江蘇省揚中學市2024年中考聯(lián)考數(shù)學試題含解析

江蘇省揚中學市2024年中考聯(lián)考數(shù)學試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

%+10

1.如圖，不等式組1,c的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

龍一1<0

2.估計褥介于（）

A.0與1之間B.1與2之間C.2與3之間D.3與4之間

3.“趕陀螺”是一項深受人們喜愛的運動.如圖所示是一個陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知底面圓的直徑AB=8cm,圓柱的

高BC=6cm,圓錐的高CD=3cm,則這個陀螺的表面積是（)

D.100ncm2

4.如圖圖形中，可以看作中心對稱圖形的是（）

D.

5.如圖，A5是。。的直徑，C,。是。。上位于Ab異側(cè)的兩點.下列四個角中，一定與NACD互余的角是（

B.ZABDC.ZBACD.ZBAD

6.關(guān)于x的方程（a-5）d—4x—1=0有實數(shù)根，則。滿足（）

A.a>\B.4>1且C.Q'I且aw5D.aw5

7.《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學專著，《九章算術(shù)》方程篇中有這樣一道題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十

步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”這是一道行程問題，意思是說：走路快的人走100步的時

候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追趕，問走路快的人要走多少步才能追上走路

慢的人？如果走路慢的人先走100步，設(shè)走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正確的是(

)

-x---x--1--0-0---x---x---1--0-0--x---x--+-1-0-0---x---x--+--1-0-0

■60100,10060'60100,10060

8.不論x、y為何值，用配方法可說明代數(shù)式x2+4y2+6x-4y+U的值()

A.總不小于1B.總不小于11

C.可為任何實數(shù)D.可能為負數(shù)

9.如圖是由若干個大小相同的小正方體堆砌而成的幾何體，那么其三種視圖中面積最小的是()

A.主視圖B.俯視圖C.左視圖D.一樣大

%+1>2

10.不等式組c,c的解集表示在數(shù)軸上正確的是()

[3x-4W2

A，r一尸產(chǎn)B.6e卜c.$fD.一f主

11.如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A(2,2)、B(3,1),以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB

擴大為原來的2倍后得到線段CD,則端點C的坐標分別為()

A.(4,4)B.(3,3)C.(3,1)D.(4,1)

12.如圖，平面直角坐標中，點A(l,2),將AO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點O的對應(yīng)點B恰好落在雙曲線y=..(x>0)

上，則k的值為()

A.2B.3C.4D.6

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.如圖所示，點Ai、A3在x軸上，且OA產(chǎn)AIA2=A2A3,分別過點Ai、A2、A3作y軸的平行線，與反比例函數(shù)

y=-（x>0）的圖象分別交于點Bl、B2、B3,分別過點Bl、B2、B3作X軸的平行線，分別與y軸交于點Cl、C2、C,

x3

49

連接OB】、OB2、OB3,若圖中三個陰影部分的面積之和為豆，則女=—.

14.把一張長方形紙條按如圖所示折疊后，若NAOQ=70。，則N8,0G=

15.如圖，點A、B、C、D在。O上，。點在ND的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，貝?。㎞OAD+NOCD=.

16.如果反比例函數(shù)y=A的圖象經(jīng)過點A（2,jD與5（3,以），那么一的值等于___________.

X12

17.在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形，剩下的部分是

如圖所示的四邊形，AB〃CD,CDLBC于C,且AB、BC、CD邊長分別為2,4,3,則原直角三角形紙片的斜邊長

是.

18.若必+2（m-3?+16是關(guān)于X的完全平方式，貝!!加=.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）如圖，PB與。O相切于點B,過點B作OP的垂線BA,垂足為C,交。O于點A,連結(jié)PA,AO,AO

的延長線交。O于點E,與PB的延長線交于點D.

（1）求證：PA是。。的切線；

20.（6分）如圖，有長為14m的籬笆，現(xiàn)一面利用墻（墻的最大可用長度a為10m）圍成中間隔有一道籬笆的長方形花

圃，設(shè)花圃的寬AB為xm,面積為SmL求S與x的函數(shù)關(guān)系式及x值的取值范圍；要圍成面積為45ml的花圃，AB

的長是多少米？當AB的長是多少米時，圍成的花圃的面積最大？

a---------*1

AD

R

21.（6分）我國南水北調(diào)中線工程的起點是丹江口水庫,按照工程計劃，需對原水庫大壩進行混凝土培厚加高，使壩高由

原來的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如圖是某一段壩體加高工程的截面示意圖，其中原壩體的高為BE,背水

坡坡角/BAE=68。，新壩體的高為DE,背水坡坡角NDCE=60。.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度AC.（結(jié)

果精確到0」米，參考數(shù)據(jù):sin68%0.93,cos68°=0.37,tan68°~2.5,GM.73)

22.（8分）某商場計劃從廠家購進甲、乙、丙三種型號的電冰箱80臺，其中甲種電冰箱的臺數(shù)是乙種電冰箱臺數(shù)的2

倍.具體情況如下表:

甲種乙種丙種

進價(元/臺)120016002000

售價(元/臺)142018602280

經(jīng)預(yù)算，商場最多支出132000元用于購買這批電冰箱.

(1)商場至少購進乙種電冰箱多少臺？

(2)商場要求甲種電冰箱的臺數(shù)不超過丙種電冰箱的臺數(shù).為獲得最大利潤，應(yīng)分別購進甲、乙、丙電冰箱多少臺？

獲得的最大利潤是多少？

23.(8分)如圖，將等邊△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△EFC,NACE的平分線CD交EF于點D,連接AD、

AF.求NCFA度數(shù)；求證：AD//BC.

24.(10分)已知，拋物線L：y=x?+bx+c與x軸交于點A和點B(-3,0),與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線L的頂點坐標和A點坐標.

(2)如何平移拋物線L得到拋物線Li,使得平移后的拋物線Li的頂點與拋物線L的頂點關(guān)于原點對稱？

(3)將拋物線L平移，使其經(jīng)過點C得到拋物線L2,點P(m,n)(m>0)是拋物線L2上的一點，是否存在點P,

使得APAC為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出拋物線L2的表達式，若不存在，請說明理由.

25.(10分)如圖，是5x5正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1,請按要求畫出下列圖形，所畫圖形的各個頂點均在

所給小正方形的頂點上.

(1)在圖(1)中畫出一個等腰AABE,使其面積為3.5；

(2)在圖(2)中畫出一個直角ACDF,■使其面積為5,并直接寫出DF的長.

26.(12分)如圖，正方形ABCD中，E,F分別為BC,CD上的點，且AELBF,垂足為G.

AD

（1）求證：AE=BF；（2）若BE=6，AG=2,求正方形的邊長.

113

27.（12分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=-§x+2的圖象交x軸于點P,二次函數(shù)y=-機的

圖象與X軸的交點為（XI,0）、（X2,0）,且;<+々2=17

（1）求二次函數(shù)的解析式和該二次函數(shù)圖象的頂點的坐標.

131

（2）若二次函數(shù)y=-5—+5X+機的圖象與一次函數(shù)y=-的圖象交于A、3兩點（點A在點8的左側(cè)），在

x軸上是否存在點M,使得AMAB是以NA5M為直角的直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說

明理由.

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1、B

【解析】

首先分別解出兩個不等式，再確定不等式組的解集，然后在數(shù)軸上表示即可.

【詳解】

解：解第一個不等式得：x>-l；

解第二個不等式得：x<l,

在數(shù)軸上表示，吟c!戶,

-?-101?

故選B.

【點睛】

此題主要考查了解一元一次不等式組，以及在數(shù)軸上表示解集,把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞之向右畫;向

左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不

等式組的解集.有幾個就要幾個.在表示解集時險”,仁”要用實心圓點表示;要用空心圓點表示.

2、C

【解析】

解：??,4＜5＜9,

:.口〈亞〈也,即2＜退＜3

二估計7?在2?3之間

故選C.

【點睛】

本題考查估計無理數(shù)的大小.

3、C

【解析】

試題分析：?.?底面圓的直徑為8cm,高為3cm,.,.母線長為5cm,.,.其表面積=7rx4x5+42jT+8kx6=84kcm2,故選C.

考點：圓錐的計算；幾何體的表面積.

4、D

【解析】

根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形,

這個點叫做對稱中心進行分析即可.

【詳解】

解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

故選D.

【點睛】

此題主要考查了中心對稱圖形，關(guān)鍵掌握中心對稱圖形定義.

5、D

【解析】

NACD對的弧是A。，A。對的另一個圓周角是NABD,

/.ZABD=ZACD(同圓中，同弧所對的圓周角相等)，

又；AB為直徑，

.,.ZADB=90°,

.,.ZABD+ZBAD=90°,

即NACD+NBAD=90°,

...與NAC?；ビ嗟慕鞘荖5Ao.

故選D.

6、A

【解析】

分類討論：當a=5時，原方程變形一元一次方程，有一個實數(shù)解；當今5時，根據(jù)判別式的意義得到吟1且a邦時，

方程有兩個實數(shù)根，然后綜合兩種情況即可得到滿足條件的a的范圍.

【詳解】

當a=5時，原方程變形為-4x-l=0,解得x=--；

4

當醉5時，△=(-4)2-4(a-5)x(-1)>0,解得吟1,即吟1且a#5時，方程有兩個實數(shù)根,

所以a的取值范圍為a>l.

故選A.

【點睛】

本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)的根的判別式△=b2-4ac：當A>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當4=0,

方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<(),方程沒有實數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義.

7、B

【解析】

解：設(shè)走路快的人要走X步才能追上走路慢的人，根據(jù)題意得：義故選B.

10060

點睛：本題考查了一元一次方程的應(yīng)用.找準等量關(guān)系，列方程是關(guān)鍵.

8、A

【解析】

利用配方法，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

【詳解】

解：,.,x2+4y2+6x-4y+ll=(x+3)2+(2y-l)2+l,

又(x+3)2>0,(2y-l)2>0,

.,.x2+4y2+6x-4y+ll>l,

故選：A.

【點睛】

本題考查配方法的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法.

9、C

【解析】

如圖，該幾何體主視圖是由5個小正方形組成，

左視圖是由3個小正方形組成，

俯視圖是由5個小正方形組成，

故三種視圖面積最小的是左視圖，

【解析】

x+1>2

根據(jù)題意先解出.，c的解集是

3%-4<2

把此解集表示在數(shù)軸上要注意表示、時要注意起始標記為空心圓圈，方向向右;

表示,2時要注意方向向左，起始的標記為實心圓點，

綜上所述C的表示符合這些條件.

故應(yīng)選C.

11、A

【解析】

利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合對應(yīng)點坐標與位似比的關(guān)系得出C點坐標.

【詳解】

???以原點0為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴大為原來的2倍后得到線段CD,

點與C點是對應(yīng)點，

點的對應(yīng)點A的坐標為（2,2）,位似比為1：2,

二點C的坐標為：（4,4）

故選A.

【點睛】

本題考查了位似變換，正確把握位似比與對應(yīng)點坐標的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

12、B

【解析】

作ACLy軸于C,AOx軸，BZLLy軸，它們相交于O,有A點坐標得到AC=LOC=1,由于AO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)

90°,點O的對應(yīng)3點，所以相當是把AAOC繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△A5O,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AZ>=AC=1,

BD=OC=1,原式可得到5點坐標為（2,1）,然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征計算左的值.

【詳解】

作ACLy軸于C,AO_Lx軸，軸，它們相交于O,如圖，TA點坐標為（1,1）,：.AC=\,OC=1.

；AO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。,點。的對應(yīng)8點，即把△AOC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABD,：.AD^AC=1,BD^OC=1,

點坐標為（2,1）,.*.*=2x1=2.

故選B.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)嚴（改為常數(shù)，厚0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x,y）

的橫縱坐標的積是定值K即肛=丘也考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13、1.

【解析】

先根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得到"。耳a=SOB2C2=S蚌,,再根據(jù)相似三角形的面積比等

49

于相似比的平方，得到用含k的代數(shù)式表示3個陰影部分的面積之和，然后根據(jù)三個陰影部分的面積之和為一，列

出方程，解方程即可求出k的值.

【詳解】

解：根據(jù)題意可知,SAOBC=SOB2c2=SOBq=g|k|=gk

04==4A,44//4與//A3B3//y軸，

設(shè)圖中陰影部分的面積從左向右依次為5P52,S3,

皿1,

則sx=-k,

：OA{=44=aA,

..S2?SOB2C2—1-4,53.S033c3=1,9

S)——k,S2——k

28318

1,1,1,49

..—k~\—k~\---k——

281818

解得：k=2.

故答案為1.

考點：反比例函數(shù)綜合題.

14、55°

【解析】

由翻折性質(zhì)得，NBOG=NB，OG,根據(jù)鄰補角定義可得.

【詳解】

解：由翻折性質(zhì)得，NBOG=NB，OG,

,:ZAOB,+ZBOG+ZB,OG=180°,

.\ZBrOG=-(180°-ZAOBO=-(180°-70°)=55°.

22

故答案為55°.

【點睛】

考核知識點：補角，折疊.

15、1.

【解析】

試題分析：,??四邊形OABC為平行四邊形，.\ZAOC=ZB,ZOAB=ZOCB,ZOAB+ZB=180°.二?四邊形ABCD

是圓的內(nèi)接四邊形，.,.ND+NB=180。.又ND='NAOC,.?.3ND=180。，解得

2

ZD=1°.AZOAB=ZOCB=1800-ZB=1°./.ZOAD+ZOCD=31°-(ZD+ZB+ZOAB+ZOCB)=31°-(lo+120°+lo+l°)

=1°.故答案為1。.

考點：①平行四邊形的性質(zhì)；②圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

16、3

2

【解析】

分析：

由已知條件易得2y產(chǎn)k,3y2=k,由此可得2y尸3丫2,變形即可求得資的值.

詳解：

?.?反比例函數(shù)丁=人的圖象經(jīng)過點A(2,yi)與B(3,y2),

X

A2yi=k,3yz=k,

/.2yi=3y2,

"2'

3

故答案為：

2

點睛：明白：若點A(。，6)和點B(m，幾)在同一個反比例函數(shù)y="的圖象上，則=是解決本題的關(guān)鍵.

%

17>4q或1

【解析】

先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理求出斜邊上的中線，最后即可求出斜邊的長.

【詳解】

①如圖：因為AC==2不

點A是斜邊EF的中點,

所以EF=2AC=4

BC

②如圖:

因為BD==5.

—十/

點D是斜邊EF的中點,

所以EF=2BD=1,

綜上所述，原直角三角形紙片的斜邊長是4y或1,

故答案是：4、?;或1.

V-1

【點睛】

此題考查了圖形的剪拼，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫出圖形，在解題時要注意分兩種情況畫圖，不要漏解.

18、1或-1

【解析】

【分析】直接利用完全平方公式的定義得出2(m-3)=±8,進而求出答案.

詳解：?.“2+2(m-3)x+16是關(guān)于x的完全平方式，

.*.2(m-3)=±8,

解得：m=-l或1,

故答案為-1或L

點睛：此題主要考查了完全平方公式，正確掌握完全平方公式的基本形式是解題關(guān)鍵.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)證明見解析；(2)生5

5

【解析】

試題分析：(1)連接OB,由SSS證明APAOg△PBO,得出NPAO=NPBO=90。即可；

(2)連接BE,證明APACs^AOC,證出OC是△ABE的中位線，由三角形中位線定理得出BE=2OC,由

△DBE^ADPO可求出.

試題解析：（1）連結(jié)OB,貝!）OA=OB.如圖1,

Cl

VOP1AB,

/.AC=BC,...OP是AB的垂直平分線，/.PA=PB.

在小PAO和△PBO中，

PA=PB

v\PO=PO,

OA=OB

.?.△PAO之△PBO(SSS),

.,.ZPBO=ZPAO.1?PB為。。的切線，B為切點，.,.NPBO=90。,

/.ZPAO=90°,即PA_LOA,；.PA是。O的切線；

(2)連結(jié)BE.如圖2,

OC2r

?在RtAAOC中，tanZBAD=tanZCAO=——=一，且OC=4,

AC3

.*.AC=1,則BC=L在RtAAPO中,VAC±OP,

/.△PAC^AAOC,/.AC2=OC?PC,解得PC=9,

.\OP=PC+OC=2.在RtAPBC中，由勾股定理，得PB=JQC?+BC?=3而，

?/AC=BC,OA=OE,即OC為4ABE的中位線.

/.OC=-BE,OC〃BE,.,.BE=2OC=3.

2

；BE〃OP,.?.△DBE'^ADPO,

BDBEBD8324A/13

---=---->即an1===TT,解得BD=---------.

PDOP3y113+BD135

20、(1)S=-3x1+l4x,—<x<8；(1)5m；(3)46.67m1

3

【解析】

(D設(shè)花圃寬AB為xm,則長為(14-3x),利用長方形的面積公式，可求出S與x關(guān)系式，根據(jù)墻的最大長度求出

的取值范圍；

(1)根據(jù)(1)所求的關(guān)系式把S=2代入即可求出x,即AB；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及x的取值范圍求出即可.

【詳解】

解：(1)根據(jù)題意，得S=x(14-3x),

即所求的函數(shù)解析式為：S=-3N+14X,

XV0<14-3x<10,

—<%<8；

3

(1)根據(jù)題意，設(shè)花圃寬AB為xm,則長為(14-3x),

:.-3xx+14x=2.

整理，得*i-8x+15=0,

解得x=3或5,

當x=3時，長=14-9=15>10不成立，

當x=5時，長=14-15=9V10成立，

AAB長為5m；

(3)S=14x-3/=-3(x-4)1+48

???墻的最大可用長度為10m，0<14-3x<10,

14

:.—<%<8,

3

???對稱軸x=4,開口向下，

14

，當工=—m,有最大面積的花圃.

3

【點睛】

二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用是本題的考點，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵.

21、工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度AC約為37.3米.

【解析】

解：在R3BAE中，ZBAE=680,BE=162米，：..\E....——?上三_7*(米).

tan^BAE250

在RtADEC中，NDGE=600,DE=176.6米，/.CE=-----——-=—102.08(米).

tanZDGE.3

；?AC=CE-AE?102.08-64.80=37.28?37.3(米).

.?.工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度AC約為37.3米.

在RtABAE和RtADEC中，應(yīng)用正切函數(shù)分別求出AE和CE的長即可求得AC的長.

22、(1)商場至少購進乙種電冰箱14臺；(2)商場購進甲種」電冰箱28臺，購進乙種電冰箱14(臺)，購進丙種電冰

箱38臺.

【解析】

(1)設(shè)商場購進乙種電冰箱x臺，則購進甲種電冰箱2x臺，丙種電冰箱(80-3x)臺，根據(jù)“商場最多支出132000元

用于購買這批電冰箱”列出不等式，解之即可得；

(2)根據(jù)“總利潤=甲種冰箱利潤+乙種冰箱利潤+丙種冰箱利潤”列出W關(guān)于x的函數(shù)解析式，結(jié)合x的取值范圍，

利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.

【詳解】

(1)設(shè)商場購進乙種電冰箱x臺，則購進甲種電冰箱2x臺，丙種電冰箱(80-3x)臺.

根據(jù)題意得：1200x2x+1600x+2000(80-3x)<132000,

解得：x>14,

二商場至少購進乙種電冰箱14臺；

(2)由題意得:2爛80-3x且也14,

/.14<x<16,

VW=220x2x+260x+280(80-3x)=-140x+22400,

；.w隨X的增大而減小，

/.當x=14時,W取最大值,且W最大=-140x14+22400=20440,

此時，商場購進甲種』電冰箱28臺，購進乙種電冰箱14(臺)，購進丙種電冰箱38臺.

【點睛】

本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用與一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊含的不等關(guān)系和相等關(guān)系，

并據(jù)此列出不等式與函數(shù)解析式.

23、(1)75°(2)見解析

【解析】

(1)由等邊三角形的性質(zhì)可得NACB=60。，BC=AC,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CF=BC,NBCF=90。，由等腰三角形的

性質(zhì)可求解；

(2)由“SAS”可證△ECDgZ\ACD,可得/DAC=NE=6(F=NACB,即可證AD〃BC.

【詳解】

解：(1)'.?△ABC是等邊三角形

，NACB=60。，BC=AC

?.?等邊△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△EFC

；.CF=BC,NBCF=90。，AC=CE

/.CF=AC

VZBCF=90°,NACB=60°

/.ZACF=ZBCF-ZACB=30°

.\ZCFA=-(180°-ZACF)=75°

2

(2)?..△ABC和△EFC是等邊三角形

/.ZACB=60°,ZE=60°

VCD平分NACE

/.ZACD=ZECD

VZACD=ZECD,CD=CD,CA=CE,

/.△ECD^AACD(SAS)

.,.ZDAC=ZE=60°

.\ZDAC=ZACB

；.AD〃BC

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，熟練運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題關(guān)鍵.

]028

24、(1)頂點(-2,-1)A(-1,0);(2)y=(x-2)2+1;(3)y=x2-—x+3,y=x2+—x+3,y=x2-4x+3,y=x2+—x+3.

【解析】

(1)將點B和點C代入求出拋物線L即可求解.

(2)將拋物線L化頂點式求出頂點再根據(jù)關(guān)于原點對稱求出即可求解.

(3)將使得APAC為等腰直角三角形，作出所有點P的可能性，求出代入丁=/+公+3即可求解.

【詳解】

(1)將點B(-3,0),C(0,3)代入拋物線得：

｛鬻g+c,解得｛M,則拋物線y=尤2+4]+3.

拋物線與X軸交于點A,

2

0=x+4x+3,X]=-3,x2=-l,A(-1,0),

拋物線L化頂點式可得y=(x+2)2-l,由此可得頂點坐標頂點(-2,-1).

(2)拋物線L化頂點式可得y=(x+2)2-l,由此可得頂點坐標頂點(-2,-1)

拋物線Lx的頂點與拋物線L的頂點關(guān)于原點對稱，

A對稱頂點坐標為(2,1),

即將拋物線向右移4個單位，向上移2個單位.

(3)使得APAC為等腰直角三角形，作出所有點P的可能性.

△《AC是等腰直角三角形

P^A—CA,

ZCAO+ZACO=90°,ZCAO+Z^AE=90°,

ZCAO=PXAE,

《￡A=NCOA=90。，

.-.AC4O=AA^E(A4S),

二求得《(—4,1).,

同理得g(2,—1),G(-3,4),同(3,2),

2QIQ

由題意知拋物線y—x2+dx+3并將點代入得：y=—x+3,y=x~—4x+3,y=H—x+3,y=x~-------x+3.

??933

【點睛】

本題主要考查拋物線綜合題，討論出P點的所有可能性是解題關(guān)鍵.

25、(1)見解析；(2)DF=V10

【解析】

(1)直接利用等腰三角形的定義結(jié)合勾股定理得出答案；

(2)利用直角三角的定義結(jié)合勾股定理得出符合題意的答案.

【詳解】

(1)如圖(1)所示：4ABE,即為所求；

(2)如圖(2)所示：ACDF即為所求，DF=V10.

【點睛】

此題主要考查了等腰三角形的定義以及三角形面積求法，正確應(yīng)用網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵.

26、(1)見解析；(2)正方形的邊長為".

【解析】

(1)由正方形的性質(zhì)得出AB=BC,ZABC=ZC=90°,ZBAE+ZAEB=90°,由AE_LBF,得出NCBF+NAEB=

90°,推出NBAE=NCBF,由ASA證得△ABE電4BCF即可得出結(jié)論；

(2)證出NBGE=NABE=90。，ZBEG=ZAEB,得出△BGEs^ABE,得出BE?=EG?AE,設(shè)EG=X,貝！|AE=

AG+EG=2+x,代入求出x,求得AE=3,由勾股定理即可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)證明：?.?四邊形ABCD是正方形，

，AB=BC,NABC=NC=90。，

.\ZBAE+ZAEB=90°,

VAE±BF,垂足為G,

.\ZCBF+ZAEB=90°,

NBAE=NCBF,

在4ABE-^ABCF中，

ZBAE=ZCBF

<AB=BC,

ZABE=ZC=90°

/.△ABE^ABCF(ASA),

.\AE=BF；

(2)解：???四邊形ABCD為正方形，

.,.ZABC=90°,

；AE_LBF,

.\ZBGE=ZABE=90o,

；/BEG=NAEB,

/.△BGE^AABE,

.BE_EG

"AE-BE*

即：BE2=EG?AE,

設(shè)EG=x,則AE=AG+EG=2+x,

(四)2=x?(2+x),

解得：X1=LX2--3(不合題意舍去)，

；.AE=3,

2

二AB=7AE2-BE=42一(6)2=76?

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握正方形

的性質(zhì)，證明三角形全等與相似是解題的關(guān)鍵.

13325