2024屆高三新高考改革數(shù)學適應性練習七（含答案）（九省聯(lián)考題型）

2024年新高考改革適應性練習(7)(九省聯(lián)考題型)

數(shù)學試題卷

(2024.2.14)

考生須知

1,本卷共四大題19小題，滿分150分，答題時間120分鐘；

2.答題時須在答題卡上填涂所選答案(選擇題)，或用黑色字跡的簽字筆規(guī)范書寫答案與

步驟(非選擇題)，答在本試題卷上或草稿紙上的答案均屬無效；

3.考試結束時，考生須一并上交本試題卷，答題卡與草稿紙.

、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.)

1.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：

X0123

y1357

則y與比的線性回歸方程y=bx+a必過定點

A.(0.5,3)B.(1.5,0)C.(1,2)D.(2,4)

2.已知復數(shù)z=i4-i,則z對應的點Z在復平面的

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知在空間直角坐標系中，直線/經過A(3,3,3),B(0,6,0)兩點，則點P(0,0,6)到直

線I的距離是

A.6A/2B.2V3C.2A/6D.3近

4.柯西不等式最初是由大數(shù)學家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時

得到的.而后來有兩位數(shù)學家Buniakowsky和Schwarz彼此獨立地在積分學中推而

廣之，才能將這一不等式應用到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對實

數(shù)的,a2,a3和瓦,b2,b3,有

(?i+?2+―+用+bl)>(的瓦+a2b2+a3b3y

等號成立當且僅當

瓦力283

已知/+y2+z2=14,請你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是

A.14B.12C.10D.8

5.在圓/+y2=5x內，過點(|,|)有幾條弦的長度成等差數(shù)列，最小弦長為數(shù)列的

首項內,最大弦長為。n，若公差那么幾的取值集合為

A.{4,5,6,7}B.{3,4,5,6}C.［4,5,6}D.{3,4,5}

6.已知在△ABC中，BC=3,角4的平分線交BC于點。，若CD=2BD,則△4BC

面積的最大值是

A.1B.2C.3D.4

7.已知直線［與拋物線C"=軌交于4,B兩點，若萬5=—4,則\AB\的最小

值是

A.4B.4V2C.8D.16

8.若函數(shù)/(%)=〃+/在(0,+8)上單調遞增，則a和b的可能取值是

A.a=In1.1,b=10B.a=In11,b=0.1

C.a—e02,b=0,8D.a—e~02,b—1.8

二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項,

每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分.)

9.若△ABC的三個內角為則下列說法正確的有

A.sin4,sin3,sinC一定能構成三角形的三條邊

B.sin24,sin28,sin2c一定能構成三角形的三條邊

C.sin2A,sin2B,sin2C一定能構成三角形的三條邊

D.Vsin/,，sin3,VsinC一定能構成三角形的三條邊

10.已知離散型隨機變量X服從二項分布B(n,p),其中九EN*,pE(0J),記X為奇

數(shù)的概率為a,X為偶數(shù)的概率為b,則下列說法正確的有

A.a+b=1B.p=［時，a=6

C.pe(og)時，a與ri正相關D.時，a與71負相關

11.已知函數(shù)/(%)的定義域為R,函數(shù)/(/+%)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(%)=

f（X2-,則下列式子正確的有

A.嗚=0B."2）=0

C.f（4）=0D.g（x+1）=—g（X）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.已知a為第四象限角，sina+cosa=|,則tana=.

13.設a,b為實數(shù)，且abH0,虛數(shù)z為方程a/+人久+a=。的一個根，貝!J|z|的值

為.

14.已知首項為2、公差為d的等差數(shù)列｛而｝滿足：對任意的不相等的兩個正整數(shù)i,

j,都存在正整數(shù)k,使得見+叼=%成立，則d的取值范圍是.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

15.（13分）

已知數(shù)列｛an｝的前n項和Sn滿足Sn=20n-n.

（1）求數(shù)列｛%J的通項公式；

（2）設既=（2n+1）（即+1），求數(shù)列｛%｝的前n項和取.

16.（15分）

聊天機器人（chatterbot）是一個經由對話或文字進行交談的計算機程序.當一個問

題輸入給聊天機器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結果進行應答.在對某款聊天機

器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應答被采納的概率為80%,若出現(xiàn)

語法錯誤，則應答被采納的概率為30%.假設每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為

10%.

（1）求一個問題的應答被采納的概率；

（2）在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應答是否被采納相互獨立，記

這些應答被采納的個數(shù)為X,求當P（X=k）最大時k的值（keN*）.

17.(15分)

已知函數(shù)/(%)=ex—aln(x+1).

(1)當a=l時，求f(x)的最小值；

(2)若a",判斷〃K)的零點個數(shù).

參考數(shù)據(jù)：In2a0,693,e-2.718.

18.(17分)

如右圖，已知RtzXABC的直角邊4B=6,BC=

4,點F],F2是BC從左到右的四等分點(非中點).已知

橢圓廠所在的平面，平面ABC,且其左右頂點為B,C,

左右焦點為0,F2，點P在廠上.

(1)求三棱錐A—0F2P體積的最大值；

(2)證明：二面角F1-4P—F2不小于60°.

19.(17分)

“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：''在一

個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小意大利數(shù)學家托

里拆利給出了解答，當△ABC的三個內角均小于120。時，使得乙4OB=NBOC=

ZC04=120。的點。即為費馬點；當△ABC有一個內角大于或等于120。時，最大內角

的頂點為費馬點.

已知△ABC的內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

cos2B+cos2C—cos2A=1

(i)求a；

(2)若bc=2,設點P為△ABC的費馬點，求方?麗+麗?正+正?西；

(3)設點尸為△4BC的費馬點，\PB\+\PC\=t\PA\,求實數(shù)t的最小值.

2024年新高考改革適應性練習(7)(九省聯(lián)考題型)

數(shù)學試題卷

(2024.2.14)

考生須知

1.本卷共4頁，四大題19小題，滿分150分，答題時間120分鐘；

2.答題時須在答題卡上填涂所選答案(選擇題)，或用黑色字跡的簽字筆規(guī)范書寫答案與步驟(非選擇題),

答在本試題卷上或草稿紙上的答案均屬無效；

3.考試結束時，考生須一并上交本試題卷，答題卡與草稿紙.

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.)

1.已知久與y之間的一組數(shù)據(jù):

X0123

y1357

則y與x的線性回歸方程夕=bx+d必過定點

A.(0.5,3)B.(1.5,0)C.(1,2)D.(2,4)

2.已知復數(shù)z=i4-i,則z對應的點Z在復平面的

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知在空間直角坐標系中，直線/經過4(333),B(0,6,0)兩點，則點P(0,0,6)到直線Z的距離是

A.6V2B.2V3C.2V6D.3V2

4.柯西不等式最初是由大數(shù)學家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的.而后來

有兩位數(shù)學家Buniakowsky和Schwarz彼此獨立地在積分學中推而廣之，才能將這一不等式應用

到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對實數(shù)內,。2，。3和//2，為，有

(?i+避+試)(班+―+園)>(%比+a2b2+a3b3Y

等號成立當且僅當

0203

瓦b2外

已知+y2+Z?=14,請你用柯西不等式，求出％+2y+3z的最大值是

A.14B.12C.10D.8

5.在圓/+y2=5工內，過點住,I）有幾條弦的長度成等差數(shù)列，最小弦長為數(shù)列的首項的,最大

弦長為an，若公差de那么n的取值集合為

A.{4,5,6,7}B.[3,4,5,6}C.[4,5,6}D.{3,4,5}

6.已知在△ABC中，BC=3,角4的平分線交BC于點。，若CD=2BD,則△2BC面積的最大值

是

A.1B.2C.3D.4

7.已知直線I與拋物線C:y2=4久交于4,B兩點，若市=—4,則|4B|的最小值是

A.4B.4V2C.8D.16

8.若函數(shù)/（無）=a^+b久在（0,+8）上單調遞增，則a和b的可能取值是

A.a=In1.1,b=10B.a=In11,b=0.1

C.a=e02,b—0.8D.a=e~02,b—1.8

二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若只有3個

正確選項，每選對一個得2分.）

9.若△ABC的三個內角為則下列說法正確的有

A.sin2,sinB,sinC一定能構成三角形的三條邊

B.sin22,sin2B,sin2c一定能構成三角形的三條邊

C.sin2A,sin2B,sin2C一定能構成三角形的三條邊

D.，sin4,，sinB,A/sinC一定能構成三角形的三條邊

10.已知離散型隨機變量X服從二項分布B（n,p），其中nCN*,pC（0,1）,記X為奇數(shù)的概率為a,

X為偶數(shù)的概率為b,則下列說法正確的有

-1

A.a+b=1B.p=5時，a=b

C.pe（0,；）時，a與九正相關D.時，a與幾負相關

11.已知函數(shù)/（%）的定義域為R，函數(shù)/（/+%）是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)g（%）=/（/一[）,

則下列式子正確的有

A.g(￡)=oB.f(2)=0

C.f(4)=oD.g(x+1)=—g(x)

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知a為第四象限角，sina+cosa=|,則tana=.

13.設a,b為實數(shù)，且abA0,虛數(shù)z為方程a/+bx+a=0的一個根，則|z|的值為.

14.已知首項為2、公差為d的等差數(shù)列滿足：對任意的不相等的兩個正整數(shù)i,1,都存在正整

數(shù)k,使得%+%=ak成立，則d的取值范圍是.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.(13分)

已知數(shù)列｛an)的前n項和Sn滿足Sn=2an-n.

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)設“=(2n+1)(%+1)，求數(shù)列｛%｝的前n項和勒.

16.(15分)

聊天機器人(chatterbot)是一個經由對話或文字進行交談的計算機程序.當一個問題輸入給聊天機

器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結果進行應答.在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的

問題沒有語法錯誤，則應答被采納的概率為80%,若出現(xiàn)語法錯誤，則應答被采納的概率為30%.假

設每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%.

(1)求一個問題的應答被采納的概率；

(2)在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應答是否被采納相互獨立，記這些應答被采納

的個數(shù)為X,求當P(X=k)最大時k的值(kCN*).

17.(15分)

已知函數(shù)/(久)=ex—aln(x+1).

(1)當a=l時，求的最小值;

(2)若a24,判斷/(%)的零點個數(shù).

參考數(shù)據(jù)：ln2《0.693,e?2.718.

18.（17分）

如右圖，已知RtAABC的直角邊ZB=6,BC=4,點后,尸2是

BC從左到右的四等分點（非中點）.已知橢圓廠所在的平面_1_平面

ABC,且其左右頂點為B,C,左右焦點為0,尸2,點P在「上.

（1）求三棱錐A-aF2P體積的最大值；

（2）證明：二面角Fi—AP—Fz不小于60°.

19.⑴分）

“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內求

作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數(shù)學家托里拆利給出了解答，當aaBC

的三個內角均小于120。時，使得乙4。8=/36^=2。。4=120。的點0即為費馬點；當△2BC有一

個內角大于或等于120。時，最大內角的頂點為費馬點.

已知△4BC的內角所對的邊分別為a,b,c,且

cos2B+cos2C—cos2A=1

（1）求Z；

（2）若bc=2,設點P為△ABC的費馬點，求麗?麗+麗?麗+正?百；

（3）設點P為△ABC的費馬點，\PB\+\PC\=t\PA\,求實數(shù)t的最小值.

2024年新高考改革適應性練習（7）（九省聯(lián)考題型）

數(shù)學參考答案

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.）

題號12345678

答案BDCAACBD

二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，有選錯的得。分，若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若只有3個

正確選項，每選對一個得2分.具體得分如【附】評分表.）

題號91011

答案ADABCABD

【附】評分表

9-11題（每題滿分6分）得分情況

2個選對1個（選A或D）3分

（如AD）選對2個（選AD）6分

正確選項個數(shù)選對1個（選A或B或C）2分

3個

選對2個（選AB或BC或AC）4分

（如ABC）

選對3個（選ABC）6分

（注：有選錯的得0分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

題號121314

3

答案1de脩血eN*}u{—2}

~4

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

15.（13分）

（1）由題意Sn=2an—n，

當71=1時，%=Si=2al-1,解得%=1,

當?122時，Sn—2an—n,①

SJJ-I-2an_1—n+1,②

①-②得—2lZn-l+1即Cl"+1=2（dn一i+1）,

Vai+1=2*0,+=2,

an-i+l

??.{an+1}是以首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

71nn

則廝+1=2?2T=2,：.an=2-1.

n

(2)由上可知：bn=(2n+1)-2,

所以〃=3?2+5?22+7?23+…+(2九一1)?2n-1+(2n+1)-2n,

27^=3-22+5?23+7-24+-+(2n-1)-2n+(2n+1)-2n+1,

34nn+1

：.-Tn=6+2(22+2+2+…+2)-(2n+1)-2,

=2+(2九一l)2+i.

16.(15分)

(1)記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A,“一次應答被采納”為事件B,

由題意P(4)=0.1,P(B|4)=0,8,P(B|Z)=0.3,則PQ4)=1—P(A)=0.9,

P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BlA)=0.9X0.8+0.1X0.3=0.75

(2)依題意，X?B(8,g,

P(X=k)=

P(X=k)2P(X=k+1)

當最大時，有

P(X=k)P(X=k)2P(X=k—1)'1

(力城"啕飛廠

3k9-k

,4.W

解得子WkW+kEN,

故當P(X=k)最大時，k=6.

17.(15分)

(1)當a=l時，f(x)—ex—aln(x+1)(%>—1),則/'(%)=ex-W，

1

r(%)=^+———>0

(%+I)21

所以廣o)單調遞增，注意到/(0)=0,

所以當％e(-1,0)時,f'M<fW=0,/(x)單調遞減；當％e(0,+8)時，f(x)>f(o)=0,/(x)

單調遞增.

所以X=0是/(X)的極小值點,/(0)min=/(0)=1.

(2)由題意，/(%)=ex—aln(x+1)(%>—1),//(%)=ex-,

f〃(嗎=〃+廣/，又。24,所以/〃(%)>0,((%)單調遞增，

因為尸(。)=1—a<。，f'(lna)。，

由零點存在性定理，存在唯一的&C(0,lna),使尸(出)=0,

所以當久e(-I,X。)時，fz(x)<0,/(%)單調遞減;當之€(&,+8)時,f(x)>0,/(%)單調遞增.

又/■(())=1,/(I)=e-aln2<e-41n2?2.718-4x0.693=-0.054<0,

所以f(x)在(0,1)上有1個零點.

令/i(a)=/(a—1)=ea-1—aIna(a>4),則/i'(a)=ea-1—Ina—1,

令p(a)=ea-1—Ina-l(a>4),則p，(a)=ea-1—^>e3—^>0.

所以p(a)單調遞增，p(a)>p(4)=e3-ln4-l>0,

所以h(a)單調遞增，h(a)>h(4)=e3—41n4>23—4x2=0,

即/'(a—l)〉0,故f(久)在(l,a—1)內有1個零點.

綜上，當a24時，〃久)的零點個數(shù)為2.

18.（17分）

取BC中點0,在AC上取一點Q使得OQ,

以。為坐標原點，泥為久正方向，BC的中垂線1的方向向量比為y軸正方向，而為z軸正方向,

建立空間直角坐標系Oxyz.

22

（1）設點P（xo，yo）.橢圓廠的方程為a+1=l（a>b>0）.

由題意，易知OB=OC=|fiC=2,。&=OF2==BC=1,

22

22

則a=。。=2,c=OF1=yja-b=1,解得b=遮，所以廠:（+?=1.

11

=hS

VA-F^P2,SgF2P=^F1F2P=27F/2I?|yol=|y（）|〈b=百

故三棱錐A-F#2P體積的最大值是V3.

（2）易知4（-2,0,3）,Fi（0,—l,0），F(xiàn)2（0,1,0）,設P（V^cos，，2sin，，0）（cos。A0）,

貝ij甌=（0,1,-3）,F\P=（V3cos0,2sin6+1,0）,

設平面APB的一個法向量%=（久,y,z）,則

(%?AFr=y-3z=0

(叫?F\P=V3xcos6+(2sin8+l)y=0

令y=3cos0,則％=-V3(2sin0+1),z=cos6,

所以平面APR的一個法向量%=(-73(2sin0+1),3cos6fcos0),

同理可求得平面ZPF2的一個法向量%二(—(2sin0—1),V3cos0,cos0),

令七=sin9+l,貝lj(化簡后得)

n-n3A/3

cos<nn>=i——±；~~：——2：=,

n2432

l?il?\n2\V-4t-16t+12t+73t+27

(i)當te(o周時，則巴子巨>o,

所以一4t4-16t3+12t2+73t+27<-4t4-yt3+12t2+72t+等,

令f(t)=-4t4-yt3+12t2+721+等，廣(t)=-8(t-1)(2/+6t+9),

因為所以2t2+6t+9>0,令((t)=0得t=l,

當te(0,1)時，/⑴>0,f(t)單調遞增；當te(L：)時，/⑴<o,f(t)單調遞減.

(n)當tC信2)時，令g(t)=-4t4-16t3+12t2+73t+27,

g'(t)=—1613—48t2+24t+72,g"(t)=24(—2t2—4t+1)<0,所以g'(t)單調遞減，所以g'(t)<

g'(￡)<o，即g⑴單調遞減，g(t)<g(￡)=鬻<io8,

綜上，—4d-16t3+12t2+73t+27<108對te(0,2)成立，

即cos<nr,n2>>~==|,即<nr,n2?g,

故二面角Fi—4P—F2不小于60°得證.

19.(17分)

(1)由已知在△ABC中

cos2B+cos2C—cos2A=1

即

1—2sin2B+1—2sin2C—1+2sin2A=1

故sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理角化邊得a2b2+c2,

故△ABC直角三角形，即4=(

(2)作答圖如右圖所示，由(1)得4=]，所以

11

S^ABC=,MB|■\AC\=-be=1

由點P為△4BC的費馬點得乙APB=乙BPC=ACPA=y,

由正弦定理，

1V3

S&APB=5-\pA