廣東省2024屆高三年級(jí)下冊(cè)3月一模數(shù)學(xué)試題 含答案

★啟用前注意保密

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試（一）

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁，19小題，滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己所在的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)

號(hào)、座位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡右上

角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目

選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答

案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各

題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫

上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.記復(fù)數(shù)z的共舸復(fù)數(shù)為京,若z（l+i）=2-2i,則國(guó)=

A.1B.JlC.2D.2#

2.已知集合月=卜卜&ez},B=|x=y+/CTT,/cwZ[,貝【]

A.A=BB.AQB=0C.AQBD.A^B

3.雙曲線l的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為

A.QB.IC.§D.挈

ND

4,過4（-I,0）,8（0,3）,C（9,0）三點(diǎn)的圓與y軸交于M,4兩點(diǎn),則|MN|=

A.3B.4C.8D.6

5.假設(shè)甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基

礎(chǔ)上進(jìn)步2%,而乙疏于學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步1%.那么，大

約需要經(jīng)過（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍.（參考數(shù)據(jù)；1g102=2.0086,

lg99?1,9956,]g2ko.3010）

A.23B.100C.150D.232

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（一）第1頁（共5頁）

6.%=9+。(儲(chǔ)2)”是“遮火"”過=6+1”的

4sinacosa

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.分別以銳角三角形48c的邊48,BC,4C為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積之

比為百：歷：2,貝ljcos8=

5有5。3V2口也

A-ITB-12~C-812

8.已知集合4={-J,-y,y,y,2,3卜若a,6,j且互不相等，則使得指

數(shù)函數(shù)y=U,對(duì)數(shù)函數(shù)y=lo&x,寨函數(shù)y=x'中至少有兩個(gè)函數(shù)在(0,+?))上單

調(diào)遞增的有序數(shù)對(duì)(。，b,c)的個(gè)數(shù)是

A.16B.24C.32D.48

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.已知向量4=(1,有)，6=(cosa,sina),則下列結(jié)論正確的是

A.若?！╞,則tana=7T

B.若aLb,則tana=-專

C.若a與》的夾角為半，則|a3=3

D.若〃與b方向相反，則方在〃上的投影向量的坐標(biāo)是(-，-到

10.已知偶函數(shù)/(*)的定義域?yàn)镽,小寺工+1)為奇函數(shù)，且/(%)在［0,□上單調(diào)遞

增，則下列結(jié)論正確的是

A./(-y)<0B./(y)>0C,f(3)<0D./(等)>0

11.已知正方體A8CZ)-4&G，的各個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為3F,的球面上，點(diǎn)尸為該球

面上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

A.有無數(shù)個(gè)點(diǎn)P,使得4P〃平面80G

B.有無數(shù)個(gè)點(diǎn)P,使得4P.L平面目OC,

C,若點(diǎn)Pe平面8CC6,則四棱錐P-48co的體積的最大值為在尹

D.若點(diǎn)Pe平面8CG國(guó),則4P+PG的最大值為市

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(一)第2頁(共5頁)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.隨機(jī)變量工~件(〃，a),若P(XN70)=P(XW9O)且P(72WXW8O)=0.3,則隨

機(jī)變量X的第80百分位數(shù)是―

13.已知函數(shù)/(#)=sin(g+w)(3〉0)在區(qū)間信，⑶上單調(diào)，且滿足/信)=T,

14.已知直線/與橢圓C：？+?=1在第一象限交于P,。兩點(diǎn)，/與工軸，y軸分別

交于吼7V兩點(diǎn)，且滿足嚼上隅=微+瑞，貝心的斜率為-------.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知0<a<l,函數(shù)/(工)=”一(.%^0).

(1)求/(工)的單調(diào)區(qū)間.

(2)討論方程/(工)=a的根的個(gè)數(shù).

16.(15分)

如圖，已知圓柱。。?的軸截面4BCO是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)P是圓01上異于點(diǎn)

C,O的任意一點(diǎn).

(1)若點(diǎn)0到平面4cp的距離為手，證明：OtP±CD.

(2)求OC與平面4cp所成角的正弦值的取值范圍.

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(一)第3頁(共5頁)

17.(15分)

如圖，已知拋物線C：?=4y,其上有定點(diǎn)A(-2,1),8(6,9),動(dòng)點(diǎn)P在拋物

線上，且點(diǎn)P位于點(diǎn)48之間的曲線段上(不與點(diǎn)九/3重合)，過點(diǎn)8作直線

4P的垂線，垂足為。,

(1)若點(diǎn)P是4Q的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)求18。|的最大值.

18.(17分)

某單位進(jìn)行招聘面試，已知參加面試的N名學(xué)生全都來自A,B,C三所學(xué)校，其

中來自A校的學(xué)生人數(shù)為Mn〉l).該單位要求所有面試人員面試前到場(chǎng)，并隨機(jī)

給每人安排一個(gè)面試號(hào)碼版上=1,2,3,N),按面試號(hào)碼上由小到大依次進(jìn)

行面試，每人面試時(shí)長(zhǎng)5分鐘，面試完成后自行離場(chǎng).

(1)求面試號(hào)碼為2的學(xué)生來自A校的概率.

(2)若N=40,n=10,且B,C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為1：2,求A校

參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試(A校所有參加面試的學(xué)生完成面試

后，B,C兩校都還有學(xué)生未完成面試)的概率.

(3)記隨機(jī)變量X表示最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)長(zhǎng)(從第1名學(xué)生開始

面試到最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)間)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：

E(X)=5"—+1).

n+1

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(一)第4頁(共5頁)

19.（17分）

數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對(duì)象包括向

量和矩陣.對(duì)于平面向量a=（%y）,其模定義為laI=，金類似地，對(duì)于〃行

<aHo12013**?5。、

021a12a23…01A

,其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂閨|All=（XZ$）

幾列1的矩陣40，=a3l%2a33…%

an2an3…。?

（其中均為矩陣中第i行第/列的數(shù)，工為求和符號(hào)），記作||A||八我們稱這樣的

矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對(duì)于矩陣4。=：：）=￡：）,其矩陣模

||A||"（￡￡W）｝=/2?+7+32+5?=34弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)等前

i=V=1”

沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.

f100...0\

0"0…0

(1)VneN-,n^3,矩陣=00#...0，求使IIB||F>33的口

、000,,,*1^,1

的最小值.

(2)VneN',23,矩陣以=

(1cos6cos6cos0cos0COS0

0-sin0-sin6cos0-sin0cos0-sin0cos0-sin0cos0

00sin20sin28cos0sin20cos0sin20cos0

0000(-1尸sin』(-1)"'in"-?0cos9

<00000(-1)"飛/

求IIC||「

o...0、

o...0

(3)矩陣Dnn=,證明:

*r…0

百

ln(T)"…h(huán)⑸J

VneN*,3,

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（一）第5頁（共5頁）

★啟用前注意保密

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試（一）

數(shù)學(xué)參考答案

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：

1.本解答給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題

的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。

2.對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的

內(nèi)容和難度，可視澎響的程度決定后繼部分的給分,但不得超過該部分正確解答應(yīng)

得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤,就不再給分。

3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得6分.部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

題號(hào)91011

答案ABDBDACD

三、填空題：本題共3小題,每小題5分.共15分。

12.8813.y14.-y

四、解答題：本題共5小題，共77分。

15.解：（1）求導(dǎo)得r（x）=!11￡二二二1=”二與二11...................3分

X*X2

因?yàn)椤?gt;o,e'-d>0,.................................................4分

所以當(dāng)/'（X）<。時(shí)，*<1且X*。；當(dāng)/'（X）>。時(shí)，x>L..............6分

所以/（、）在（-8,0）,（0.1）上單調(diào)遞減，在（1,+oo）上單調(diào)遞增.……7分

（2）①當(dāng)x<0時(shí)，因?yàn)椤?gt;0,>0,所以/U）="二<0<出.......8分

X

所以/（.，：）="在（0）上有。個(gè)根.................................-9分

②當(dāng)x>0時(shí)，由⑴得，*>0時(shí)，/（*）的最小值為/（I）=，，』”.......10分

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（一）參考答案第1頁（共7頁）

因?yàn)樗?。vl-avl.所以

所以/(I...............................................11分

所以/(')=“在(0,+8)上以()個(gè)根...............................12分

綜上所述，方程/(*)="有()個(gè)根....................................13分

16.(1)證明：如圖1,連接"/，，過點(diǎn)。作。KL/1P.垂足為M............1分

因?yàn)镃D是圓(入的直徑，所以CP.LDP...............................2分

因?yàn)锳D是圓柱側(cè)面的母級(jí)，所以AD1平面CDP.

因?yàn)镃PU平而所AD1CP...................................3分

又因?yàn)?"Y平而八〃/二=所以C/U平而.......“4分

因?yàn)椤ā?：平而4平，所以"H1CP.

又因?yàn)镈HLIP.AP,PCU平而/ICP,/”，□/(=兒所以/加，平而/I5.…5分

所以點(diǎn)/J到平而ACP的距離為“〃，即〃〃=弩.

設(shè)/〃，="(“>()),則=Ja2+4.

_____2/T

由A/)?DP=AP?DH,得2,a=J6+4,——,解得“=丘.............6分

因?yàn)镃"=2,所以l)P=PC=A

因?yàn)閮|是的中點(diǎn)，所以儲(chǔ)〃1C"................................7分

(2)解：(方法一)如圖2.在平面PCD內(nèi)，過點(diǎn)億作()[E^()}C交圓0,于點(diǎn)￡.

連接0(\.

因?yàn)槠蕉鳳C",所以億心兩兩相互垂直，以。?為原點(diǎn)，分別

以O(shè)R()C所在直線為x.y,二軸建立空間直角坐標(biāo)系，.........8分

則()(0,0,2),C(0,1,0),4(0,-1,2).

設(shè)點(diǎn)〃("i,0),因?yàn)辄c(diǎn)〃在圓a上，所以〃/+，/=1,且"e(-1,1).

則方才=((),1,-2),正=((),2,-2),CP=(n),n-1.0)..........9分

設(shè)平而/ICP的法向量為"=(x.),工)，

H?無二0.2v-2z=0,

則即解得

.cr=(),rztv+(〃-1)y=(),

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(一)參考答案第2頁(共7頁)

取x="-1,得"=（"-1,-in,m).1()分

設(shè)〃C與平面八。,所成加為以

I說?〃I

則sinf)=|cns<OC,n>

17元11〃IR?+(〃-1尸萬./?+(〃_])■

Vm2

后向平................12分

因吟平4^^=一圖一+急且吃。"

14分

所以〃C與平面ACP所成角的正弦值的取值范圍是15分

（方法二）由（1）知，點(diǎn)D到平面的距離為DH.

連接〃/）交AC于點(diǎn)/；,如圖3.

因?yàn)镺A//CI）,且OA-CD,所以O(shè)F=y/）/<

所以點(diǎn)0到平面ACI1的距離為:/）〃...........二汽.4C

9分D————、一■一

P

在Rt△,中，由等Ifll積法得DH=W'!)P=2DP

4,/4+"尸圖3

/>/Je(0,2).“分

所以叫湍X/幕=2

1——JE(0,萬).13分

4+DP-

設(shè)〃。與平面AC/，所成角為仇

..y/w］）H

所以〃C與平面AC〃所成用的正弦值.sin-——.14分

〃c26

所以sin0=—zz&0,

26

所以O(shè)C與平面AC〃所成角的正弦值的取值范用*0.15分

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（一）參考答案第3頁（共7頁）

17.解：⑴由點(diǎn)〃在拋物線上，設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為卜八y）.-2<V0<6,……1分

2

由點(diǎn)〃是,4。的中點(diǎn),且點(diǎn)，4的坐標(biāo)為（-2,1）,得點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2%+2,與-1）.

....................................................................2分

故,lP=N+2,y-Ij,而=（2工o+2-6,1-9）=（2%-4,3-1。）

....................................................................4分

因?yàn)椋?/-L/3。，所以.療?那=0,即（%+2）（2%-4）+（手=0.

....................................................................5分

整理得上（工。+2尸（％-2尸=0........................................6分

1。

解得%=2,或％=-2（舍）.

所以點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（2,1）............................................7分

（2）當(dāng)宜線AP的斜率為0時(shí)，直線BQ的斜率不存在，此時(shí)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（2,1）,

點(diǎn)。的坐標(biāo)為（6,1）,得|/坦|=8...................................8分

顯然直線，〃的斜率存在，當(dāng)宜線八〃的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線八〃的斜率為A（A^0）,

則直線8。的斜率為-%則直線，'T=Mx+2）,/,*y-9=-6）,

rin

....................................................................9分

解得/『，/"。的交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為均=:2%..................10分

n邙+I：

所以“=戶見…?嚕詈卜

絲心：（丘0）.....................................................12分

+1

因?yàn)閊^=8產(chǎn)1^=8〃一含=8/-會(huì),人#°,………13分

il]A-+-j-e（-cc,-2]U[2,+8）,得1801=*1上2-1W8

k/FTT

當(dāng)且僅當(dāng)*+/也即A-時(shí)等號(hào)成立.........................14分

綜上所述.I8。I的最大值為8叵...................................

15分

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（一）參考答案第4頁（共7頁）

18.解:(1)記“而試號(hào)碼為2的學(xué)生來自A?！睘槭录?.................1分

將A校"名學(xué)生面試號(hào)碼的安排情況作為樣本空間，則樣本點(diǎn)總數(shù)為C'；,……2分

事件/I表示A校有1名學(xué)生的面試號(hào)碼為2,其他〃-1名學(xué)生的面試號(hào)碼在剩余

N-I個(gè)面試號(hào)碼中隨機(jī)安排.則事件4包含的樣本點(diǎn)數(shù)為C；1C；.........3分

(W-D!____

p(<\C；-；C：("-〃)！n八

依'、！=N............................4分

?!(A'-H)!

(說明：根據(jù)每名參加面試的學(xué)生在任意次序面試都等可能.直接寫出概率3給2分)

(2)設(shè)B校參加面試的學(xué)生有a名，由題意得^—=上解得x=10.

所以B校參加面試的學(xué)生有10名，C校參加面試的學(xué)生有20名........5分

記“最后面試的學(xué)生來自B?！睘槭录浴白詈蠖嚨膶W(xué)生來白C?！睘槭录﨏,

顯然事件"，C互斥.記“A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試”為事件

I),則〃=8/)+0).....................................................7分

當(dāng)事件8發(fā)生時(shí)，只需考慮A,C兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位

來白C校.

則P(/3")=P(/3)P(〃I8)段=：..............................8分

4(J-5(Jo

當(dāng)事件C發(fā)生時(shí)，只需考慮A.B兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位

來自B校，

貝=P（C）/，（〃IC）..............................9分

所以/，(〃)“(/，〃)+/，(如4+/小..........................1。分

(3)由題知隨機(jī)變量X的取值為5〃，5(〃+1),…，5M.................H分

-I

則隨機(jī)變量X的分布列為/，(X=5A)/="，"+1，…，N.......12分

Lv

所以隨機(jī)變量:X的期望E(x)=E5A-?編

&=〃C.

13分

5f（-1）;5Rkl_5，W「

15分

（；；，="（“-】）?。?-"）!C'；<="“?。?-〃）！Cyt=,1L

關(guān)(Q+C"+(：：?+…+3)端((：：：：+%+以+…+5)=沏:；-16分

555

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(一)參考答案第5頁(共7頁)

_5〃___________(■+1)!_5〃(N+1)

A,!(〃+】)！(A'-〃)！-〃十1

〃！(,、-〃)！

所以E(X)...........................................................................................17

n+1

19.解：(I)由題意得||8||：.=￡=i>=1+2+3++(?-))+〃="("熱).

ta1/sIX,=tL

.........................................................................................................................................3分

若11811r>36則R+D>45,即―+"-90>0.....................................4分

因式分解得5-9)(〃+10)>0,因?yàn)椤╡N?，所以“>9.

所以使II8||f>3萬的"的最小值是10...............................................................5分

(2)由題得笫I對(duì)角線上的平方和為1+由/0+sin"+…+而…0=I-'in；。

第2時(shí)角線上的平方和為

22242

cos0(1+sin0+?一+sin"0)=cos0?--0_-=1-sin?"40.

I-siir0

第A?對(duì)角線上的平方和為

1*2”-2k+2q

一KI"(7i-2”-2Xa2.

cos1+sinb十?’?十sinu)=<*()su?-----.....-----------=I-sin6,