2024年1月遼寧省沈陽市高三數(shù)學一模試卷及答案

2024年沈陽市高中三年級教學質(zhì)量監(jiān)測(一)

數(shù)學

2024.1

本試卷分第I卷(選擇題)和第H卷(非選擇題)兩部分.考生作答時，將答案答在答

題卡上，在本試卷上答題無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上，并將條碼粘貼在答題卡指定區(qū)

域,

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.第II卷用黑色墨水簽字筆在答題卡指定位置書寫作

答，在本試題卷上作答無效.

3.考試結(jié)束后，考生將答題卡交回.

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合。={1,2,4,6,8},集合河={小2—3》+2=0},N={x|x=4a,aeAf},則

L”,JN)=()

A{6}B.{4,6,8}C.{1,2,4,8}D.{1,2,4,6,8}

1z

2.設(shè)復數(shù)z滿足——=-i,則|z|=()

1-z11

AiB.—C.1D.y[l

2

3.曲線y=f在點(1,1)處的切線方程為()

Ay=xB.y=2x-lC.y=2x+lD.y=3x-2

4.已知單位向量方滿足〃_L(〃—2b),貝Ij(〃④)=()

1

5.已知有100個半徑互不相等的同心圓，其中最小圓的半徑為1,在每相鄰的兩個圓中，小

圓的切線被大圓截得的弦長都為2,則這100個圓中最大圓的半徑是（）

A8B.9C.10D.100

6.如圖，小明從街道的E處出發(fā)，到尸處的老年公寓參加志愿者活動，如果中途共轉(zhuǎn)向3

次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數(shù)是（）

F

A8B.12C.16D.24

矢口sin[q—e]+cos[q—e]=l,則cos[2e—?]二()

__717t71

8.已知根=0e"n=e3,p=V3e?,則()

An>m>pB.m>p>nC.p>n>mD.m>n>p

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.下圖是離散型隨機變量X的概率分布直觀圖，其中3。=56,2人=3。，貝M）

A.a=0.5B.E(X)=2.3C,D(X)=0.61D.D(2X)=1.22

2

10.已知雙曲線C的兩個焦點分別為耳（-20,0）,丹（20,0）,且滿足條件?，可以解得

雙曲線C的方程為x2-y2=4,則條件p可以是（）

A實軸長為4B.雙曲線C為等軸雙曲線

C.離心率為半D.漸近線方程為y=±x

11.如圖，點A,8,C是函數(shù)/（x）=sin（s+e）（。＞0）的圖象與直線y=等相鄰的三個交點,

S.\BC\-\AB\=j,則（）

A.(0=4

C.函數(shù)/（X）在上單調(diào)遞減

D若將函數(shù)/（x）的圖象沿x軸平移。個單位，得到一個偶函數(shù)的圖象，則碼的最小值

為三

24

12.正方體的8個頂點分別在4個互相平行的平面內(nèi)，每個平面內(nèi)至少有一個頂點，且相鄰

兩個平面間的距離為1,則該正方體的棱長為（）

AV2B.V3C.2D.A/5

第II卷（非選擇題共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.的展開式中常數(shù)項的二項式系數(shù)為.

3

14.已知拋物線C：V=4x的焦點為尸，若點。是拋物線C上到點（4,0）距離最近的點，則

\QF\=-

15.sinx=l的一個充分不必要條件是.

16.已知A,B,C是半徑為1的球面上不同的三點，則AHAC的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

已知等比數(shù)列｛瑪｝的各項均為正數(shù)，且4+2a2=1，

（I）求數(shù)列｛瑪｝的通項公式；

（II）設(shè)2=log%血，求證：l+bn<-^~-

18.（12分）

在△ABC中，角所對的邊分別為a,b,c,且。2=ac+/.

（1）求證：B=2A；

（II）當主士乂取最小值時，求cosB的值.

3b

19.（12分）

如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABC平面BCD,SLBC=BD=BA,

ZCBA=ZCBD=120°,點P在線段AC上，點。在線段CE）上.

（I）求證：AD1BC；

BP

（II）若AC_L平面8PQ,求被的值；

（III）在（II）的條件下，求平面AAD與平面P5Q所成角的余弦值.

D

4

20.（12分）

某城市有甲，乙兩個網(wǎng)約車公司，相關(guān)部門為了更好地監(jiān)管和服務(wù)，通過問卷調(diào)查的方式,

統(tǒng)計當?shù)鼐W(wǎng)約車用戶（后面簡稱用戶，并假設(shè)每位用戶只選擇其中一家公司的網(wǎng)約車出行）

對甲，乙兩個公司的乘車費用，等待時間，乘車舒適度等因素的評價，得到如下統(tǒng)計結(jié)果:

①用戶選擇甲公司的頻率為0.32,選擇乙公司的頻率為0.68；

②選擇甲公司的用戶對等待時間滿意的頻率為0.62,選擇乙公司的用戶對等待時間滿意的

頻率為0.78；

③選擇甲公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為0.68,選擇乙公司的用戶對乘車舒適度滿

意的頻率為0.61；

④選擇甲公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為0.21,選擇乙公司的用戶對乘車費用滿意的

頻率為0.32.

將上述隨機事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率.

（I）分別求出網(wǎng)約車用戶對等待時間滿意，乘車舒適度滿意，乘車費用滿意的概率，并比

較用戶對哪個因素滿意的概率最大，對哪個因素滿意的概率最小.

（II）若已知某位用戶對乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個公司的網(wǎng)約車出行？并

說明理由.

5

21.(12分)

已知如圖，點片,為為橢圓。的短軸的兩個端點，且鳥的坐標為(0,1),橢圓C的離心率

為——?

2

(I)求橢圓C的標準方程；

(II)若直線/不經(jīng)過橢圓C的中心，且分別交橢圓C與直線y=-l于不同的三點。，E,

P(點E在線段DP上)，直線尸。分別交直線。外，EB?于點、M,N.

求證：四邊形4座雙為平行四邊形.

22.(12分)

已知函數(shù)〃x)=x-皮+方，其中;I為實數(shù).

(I)若函數(shù)y=/(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求X的取值范圍；

(II)若石與馬為方程/")=0的兩個不等實根，—比3—1恒成立，求實

數(shù)X的取值范圍.

6

答案

1-8題ACBBCDBD

9-12題ABCABDACDBD

13.20

14.3

15.x=-（答案不唯一）

2

16.—1

2

1.解析：由題知M二{1,2},N={4,8},N）={6},故選A.

2.解析：由星=7解得z=-1■±L,;.z=m=l,故選C.

3.解析：由題知，y=2x,y[a=2,?,?切線方程為y-l=2（x—1）,即y=2x—1,故選人

4.解析：由〃_L（〃一2。）得〃?（〃-26）=|〃「一2〃2=0,又為單位向量，

cos（tz,b）=a,/.{a,b）=—,故選8.

|他23

5.解析：設(shè)這100個圓的半徑從小到大依次為多勿…goo，則由題知『=1，

rn+l~rn5=1,2,…,99），.■.襦=10。，；.々00=10,故選C.

6.解析：中途共三次轉(zhuǎn)向可以分為兩類.第一類，右上右（即第一次向右轉(zhuǎn)，第二次向上轉(zhuǎn)，

第三次向右轉(zhuǎn)），此時有3X4=12種方法，第二類，上右上，此時共有4X3=12種方法.

故選。.

7.解析：由5布6-q+（：053-4=1得|<050+55m0=1,結(jié)合輔助角公式得

cos[，-^]=f,cos^20-^=2cos2^0-^-1=-^,故選8.

x

8.解析:令/"(X)=e*cosx,則，'(x)=e*(cosx-sinx)=y[lecosx+—

7171

當xe5'Z時,f\x)>0,當xe時，八九）<0,所以/（x）在

1

上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以/圖且/百|(zhì)〉小看），所以

J2-1-V2-A/3--r~~~r--

—〃>—?且—e4>——e6,即V2e4>e3且a">V3e6,所以加>名加〉〃，

2222

7171

又n=/>e,p-43e7<百e°=6<e，所以〃〉〃，綜上所述，m>n>p,選D.

a+b+c=l,

9.解析：由題知<3。=5b,解得a=0.5,b=0.3,c=0.2.

28=3c,

所以研X)=1x0.2+2x0.3+3x0.5=2.3,

￡)(X)=(1-2.3)2x0.2+(2-2.3)2x0.3+(3-2.3)2x0.5=0.61,

D(2X)=22.Z)(x)=2.44,故選ABC.

22

10.解析：設(shè)該雙曲線標準方程為=1,貝l|c=2JL對于A選項，若實軸長為4,貝I]“=2,

a2b2

廿=°2_.2=4,符合題意;對于B選項，若該雙曲線為等軸雙曲線，貝1J。=6,又c=2血,

可解得/=廿=4,符合題意；對于C選項，由雙曲線的離心率大于1知，不合題意;

對于D選項，若漸近線方程為〉=±了，則。=6,可解得。2=*=4,符合題意，故選A2D.

11.解析:本題作為小題的優(yōu)解,設(shè)函數(shù)/(%)的最小正周期為T,類比正弦曲線與直線》=與

的交點可知，-=\BC\-\AB\=—--=—,所以7=工=至，所以。=4,故A選項

36632CD

正確，結(jié)合此函數(shù)的周期，標出圖象上幾個點的橫坐標，如圖所示，

結(jié)合圖象可知,<0,故8選項錯誤，結(jié)合圖象可知，CD選項正確,

2

故選ACD.

12.解析：設(shè)該正方體為ABC。一A耳GR,且其棱長為a.若考慮4個平面中最中間的

兩個平面，共有兩種情況.

①若中間的兩個平面為平面A3。和平面,如圖1所示，則過a，AC作截面,

截面圖如圖2所示，其中￡/分別為AC,AG中點?則相鄰兩平面間距離即為A到4石

的距離j。，此時a=G.

3

②若中間的兩個平面如圖3所示，過瓦C,G作截面，截面圖如圖4所示，其中

分別為5C,4。中點.則相鄰兩平面間距離即為8到4M的距離半。，此時a=火.

故答案為80.

13.解析：此二項式展開式的通項公式為方+i

3

(r=0,1,2,3,4,5,6),則當r=3時，對應(yīng)的為常數(shù)項，故常數(shù)項的二項式系數(shù)為盤=20,

故答案為20.

14.解析：由題知產(chǎn)(1,0),設(shè)2值,%)，44,0),其中與0,則3|=”曲-4)2+式

=｛>_8玄+16+4a=小(xo-2)2+12,:點Q是拋物線C上到點(4,0)距離最近的點,

x0=2.\QF\=x0+1=3,故答案為3.

15.解析：本題答案不唯一，最簡潔的一個是工=生，其它的答案也可以是x=色，x=-—

222

等，但不可以是》=事+2"(建2),因為這個是充要條件.

16.解析：A,8,C是球面上不同的三點，.〔AB,。不共線，故平面ABC截球面得到的是一

個圓，記此圓半徑為廠(0<廠工1),當且僅當平面A8C過球心時，r=l.在半徑為廠的圓

中，對于任意的弦A3,由向量數(shù)量積的幾何意義知，當C在如圖所示的位置時，

AB-AC取最小值，則AB-AC的最小值為-\AB\■|>Uv|=-|AB|.[-；,目]

=||AB|2,當,@=廠時，一,目?,叫取最小值一g產(chǎn)，

又r的最大值為1,故所求最小值為-工.

2

21

17.解：(I)設(shè)｛〃〃｝的公比為q,由=2%?%知,1/)=.........2分

由。］+2a2—1。］+2??q=］,.,.〃］二.,ctn——5分

22

(H)證明：由題知..........7分

12n2n

所以“2F?./+%<10分

2n2n+12n+l

4

18.解：（I）由余弦定理知/=〃2+C2—2〃CCOS5,又。2=Q2+〃C,

/.a2+ac=a2+c2-lac-cosB,化簡得〃=c-2〃cos瓦..........2分

sinA=sinC—2sinAcosB,

sinA=sin（A+B）-2sinAcosB,

sinA=sinAcosB+cosAsinB-2sinAcosB-cosAsinB-sinAcosB

/.sinA=sin（B-A）,.................4分

VAe（0,^-）,B-Ae（一肛乃），

?,.A=B—A或A+（_B—A）=乃（舍），B=2A................6分

3c+7a3〃c+7/

(II)由題知,

3b3ab

2V31

當且僅當b=時取等，又9所9以。二—〃，..........11分

33

6Z2+c2-b2J

所以cos5=12分

lac3

第（I）問的方法2：由。之二〃c+〃2知sid^usinAsinC+sin?A,

sin2B-sin2A=sinAsinC,/.（sinB+sinA）（sinB-sinA）=sinAsinC,

B+AB-AB+A.B-A

2sincos2cos----sin=sinAsinC,2分

2222

sin（B+A）sin（B一A）=sinAsinC,sinCsin（B-A）=sinAsinC

，sin（B-A）=sinA,.................4分

AG（0,^-）,3—Aw（—萬，萬）,

...A=8—A或A+（3—A）二乃（舍），B=2A................6分

3sinC+7sinA_3sin（A+B）+7sinA

第(II)問方法2：由題知3c17。

3b3sinB3sin2A

5

_3sin（2A+A）+7sinA_3-sin2AcosA+3cos2AsinA+7sinA

6sinAcosA6sinAcosA

_6cos之A+3cos2A+7_12cos2A+4

8分

6cosA6cosA

=2cosA+=-22、日=迪，當且僅當cosA=走時取等..........10分

3cosAv333

粗（1后,A/3.\7C7T\?7L27r]

—e-，----??當cosA——時，AG—,—，進而Bw—,—，

3”2）3U3；U3J

此時故取等條件成立.所以，當主士乂取最小值時,

（4J3b

cosB-2cos2A-l=——12分

3

19.解：（I）證明：過A作AO_L直線BC于0,連接。O.

由題知BA=2D,20=20,ZABO=ZDBO=60°,

二.△ABO/△080,ZDOB=ZAOB=90°,即BCLOO,

5LBCA.AO,AOD0=0,.1BC，平面AOD,又AOu平面AOD,

BCLAD,BPAD1BC....................4分

（II）?.?平面ABC_L平面BCD,平面ABC〕平面BCD=BC,

AO±BC,AOu平面ABCAO±平面BCD.

以。為原點，以08的長度為單位長度，以。2OC,04的方向分別為x軸，y軸，z的正

方向建立空間直角坐標系O-孫z,如圖，則0,0）,A（0,0,V3）,2（0,1,0）,C（0,3,0）.

6

AC±BPQ,:.AC±BP,AC1BQ.

BA=BC二產(chǎn)為AC中點，由題知CD=(g,-3,0),AC=(0,3,-6)

設(shè)BQ=BC+ACD=(0,2,0)+2(V3,-3,0)=(732,2-32,0),

2

.?.AC30=3(2-32)=0,2=-,

二日@=F，又在AA3C中，BC=BA=2,ZABC=120,

BQ=I"。

BP

所以忸P|=l8分

~BQ~^2

（III）由（II）知，平面PBQ的一個法向量為AC,

設(shè)平面ABD的一個法向量為〃=(x,y,z).AB=(0,l,-V3).DB=(-73,1,0),

則上―,=0,

令y=6貝U”=(i,國),

n?DB=—13x+y=0,

AC-n273Vj

cos(AC,n)=

|Ac||n|-2A/3XA/5-5

平面ABD與平面PBQ所成角的余弦值為………“12分

第（II）問的方法二：4。_1_平面82。，；.4。_18尸AC_L8Q.設(shè)BA=BC=2由

ZABC=120°知，:.BP=L...............5分

平面ABC_L平面BCD,平面ABC〕平面BCO=BC,AOIBC,AOu平面ABC,

AO15FffiBCD,又BQu平面BCD,AOIBQ,又AC_L8Q,ACAO=A,

;.8Q_L平面ABCBQLBC..................7分

BC=2,ZBCQ=30",/.BQ=2x—=^,.................8分

33BQ2

20.解：（I）設(shè)M：用戶選擇甲公司的網(wǎng)約車出行，A：用戶對等待時間滿意,

B：用戶對乘車舒適度滿意，C：用戶對乘車費用滿意.

則P（A）=P（M）P（A|M）+P（間P（A叵）=0.32X0.62+0.68x0.78=0.7288,

....................2分

P（B）=P（M）P（B|M）+P（M）P（B|M）=0.32x0.68+0.68x0.61=0.6324,

7

4分

P(C)=P=0.32x0.21+0.68x0.32=0.2848,

6分

所以，用戶對等待時間滿意的概率最大，對乘車費用滿意的概率最小.

7分

“、百的.P(MB)0.32x0.68544

UI)由題知，P(M\B)=\/=----------=-----,9分

'1'P(B)0.63241581

、P\MB\0.68x0.611037

11分

NW忸卜蜜=0.6324-1581

P（M|B）＜P^M同該用戶選擇乙公司出行的概率更大.12分

b=l,

21.解：（I）由題知＜,解得。2=2,〃=1.故橢圓C的方程為工+>2=1.

a22?

a~=b~+c1.

4分

（II）設(shè)直線/方程為x=Ay+彳0）,設(shè)。E（x2,y2）,N（xN,yN）,

M(x”,加)?

x=ky+t,

由＜222

x2,^(k+2)y+2kty+t,

=

-2kt――2

所以％+%=6分

42+2’必%一心+2'

令y=—1,得—k,—1).故直線PO方程為y='x,

■一k-t

直線。外方程為y=+l.

一七

8

1

y=----%

k-t，日_（左一力玉_（k—力玉

y=2i二1》+1俗"玉+（左一）（1一%）k+ty,8分

將X”中玉，％換成%,,%得/=――也"..........9分

k+ty2

=（左一/）%（k—t）X2x1（Z+仇）+々伏+電）

一MN-k+唄k+ty?化+明）化+優(yōu)）

%（左+）+尤2（左+91）=左（再+尤2）+,（玉％+九2%）

=kgi+t+ky2+/）+（&]+。%+（佻+。乂]

—28（左2+/）+2左1左2+r）

=（〃+產(chǎn)）（%+%）+28（%%+。

F+2=0,11分

，。為線段"N中點，又。為耳耳中點,

；.四邊形與鹿?/為平行四邊形..........12分

第（II）問方法二：設(shè)E（x2,y2）,N（xN,yN）.

直線爪。方程為y="二x+l,

石

當直線/的斜率不存在時，設(shè)/方程為*=%（/#0）,

此時P（%,—1）,直線尸。方程的為y=—

xo

1

y=---x

%得知=—“，同理/=2，.％=—%XM+XN=0'

由＜

y=必—\+],%

%

6分

當直線/斜率存在時，設(shè)/方程為丁=履+千#0）,

y=kx+t,

由＜/得（1+242）必+4左江+2——2=0.

—+y=1、'

12

9

—4"，2產(chǎn)_2

由韋達定理得石+無2=污2，玉%2=上記?8分

將y=—1代入丁=依+/得—1

.?.直線尸。的方程為y=&x

%+1

石行F（l+/）=F（l+：

k”_（弘_1）（1+"_日?—股王+/_]

---X

1+1

—%2（1+1）

同理可得/二10分

ktx2+%2—1

/、

/八M/

+=―（%+1）------9----1-------9---

（ktXy+1—1ktx?+1—1,

2ktxrx2+（『+%）

（ktX[+/—1）（左比2+'-1）

2k（2r_2）（“一1）（—4笈）

2ktxx+卜2_1）（再+%2）=

x21+2r-+-1+2嚴―=0,

.,.xM+xN=O,綜上所述，XM+%N=0，，。為線段“乂中點，又。為44中點，

，四邊形4gN為平行四邊形...........12分

22.解：函數(shù)y=/(x)的定義域為R,

(I)_f(x)=l—X/—4=1—X卜+二］

當￡0時，_f(x)>0,/(X)在R上單調(diào)遞增，..........2分

當時，由于靖+二》2,所以尸(x)<0,〃x)在R上單調(diào)遞減，

當X=g時，/(x)0恒成立，當且僅當x=0時取等，所以/(X)在R上單調(diào)遞減.

..........4分