2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的數(shù)量積 教師版

2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)平面向量的數(shù)量積

【考試要求】1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向

量的關(guān)系3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩

個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系5會用向量的方法解決某些簡單的

平面幾何問題.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.向量的夾角

已知兩個非零向量a，b,。是平面上的任意一點，作有i=a,而=b,則兀)

叫做向量a與》的夾角.

2.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為6,我們把數(shù)量|a||Z>|cos9叫做向量a與b的數(shù)量積,

記作gj).

3.平面向量數(shù)量積的幾何意義

設(shè)a,》是兩個非零向量，它們的夾角是ae是與》方向相同的單位向量，施=a,CD^b,

過后的起點A和終點8,分別作歷所在直線的垂線，垂足分別為4,Bi，得到病，我們

稱上述變換為向量a向向量B投影，病叫做向量a在向量日上的投影向量.記為㈤cosde.

4.向量數(shù)量積的運算律

(l)ab=ba

⑵(癡)仍仍)=〃?(勸).

(3)(a+1)c=ac+5c.

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=(xi，yi),b=(xi,")，。與8的夾角為夕

幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-b=\a\\b\cos9〃協(xié)二迎2±也及

模\u\=yj|a|=y屑+負(fù)

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ab

夾角Qcos

COSex—■\a\i\ibi\iq看+比4君+帔

aLb的充要條件ab=0為22+yi\2=0

|a句與⑷囪的關(guān)系|a?臼W|a仙||XlX2+yU2|Wq國+^X后+詢

【常用結(jié)論】

1.平面向量數(shù)量積運算的常用公式

(1)(。+方)?("一》=，一〃；

(2)(a±/>)2=c^+2ab+b~.

2.有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論

(1)若“與》的夾角為銳角，則.力>0；若a力>0,則a與》的夾角為銳角或0.

(2)若a與6的夾角為鈍角，則.山<0；若a-b<0,則。與入的夾角為鈍角或兀

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

TT

(1)兩個向量的夾角的范圍是0,2-(x)

(2)若a,力共線，則〃力=|0?網(wǎng).(X)

(3)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的結(jié)果是向量.(V)

(4)若4乃=。(，則>=c.(X)

【教材改編題】

1.已知向量a,5滿足同=2,依=小,且a與6的夾角為30。，那么。力等于()

A.1B.y/3C.3D.3小

答案C

解析由題意可得a-Z>=|a|-|/>|cos30。=2*^X當(dāng)=3.

2.已知向量a,》的夾角為60。，⑷=2,步|=1,則|a+2bl=.

答案24

3.若向量a=(l,2)"=(-3,4),則ab的值等于；。與5夾角的余弦值等于—

答案5坐

解析因為。=(1,2),5=(—3,4),

所以a6=—3X1+2義4=5,\a\=yjl2+22—A/5,\b\=*\/(—3)2+42=5,

所以cos〈a，b)=^=5X^5=^-

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■探究核心題型

題型一平面向量數(shù)量積的基本運算

例1（1）（2023?廣州模擬）在平面四邊形ABC。中，已知贏=比，P為CD上一點、,CP^3PD,

___r\_

|靠1=4,|病|=3,西與花的夾角為仇且cos0=孑則京?麗等于（）

A.8B.-8C.2D.-2

答案D

解析如圖所示，

nPc

AT------------

9：AB=DC,

???四邊形A3C。為平行四邊形，

,/CP=3Pb,

―?―?-A-A1-A

：.AP^AD+DP=AD+^AB,

———3f-

PB=AB-AP=^AB-AD,

又,.,|Ai5|=4,|AD|=3,cos0=^,

則ABAr>=4X3X§=8,

：.AP-PB=(Ab+^A^-(^AB-AD^

=|AB-AD-Ab2+^AB2

216

=|X8-9+^X42=-2.

(2)(2023?六安模擬)在等邊△ABC中，AB=6,BC=3BD,AM=2AD,^\MC-MB=.

答案22

解析如圖，以8C所在直線為x軸，8C的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

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VAB=6,BC^3BD,AM^2AD,

.,.2(—3,0),C(3,0),

M(—2,—3A/3),

.,.施=(-1,3仍)，

證=(5,35)，

：.MC-MB=-5+21=22.

思維升華計算平面向量數(shù)量積的主要方法

(1)利用定義：。2=間|臼cos〈a,b〉.

(2)利用坐標(biāo)運算，若。=(孫p),b=(x2,y2),則a仍=xiX2+”X2.

(3)利用基底法求數(shù)量積.

(4)靈活運用平面向量數(shù)量積的幾何意義.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022?岳陽模擬)已知正方形ABCD的對角線AC=2,點P在另一條對角線BD

上，則APAC的值為()

A.-2B.2C.1D.4

答案B

解析設(shè)ACC8O=。,則。為AC的中點，且ACL8。，如圖所示,

由能在元方向上的投影向量為43,

得力.啟=用啟=穌2=2.

(2)如圖，在梯形ABCZ)中，AB//CD,CD=2,ZBAD=^,若西?元=2誦仄方，則廢)?元=

答案12

解析因為油?元=2油/口，

所以油?元一贏.壽=贏仄方,

所以油.慶=油?筋.

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jr

因為A8〃C￡）,CD=2,ZBAD=^,

所以2|B|=|B||Ab|cosl，

化簡得通|=26.

故Ab?啟=AB-（Ab+5b）=lAbp+Ab.虎=（2陋產(chǎn)+2也x2cos；=12.

題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

命題點1向量的模

例2已知向量。和早的夾角為30。,|a|=l,|*|=^3,則|a+2例等于（）

A.1+2^3B.V19

CA/13+45D.3^2

答案B

解析根據(jù)向量的運算法則和數(shù)量積的定義，

可得|。+2川^y/（a+2b）*2^3*yja2+4a-b+4b-

='1+4X1義/Xcos30°+4X（6）2=皿.

命題點2向量的夾角

7r

例3若ei，e2是夾角為]的兩個單位向量，則a=2ei+e2與A=-3ei+2e2的夾角為（）

，兀r兀

A6B3

C*D普

3o

答案c

_711

解析由題意可得eie=l義IXcos3=2,

故Q?5=（2ei+?2＞（—3ei+2c2）

17

=-6e彳+e-e2+2c3=-6+]+2=1

\a\=卜（2幻+?2）2=山山+401.改+區(qū)=市，

\b\=4（一30+2%）2=49/一12d9+44=市，

_7

/,ab______2___1

故cos〈a,加x一I嘛廠市X市——于

2兀

由于〈〃，b）￡[0,7i],故〈〃，b）=~-

命題點3向量的垂直

例4（2022?全國甲卷）已知向量a=（九3）,b=（l,m+1）.若°_14則機=.

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3

答案一a

3

解析;.a?方=加+3(根+1)=4機+3=0,解得m=一不

思維升華(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用⑷及(〃±方)2=悶2±240+1肝.

②幾何法：利用向量的幾何意義.

(2)求平面向量的夾角的方法

a，b

①定義法：cos8=7"市；

②坐標(biāo)法.

(3)兩個向量垂直的充要條件

仍=00|〃一例=|。+例(其中aWO,8W0).

跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)已知幻，。2是單位向量，且幻色=今若向量。滿足e「〃=2,則下列選

項正確的是()

A.⑶一改|=1B.ei在上的投影向量的模為3

57r

C.ei與ei—e2的夾角為五D.”在ei上的投影向量為2ei

答案ABD

1JT

解析因為e「C2=l義1Xcos〈幻，€2)=],所以ei,。2的夾角為],

設(shè)亦=ei,OB^eo,則或=ei-e2,由此可得△042是一個等邊三角形，

所以〈ei,ei—e2〉=f,故C錯誤；

\ei~e^=el~2eve2~\~el=1,故⑶一級|=1,故A正確；

因為內(nèi)在e2上的投影向量為管e2/e2,所以模為;，故B正確；

ei2z

設(shè)ei與a的夾角為。，因為e「a=2=|a|cos。，

所以。在ei上的投影向量為(|a|cos3')ei=2ei,故D正確.

(2)(2022?新高考全國H)已知向量。=(3,4),6=(1,0),c=a+tb,若〈a,c〉=(b,c〉,則1

等于()

A.-6B.-5C.5D.6

答案C

解析由題意，得c=a+力=(3+t,4),

所以0c=3X(3+f)+4X4=25+3t,

萬c=1X(3+力+0*4=3+力

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因為〈a,c〉=〈b,c〉，

所以cos{a,c〉=cos{b,c〉，

即同cl向|c「

即W=3+r,解得7=5,故選C.

題型三平面向量的實際應(yīng)用

例5在日常生活中，我們常常會看到兩個人共提一個行李包的情景，若行李包所受的重力

為G,兩個拉力分別為F1，尸2,且叫1=1尸2|，尸1與無的夾角為仇當(dāng)兩人拎起行李包時，下

列結(jié)論正確的是（）

A.|G|=|FI|+|F2|B.當(dāng)時,|Fi|=^|G|

-TT

C.當(dāng)6角越大時，用力越省D.當(dāng)|F1|=|G|時，0=飛

答案B

解析根據(jù)題意可得G=B+F2,

則|G|=|尸1+尸2|=M尸1+F2|2=7刑+招+2F1?尸2=32刑+2埒cos仇

當(dāng)9=0時，|G|=2|FI|=|FI|+|F2|,

當(dāng)。=彳時，|G|==2刑+2碎cos1=立巧|,

即|R|=^|G|,故A錯誤，B正確；

|G|=12M+2界cos仇因為y=cos。在（0,兀）上單調(diào)遞減，

且行李包所受的重力G不變，所以當(dāng)。角越大時，用力越大，故C錯誤;

當(dāng)|Fi|=|G|時，即|G|=42刑+2埒cos'=嗎|,解得cos6=一今

又因為0e（0,7i）,所以6=竽2冗，故D錯誤.

思維升華用向量方法解決實際問題的步驟

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跟蹤訓(xùn)練3（2022.長春模擬）長江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，如圖所示，已知游船在靜水中

的航行速度5的大小Wi|=10km/h,水流的速度。2的大小|列=4km/h,設(shè)口和功所成的角

為仇0<。<兀），若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭3處，則cos。等于（）

河流兩岸示意圖

4

5

答案

解析由題意知（S+U2>O2=0,

有團(tuán)Ikdcos6+質(zhì)=0,

即10X4COS8+42=0,

2

所以cos0=一亍

課時精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.若|/n|=4,|n|=6,/n與〃的夾角為135。，則/n?〃等于（）

A.12B.12^2C.-12^/2D.-12

答案C

解析由題意知m-n=\m\\n\cos135°=4X6X（—坐）=一12吸.

2.（2023?三明模擬）已知向量。=（九2）,6=（—1,2）,若“_1從貝!]]“+臼等于（）

A.5B.6C.V41D.4小

答案A

解析*.,a=（2,2）,6=（—1,2）,aLb,.".ab=0,即-4+4=0,.*.2=4,.\a+b=（3,4）,\a

+Z>|=^/3*2+42=5.

3.已知a,6為非零向量,且?、?2回,\a+2b\=\2a-b\,則。與I夾角的余弦值為（）

A坐B*C.坐D坐

答案B

解析將等式|a+2M=|加一"兩邊平方，得8〃?5+3廬=3層，設(shè)。與方的夾角為仇即8|a||b|cos6

+3|印=3|呼，

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2

將⑷=忑向代入81ali例cos。+3|臼2=3同2,

得cos<=*.

4.已知向=3,。在b上的投影向量為上，則的值為（

)

91

A.3B.2C.2D，2

答案B

解析方法一設(shè)Q與8的夾角為仇:lalcos端=/，⑷;;:1=；,*,?\a\cos6>=|,：.ab

39

=|。||5|cos9=/X3=]

_ii9

方法二〃2=于仍=]》2=5

5.已知菱形ABCD的邊長為2,NA=60。，點尸是5C的中點，則成訪等于（）

A.0B.小C.3D.|

答案C

解析由題意可得說=—（贏+濟(jì)^）=—柒）），

―?—>―?1-?—>

PD=PC+CD=^AD~AB,

故或麗=一

=|碉一忙利2=4-1=3.

6.在△ABC中，AB=4,BC=5,CA=6,△ABC外接圓圓心為0,則最）?誦等于（）

A.8B.yC.8小D.18

答案A

解析由題意得。為△ABC外心，故公?贏=3贏2=8.

7.（2023?鄭州模擬）在以。4為邊，以08為對角線的菱形。1BC中，CM=（4.0）,a=（6,

a）,則/AOC等于（）

兀__兀兀兀

A-6B3C__T5DT2

答案B

解析由題設(shè)，誦=協(xié)一位=（2,a）,且|成|=|有i|=4,

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所以、4+〃2=4,則4=±2小，故。5=（6,±2?。?

7T

由/AOC=2/AO8G（0,兀），則0</AO8<5，

OAOB_24_V3jr

又cosZAOB—,則NAOB=z，

\OA\\OB\4X4小2

jr

所以ZAOC=y

8.已知產(chǎn)是△ABC所在平面內(nèi)一點，有下列四個等式:

甲：B4+PB+PC=0；

乙：PA(PA-PB^PC(PA-PB)-,

丙：|麗|=|麗|=|正|；

T：PAPB=PBPC=PCPA.

如果只有一個等式不成立，則該等式為()

A.甲B.乙C.丙D.丁

答案B

解析甲：B4+PB+PC=0,則說+沌=-死，故P為△ABC的重心；

乙：PA{PA-PB)^PC(PA-PB),貝1(瓦一西)?&=函-&=0,ikAB±AC,即△ABC為直角

三角形；

丙：點P到三角形三個頂點的距離相等，故尸為△ABC的外心；

T：PARB=FBPC,則(麗一正).麗=4.兩=0,同理可得蔭?正=無?麗=0,即P為△A8C

的垂心，

當(dāng)△ABC為等邊三角形時，三心重合，此時甲、丙、丁均成立，乙不成立，滿足要求，當(dāng)乙

成立時，其他三個至少有兩個等式不成立.

9.已知⑷=4,Z>=(-1,0),且(a+2Z>)，"則。與&的夾角為.

答案y

解析由5=(—1,0),得血=1,

因為(a+2b)_Lb,所以(a+25)仍=0,

所以a?5+2廬=0,

所以⑷IMcos<?,b]+2|例2=0,

因為⑷=4,

所以4cos〈a,b)+2=0,所以cos〈a,b)=一],

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因為〈a,b〉￡[0,71],所以〈。，b〉=W.

10.（2022?全國甲卷）設(shè)向量a,的夾角的余弦值為/且|a|=l,⑸=3,貝lj（2a+力力=.

答案11

解析（2a+Z>）仍=205+52=2⑷向cos（a,b）+|Z>|2=2X1X3X^+32=11.

S合提升練

11.（多選）（2022?佛山模擬）一物體受到3個力的作用，其中重力G的大小為4N,水平拉力

肌的大小為3N,另一力尸2未知，則（）

A.當(dāng)該物體處于平衡狀態(tài)時，|尸2|=5N

B.當(dāng)歹2與Fi方向相反，且|尸21=5N時，物體所受合力大小為0

C.當(dāng)物體所受合力為用時，|尸2|=4N

D.當(dāng)甲2尸2N時，3NWE+Fz+G|W7N

答案ACD

解析由題意知，b2的大小等于重力G與水平拉力尸1的合力大小，由圖①知|尸2|=5N,故

A正確；

如圖②，物體所受合力應(yīng)等于向量病與月2的和向量的大小，顯然B錯誤;

當(dāng)物體所受合力為尸1時，說明G與巴的合力為0,所以|尸2l=4N,C正確；

由上知，重力G與水平拉力H的合力為覆），|Ab|=5N,易知當(dāng)歹2與箭）同向時合力最大,

最大值為7N；反向時合力最小，最小值為3N,

即3NW|Fi+尸2+GIW7N,故D正確.

12.已知向量。=（2,機），*=（3,1）,若向量a,的夾角是銳角，則根的取值范圍是（）

A.（—6,+°°）

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+8)

c(-6,I)昭,+8)

D(—6,—|)u(—I，+8)

答案C

解析因為a=(2,m),)=(3,1),

所以ab=6-\-m,

[ab=6+m>0,

因為向量。，力的夾角是銳角，所以..沙

[2—3MW0,

,2

解得m>—6,且

所以實數(shù)機的取值范圍是(一6,|)U停，+8).

13.(多選)已知。為坐標(biāo)原點，點A(1,O),Pi(cosct,sina),P2gsasin￡),尸3(cos(a—)),

sin(a—￡)),則下列選項正確的是()

A.\OPi\=\OP2\

B.麗=|的|

C.OAOPX=OP2'OP3

D.OAOP3=OPVOP2

答案ABD

解析由題意近=(1,0),福的坐標(biāo)等于4的坐標(biāo)。=1,2,3),

I麗1=1旗1=1,A正確；

\APT.\=-\I(cosp—l)2+(sin/?—0)2=^/2—2cosp,

IP1P3I=-^[cos(a—^)—cosct]2+[sin(a—^)—sina]2=^2—2[cosacos(a一份+sinasin(a一份]=

"\J2—2cosp,

所以I洞|=|幾內(nèi)，B正確；

OA-OPi—cosa,OP2OP3—COS^cos(a—^)+sin^sin(a—^)=cos(2^—a),C錯誤；

OA-OP3=cos(a—,OP1OP2—COSacos乃+sinasin￡=cos(a一份，D正確.

14.(2023?新鄉(xiāng)模擬)在菱形ABC。中，ZBAD