江蘇省南通市2024屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題答案

南通市2024屆高三第一次調(diào)研測(cè)試

數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分建議

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合期目要求的。

1.已知集合/={x|-2<x<3},B={0,1,2,3},則408=

A.{-2,-1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,123}

【答案】C

2.已知z+5=8,z-z=6i,貝i]z.5=

A.25B.16C.9D.5

【答案】A

3.若向量a=(34),b=(2,〃)，貝ij“川=8”是“a〃b”的

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【答案】C

4.設(shè){q}為等比數(shù)列，%=2%+3%,貝4幺二&=

/~a5

A.|B.|C.3D.9

【答案】B

5.從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中選擇四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成空間四面體，則該四面體不可熊

A.每個(gè)面都是等邊三角形

B.每個(gè)面都是直角三角形

C.有一個(gè)面是等邊三角形，另外三個(gè)面都是直角三角形

D.有兩個(gè)面是等邊三角形，另外兩個(gè)面是直角三角形

【答案】D

6.已知直線y=X-1與拋物線C:x2=2雙p>0)相切于“點(diǎn)，則”到C的焦點(diǎn)距離為

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

參考答案與評(píng)分建議第1頁(共12頁)

7.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為(0,+8),若礦(x)<2/(x),則

A.4e2/(2)<16/(e)<e2/(4)B.e2/(4)<4e2/(2)<16/(e)

C.e2/(4)<16/(e)<4e2/(2)D.16/(e)<e2/(4)<4e2/(2)

【答案】C

8.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生制作一個(gè)矩形框架的工藝品.要求將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為10cm和

20cm的矩形零件的四個(gè)頂點(diǎn)分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長(zhǎng)的最大

值為

A.20&cmB.30^5cmC.405/5cmD.60版cm

【答案】D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次成績(jī)(單位：環(huán))，得到如下數(shù)據(jù)：

運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次

甲8791908993

乙8990918892

則

A.甲成績(jī)的樣本極差小于乙成績(jī)的樣本極差

B.甲成績(jī)的樣本平均值等于乙成績(jī)的樣本平均值

C.甲成績(jī)的樣本中位數(shù)等于乙成績(jī)的樣本中位數(shù)

D.甲成績(jī)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差小于乙成績(jī)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差

【答案】BC

10.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,f(x)為奇函數(shù)，/(l+x)=/(1-x),/(3)=1,則

A.=1B./(x)=/(4+x)

C./(x)=/(4-x)D./伏)=-1

I

【答案】ABD

11.已知點(diǎn)M在圓f+y+lx-B：。上，點(diǎn)P(O，D,。(1，2),則

參考答案與評(píng)分速議第2頁(共12頁)

A.存在點(diǎn)M,使得|網(wǎng)=1B.今

c.存在點(diǎn)M,使得|M=|MQ|D.\MQ\=^2\MP\

【答案】ABD

12.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖眶提出一條原理：“寨勢(shì)既同，則積不容異%即兩個(gè)等高的幾何體若

在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.利用該原理可以

證明：一個(gè)底面半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為

頂點(diǎn)的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的半球的體積相等.現(xiàn)有一個(gè)半

徑為R的球，被一個(gè)距離球心為d(d>0)的平面截成兩部分，記兩部分的體積分別

為匕，/(匕<匕)，貝I」

A.r；=j(R-d)2(2R+d)B.^=!(/?+2d)(2R-d)(3R+d)

C"當(dāng)"=?時(shí)，合嗚D-當(dāng)?昔時(shí)，合24

【答案】ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)〃x)=[誓：Jl!l/(log2|)=______.

[2-1,X<-1,3

【答案】4

42345

14.￡551(x-l)(x+2)=a0+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,貝!!/=，

a1+a2+aJ+a4+a5=.(注：第一空2分，第二空3分)

【答案】8,16

15.已知函數(shù)〃外=2411(5+￡)(0>0),若/(須)=/(》2)=-百，%一引的最小值為彳，

則/6)=.

O

【答案】73

16.已知橢圓E：與+1=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡,瑪，設(shè)尸，。是E上位于x軸

ab

上方的兩點(diǎn)，且直線尸耳與。尸2平行.若41P用=|。用，21PBi=5|匿|,則E的離心率

參考答案與評(píng)分建議第3頁(共12頁)

為________.

【答案】卓

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知然是圓錐PO的底面直徑，。是底面圓周上的一點(diǎn)，PC=AB=2,AC=C，

平面PAC和平面網(wǎng)。將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示.

(1)證明：OC_L平面48：

(2)求二面角4-P8-C的余弦值.

A

【解】(1)在圓錐尸0中，PO工底面ABC,

因?yàn)镺Cu底面陛。，所以POJ_OC.……2分

因?yàn)镃是底面圓周上一點(diǎn)，絲是底面圓直徑，

所以4C_L5C.

因?yàn)閆C=&,AB=2,所以8C=&.

因?yàn)椤Ｊ?5中點(diǎn)，所以。C_L48.……4分

因?yàn)?BDPO=。，PO,48u平面

所以比_1_平面尸/15.……5分

(2)(方法一)因?yàn)镻OJ?底面OBu底面WC,PT

所以P0_L08.

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以0C,05,0P/'\

為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的「、\打

空間直角坐標(biāo)系。-乎.

則0(0,0,0),C(l,0,0),5(0,1,0),P(0,0,6),x/c

BC=(1,-1,O),PC=(1,O,-V3).

因?yàn)?。CJ?平面以8,

所以反=(1,0,0)是平面P45的一個(gè)法向量.……7分

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

參考答案與評(píng)分建議第4頁(共12頁)

n-BC=x—y=O,

則

n-PC=x—y/3z=0.

令z=l,得x=y=百，所以”=（-73，工,1）........9分

設(shè)二面角/-尸B-C的平面角為6,則

|cos^|=|cos（OC,=?

所以二面角彳-尸。的余弦值為軍.

5-10分

（方法二）在平面R1B內(nèi)，過點(diǎn)。向尸6作垂線,

因?yàn)镺CJ?平面以8,P8u平面尸，45,

所以P8_L0C.

因?yàn)镺”,0Cu平面OC",。"0。。=。，

所以尸8J■平面OCH.

又CHu平面OCH,所以PB1CH,

所以NOHC是二面角/-尸8-。的平面角.

在△OBP中，因?yàn)镻OtOB,OB=l,PB=2,OP=y/3,

所以O(shè)〃=等浮=孚.

在△OCH中，因?yàn)镺C_LO〃，OC=\,OH=坐,

t_____________廠同廣

所以CH=JOC2+0〃2邛,8SZOHC=%='=埠,

2CH7

T

所以二面角4-尸8-。的余弦值為厚.……10分

18.（12分）

3

-

在A43C中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知tanB5tanC=z，6=6.

（1）求4和c；

（2）若點(diǎn)。在/C邊上，且802=4）2+82,求3.

【解】（1）在八43。中，因?yàn)椋?8+。=兀，所以＜=兀一（8+。）,

參考答案與評(píng)分建議第5頁（共12頁）

所以tan/=tan(n-(5+C))=-tan(8+C)=—冷黑;

31

-+-

54

因?yàn)閠an8=N，tanC=-7?所以tan/=31

54-X-

-54

因?yàn)?<4〈孔，所以/=予.3分

4

因?yàn)?<8〈冗，tanB=?,tanC=1,

sin2B+cos2B=1

由‘sinB=3解得sinB=j—..

V34

、cosB5'

同理,sinC=-r=?

V17

在△45C中，b=6,由正弦定理三=，五=三,

sinAsmBsinC

得c=s\BxsinC=—1—x=2&6分

(2)設(shè)4D=x,則CD=6-x,0<x<6,

所以BO?=AD2+CD2=X2+(6-x)2=2x2-12x+36.....8分

在ZX/IB。中，由余弦定理得，

BD2=AB2+AD2-2ABXADXCOSABAD

=(2>/2)2+X2-4>/2x(~~)x=x2+4x+8?10分

所以2X2-12X+36=/+4X+8,即--16x+28=0,

解得x=2或x=14(舍去)，

所以4)=2.12分

19.(12分)

記正項(xiàng)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足1,冊(cè)成等差數(shù)列.

(1)求｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)集合/=冬冬1"WNL/JWM，，求集合4.

A

參考答案與評(píng)分建議第6頁（共12頁）

【解】(I)(方法一)因?yàn)?,后，勺成等差數(shù)列,

所以26=1+4,即4s.=(1+%)2①.

當(dāng)〃22時(shí)，4s小=(1+%)2②，

由①-②，得4%=(1+%)2-(1+01)2,……2分

即非一=24+2an_i,(a?+a?.|)(an-勺一-2)=0.

因?yàn)橥?gt;0,所以%+勺_]>0,

所以%---2=0，4-%=2,

所以｛%｝是公差為2的等差數(shù)列.……4分

當(dāng)〃=1時(shí)，4S[=3]=(1+/)2,解得q=1,

所以(=2〃-1....6分

(方法二)因?yàn)?,病，4成等差數(shù)列，所以2卮=4+1.

當(dāng)2時(shí)，2s=G"+1=S"-S“T+1,

所以庠廣場(chǎng)-底+1=(底-I)?,

所以(67)、(卮-以?……2分

因?yàn)閍“>0,O]=1,所以S“21,

所以反=卮-1，叵-卮=1，

所以｛向｝是公差為1的等差數(shù)列?……4分

當(dāng)”=1時(shí)，2質(zhì)=E+1,所以B=%=1.

所以底=1+(〃-1)=〃，

所以q=詆-1=2-1.……6分

(2)由(1)知，竽5)=伽_1)++8.……9分

aH271—12〃-1

參考答案與評(píng)分建議第7頁(共12頁)

因?yàn)樯蟱N"所以4=”一1是奇數(shù),

要使勺=%#11,〃可能的值為1和2.

當(dāng)〃=1時(shí)，沁旦=21=%，符合條件；

當(dāng)〃=2時(shí)，彗"=15=%,符合條件；

所以4={8,11}.……12分

20.(12分)

已知雙曲線?！?與=1(。＞0力＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為4(-2,0),8(2,0),離心率為

ab

半.過點(diǎn)(4,0)的直線/與C的右支交于A/,N兩點(diǎn)，設(shè)直線/M,BM,8N的斜率分別

為4?^2，占?

(1)若k=辱,求傷；

(2)證明：&-+&)為定值.

【解】(1)設(shè)雙曲線C的焦距為2c.

由題意得，a=2,￡=4，所以c=?.

a2

因?yàn)閏2=q2+b2,所以b=l,

所以。的方程是宇-丁=].

2分

4

直線8M:y=當(dāng)(x-2),

9二"消,得f_6x+8=。，解得.2或“4,

由，

y=^-(x-2),

所以“(4,6).4分

又因?yàn)橹本€A/N過點(diǎn)(4,0),所以直線MN:x=4,

所以N(4,—石)，所以的=迷=一更.

5分

4-22

參考答案與評(píng)分建議第8頁(共12頁)

（2）設(shè)A/（X1，M）,則圻告i'~出

所以大冉=

y2-4---1]

因?yàn)?-必=1，所以柩2=4^=：.……7分

X].

設(shè)直線MN:x=my+4,

X__2-

由,4y消x得(小一4)丁+8叩+12=0.

x=/ny+4.

/一4。0,

A=16(m2+12)>0,

設(shè)N（￡，M）,則?-8m

…2=E

州必=

所以A4：必x必-乂乂力.必

2

2JX1-2x2-2myx+2my2+2myly2+2m(y]+j2)+4

_______冊(cè)2―4--------------------------12_______=_3.…]1分

2x12?2m(一8m)?412/n2-16m2+4m2-164

m2-4m2-4

所以22（&+&3）=匕k2+*=；_；=_；為定值....12分

21.（12分）

某商場(chǎng)在元旦期間舉行摸球中獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：一個(gè)箱中有大小和質(zhì)地相同的3個(gè)

紅球和5個(gè)白球.每一位參與顧客從箱中隨機(jī)摸出3個(gè)球，若摸出的3個(gè)球中至少有2個(gè)

紅球，則該顧客中獎(jiǎng).

（1）若有三位顧客依次參加活動(dòng)，求僅有最后一位顧客中獎(jiǎng)的概率；

（2）現(xiàn)有編號(hào)為1?〃的〃位顧客按編號(hào)順序依次參加活動(dòng)，記X是這〃位顧客中第一

個(gè)中獎(jiǎng)?wù)叩木幪?hào)，若無人中獎(jiǎng)，則記X=0.證明：E（X）＜2.

【解】（1）設(shè)某位顧客中獎(jiǎng)的概率為p,則p=G￡[Sl=,.……2分

A*

記“三位顧客依次參加活動(dòng)，僅有最后一位顧客中獎(jiǎng)”為事件4則

參考答案與評(píng)分建議第9頁（共12頁）

尸⑷/申尹翁

答：僅有最后一位顧客中獎(jiǎng)的概率為捐.……5分

343

(2)X的可能取值為0,1,2,.

由題意得，P(X=2)=審A和WAW〃入N),

p(X=0)=(1)".……8分

所以￡(X)=0xP(X=0)+lxP(X=l)+2xP(X=2)+“?+〃xP(X=〃)，

BP￡(^)=(1)°x|xl+(|),x|x2+(1)Ix|x3+-+(|)--,x|n,①“TO分

所以洱》)=審、尹1+得八/2+審x.x3+..?+e)"x,〃，②

由①?得尹⑶=|[(1)°+審+即+審+-+(|)--(|)"x4

所以￡(丫)=^^--〃?審=9*xe)"一〃?審<：?……12分

1-7

22.(12分)

已知函數(shù)/(x)=lnx-g.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若。>0,記出為/(x)的零點(diǎn)，m=yj2a+\,n-a+l.

①證明：m<XQ<ns

②探究與與典產(chǎn)的大小關(guān)系.

【解】(1)函數(shù)/(x)=lnx一旦的定義域?yàn)?0,+8),導(dǎo)函數(shù)/，。)=_1+彳=4巴.

XXXX

當(dāng)。20時(shí)，r(x)>0,所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)a<0時(shí)，

若0<x<-a,則/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減：

若x>-a,則r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

綜上所述，

當(dāng)aN0時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增：

當(dāng)。<0時(shí)，/(x)在(0,-a)上單調(diào)遞減，在(-。，+8)上單調(diào)遞增.……3分

叁考答案與評(píng)分建議第10頁(共12頁)

(2)0/(a+l)=ln(a+l)--^-(a>0).

Q+1

令g(a)=ln(a+l)---^y(a>0)，

a4-1

所以g")=/T—等常=尚聲>°'式。)在(°，+8)上單調(diào)遞增，

所以g(a)>g(O)=O，即/。+。)>/(天).

又因?yàn)?(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，所以。<l+a.……5分

/(V2a+1)=in12a+l-f—,

V2a+1

令J2a+l=t,所以0

所以lnj2a+l-/°—七

V2a+1Z

設(shè)力⑺=ln-與

所以力'?)=1-支仲)在(i,+8)上單調(diào)遞減，

t2t2t

所以如)<A(1)=O,所以/(“a+1)</(/).

又因?yàn)椤▁)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以師*<.，

綜上J2a+1<x0<1+a,BPm<x0<n.....7分

②結(jié)論：必產(chǎn)>5,即匹j+q±i>的.

證明：

(方法一)因?yàn)?(癡同+￡±1)=1n衣m±￡土l-^g——,

因?yàn)閍+l>伍*T,所以/(缶可+@)>111仿工？--7=%——.