2024屆浙江省嘉興市第五高級(jí)中學(xué)高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2024屆浙江省嘉興市第五高級(jí)中學(xué)高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.以下兩個(gè)圖表是2019年初的4個(gè)月我國(guó)四大城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(上一年同月=100)變化圖表，則以下說

圖表一圖表二

(注：圖表一每個(gè)城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個(gè)月份的條形圖從左到右四個(gè)城市依次是

北京、天津、上海、重慶)

A.3月份四個(gè)城市之間的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與其它月份相比增長(zhǎng)幅度較為平均

B.4月份僅有三個(gè)城市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)超過102

C.四個(gè)月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)幅度波動(dòng)較小

D.僅有天津市從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)

2.已知定義在R上的奇函數(shù)/Xx)滿足：/(x+2e)=—/(x)(其中e=2.71828),且在區(qū)間［e,2e］上是減函數(shù)，

令。=<，6=矍，c=—,則/3),于3),/'(c)的大小關(guān)系(用不等號(hào)連接)為()

ZD3

A./(Z7)>/(?)>/(c)B./(Z7)>/(c)>/(?)

C./(?)>/(&)>/(c)D.

3.設(shè)a,b,ceR且。＞6,則下列不等式成立的是()

11

A.c-a<c-bB.ac1>be1C.—<—D.

aba

4.已知復(fù)數(shù)2=——，則Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于（）

1+Z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.已知/,機(jī)是兩條不同的直線，機(jī)_1_平面a,則“///a"是"LLm"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我國(guó)其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種

病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，

感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎

患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不

漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地

逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測(cè)，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽性的概率均為P

且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為/（°）,當(dāng)p=0o時(shí)，f⑺最

大，貝!IA）=（）

A.1-^-B.亞C.-D.1—走

3323

22

7.已知橢圓三+/=l（a〉b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、B，過點(diǎn)片的直線與橢圓交于尸、。兩點(diǎn).若APgQ的

內(nèi)切圓與線段尸&在其中點(diǎn)處相切，與PQ相切于點(diǎn)月，則橢圓的離心率為（）

A.也B.旦C.也D.3

2233

8.已知AABC中，角A、3所對(duì)的邊分別是a,b,則“a>6”是“A>5”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充分必要條件

1Ir

9.已知函數(shù)〃x）=ln^—+x+l且〃a）+〃a+l）>2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

3

10.^a=log8Q.2,b=log034,c=4°,貝(J()

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

x-y>0

11.已知x,丁滿足約束條件<x+y?2,則z=2x+y的最大值為

y>0

A.1B.2C.3D.4

12.已知函數(shù)〃x）=cos2x+sin2，+m，則/（尤）的最小值為（）

AI亞u1「、立n1加

A.1-1--------B?C?1-----D?1----

2224

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.假如某人有壹元、貳元、伍元、拾元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張，要支付貳佰壹拾玖（219）元的貨

款，則有種不同的支付方式.

14.已知直線x—y+a=O與圓心為C的圓￥+：/+2*一4'—4=0相交于A,3兩點(diǎn)，且ACL3C,則實(shí)數(shù)。的值

為_________

15.已知全集。={-1,。,1},集合A={0,|無I},則即A=.

16.在長(zhǎng)方體43。一46。1。1中，AB=1,AD=2,M=1,E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面ADE的距離是

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

JT

17.（12分）如圖，四邊形ABC。中，ZADC=-,AD^AB=BC=2CD,AE=EC,沿對(duì)角線AC將AACD

2

翻折成AACD',使得BD'=BC.

B

（1）證明：BELCD'；

（2）求直線BE與平面ABD'所成角的正弦值.

18.（12分）如圖，在等腰梯形ABC。中，AOAD=AB=CD=2,BC=4,M,N,。分別為BC,CD,

AC的中點(diǎn)，以AC為折痕將ACD折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P位置(Pe平面ABC).

(1)若H為直線QN上任意一點(diǎn)，證明：〃平面A5P；

TT

(2)若直線與直線所成角為一，求二面角A-PC-5的余弦值.

4

19.(12分)已知圓M：卜+26)+/=64及定點(diǎn)日260),點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)5在ML上，點(diǎn)G在M4

上，且滿足NA=2NB，GBNA=G，點(diǎn)G的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)斜率為k的動(dòng)直線/與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，與直線y=：》和y=—分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)河,1

時(shí)，求AOPQ(0為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍.

20.(12分)已知向量a=(2sinx,一6｝Z?=(cosx,2cosFT),f[x)=a-b.

(1)求/(九)的最小正周期；

(2)若AABC的內(nèi)角A,5c的對(duì)邊分別為a,4c,且。=省力=1,/(A)=也，求AABC的面積.

21.(12分)已知數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和為S“，且〃、a“、S”成等差數(shù)列，^=21og2(l+a?)-l.

(1)證明數(shù)列｛?！?1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列也｝中去掉數(shù)列｛??｝的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列｛%｝,求q+。2+…+%0的值.

22.(10分)已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和S“和通項(xiàng)4滿足2S,+4=l("eN*).

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列也｝中，々=34,d+|=6“+l(〃eN*),求數(shù)列｛為+2｝的前幾項(xiàng)和7“.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)圖表，可得結(jié)果.

【詳解】

A正確，從圖表二可知，

3月份四個(gè)城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大

B正確，從圖表二可知，

4月份只有北京市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)低于102

C正確，從圖表一中可知，

只有北京市4個(gè)月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大

D錯(cuò)誤，從圖表一可知

上海市也是從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查圖表的認(rèn)識(shí)，審清題意，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

因?yàn)?(x+2e)=—/(%),所以/(x+4e)=/(x),即周期為4,因?yàn)?(%)為奇函數(shù)，所以可作一個(gè)周期[-2e,2e]

示意圖，如圖“力在(0,1)單調(diào)遞增，因?yàn)?2<25;.55<25,23<32;.25<33.,.0<c<a<0<l，因此

f(b)>f(a)>f(c),選A.

1

點(diǎn)睛：函數(shù)對(duì)稱性代數(shù)表示

(1)函數(shù)/Xx)為奇函數(shù)。/(%)=-/(-幻，函數(shù)/■(》)為偶函數(shù)。/(%)=/(-X)(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱);

(2)函數(shù)/(%)關(guān)于點(diǎn)(a,切對(duì)稱0f(x)+f(-x+2a)=2b,函數(shù)/(x)關(guān)于直線％=7〃對(duì)稱o/(%)=f(-x+2)n),

(3)函數(shù)周期為T,則/(x)=/(x+T)

3、A

【解析】

A項(xiàng)，由得至U—a<—Z?,則c-a<c-Z?,故A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，當(dāng)c=0時(shí)，該不等式不成立，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，當(dāng)。=1,6=-2時(shí)，1〉—工，即不等式!〈工不成立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

2ab

bb

D項(xiàng)，當(dāng)a=—1,6=-2時(shí)，一=2〉1,即不等式一<1不成立，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

aa

綜上所述，故選A.

4、A

【解析】

利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,由此求得z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.

【詳解】

4z(l-z)

依題意z==2z(l-z)=2+2z,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(2,2),在第一象限.

(1+')(J)

故選A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

當(dāng)機(jī)_1_平面a時(shí)，若/〃a"則"LLm”成立，即充分性成立，

若ZL",貝！j/〃a或/ua,即必要性不成立，

則“/〃a"是充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大，屬于基礎(chǔ)題

6、A

【解析】

根據(jù)題意分別求出事件A：檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B：檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)

生的概率，即可得出f(p)的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式即可求出.

【詳解】

設(shè)事件A：檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”，

事件B：檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”，

P(A)=以1—",0㈤=以1—")5.

即/(P)=P(1-P)4+P。-Pl=.(2—p)(l—pf

設(shè)％=1一〃>。,則8(%)=/5)=(1_司。+%卜4=(]_工2卜4

__i3

.,.g(x)=(l-x2)x4=|x[(2-2x2)xx2xx2]<|x"產(chǎn)+x喙

當(dāng)且僅當(dāng)2-2f=尤2即x='時(shí)取等號(hào)，即p=p0=l當(dāng).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查概率的計(jì)算，涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式的應(yīng)用，互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等

式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對(duì)題意的理解和事件的分解，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力，屬于較難題.

7、D

【解析】

可設(shè)APgQ的內(nèi)切圓的圓心為/，設(shè)|尸耳|=相，忸閭=〃，可得〃z+〃=2a,由切線的性質(zhì):切線長(zhǎng)相等推得根=g〃，

解得加、〃，并設(shè)|。制="求得/的值，推得APKQ為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結(jié)合離心率公式可得所

求值.

【詳解】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為/,M為切點(diǎn),且為Pg中點(diǎn)，周=|「M=W用，

設(shè)|尸制=〃，]。閶="，則機(jī)=；〃，且有〃z+〃=2a,解得相=g,n=~^~'

設(shè)|Q周=八|。耳|=2aT,設(shè)圓/切。工于點(diǎn)N,^\NF2\=\MF2\=^-,\QN\=\QF^t,

由2aT=|。囚=|QN|+|N用=/+?,解得/=彳，.?.|PQ|=/w+、=?,

所以為等邊三角形，

\PF2\=\QF2\=^,APBQ

所以，2c=叵肛,解得￡=走.

23a3

因此，該橢圓的離心率為走.

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運(yùn)用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬

于中檔題.

8、D

【解析】

由大邊對(duì)大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.

【詳解】

AABC中，角A、3所對(duì)的邊分別是。、b,由大邊對(duì)大角定理知“a>b"n“A>5”，

“A>B,,=>ua>b,\

因此，“a>b”是“A>5”的充分必要條件.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

構(gòu)造函數(shù)網(wǎng)力=〃力—1,判斷出廠（%）的單調(diào)性和奇偶性，由此求得不等式/（。）+/（。+1）>2的解集.

【詳解】

1?Y1?丫

構(gòu)造函數(shù)尸（x）=/（x）-l=ln^—+X,由^—〉0解得-1<彳<1,所以尸（龍）的定義域?yàn)椋?1,1）,且

1—X1—X

1+x1-x1-x

F（-x）=ln-x=-ln+x=-F（x）,所以網(wǎng)龍）為奇函數(shù)，而

1-x1+x1+x

F（x）=ln1^+x=ln[-l+-^-|+x,所以網(wǎng)外在定義域上為增函數(shù)，且-0）=lnl+O=0.由

1X\LXJ

〃+〃+1>0

/（。）+/（。+1）>2得++即方（。）+尸（。+1）>。,所以<一1<〃<1=>—<〃<0.

2

-1<<7+1<1

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.

10、D

【解析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可判斷出-1<。<0/<-1,C>1，即可選出答案.

【詳解】

由logo_34<log03g=-1,即/?<—1,

又一1=log80.125<logs0.2<logs1=0,即一1<。<0,

4°3>1,即C>1,

所以Z?<a<c.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾個(gè)數(shù)的大小比較，考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【詳解】

作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，

z=2x+y等價(jià)于y=_2x+z,作直線y=-2x,向上平移,

易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（2,0）時(shí)z最大，所以入砍=2x2+0=4,故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法.

12、C

【解析】

利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.

【詳解】

1—cosI2xH—

由于，/、2.-271l+cos2xI2

j(x)=cosx+sinXH-----------------+

422

1cos2xsin2x

=l+--------+--------

22

叩x+3

故其最小值為：1-正.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用降毒擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

按照個(gè)位上的9元的支付情況分類，三個(gè)數(shù)位上的錢數(shù)分步計(jì)算，相加即可.

【詳解】

9元的支付有兩種情況，5+2+2或者5+2+1+1,

①當(dāng)9元采用5+2+2方式支付時(shí)，

200元的支付方式為2x100,或者1x100+2x50或者1x100+1x50+2x20+10共3種方式，

10元的支付只能用1張10元，

此時(shí)共有l(wèi)x3xl=3種支付方式；

②當(dāng)9元采用5+2+1+1方式支付時(shí)：

200元的支付方式為2x100,或者1x100+2x50或者1x100+1x50+2x20+10共3種方式，

10元的支付只能用1張10元，

此時(shí)共有l(wèi)x3xl=3種支付方式；

所以總的支付方式共有3+3=6種.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.做題時(shí)注意分類做到不重不漏，分步做到步驟完整.

14、0或6

【解析】

計(jì)算得到圓心c(-1,2),半徑廠=3,根據(jù)AC,3c得到d=半，利用圓心到直線的距離公式解得答案.

【詳解】

x2+y2+2x-4y-4=0,即(x+1)?+(y—27=9,圓心。(—1,2),半徑廠=3.

AC1BC,故圓心到直線的距離為』=逑，即［=也言=逑，故。=6或。=0.

2V22

故答案為：。或6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力。

15、{-1}

【解析】

根據(jù)題意可得出A={0,1},然后進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可.

【詳解】

根據(jù)題意知，|x|=l,

：.A={Q,1},t/={-1,0,1),

?.?”={—1}.

故答案為：{-I}.

【點(diǎn)睛】

本題考查列舉法的定義、全集的定義、補(bǔ)集的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

、---

3

【解析】

利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離

【詳解】

由題在長(zhǎng)方體中，

1323

A。=底。E=&,坳=JM+AS=6，

所以=。石2+4石2,所以。E，A]E,

S^DE=gX忘X6=手

設(shè)點(diǎn)A到平面ADE的距離為h

VA.DE--x^-xh=—>解得

4?E3233

故答案為：&

3

【點(diǎn)睛】

此題考查求點(diǎn)到平面的距離，通過在三棱錐中利用等體積法求解，關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點(diǎn).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見證明；(2)立

6

【解析】

(1)取C。'的中點(diǎn)K,連EK,5K.可證得EKLC。，BK±CD',于是可得C。'，平面5KE,進(jìn)而可得結(jié)論成

立.(2)運(yùn)用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：取C。'的中點(diǎn)K,連EK,BK.

D

'：AE=EC,

:.EK//AD'.

又AD」CD',

：.EKLCD'.

在ABCD'中，BC=BD',

：.BK±CD'.

又EKcBK=K,

CD'，平面3KE,

又BEu平面BKE,

：.BE上CD'.

(2)解法1：取AD'的中點(diǎn)b，連結(jié)所,5斤，

'：AE=EC,

：.EFUCD',

又CD'LAD',

/.AEf±EF.

又由題意得?AB。'為等邊三角形，

:.AD'±BF,

■:BFcEF=F,

，A。'_L平面5郎.

作EHLBF,則有EHL平面ABD',

ZEBF就是直線BE與平面ABD'所成的角.

設(shè)CD=1,則跖=工,

2

在等邊中，BF=BX2=6

2

AsinZEBF=—，

6

二直線BE與平面ABD,所成角的正弦值為正

6

解法2：由題意可得Efi,平面AC。'，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系改死.

不妨設(shè)C￡>=1,則在直角三角形ACD'中，可得AO'=2,AC=行，

作。'GLAC于G,則有平面幾何知識(shí)可得。'G=1^,EG=EC—CG=^~,

510

105

又可得A0,--^-,0,,0,0.

竽,竽卜0平石,。］

設(shè)平面ABD'的一個(gè)法向量為m=(蒼y,z),

s，4^/5245n

m-AD=-----yH------z=0A/55

55x=---------y

得11

—屈曲c

m-AB=----xH-----y=0z=-2y

22

令y=4T,則得根=卜石,而2而).

設(shè)直線BE與平面ABD'所成的角為0,

則sin。=cos(m,EB

\m\\EB~6

所以直線BE與平面ABD'所成角的正弦值為且

6

【點(diǎn)睛】

利用向量法求解直線和平面所成角時(shí)，關(guān)鍵點(diǎn)是恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，確定斜線的方向向量和平面的法向量.解

題時(shí)通過平面的法向量和直線的方向向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取

其余角就是斜線與平面所成的角.求解時(shí)注意向量的夾角與線面角間的關(guān)系.

18、(1)見解析(2)叵

7

【解析】

⑴根據(jù)中位線證明平面"NQ平面即可證明MH〃平面A3P；(2)以。河，QC,QP為x,y,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式即可計(jì)算二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：連接,

'：M,N,。分別為BC,CD,AC的中點(diǎn),

AQMAB,

又；平面ABi平面

?*.QM,平面RLB,

同理，QN〃平面R43,

?.?QMu平面MAQ,QNu平面腦VQ,QM\QN=Q,

平面MNQ平面及B,

平面MNQ,

:.MH〃平面ABP.

(2)連接PQ,在ABC和ACD中，由余弦定理可得，

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC

AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC'

由NABC與/ADC互補(bǔ)，AD^AB^CD=2,BC=4,可解得4。=26，

于是5c2=AB2+AC2,

：.AB±AC,QMLAC,

TT

VQMAB,直線AB與直線MN所成角為一，

4

TT

：.ZQMN=-,又QM=QN=1,

4

71

ZMQN=-,即QMLQN,

QAf，平面APC,

平面ABC_L平面APC,

?.?。為AC中點(diǎn)，PQ^AC,

.?.P。，平面ABC,

如圖所示，分別以QM,QC,QP為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則3(2,-百,0),C(0,V3,0),P(0,0,l),

PB=(2,-A-1)?PC=(0,V3,-l).

設(shè)平面尸5C的法向量為〃=(x,y,z),

2x-\/3y-z=0

KPB=O,即《

n-PC=Oy/3y-z=0

令y=l,則％=也，z=g,可得平面尸的一個(gè)法向量為〃=(g,l,退).

又平面APC的一個(gè)法向量為根=(1,0,0)，

.m-nvZl

??cos<m,n>=----------=------,

\m\-\n\7

二面角A—PC—6的余弦值為叵.

7

【點(diǎn)睛】

此題考查線面平行，建系通過坐標(biāo)求二面角等知識(shí)點(diǎn)，屬于一般性題目.

22

19、(1)-----F-^―=1；(2)(8,+co).

164

【解析】

(1)根據(jù)題意得到G8是線段AN的中垂線，從而|GM|+|GN|為定值，根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以M,N為

焦點(diǎn)的橢圓，即可求出曲線C的方程；(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程，表示處AOPQ的面積代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求

范圍.

【詳解】

(1)\NA~2NB=8為4V的中點(diǎn)，且=是線段AN的中垂線，

GBNA=0

二|AG|=|GN|,x\GM\+\GN\=\GM\+\G^=\AM\=S>4j3=\MN\,

點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓，

r2y2

設(shè)橢圓方程為二+=1(a>b>0)

ab29

則〃=4,c=2^3,:.b—a2—c2-2,

22

所以曲線c的方程為工+匕=1.

164

(2)設(shè)直線/：y=kx+m(k±—),

2

由消去y,可得(1+4左2卜2+86:+而^-16=0.

x+4y=16'7ra

因?yàn)橹本€/總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

2

所以A=64%2病一4(1+4的(4癡一16)=0,m=16^+4.0

又由1y-=2k廣x+m?？傻?2mm’-2mm

同理可得。

1—2左'1—2左J+2/1+2左

lml

由原點(diǎn)0到直線PQ的距離為d=和=J1+42kp-%|,

J1+k2|PQ|e

可得SA°L+Q|M=施|辰一"/=；??②

2m2AI2i

將①代入②得SA0.2=E=8E

當(dāng)上2＞；時(shí)，

綜上，^?！浮Ｃ娣e的取值范圍是母+⑹.

【點(diǎn)睛】

此題考查了軌跡和直線與曲線相交問題，軌跡通過已知條件找到幾何關(guān)系從而判斷軌跡，直線與曲線相交一般聯(lián)立設(shè)

而不求韋達(dá)定理進(jìn)行求解即可，屬于一般性題目.

20、(1)萬；(2)旦或叵

22

【解析】

TF

(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得/'(x)=2sin(2x-可)，利用正弦函數(shù)的周期性即可求解；(2)由(1)可求

O

sin(2A-工)=走，結(jié)合范圍-￡領(lǐng)2A-￡孚，可求A的值，由余弦定理可求c的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公

32333

式即可求解.

【詳解】

(1)f(%)—a-b=2sinxcosx-A/3(2cos2x-1)

=sin2x-y/3cos2x=2sin(2x-g)

.**最小正周期T=丁="

2

(2)由⑴知"x)=2sin[2x—d/(A)=2sin12A—0卜6

..(TTY73JoaJ57r

..sin2A----=——，又-----<2A-----<—

I3)2333

_.TC71.7C27r.,0.TCTC

??2A----=一或2A-----=——,解得A=一或A=一

333332

IT

當(dāng)A=4時(shí)，由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?ccosA

即(省『=：P+c2—zxi.ccos^,解得c=2.

此時(shí)S“