2024年中考數(shù)學(xué)二輪提升訓(xùn)練：圓的綜合

2024年中考數(shù)學(xué)二輪專題提升訓(xùn)練：圓的綜合

1.如圖，以ABC的邊AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D,。的切線QE1AC,垂足為

點(diǎn)E.

⑴求證：BD=CD.

⑵若二。的半徑等于5,BC=8,求AK的長(zhǎng).

2.如圖，為：。的直徑,C為。上一點(diǎn),D為BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且3C=CD,CELAD

于點(diǎn)E.

⑴求證：直線EC為O的切線；

(2)設(shè)BE與＜O交于點(diǎn)尸，AF的延長(zhǎng)線與CE交于點(diǎn)尸,

①求證：PC2=PFPA；

②若PC=5,PF=4,求尸E和sinNPEF的值

3.已知。中，直徑AC長(zhǎng)為12,MA,MB分別切。于點(diǎn)A,B,弦ADBM.

(1)如圖1,若ZAMB=120。，求NC的大小和弦8的長(zhǎng)；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C的切線分別與AD、MB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,F,且CE=］所，求弦

8的長(zhǎng).

4.如圖，A3為C。的直徑，點(diǎn)C、點(diǎn)。在O上，CE1AD,交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

連接AC,且NOCE=/D4C.

(1)證明：△CDEs/vW。；

(2)證明：CE為。的切線；

(3)若ZM=DC,AB=8,求AD的長(zhǎng).

5.如圖1,是。的直徑，BC是。的切線，點(diǎn)O是直徑右側(cè)半圓上一點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)。作于點(diǎn)E,連結(jié)AC交DE于點(diǎn)P.

AA

BB

圖1圖2

⑴求證：ACPE=APBC.

(2)連結(jié)OC、AD,若AD〃OC,求證：PE=PD.

(3)如圖2,連結(jié)C。，若CD是。的切線，求證：PE=PD.

6.如圖，AB為。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,CFLAF于點(diǎn)R且CF=CB.

⑴求證：CF是：。的切線；

⑵若“=30。，AB=10,求8的長(zhǎng).

7.如圖，AB是。的直徑，弦。0，至于￡,與弦反交于G,過(guò)點(diǎn)尸的直線分別與

AB,CD的延長(zhǎng)線交于M,N,FN=GN.

⑴求證：MN是Q的切線;

4

(2)右BM=1，sinM=—,求AF的長(zhǎng).

8.如圖，AB是匚0的直徑，點(diǎn)C是半圓A8的中點(diǎn)，點(diǎn)。是：。上一點(diǎn)，連接CD交48

于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且EF=DF.

⑴求證：DE是。的切線；

⑵連接3C、BD、AD,若tanC=：,DF=3,求。的半徑.

9.如圖，已知CE是圓。的直徑，點(diǎn)8在圓。上，且BD=BC,過(guò)點(diǎn)3作弦CD的平行

線與CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A

D

（1）若圓。的半徑為2,且點(diǎn)。為弧EC的中點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)度；

⑵在（1）的條件下，當(dāng)NCBD=45。,Z）F=a時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；（答案用含a的

代數(shù)式表示）

⑶若AB=3AE,且C?=12,求，BCD的面積.

10.如圖，2（7為（。的直徑，A為二。上一點(diǎn)，作一A4c的平分線交。于點(diǎn)。，過(guò)

點(diǎn)。作的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：DE//BC；

(2)若45=8,AC=6,求。E的長(zhǎng).

11.如圖，四邊形ABCD為。的內(nèi)接四邊形，8D為直徑，AC平分過(guò)點(diǎn)C作

8。的平行線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：CE與二O相切;

⑵求證：BC2=ABDE.

12.如圖，。半徑為2,弦BC=3,A是弦BC所對(duì)優(yōu)弧上的一個(gè)點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)

交《。點(diǎn)連接40,過(guò)點(diǎn)8作BE,AC,垂足為E.

⑴求證：BE//AM.

(2)過(guò)點(diǎn)A作AD43C,分別交BE,BC于點(diǎn)H,D.求的長(zhǎng).

13.已知43為(。的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)。為(。上的動(dòng)點(diǎn)(兩點(diǎn)在48的異側(cè)且都不與4、

2重合)，連接8與A3交于點(diǎn)E,連接AC,BC

DD

圖1圖2

(1)如圖1,若AB=10,農(nóng)D,兀,求NDCB的度數(shù)；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若BC=6,求DE的長(zhǎng)度；

(3)如圖2,若=4,NDCB=60°,且對(duì)任意的點(diǎn)C,弦CD上都有一點(diǎn)F滿足BC=2DF,

連接防，求線段所的最小值.

14.已知：。是ASC的外接圓，連接49并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)。，AD1BC.

(1)如圖1,求證：ABAD=ACAD-

(2)如圖2,點(diǎn)E在4)的延長(zhǎng)線上，連接BE并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)/，且=

求證：CF=EF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)。作OG〃BP交43于點(diǎn)G,若OG=5,BF=13,

求線段的長(zhǎng).

15.已知AB為］。的直徑，C為，。上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為

圖①圖②

(1)如圖①，求證：AC平分

(2)如圖②，過(guò)B作3p〃4。交(O于點(diǎn)孔連接Cf,若AC=4拈，DC=4,求CE的

長(zhǎng).

參考答案:

【詳解】（1）證明：如圖，連接onAD.

?：DE為o的切線，

：.OD1DE,

：.OD//AC,

：.ZC=ZODB.

9：OD=OB,

:.ZODB=ZABC,

：.ZC=ZABC.

???AB為O的直徑，

???ZADC=ZADB=90°.

XVAD=AD,

.ADC^ADB(AAS),

:.BD=CD；

(2)解：:。的半徑等于5,

???AB=1Q.

:3c=8,

???BD=CD=4,

???在RtZkAB。中，AD=VAB2-BD2=2721?

9：AADC^/\ADB,

：.ZEAD=ZDAB.

又?:ZAED=ZADB=90°,

:.Z\AED^Z\ADB,

.AEADanAE2A/21

??-----—，即--7=—，

ADAB2V2110

42

解得：AE--.

4

2.@PE=5,sinZP￡F=-

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接OC.

<.*CE_LAD于點(diǎn)E,

，C是8。的中點(diǎn)，

又是AB的中點(diǎn)，

，OC是ABDA的中位線,

OC//AD,

：.ZOCE=ZCED=90°,

：.OC1CE,

又?.?點(diǎn)C在圓上，

是圓。的切線；

，NECO=90°,

AB是直徑,

???ZACB=90°=ZECO,

:.NECA=NOCB,

?；OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=ZACE,

?；ZABF=ZACF,

：.ZOBC-ZABF=ZACE-ZACF,

:,ZEBC=/ECF,且NEBC=NG4P,

：.ZECF=/CAP,&ZCPF=ZCPAf

：.APCF^APAC,

.PCPF

??一，

PAPC

PC2=PFPA;

②???A5是直徑，點(diǎn)/在圓上，

JZAFB=ZPFE=90°=ZCEA,

?:ZEPF=ZEPA,

???APEFsAR4￡,

.PEPF

**PA-PE?

???PE2=PFPA

又由（2）的①知：PC?=PFPA,

：.PE=PC=5f

PF4

???在直角！P即中，sinZPEF=—=-.

PE5

3.（l）ZC=60°,CD=6

（2）CD=—

13

【詳解】（1）解：MA.MB分別切一。于點(diǎn)A,B,

:.ZMBO=ZMAO=9Q0,

在四邊形M4OB中，

ZAC?=360。—ZAMB-AMBO-ZMAO=360。-1200-90°-90°=60°,

..AD//BM,OBIBM,

:.OB.LAD9

AC是：。的直徑,

,\ZADC=90°,即AD_LCD,

:.OB//CDf

ZC=ZAOB=6Q0,

:.CD=ACcosC=ACcos600=12x-=6

2

(2)解：連接05、OF.OM,如圖，F(xiàn)C,FB為O的切線,

OC.LFC,OB±FB,

在Rt/CO和RtFBO中，

[FO=FO

[OC=OB

/.RtFCO^RtFBO(HL)

:.FC=FB,

同理：MB二MA,

FC,MA為。的切線，

AC1FC,MAVAC,

MA\FC,

ADBM,

???四邊形為平行四邊形，

:.MF=AE,MA=EF.

QCE=，EF,

4

設(shè)CE=5匕則EF=4R

:.MA=MB=EF=4k,FC=FB=9kf

MF=MB+FB=13k,:.AE=MF=13k,

在RtAEC中，

AC2+EC2^AE2,即12?+（5幻2=（13發(fā)）2,

k>Q,:.k=\,

EC=5,AE=13.

AC是O的直徑，

/.ZADC=90°,

「.8為斜邊AE上的高，

S.=-AC-EC=-AECD,

“FcC22

/.AC-EC=AECD,12x560

.rn_12x5_60

1313

4.（3）4

【詳解】（1）證明：??,四邊形ABCD內(nèi)接于O,

：.ZABC+ZADC=180°.

???^EDC+^ADC=180°.

：.ZABC=ZEDC.

???AB為O的直徑，

??.ZACB=90°.

t：CELAD,

：.NE=90。.

???ZE=ZACB.

：./\CDE^Z\ABC；

（2）證明：連接OC,

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA.

由（1）得，△CDEsZv^c,

:.ZDCE=ZBAC.

又丁NDCE=NDAC,

：.ZDAC=ZOCA.

：.OC//AE.

9：CE±AD,

：.OC.LEF.

???C￡為。的切線；

(3)解：,：DA=DC,

：.ZDCA=ZDAC.

XVNDCE=NDAC,

：.ZDAC=ZDCA=NDCE.

???/￡=90。，

90°

:.NDAC=ZDCA=NDCE=——=30。.

3

連接5。，：.ZABD=ZDCA=3G°.

???AB為。的直徑，

：.ZADB=90°.

在RtAABD中，AB=8,

AD=—AB=—x8=4.

22

5.【詳解】(1)證明：AB是二。的直徑，BC是。的切線,

:.BC±ABf

「DE_LAB于點(diǎn)E,AC交。石于點(diǎn)P,

:.PE//BC,

AEPsABC,

.PEAP

?,一，

BCAC

:.ACPE=APBC；

(2)證明：如圖1,延長(zhǎng)A。、BC交于點(diǎn)廠，

A

BCF

圖1

ADOC,

,.,——工，

CFOA

PE//CB,

APE^_ACB,

.PEAP

,,一，

CBAC

PD//CF,

APD^ACF,

.PDAP

,,一，

CFAC

.PEPD

,?二,

CBCF

PECBi

..-------------1,

PDCF

.\PE=PD；

(3)證明：如圖2,連結(jié)AD并延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)G,連結(jié)5￡＞、OD、OC

A

1

BCG

圖2

CB、CD都是.。的切線，

:.CB=CD,NOCB=ZOCD,

:.OC1,BD,

AB是。的直徑，

ZADB=90°,

:.AG±BD,

S.AG//OC,

CBOB1

——=——=1,

CGOA

PE//CB,

APEs?ACB,

.PEAP

,,一，

CBAC

PD//CG,

.PDAP

,CG-AC?

.PEPD

"'CB~~CGf

PECBi

…----=-----=1，

PDCG

:.PE=PD.

6.(2)CD的長(zhǎng)是5月

:.ZOCA=ZBAC,

???CD_LAB于點(diǎn)及CF_LAF于點(diǎn)R且Cb=CE,

???點(diǎn)。在NBA廠的平分線上，

???AC平分NBA產(chǎn)，

ZBAC=ZCAF,

ZOCA=ZCAFf

：.OC//AF,

/.ZOCG=ZF=90°,

?.?er經(jīng)過(guò)o的半徑oc的外端，且CFLOC,

二.c/是。的切線.

(2)解：為的直徑，弦8，至于點(diǎn)￡,

CE=DE,BC=BD<ZACB=ZBEC=90°,

：.ABAC=NBCE=ZD=30。，

"：AB=IO,

：,BC=-AB=-xl0=5,

22

BE^-BC^-x5^~,

222

CE=JBC?—BE。=卜—=當(dāng)，

sh

???CD=2CE=2X-^-=5A/3,

2

???CD的長(zhǎng)是5百.

7.(2)AF=y^

【詳解】(1)證明：連接。尸.則。尸=Q4.

FN=GN,

：?N2=N3.

???Z3=ZAGE,

JZ1+Z2=ZA+ZAGE.

*：CDLAB,

：.ZAEG=90°.

：.ZA+ZAGE=90°.

AZOFN=90°.^OFIMN.

「?MN是。的切線.

OF4

(2)連接由(1),sinM=——=一.

OM5

可設(shè)O尸=43OM=5k.

?：OB=OF,

：.BM=k.

k=1.

；.OF=4fOM=5.

：?MF=452-42=3.

AB是直徑，

???ZBFA=ZMFO=90°.

???ZMFB=Z1=ZA

;ZM=ZM,

Z\MFB^/\MAF.

.FBMB

AFMF3

Z.AF=3BF.

AF2+BF2=AB2,

：.10BF2=82.

84/—

：.BF=n==-^10.

V105

/.AF=y710.

9

8.(2);。的半徑為i

【詳解】(1)證明：連接OC、OD

???點(diǎn)。是半圓AB的中點(diǎn)

???ZAOC=ZBOC=90°,

Zl+Z2=90°

OC=OD

：.Z1=Z3

*.*EF=DF

：.ZFED=ZFDE

又?：Z2=/FED

：.Z2=AFDE

：.N3+NZD￡=90。

ZODF=90°,即OD_L”

又?：OD為O的半徑

：?DF為O的切線

(2)解：TAB為O的直徑

JZADB=90°

■:ZBCD=ZA

.ABD1

..tanA=-----=—

AD2

丁ZADB=ZODF=90°

AZADO+ZODB=90°,ZBDF+/ODB=90。

：.ZADO=ZBDF

\9OA=OD

：.ZA=ZADO

ZA=ZBDF

又?：ZBFD=ZDFA

:.BFia…DFA

.BFDFBD31

-FA-DA-

3

BF=—,FA=6

2

39

AB=AF-BF=6——=-

22

，的半徑為9:

4

9.⑴20；

(2)-；

a

(3)108.

【詳解】(1)解：如圖，過(guò)。作QHLCD于H,連接。石，則CD=2C",

???CE是圓。的直徑，

：.ZEDC=9Q0,

??,點(diǎn)。為弧石。的中點(diǎn)，

???弧即=弧C。，

:.ED=CD,

：.^OCH=45°,

；?/HOC=NOCH=45。,

：.OH=CH,

???圓。的半徑為2,即0c=2,

：?OH=CH=6,

：.CD=2CH=242;

(2)解：V^FCD=45°,/DBC=45。,

:,NFCD=NDBC,

ND=ND,

:?-CDFS'BDC,

,FDCD

??布一訪’

由(1)可知CQ=20,

?272x272_8

??DD----------------——

aa

(3)解：如圖，連接BE,BO,DO,并延長(zhǎng)3。至H點(diǎn),

???CE是圓。的直徑,

???/￡BC=90。，

?：BD=BC,OD=OC,

???垂直平分CO,

：.ZBHC=90°,

XVABCD,

：.ZABO=NDHO=90°=ZEBC,

JNABE=NOBC=NOCB,

又??NA=/A,

JABEs一ACB,

.AEAB2

??~~―――即nnAB=AE-AC9

ABAC

設(shè)AE=x,則AB=3x,

AC=9x,EC=8x,

OE=OB=OC=4x,OA=5x,

9：CD=12,

CH=6,

?.,ABCH,

：.ZOAB=ZOCH,NOBA=NOHC,

：.AOB^COH,

AOBOAB口口5x3x

——=---即一=

coHOCH4x6

解％=9,OH=8,05=10,

2

；?BH=BO+OH=18,

：.5co的面積=』xl8xl2=108.

2

35

10.(2)—.

4

【詳解】(1)證明：如圖1,連接0。,

圖1

*/DE是。的切線，

AOD1DE,NODE=90。,

?：BC為。的直徑，

：.ZBAC=9Q0,

???AD平分/B4C,

/BAD=-ABAC=-x90°=45°,

22

???一B4O是圓周角，/3OD是圓心角，所對(duì)弧相同，

JN5OD=2N5AT)=2x450=90。，

:.NBOD=NODE,

：.DE//BC.

(2)解：如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CFLOE于點(diǎn)尸，連接OD,

圖2

VABAC=90°,AB=8,AC=6,

???BC7AB'AC?=而+62=10,

???OC=OD=5,

由（1）知：ZODE=ZBOD=90°f

：.ZCOD=180。一ZBOD=90°,

?；CFLDE,

：.ZCFD=ZCFE=90°,

：.ZCOD=ZODE=ZCFD=90°,

???四邊形OC尸。是矩形,

；?CF=OD=5,DF=OC=5,

9：DE//BC,

ZE=ZACB9

???ZCFE=ZBAC=90°,

:..CEFsBCA,

空=空，即竺二,

ACAB68

??tLr=—

4

1535

:.DE=DF+EF=5+—=—

44

n.【詳解】（i）證明：如圖：連接oc.

AC平分/BAD,

??BC=DC，

：.BC=DC；

,：為直徑,

:.OB=OD,

:.COIBD,

???ZCOD=90°,

???BD//CE,

???ZOCE=ZCOD=90°,

:.OC.LCE,

：?CE與。相切.

(2)解：■:BD〃CE,

ZADB=ZE,

又???/42汨=/4。8,

ZACB=ZE；

??,四邊形ABC。為。的內(nèi)接四邊形，

JABC=ZCDE,

：.ABCDCE,

.ABBC

??一,

DCDE

：.DCBC=ABDE,

又＜BC=DC,

:.BC2=ABDE.

12.(2)A"=g

【詳解】(1)證明：由題意得CM為。的直徑，

：.ZMAC=90°,

：.MALAC

9：BEVAC,

???BE//AM；

(2)解：如下圖所示，連接MB,延長(zhǎng)3石交：。于點(diǎn)N,連接4V

BE//AM,

：.ZMAD=ZAHN,ZMAB=ZABN,

:?MB=AN,

u：ADIBC,BEVAC,

：.ZHAE+ZAHE=NHAE+ZACD,

：.ZAHE=ZACD,

???ZANB=ZACD,

：.ZANB=ZAHE9

：.AH=AN=MB,

是直徑，

MB=^MC--BC1=J42—32=不，

：.AH=不.

13.(1)/OCB=45°

Q)DE=

7

(3)VH-1

【詳解】(1)解：連接0。，如圖所示:

OA=OB=OD=5,

'：初=9萬(wàn)，

2

..?ZAOD的度數(shù)為：1八歹

ZACD=-ZAOD=45°,

2

/ACB=90°,

ZDCB=90°-45°=45°.

(2)解：過(guò)點(diǎn)C作CGLAB于點(diǎn)G,如圖所示:

D

VZACB=9Q°,AB=10,BC=6,

AC=NAB2—BC2=8,

cosZCBG=—BG

ABBC

6BG

106

解得：5G=3.6,

?*-CG=dBC2-BG=4.8,

JOG=5—3.6=14,

?.*ZAOD=90°,

???Z￡>OE=180°-90°=90°,

VCG1AB,

???NCGE=90。,

:.NDOE=NCGE,

ZOED=ZCEG,

：.DOE^CGE,

.CGGE

^~6D~~6E"

.4.81.4—OE

??丁―OE，

解得：OE=1,

DE=Joz)2+OE'=卜2+[mJ

(3)解：連接A￡),AF,DO,如圖所示:

c

TAB為直徑，

???NACB=90。，

VZDCB=60°,

???NDC4=90?！?0。=30。，

???ZAOD=2ZACD=60°,

AO=DO,

???△AOD為等邊三角形，

AD=AO=—AB=2,

2

,:BC=2DF,

.AD_DF_1

BC-2?

,:AC=AC9

：.ZADC=ZABC,

即ZADF=ZABC,

，一ADFS^ABC,

：.ZAFD=ZACB=90°9

工點(diǎn)廠在以AP為直徑的圓上，設(shè)點(diǎn)M為AO的中點(diǎn)，連接交：M于點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)廠在

點(diǎn)〃處時(shí)，BF最小,過(guò)點(diǎn)M作肱V1AB于點(diǎn)N,如圖所示：

???△AOD為等邊三角形,

???ZOAD=60°,

VZAW=90°,

ZAMN=90°-60°=30°,

AM=-AD=l,

2

：.AN=-AM,

22

/.MN=^AM--AN2=—,BN^AB-AN=4--=3-,

222

BM=\lBN2-MN2=y/13，

：.BH=岳-3

8尸的最小值為屈-1.

14.（3）2^2

10

【詳解】（1）如圖1,連接。3,OC,

ADLBC,

:.BD=CD,

:.AB^AC（垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等）.

AD1BC,

:.ZBAD=ZCAD-,

(2)證明：如圖2,連接CE,

圖2

設(shè)/CBF=a,

:"BAE=2/CBF=2a=/CAE,

:.ZBAC=ZBAE+ZCAE=4a.

AE1BC,BD=CD,

:.BE=CE(垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等)，

/BCE=/CBE=a,

ZCEF=ZBCE+ZCBE=2a.

四邊形ABFC是二。的內(nèi)接四邊形，

/.ZBAC+ZF=180°,

:"F=180?！狝BAC=180?！?a,

:.ZFCE=18Q0-ZCEF-ZF=180°-2a-(1800-4a)=2a=ZCEF9

：.CF=EF；

(3)解：如圖3,連接OC,OF,CE,過(guò)點(diǎn)尸作FNLC石于點(diǎn)/，過(guò)點(diǎn)。作ONLAB于

ZCOF=2ZCBF=2a=ZOAG.

DEIBC,

;./BDE=ZADB=90。,

./BED=90°—NDBE=90°—a,

oo

:.ZABE=180-ZBAE-ZAEB=1800-2a-(9Q°-a)=90-a=ZAEBf

-'-AB=AE.

■:OG//BF,

:.ZAOG=ZAEB,ZAGO=ZABEf

.\ZAOG=ZAGO,

：.AG=AO=OF=OC,

ZAOG咨