廣東惠州三校聯(lián)考2024年高一年級(jí)下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案

惠州市2026屆高一聯(lián)考試題

數(shù)學(xué)

考試時(shí)間：2024年4月2日下午：3:00-5:00試卷滿分：150分

注意事項(xiàng)：

1、答卷前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)、學(xué)校、班級(jí)等考生信息在答題卷上填寫清楚。

2、選擇題答案用2B鉛筆在答題卷上把對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，非選擇題用0.5mm的黑色簽字筆在每

題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)做答，答在試題卷上無效。

第I卷

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

1.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=々的實(shí)部是（）

1+1

2.已知向量4=(1,k),b-(2,2),且a+5與a共線，貝Ua區(qū)的值為(

A.lB,2C,3D,4

3.已知角a的終邊過點(diǎn)(m,3),且2sma+cosjJ則實(shí)數(shù)m=(

sma+2cos。4

3+qz-

4.復(fù)數(shù)z=2i+——（i是虛數(shù)單位），則z的共匏復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于（

z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.已知a、b、c分別是aABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若c<bcosA,則4ABC的形狀為（

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

6.如圖，在四邊形ABCD休閑區(qū)域中，四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插了氫能

源環(huán)保電動(dòng)步道AC,ZD=2NB,且AD=LCD=3,cosB=—,則氫能源環(huán)保電動(dòng)步道

AC的長(zhǎng)為()

A.lB.26C.3D.2V2

7.在復(fù)平面內(nèi),0是原點(diǎn)，厲，反,通表示的復(fù)數(shù)分別為-2+i,3+2i,l+5i,則前表示的復(fù)數(shù)為（）

A.2+8iB.-6-6iC.4-4iD.-4+2i

8.《夢(mèng)溪筆談》是我國(guó)科技史上的杰作，其中收錄了扇形弧長(zhǎng)的近似計(jì)算公式:如

圖，公式中“弦''是指扇形中加所對(duì)弦AB的長(zhǎng)，“矢”是指反3所在圓0的半徑與圓心0到弦的距離之差,

“徑''是指扇形所在圓。的直徑。若扇形的面積為亍，扇形的半徑為4,利用上面公式，求得該扇形的弧長(zhǎng)

的近似值為()

A.V3+1B.2V3+1C.3V3+1D.4V3+1

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目

要求的。全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分。

9.已知向量〃二(1,3),b-(2x,2-x),其中％￡尺，下列說法正確的是(

則x=6；B.若。與B夾角為銳角，貝ljx<6

2

c若x=i,貝在B方向上投影向量為BD.若b+囚=忖+慟,則％=_

7

10.設(shè)復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為胃，i是虛數(shù)單位，則下列命題正確的是(

A.z+ze7?B.z-z是純虛數(shù)

C.若z=cosq+isin-^,則目=1D.若卜-4=1,則目的最大值為2

11.已知函數(shù)f(x)=Asin(4r+0)A>0,a)>0,閘的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是

A.函數(shù)y=f(x)的最小正周期為2n

S77IT

B.函數(shù)y=f(x)在--，二上單調(diào)遞增

57r

C函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-二對(duì)稱

12

71

D.該圖象向右平移一個(gè)單位可得y=2sin2x的圖象

6

第II卷

填空題：(本大題共3小題，每題5分，共計(jì)15分)

?2021

12.口一

13.在AABC中，若乙A=30。，a=7V2,c=14,貝IJC二

14.八卦是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的概念和哲學(xué)符號(hào)，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2中的正八邊形

ABCDEFGH,設(shè)該正八邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為。，若OA=1,則下列結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號(hào)

是.

?AD=(V2+1)BC;

—■—-41

②04000=-三

③次+反=-亞赤;

四、解答題：共77分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知sin(n-a)=2cos(2TI-(X)。

71

(1)若ex為銳角，求cos(Q+7)的值;

6

(2)求tan12a+?

16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(X)=2cos[X-y

cosx+1o

7171

(1)設(shè)xe——,求f(x)的最值及相應(yīng)x的值;

63

(2)設(shè)--n-j=—,求cos磊—2^的值。

I122J6

17.(本小題15分)

222

在銳角△ABC中，角A,B,C滿足條件：sinA+sinC=sinB+sinAsinCo

(1)求角B；

(2)求sinA+sinB+sinC的取值范圍。

18.(本小題17分)

如圖，已知aABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，片,鳥,鳥四等分線段BC。

(1)求荏施+麗加；

(2)Q為線段A《上一點(diǎn)，若而=4荏+《恁，求實(shí)數(shù)2的值；

(3)P為邊BC上一點(diǎn)，求而瓦的最小值。

19.(本小題17分)

如圖，半圓。的直徑為2cm,A為直徑延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，0A=2cm,B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊

作等邊三角形ABC。設(shè)NAOB=a。

(1)當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值；

(2)克羅狄斯?托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸

四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，

則當(dāng)線段0C的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求乙AOC。

0

惠州市2026屆高一聯(lián)考試題

數(shù)學(xué)參考答案

*-A?,"**?-i|ij.aus,A.

2-D=（1.*）.?-（^2）.加；+?.（3,24.t）

又Z+B與￡共%頰，G+5n點(diǎn)」知Ht,即|：=：,

12+A?M

故C=2+2=4dti￡：D

3.C【憚解】由三角所敷的定義得'的。=2,磬筌變形為詈駕=。，

mdna+2cosa4-tanar+24

MWit*na?2,即2=2,解得：加工二.故選】C

m2

4?A【詳解】因?yàn)?=方*2±冬=方）+也=2i+4-3i=4-i,則7=4+”

i?

所以,復(fù)H工對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在宣平面內(nèi)位于第一敘限故選：A.

5?A【詳解】*.c<bcosA,

二利用正弦定理化flMhsinC=sin（/+，）=血/a?6+<x?<sin5vsinBcos/,

■理得：mAcosB<0,?.iin^>0,/.co?B<0.VB€（0.?）>

二方為驚角，三角形處為低角三角形.故選，A

6.B【詳解】（l）VCM0**^ZD-2Z?..*.a?D-co?2jB-2co?,fl-l--|,

：LCD?3,...由余弦定事得心?AD*+CD*-2AZrCD??。?1+9-6x（-：）-12,

-：jtC>0,:-ACS

7.CIWM>］配-衣-SS)-m?3+2l+2-I-5i-4-4l4C

?.D【詳解】《tat?形的?O/為a?由■■■?(公式?:x^xa-號(hào)，所以。?軍，

取石的中點(diǎn)C，連接8.交”于點(diǎn)￡>?JgOCXJ*.■OO-fxc?^OD-4ce?y-2,

>40vZ4D*2x4m-"4^>CD?OC-QD?J?_C_

3

所以』海的M長(zhǎng)總阪值為

?A

G乙13/n

3弦十%~0彳“^^?46?筌故逸:b

9.ACD【詳解】若網(wǎng)13.2>+3(27)?0.*Mx?6?A正?$

若。與6夾角為銳角，則a.A?2x+3(2-x)A0,WW.*<6(又當(dāng)*■亨.”專爭(zhēng)，此時(shí)"=/，

G與5夾角為0.故B情根，

若工［1,則5=(41)、因?yàn)閍在5方向上授勤為首一需一石，與E同向的單位向量為

g-(乎?爭(zhēng)，所以3在5方向上投影向★為背=(24)=心C正

若伍+訓(xùn)訓(xùn)同，JIG與5同向，由上可知，此時(shí)DiE?.故的ACD

10.AD1詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，與其共粗復(fù)數(shù)為；的實(shí)部相等，虐部互為相反效，所以工+；?￡，A

正％

當(dāng)，為實(shí)數(shù)時(shí)，；也為實(shí)?t.則z-；是實(shí)效，B錯(cuò)誤；

若z=cos/-iain,,?C錯(cuò)誤；

若|zT卜1表示震平面內(nèi)點(diǎn)Z(x?y)到點(diǎn)(0,1)的距離，即動(dòng)點(diǎn)Z形成一個(gè)以(0,1)為■心半程

為1的園，|z|衰示0上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以其?大值為2,D正確.

故選：AD.

11.BCD【詳解】由圖象可知t彳=2,周期丁=?；卡卜森?：?。工學(xué)=2，

由/■管)=2sin(2x^+.)=2,所以2x盤“吟+2AM.Z,解得伊吟+2Ax?￡wZ.

由1，1<：可得?=/,故函數(shù)/(x),2iin(2x+"?

對(duì)于A.T-w,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：當(dāng)-*1哈時(shí)，因?yàn)樵冢?弱匕正弦制h■而.單B遢增.

所以函數(shù)大/(x)M考匍上單■■■故B1E%

對(duì)于G當(dāng)…制,4制3等2+升-2,

即直線X--含是yn/(x)的一條對(duì)耐*,故CjB%

對(duì)于Di,=/(X)向右平，/單位，黑=242(*用+；卜2向2X,故D正..

12.一文?/【詳解】

所以，七===尚告T芋+*故答案為，-丹.

aC詳■】*根搪正弦定理W?金得血C.哼孝.

因?yàn)镃-（（r/5<r）.所以c?4￡聯(lián)C?13f,故答案為：45?或135*

14.①⑧④【詳解】由圖知，在正八邊形麗DKFGH中，每個(gè)也對(duì)應(yīng)的中心角為46,以點(diǎn)。為生

標(biāo)原點(diǎn)，it立如圖的直角坐標(biāo)系，期”（0,-1），，停,-用.C（L。）,《李用‘用孫

.對(duì)T0,祝惇亭”,麗+孝用,伊+呼=停字1｝所

614D-(J2+1)BC,故①正修，

對(duì)于②：CW?(O,-l),ZX)=^~^-，―^1,OA-DO^-^-t故②I#課;

對(duì)于③rOi-(Q,-1),OC-tkO),OF-,所以

oi+5c-(i,-i)?-42QF,故③正?；

對(duì)于④8BE=（一?所以戶可■V2+Vi?故④正—?

故答案為，①?④.

,分

15、（13分）【詳解】<1）解，由已如，血a=28?a?

又811a=1,且。為悅角.

__4.2???????????

l?Wco?a?—??ma?―^―??—?▼??—4

所以，吟)玄一*

oos(a.OMaco?a*‘_________S分

萬百2行1岳-邛

st.一X-u'一'一._________7分

525210

(2)解，由(D。皿。=2,_________8分

10分

2tana=_2旺

所以*-切=二5在1-2

............13分

所以《?（20+習(xí)=

Ico?x+-J

16、（15分）?-儂=2|

____2分

uZx+G而xa?x+l

吧在+且isn2*+1

22

疝”用

.6分

因?yàn)楣?若］所以力+彳右

,8分

故當(dāng)21Gq.印，一泊，函效/⑸取g-

當(dāng)小瀉,即4時(shí),函數(shù)朋取得最大心二...10分

⑵由小+才農(nóng)+舒小ET卜代_____12分

............13分

得sin（2?+；卜會(huì)

于是皿仔㈤=8欄-，聞］14分

IS分

=-血（2?+；）

s——

3

,2分

17、（15分）［詳解】鮮，＜?＞程福正效定皿互化#，

整理用/+/-加=8

/+/-*?」.4分

所以由余弦定理#，3-^―"I,

因?yàn)?C為機(jī)角三角形，

所以5=搟?

jf-2<

（2>由⑴/B-1，/+C=gr

所以sinZ+sinB+sinC=sin"+亨+sin（竽_4）=3cos4+2,in4

=6停cos"+惇sin/卜半=6時(shí)”+裕學(xué)，

因?yàn)椤?7為銳角三角形，

所以，/外所以“+3信部

所以空虱Y1條曝

故sin/+sin3+sinC的取值范圍......15分

18.（17分）【詳解】由題知，《為BC的中點(diǎn)，4為熙的中點(diǎn)，鳥為5的中點(diǎn)，5為6月的中點(diǎn),

因?yàn)椤?C是正三角形，所以此LBC.

（1）萬萬+再祠=詬（萬+9）=2/=可珂...................分

因?yàn)樗?陛sin600=75,此=；,AP2J.BC,

所以期=〃/5?+/}#=J"；=，4分

故而不藥腐=2x/埋|=黑..........5分

（2）因?yàn)?。為線段期上一點(diǎn)，所以可設(shè)初=用商，..........6分

又廊-刀+麗=荏+；而=萬+.（而-而）=：而+；%.............~...7分

所以而,用需片次+：而............8分

又京疝+看而，且向量而，而不共線，

借=4卜=；,

由1、1J，JJ-八

--=---|義N—

,412[4

所以實(shí)數(shù)4的值為"___________10分

4

因?yàn)槭瑸檫呌?上一點(diǎn)，所以可設(shè)=石，

（3）5------------------11分

答案第5頁，共6頁