數(shù)學-2024年高考數(shù)學第一次模擬（新高考Ⅱ卷2全解全析）

2024年高考數(shù)學第一次模擬考試

數(shù)學（新高考n卷）?全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓

名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.回答第H卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內容

5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合要求的。

1.設全集U=R,集合4={刈K一2|21},B={久|/+久一6<0},貝|J（CM）UB=（）

A.{x|-3<%<3]B.[%|-2<%<3]

C.{x|l<%<3}D.{x|l<%<2}

【答案】A

【分析】解不等式確定集合A,B,再根據集合運算的法則計算.

【詳解】因為QjA=[x||x-2|<1]={x|-l<x-2<1}={x|l<x<3},

B={x|（x+3）（x—2）<0}={x|—3<x<2},

所以（CuA）UB={x|-3<x<3}.

故選：A.

2.已知z=%（i為虛數(shù)單位），則|z-2團=（）

A.4B.3C.3"D.28

【答案】C

【分析】根據復數(shù)的除法運算以及共輪復數(shù)的概念，即可由模長公式求解.

…即、…5+5i（5+5i）（2-i）15+5i-，..

【詳斛】因為z—2+i—（2+i）（2—i）—5—3+i,所以z—3—i,

貝!|z-2z=3+i—2(3—i)=-3+3i.所以|z—2z|——J(-3)?+3之=3"\/2.

故選:C.

3.己知正三棱錐P—4BC的側棱P4PB,PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1,以P為球心的球與底

面4BC相切，則該球的半徑為()

A-TB-T

【答案】B

【分析】球的半徑相當于點P到底面ABC的距離，運用等體積法即可求解.

2

【詳解】設球的半徑為r,由題可知AB=AC=BC=",SAABC=X(^2)=^,

所以E，r,S△ABC=Vp_ABc=§X2Xlxlxl,解得r—.

故選：B.

4.若sin6+a)+cos《+a)='，則cos(小一a)=()

A/311A/3

A.一丁B.—C.3D.

【答案】c

【分析】按照兩角和的余弦公式及誘導公式化簡條件，再利用輔助角公式變形，進一步計算即可.

【詳解】方法一,?,sin停+a)+cos停+a)=cosa+jcosa—^sina

3V3.8(J]4

=—cosa——sina=/cosa+—\=—

LL\6/3

故選：C.

方法二sin償+a)+cos停+a)=cosa+|cosa—y-sina

令0=a-，則。=0+&sinp=

故選：C.

5.在正方形2BCD的每一個頂點處分別標上1,2,3,4中的某一個數(shù)字（可以重復），則頂點4B處的數(shù)

字都大于頂點C,D處的數(shù)字的標注方法有（）

A.36種B.48種C.24種D.26種

【答案】D

【分析】按頂點A,B處標注的數(shù)字分類討論，利用分類加法和乘法計數(shù)原理即可求解.

【詳解】按頂點A,B處標注的數(shù)字分類，有如下幾種情況：

若A,B處都標注的是4,貝UC,D處的標注方法有3x3=9（種）；

若A,B處都標注的是3,貝匣,D處的標注方法有2x2=4（種）；

若A,B處都標注的是2,貝UC,D處的標注方法有1種；

若A,B處標注的是4和3兩個數(shù)字，則C,D處的標注方法有2x2=4（種），不同的標注方法共有

2X4=8（種）；

若A,B處標注的是4和2兩個數(shù)字，則C,D處的標注方法有1種，不同的標注方法共有2xl=2

（種）；

若A,B處標注的是3和2兩個數(shù)字，則C,D處的標注方法有1種，不同的標注方法共有2XI=2

（種）.

由分類加法計數(shù)原理可知，頂點A,B處的數(shù)字都大于頂點C,D處的數(shù)字的標注方法共有

9+4+1+8+2+2=26（種）.

故選:D.

■X?IPJ7I

6.已知第一象限內的點P在雙曲線C:五-5=1的漸近線上，。為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，則身

取得最小值時，△尸。尸的面積為（）

501007515

A

-TB.J8D.y

【答案】c

【分析】根據雙曲線的漸近線方程可設p?*）（t>o）,利用兩點間距離公式可得需=j（H）2+4

,結合二次函數(shù)性質可得解.

3

【詳解】由題意，F(xiàn)（5,0）,雙曲線的漸近線為y=±%x,

由點P在第一象限，可設>0）,

則|PO|二：t,|PF|=J（t-5）2+gt）2=J|ft2-10t+25,

IPFII32161/44\29

所以兩=J1—羨+京=/6―虧)+而，

,IPFI_,

所以當t=5時，畫取最小值，

此時P(5,3

此時△POF的面積S△POF=，|0F|,yp=2x5只彳=口,

故選：C.

7.在△ABC中，BD=^BC,E是線段4。上的動點(與端點不重合)，設次=記？+比5,則

與功的最小值是()

A.3B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】由已知條件結合平面向量基本定理可得x+|y=l,x>0,y>0,則今薩=[+：=

([+!)(x+3)，化簡后利用基本不等式可求得結果

---->1—>—>3—>

因為BD=§BC,所以CB=,CD,

因為而=xCA+yCB,所以說=xCA+|yCD,

3

因為A,D,E三點共線，所以*+罰=1,x>0,y>0,

2x+3y21f21\/3\

所以=++

=1+1+1+1?2焉.,+2=4,當且僅當，=|^,即x=；、y=1時取等號,

所以與薩的最小值是4?

故選：D

1

8.已知a=泥,b=log32,c=sin(cosl.l),則()

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

,?，1,

【分析】根據正弦函數(shù)和余弦函數(shù)單調性得到c=sin(cosl.l)<sin],再構造函數(shù)f(x)=x-sinx,

1i

得到其單調性，得到c=sin(cosl.l)<sin2<中構造函數(shù)g(x)=ex-(x+1),求導得到其單調性，

得至/>：結合對數(shù)函數(shù)單調性得到1唯26閡，比較出大小.

【詳解】因為1.1>,而y=cosx在xe(o,3上單調遞減，

兀1

故,rcosly.ly<cos§=2，

又y=sinx在x《O,])上單調遞增，

1

故c=sin(cosl.l)<sin],

令f(x)=x-sinx,則f'(x)=1-cosx>0在x6僅圖上恒成立，

故f(x)=x-sinx在x6(01上單調遞增，f(x)>f(0)=0,

故fQ)>d即2>sin,,

,,11

故c=sin(cosl.l)<sg<中

1--

又a=粕=e3,令g(x)=e-(x+1),

則g'(x)=eX-l,當xV0時,g'(x)<0,g(x)單調遞減，

故gj1)>g(°)=0,故e?>|，

112

因為23<32,所以⑵尸<(32尸，即2<33

因為y=log3X在(0,+8)上單調遞增，

2

故log32<§,

又log32>log373=故log32e0|),

故c<b<a

故選：D

【點睛】構造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結合代數(shù)式的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，通過導函數(shù)

研究出函數(shù)的單調性，從而比較出代數(shù)式的大小.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知圓。0-2)2+產=4,直線Z:y=kx(keR),則下列結論正確的是()

A.存在實數(shù)總使得直線/與圓C相切

B.若直線/與圓C交于/,8兩點，則的最大值為4

C.當k=-l時，圓C上存在4個點到直線/的距離為:

D.當k=l時，對任意46R,曲線&/+)/2一(4+4)乂+雙=0恒過直線/與圓。的交點

【答案】BCD

【分析】根據直線與圓的位置關系逐項判斷即可.

【詳解】C:(x-2)2+y2=4,圓心C(2,0)且半徑為r=2,

因為直線l：y=kx過定點0(0,0),且點。在圓上，若直線1與圓C相切，則直線1的斜率不存在，即

x=0,故A不正確；

當直線1經過圓心時，|AB|取最大值即圓的直徑2r=2x2=4,故B正確；

當k=—1時，直線l:x+y=0,因為圓心C到直線1的距離d=*/,所以r—d=2—在＞；,

、.1

所以圓C上有4個點到直線的距離為2,故C正確；

當k=l時，直線l:x-y=0,曲線E:x2+y2—(入+4)x+Ay=0,

即X?+y2-4x-X(x-y)=0一定過直線l:x—y=0與圓C:x?+y2-4x=0的交點，故D正確.

故選：BCD.

111__7

10.設4B是一個隨機試驗中的兩個事件，且尸04)=2,P(B)/,PQ48+AE)=五，則下列結

論中正確的是()

_1_5

A.PQ4B)=@B.P(A+B)=%

9__

C.尸(川8)=五D.尸(/田)=尸(8|4)

【答案】AB

【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式求解即可.

111_1_13

【詳解】因為P(A)=2,P(B)=五，所以P(&=2,P(B)=防.

因為AB與AB為互斥事件，所以P(AB-AB)=0,

所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)-P(AB-AB)=P(AB)+P(AB)

1117

=P(B)—P(AB)+P(A)—P(AB),+m―2P(AB)=次

所以P(AB)=1,

故P(AB)=P(B)-P(AB)=1-1=：故A正確；

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-[P(B)-P(AB)]=P(A)+P(AB)=1+|=|,故B正

確；

1

P(A|B)^=亮=3故C錯誤；

24

1_11

P(KB)83n-AAP(AB)P(A)-P(AB)2-31

P(A|B)=下面=亙=五，P(B|A)==P(A)=-=r

242

所以P(A|B)HP(B|A),故D錯誤.

故選:AB.

11.在正方體43。。一418遣1。1中，AB=1,點P滿足而=2而+/無1，其中46[0,1]46[0,1],

則下列結論正確的是()

A.當〃平面占8。時，BiP與CD1所成夾角可能為9

B.當4=〃時，|DP|+MiP|的最小值為一

C.若8止與平面呢必。所成角為也則點尸的軌跡長度為方

D.當4=1時，正方體經過點4,P,C的截面面積的取值范圍為惇，逆]

【答案】AC

【分析】A選項，當點P與點Di重合時，滿足BiP〃平面AiBD,BiP與CDi所成夾角為，A正確；

B選項，將兩圖形展開到同一平面內，由三點共線得到|而|+|哥|的最小值，由余弦定理求出最

小值；C選項，作出輔助線，得到點P的軌跡，求出軌跡長度；D選項，先得到點P在線段DDi

上，從而得到正方體過點Ai，P,C的截面，建立空間直角坐標系，得到點P到直線AR的距離，從而求

出截面面積的取值范圍.

【詳解】如圖1,因為而=入而+口定1，xe[0,i],ne[0,1],

所以P點在正方形CDDig內(包含四個端點)，

當點P與點Di重合時，B/〃BD,

因為BiPC平面AiBD,BDu平面AiBD,

所以BiP〃平面AiBD,

此時B1C=B1P=CP=M，故△B1CP為等邊三角形,

故BiP與CD1所成夾角為全A正確；

圖1

當入=以時，點P在對角線CD】上，

將矩形AiBCDi和等腰直角三角形CDDi折疊到同一平面內，如圖2,

連接AR與DR于點P,

由三點共線可知，|而|+|@|的最小值即為AR的長，

其中A1Di=D1D=1,zARiD=135°,

由余弦定理得

AR=jAi陰+D1D2-2A1D廠DiDcosl35。=J1+1-2X=^2+^2,B錯誤;

C選項，如圖3,以S為圓心，CCi的長為半徑作圓，與正方形CDD1J交于。圓弧，

圖3

此時滿足BiP與平面CgDiD所成角為今

1

故則點P的軌跡長度等于aX2nxl=》7rC正確；

D選項，如圖4,當入=1時，CP=CD+nCC1；即而一而=」無1，故加=口無1，

故點P在線段DDi上，

在BBi上取點H,使得BiH=PD,連接AiH,CH,

則可證得AiH=PC,CH=AiP,四邊形AiPCH為平行四邊形,

故正方體經過點Ai，P,C的截面為平行四邊形AiPCH,

以A為坐標原點，AB,AD,AAi所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

則A1(O,O,1),C(L1,O),P(O,1,U)，re[0,1],

其中m=篙=A/^+I+1=侍^,當，砧=(I]，。)一。，。」)=(LL-1)，

嗝=(0,0,1)-(0,l，n)=(0,-1,1-n),

則兩.m=(0,-1,1-n).停卷d)=-f-f+%=g-竽，

則點P到直線A1C的距離d=J兩2_(兩嬴=J1+(1_02_停以_竽『

因為Ue[0,1],所以d=+1e[y->y-j7

圖4

故截面面積為d?I不I=pde[^,72],D錯誤.

故選：AC

【點睛】方法點睛：立體幾何中截面的處理思路：

(1)直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截

面就是找交線的過程；

(2)作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通

過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；

(3)作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交

點，然后借助交點找到截面形成的交線；

(4)輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.

12.已知函數(shù)/Q)=/一8刀+61nK,且函數(shù)g(x)=/(久)一小有三個零點x1/2，%3(久1<乂2<%3)，則下

列判斷正確的是()

A.f(x)的單調遞減區(qū)間為(1,3)

B.實數(shù)小的取值范圍為(61n3—15,—7)

C.曲線y=f(x)在點(2)(2))處的切線方程為y=—x+14-61n2

D.+%2>2

【答案】ABD

【分析】求出導數(shù)，研究函數(shù)f(x)的單調性及極值可能判斷A、B兩項，由導數(shù)的幾何意義可以判

斷C項，構造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x),x6(0,1),可以判斷D項.

【詳解】解：對于A,由題設得，函數(shù)f(x)的定義域為(0,+8),且f'(x)=2x—8+9=%甘芻.

當x6(0,1)U(3,+8)時，f'(x)>0；當xe(1,3)時，f'(x)<0.

所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),(3,+8),單調遞減區(qū)間為(1,3),故A正確.

對于B,因為函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，在(3,+8)上單調遞增，

所以f(x)的極大值為f(l)=1-8+0=-7,極小值為f(3)=9-24+61n3=-15+61n3.

當x趨向于0時，f(x)趨向負無窮，當x趨向于正無窮時，f(x)趨向于正無窮.

由于函數(shù)g(x)=f(x)-m有三個零點，因此61n3-15<m<-7,故B正確.

對于C,由已知條件，得f(2)=61n2—12,f(2)=—1,

所以切線方程為y=—(x-2)+61n2—12,即y=—x+61n2—10,故C錯誤.

對于D,由選項B的分析知，0<XI<1<X2<3<X3.

構造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x),xe(0,1),

ME/、人、2(x-l)(x-3)2(x-l)(x+l)12(X-1)2

則F(x)=f(x)+f(2-x)=---+—有一=BT，

所以F'(x)>。在(0,1)上恒成立，即F(x)=f(x)—f(2—x)在(0,1)上單調遞增，

所以F(x)<F(l)=0,即f(x)<f(2-x)在(0,1)上恒成立.

又xie(0,1),所以f&2)=f(xj<f(2-X1).

又X2,2-Xie(1,3),且函數(shù)f(x)在(1,3)上單調遞減，

所以X2>2-X「即XI+X2>2,故D正確.

故選：ABD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若(韻—3”的展開式的二項式系數(shù)之和為16,貝山,+:了"的展開式中《的系數(shù)為.

【答案】56

【分析】通過二項式系數(shù)和求出n=4,然后求出(m+展開式的通項公式，最后求出指定項的

系數(shù)即可.

【詳解】由-3”的展開式的二項式系數(shù)之和為16,得2n=16,所以n=4,

貝MW+J的展開式的通項公式為丁「+1=牖(m)=或X3,

令等=-4,解得r=5,故(依+32n的展開式中1的系數(shù)為eg=56.

故答案為：56

14.拋物線y2=2p久(p>0)的焦點為巴準線為I,a,B是拋物線上的兩個動點，且滿足Q?而=0.

設線段4B的中點M在/上的投影為N,則瑞的最大值是.

【答案】T

]

【分析】根據拋物線的定義和幾何性質，可得|AB|2=|AF|2+|BF|2,|MN|=2(|AF|+|BF|),可得

|AB|2>2|MN|2,進而可得黯的最大值為

如圖，過A點作AC11,過B作BD_L1,設|AF|=m,|BF|=n,

則由拋物線的定義知|BD|=|BF|=n,|AC|=|AF|=m,

11

由題意知|MN|=2(|BD|+|AC|)=2(m+n),

因而■FB=0得AF1BF,

|AB|2=|AF|2+|BF|2=m2+n2,

因m?+n2之⑺；一,當且僅當m=n,即|AF|=|BF|時等號成立，

所以|AB|2N2|MN/，翳<9，

g“2|MN|中

所以31ABiW3,

故答案為：9

15.分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學.分形的外表結構極為復雜，但其內

部卻是有規(guī)律可尋的.一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸

的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,線段48的長度為a,在線段AB

上取兩個點C,。，使得aC=DB=%lB,以CD為一邊在線段4B的上方做一個正六邊形，然后去掉

線段CD,得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段EF作相同的操作，得到圖3中的圖形；依

此類推，我們就得到了以下一系列圖形:

記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為Sn,現(xiàn)給出有關數(shù)列｛Sj的四個命題:

①數(shù)列｛Sn｝是等比數(shù)列;

②數(shù)列｛Sj是遞增數(shù)歹！J；

③存在最小的正數(shù)a,使得對任意的正整數(shù)n,都有S">2018；

④存在最大的正數(shù)a,使得對任意的正整數(shù)九，都有2018.

其中真命題的序號是（請寫出所有真命題的序號）.

【答案】②④

【分析】通過分析圖1到圖4,猜想歸納出其遞推規(guī)律，再判斷該數(shù)列的性質，即可求解.

【詳解】由題意，得圖1中線段為a,即Si=a；

圖2中正六邊形邊長為于則S2=Si+2x4=Si+2a；

圖3中的最小正六邊形邊長為4,則S3=S2+4x4=S2+a；

圖4中的最小正六邊形邊長為亙，則S4=S3+Wx4=S2+于

由此類推，Sn-Sn—i=W，

所以{sj為遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列，即①錯誤，②正確；

因為Sn=Si+(Sz-Si)+(S3-S2)4---F(Sn-Sn_!)=a+2a+a+]H----F

1

2a(1一三)i

=a+----i—=a+4a(1-布)<5a,

1-2

onio

即存在最大的正數(shù)a=亍，使得對任意的正整數(shù)n,都有Sn<2018,

即④正確；③錯誤，

綜上可知正確的由②④.

【點睛】用數(shù)列知識解相關的實際問題，關鍵是列出相關信息，合理建立數(shù)學模型一數(shù)列模型，

判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時，要明確目標，搞清是求和、求通項、還是解遞推關系

問題，所求結論對應的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后經過數(shù)學推理與計算得

出的結果，放回到實際問題中進行檢驗，最終得出結論.

16.已知函數(shù)八%)=[；：鼻羽:5^3，若存在爪6(2,8),使得方程/(切=爪一9有兩個不同的實數(shù)

根且兩根之和為6,則實數(shù)k的取值范圍是.

【答案】(”,2/)

【分析】先通過對題目的分析，令g(x)=f(x)+9,將題目簡單化，并轉化為等價形式；再根據函

數(shù)y=g(x)與y=m的圖象有兩個交點，數(shù)形結合可判斷k>0；最后結合圖形分析得出y=k(x-3)

與y=(x-3)2(x>3)圖象的交點縱坐標與之間的關系：yp=me(2,8),建立不等式求解即可得出

答案.

【詳解】令g(x)=f(x)+9,得g(x)={x2^3k,x>33*

則原問題等價于存在me(2,8),

使得y=g(x)與y=m的圖象有兩個交點且兩交點的橫坐標之和為6,

則k>0,作出函數(shù)y=g(x)與y=m的圖象如圖所示，

設兩圖象交點的橫坐標分別為Xi，X2,則Xi+X2=6,

故兩個交點關于二次函數(shù)y=(x-3)2的圖象的對稱軸x=3對稱，

設點P為y=k(x-3)與y=(X-3)2(X>3)圖象的交點，且yp=m6(2,8),

聯(lián)立y=k(x-3)與y=(x-3)2(x>3),解得xp=k+3,故yp=k?,

故尸，解得"<k<2",故實數(shù)k的取值范圍是的,2").

故答案為：電2的.

【點睛】關鍵點點睛：根據兩個實數(shù)根之和為6得到兩個交點關于直線x=3對稱是解決本題的關

鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

,、S+1+S+Cl?

17.(10分)記數(shù)列的前n項和為S”已知的=-6,且滿足-n-----n---二=3.

un+l

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

(2)記數(shù)列仍小的前n項和為T”若①幾=2n-an,6351=an-2,b3rl-2=an+n,求T35.

【答案】(l)an=—3x2n

(2)-36672

【分析】(l)利用an=Sn-S-1得到數(shù)列｛aj為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求解;

(2)求出b3n+b3n-l+b3n-2，然后利用分組求和法求和即可.

【詳解】(1)因為Sn+i+Sn+a2=3an+i，則當n22時，Sn+Sn_i+a2=3an,

兩式相減可得an+1+an=3an+i-3an(n>2),貝同+1=2an(n>2),

S2+Si+a?

且當n=l時，-------=3,解得a2=2ai，

所以｛aj是首項為-6,公比為2的等比數(shù)列，

所以an=-6x2n-1=-3x2n,

即an=—3x2n；

(2)因為b3n+b3n_1+b3n—2=an+3n—2=-3x2n+3n—2,

則T35=(bi+b2+b3)+(b4+bs+b6)H----F(b34+b35+b36)—b36

12x11

=-3x(2，+22+,?,+2")+1x12+—x3-(2x12-a12)

2(1-212)

=-3X-2+210-(24+3X212)=-36672.

18.(12分)在△ABC中，內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知4cos一2=4sinAsinB-

顯

(1)求角C的大??；

(2)若Sa4BC=*/，求c的最小值.

【答案】⑴C=[

(2)1

【分析】(1)利用三角恒等變換對原式化簡，結合三角形的內角和為兀，即可求解；

(2)根據面積公式求得ab=2+8，再利用余弦定理以及基本不等式可得出c的取值范圍，即可

得解.

【詳解】(1)由題意知，原式可化為2cos(A-B)=4sinAsinB-F，

即2(cosAcosB+sinAsinB)=4sinAsinB—

整理可得：2cos(A+B)=-4，即cos(A+B)=-妹.

又因為A+B+C=n,則0<C<n,

所以cosC=^2,故C=聿.

(2)因為S4ABC=：absinC=1ab=T2所以ab=2+*,

由余弦定理和基本不等式可得：

c2=a2+b2-2ab?cosC=a2+b2-V^ab>2ab—V^ab=(2—/)ab=1,

I------7-A/6+-x/2

當且僅當a=b=12+J3=時,等號成立，

所以cNl,故c的最小值為1.

19.(12分)如圖，在梯形力BCD中，AD//BC,ADLAB,BC=2AD=y/6,AB=平,AC與BD交

于點M,將△48。沿BD翻折至使點4到達點P的位置.

(1)證明：BDLPC；

(2)若平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為手，求三棱錐P-BCD的體積.

【答案】(1)證明見解析

(2年或宇

【分析】(1)求得tanNADB=tanZCAB,進而得到AC1BD,證明BD_L平面PMC即可；

(2)以M為坐標原點建立空間直角坐標系M-xyz,設P(0,cose,sin。)，由平面PBC與平面PBD的

夾角的余弦值為連，解得cos。，sine,即可求出其體積.

【詳解】(1)tan/ADB=黑=\=",tanNCAB=黑=W=

tWJ'u/IDA/D

~2

???NADB/CABe(o,今

???zADB=Z.CAB,

TT

???ZADB+ZMAD=ZCAB+ZMAD=工,

???AC1BD,

即AMJ.BD,CM1BD,

???PM1BD,CM1BD,又PMClCM=M,

PM,CMc平面PMC,.1.BD1平面PMC,

PCu平面PMC,

.".BD1PC；

(2)直角△ABC中，AC=JAB2+BC2=3,

?■?AD||BC,

AMADDM1

ACM=BC~BM=2J

.?.AM=1,CM=2,BM=JAB2-AM2==也,

則r,BD=〒3*,MD=平m

由(1)BD1平面PMC,

以M為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系M-xyz,

則B(g,O),C(0,2,0),D/,0,0),

設P(0,cosasin。)，其中0V8<n,

所以麻=(嫄,0,0),CB=(A/2-2,0),BP=(-V2,cos0,sine),

設平面PBD的一個法向量為5=(xi，yi，zj,

fn-MB=V2xi=0

"n-BP=—V2Xi+yicosO+ZisinO=0'

取yi=sin。，n=(O,sina—cosB),

設平面PBC的一個法向量為m=(X2，y2，z2),

Lm-CB=72x2-2y2=0

、m-BP=—y/2x2+y2cos0+Z2sin0=0'

取y2=sin0,則m=(J^sinO,sin。,2-cos。),

1—2cos0

3sin20+(2—cos0)2

43

解得cos。=g,sin0=,或cos。=0,sin0=1.

則p(o,：|)或P(0,0,l)

故Vp_BCD=|SABCD-IZPI=|(1-BD-MC)?憶pl=譽或'.

20.(12分)已知某工廠加工5G手機的某種精密配件的合格率為p(O<p<l),若加工后的30件這

種精密配件中恰有6件不合格的概率為f(p),且f(p)的極大值點為Po.

(1)求Po；

(2)設該工廠加工5G手機的這種精密配件的合格率為po,在合格品中，優(yōu)等品的概率為0.5.

①從加工后的這種精密配件中隨機抽取若干件，設其中優(yōu)等品有X件，若P(X=6)最大，求抽取的

這種精密配件最多有多少件；

②已知某5G手機生產商向該工廠提供這種精密配件的原料，經過該工廠加工后，每件優(yōu)等品、合

格品分別以150元、100元被該5G手機生產商回收，同時該工廠對不合格品進行復修，每件不合

格品只能復修為合格品或不合格品，且復修為合格品和不合格品的概率均為05復修后的合格品

按合格品的價格被回收，復修后的不合格品按廢品處理掉，且每件不合格品還需要向該5G手機生

產商賠償原料費30元.若該工廠要求每個這種精密配件至少獲利50元，加工費與復修費相等，求

一個這種精密配件的加工費最高為多少元？

【答案】(l)Po=O.8

(2)①最多有16件；②加工費最高為47.5元

【分析】(1)根據條件，建立函數(shù)關系式f(p)=C-(l-p)6P24(0<p<1),利用導數(shù)研究f(p)的極

值情況，即可得出結論；

(2)①建立二項分布模型，直接利用二項分布的概率計算公式，建立不等式組，解出即可；②求

出該工廠加工一個這種精密配件獲利Y元的分布列及數(shù)學期望，根據題意列不等式，通過解不等式

解決問題即可.

【詳解】(1)由題意可知，這種精密配件的不合格率為1-P，則加工后的30件這種精密配件中恰

有6件不合格的概率f(p)=C贏(l-p)6P24(o<p<1),

則f'(p)=-6C融1-p)5P24+24c盤(l-p)6P23=6c融1-p)5P23(4一5p),

令f'(p)>0,解得0<p<0.8,令f'(p)<0,解得0.8<p<1,

所以f(p)在(0,0.8)上單調遞增，在(0.8,1)上單調遞減，

所以當p=0.8時，f(p)取得極大值，故po=O.8.

(2)①從加工后的這種精密配件中隨機抽取一件為優(yōu)等品的概率為0.8x0.5=0.4.

設從加工后的這種精密配件中隨機抽取n件，由題意可知，X?B(n,0.4),

且p(x=k)=Cn0.4kx(l-0.4)n-k,

由題意可知，蹴方驟需，

5n-56n-6

gn[Cn0.4x0.6<Cn0.4x0.6

P(Cn0.47x0.6n-7<Cn0.46x0.6n-61

解得14WnW16.5,

又neN,所以n的最大值為16,

故抽取的這種精密配件最多有16件.

②設該工廠加工一個這種精密配件獲利Y元，加工費與復修費均為m元,

由題意可知，Y的可能取值為150—m,10。一2m,—3。一2m,

則隨機變量Y的分布列為

Y150—m100—m100-2m—30—2m

P0.40.40.10.1

則E(Y)=0.4(150-m)+0.4(100-m)+0.1(100-2m)+0.1(-30-2m)=107-1.2m,

由題意可知，107-1.2m>50,解得mW47.5,所以一個配件的加工費最高為47.5元.

21.(12分)已知橢圓。：/+也=l(a>6>0)的離心率為弓，且過點卜W,-,.

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)已知過右焦點尸的直線I與C交于4B兩點，在%軸上是否存在一個定點P,使N0P4=N0PB?若存

在，求出定點P的坐標；若不存在，請說明理由.

X2V2

【答案】⑴運+彳=1

(2)存在,P(4,0)

【分析】建立方程組a,b,c待定系數(shù)即可;

(2)由NOPA=NOPB條件轉化為kpA+kpB=0,設直線1的方程為x=my+3,A(Xi，yjB(X2，y2),將

斜率坐標化，利用韋達定理代入，得到t,m的等式，不論m如何變化，等式恒成立求t值即可.

【詳解】(1)因為e=g=所以a=2b.

所以橢圓C的方程為「+、=1.

9

因為點卜避,一|)在橢圓C上，所以5+1=1,解得b2=3,

所以a2=12.

所以橢圓C的標準方程為I+y=l.

(2)存在定點P(4,0),使NOPA=NOPB.理由如下：

由(1)知，C2=12-3=9,則點F(3,0).

設在X軸上存在定點P(i,O),使NOPA=NOPB成立.

當直線1斜率為0時，直線右焦點F的直線1即x軸與C交于長軸兩端點，

若40PA=4)PB,則t>2/,或t<-24.

當直線1斜率不為0時，設直線1的方程為*=呻+3人&訓1)出&2，丫2),.

'x2y2

曲適+石-L消去x并整理，得(4+m2)y2+6my—3=0,

x=my+3

6m3

則yi+丫2=一一4+m2^1^24+m2,

因為40PA=/OPB,所以kpA+kpB=O,

所以1=+高工=0，即yi&2-t)+y2(xi-t)=0.

所以yi(my2+3-t)4-y2(myi+3-t)=0,

BP2myiy2+3(y1+y2)-t(yi+y2)=0,

6m18m6mt6m(t—4)―八、

~"2~~A2+~A2=~A2~=0怛成乂，

4+m24+m24+m24+m2

即對VmeR,6：：二?=0恒成立,則t=4