用于實(shí)時(shí)控制？即使用最先進(jìn)的計(jì)算機(jī)也無(wú)法跟上交點(diǎn)個(gè)數(shù)的上升，似乎這是無(wú)法克服的困難。但仔細(xì)分析，比較大，交點(diǎn)個(gè)數(shù)少，當(dāng)然求解容易。但無(wú)窮解，求解也不困難，為什么，交點(diǎn)個(gè)數(shù)非常多，問(wèn)題就解決不了呢？解決問(wèn)題還是靠創(chuàng)造性當(dāng)時(shí)，無(wú)窮多解能夠求解的創(chuàng)造性在于只選了兩個(gè)代表，后用他們可以代表無(wú)窮多